BANDAS DE PREVISÃO USANDO POLINÔMIOS INTERPOLADORES EM SÉRIES TEMPORAIS

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1 175 BANDAS DE PREVISÃO USANDO POLINÔMIOS INTERPOLADORES EM SÉRIES TEMPORAIS Deysieri Elvira dos Santos Maia (Uni-FACEF) Antonio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF) 1 INTRODUÇÃO A previsão é a estimativa da realidade, nas situações em que a realidade ainda não é conhecida. Constitui uma das frentes em que a Ciência se consolidou como referência para o progresso e o conhecimento. A área de análise e previsão de sucessões cronológicas (séries temporais ou crônicas), hoje campo de pesquisa bem definido dentro dos Métodos Quantitativos, tem sido uma das áreas-chave em Ciências Sociais Aplicadas, onde vários tipos de previsão são importantes: econômicas, tecnológicas e estratégicas, entre outras. A área de Finanças, por exemplo, vem, ao longo das últimas duas décadas, modificando-se e se transformando em uma ciência eminentemente quantitativa, em que são usadas ferramentas como Estatística, Matemática e Ciência da Computação para que o processamento das informações forneça resultados mais precisos e confiáveis, principalmente ligados aos modelos de previsão (ZOU, 2004). As condições presentes determinam, em certo grau, o futuro da forma em que pode haver muitas interações e complexas relações entre as variáveis envolvidas. Existindo informação suficiente disponível sobre o sistema em estudo, uma abordagem matemática pode ser desejável, sendo que as equações construídas modelam os mecanismos responsáveis pela geração das séries temporais e como o seu comportamento evolui. No entanto, em muitos problemas reais de interesse, não temos informações e/ou condições ideais suficientes para construir equações que governem o comportamento das variáveis que queremos prever. Na ausência de informações suficientes para gerar as equações, é mais atrativo usar uma abordagem baseada em modelos (DE VEAUX, 1998). Com o avanço da tecnologia e da capacidade de armazenagem e processamento dos sistemas computacionais, diversos modelos e técnicas 175

2 176 quantitativas de previsão têm sido pesquisados, complementando e aprimorando as análises qualitativas por uma série de fatores, incluindo maior precisão (HARDIE, 1998). Modelos de previsão quantitativos utilizam-se basicamente de dados históricos para detectar padrões de comportamento e estimá-los no futuro. Esses modelos empregam um ferramental matemático e estatístico para representar a realidade para a qual foram criados. Diversas técnicas estatísticas têm sido usadas na criação dos modelos, baseadas em diferentes pressupostos assumidos (WINKLHOFER, 1996). 2 MATERIAIS E MÉTODOS Previsão, ou em inglês, forecasting, que se refere a ato ou efeito de prever, antevisão, presciência..., pode ser definida como uma seqüência de passos que o tomador de decisões realiza, seja implícita ou explicitamente, para antever satisfatoriamente um valor futuro. Segundo Harrison e Stevens (1976), uma previsão adequada deve dar suporte a uma decisão minimizadora de risco por parte dos agentes tomadores de decisões. Para Shalizi et al. (2002), o futuro é sempre desconhecido e, até certo ponto, imprevisível e uma previsão é sempre imperfeita, mas não inútil. Toda previsão é uma tentativa de prognosticar o futuro através do exame do passado. Consiste em gerar previsões não enviesadas da magnitude de alguma variável, como um índice de Bolsa, com base no conhecimento presente e passado acumulado em bases de dados e na experiência dos gestores e outros profissionais envolvidos. Conforme Tsay (2002), as previsões variam segundo a sua aplicação em níveis agregados (como na Economia) ou para um componente específico (como para uma campanha individual). Também difere quanto ao horizonte de previsão de curto, médio ou longo prazo que são conceitos flexíveis, que irão variar conforme a área de aplicação. Inúmeros autores já pesquisaram sobre a adoção das previsões na área de Finanças, utilizando-se de diferentes técnicas e abordagens. Alguns autores como Keim e Stambough (1986) pesquisaram a adoção de métodos de previsão de 176

3 177 indicadores financeiros, desde previsibilidade de retornos de preços de ações até previsões de preços aplicados a contratos futuros na BM&F, através da modelagem de sucessões cronológicas, em que se têm, como variável de entrada, os valores históricos da variável a ser prevista, utilizando abordagens econométricas e redes neurais. Alguns outros autores exploraram mais especificamente a previsão de índices de Bolsa de Valores. Esses autores, como Kutsurelis (1998), utilizaram técnicas de modelagem de séries temporais, tomando como base os modelos ARIMA sugeridos por Box e Jenkins (1970), e com uso de redes neurais voltadas para o índice S&P 500. Podem-se identificar os seguintes passos nas várias técnicas de previsão: (a) determinar a utilização da previsão; (b) selecionar os objetos da previsão; (c) determinar o horizonte de tempo da previsão; (d) selecionar o modelo de previsão; (e) reunir a informação necessária; (f) realizar a previsão e (g) validar e implementar os resultados. Este projeto centra-se no item (g). Os métodos de previsão dividem-se em qualitativos e quantitativos. Dentre os quantitativos destacam-se os que usam as Séries Temporais, com várias técnicas: médias móveis, alisamento exponencial, regressão, etc. Este trabalho usará polinômios interpoladores como método previsor. O polinômio interpolador na forma de Newton é construído como segue (BURDEN e FAIRES, 2003). Consideremos um conjunto conhecido de pontos: (x 0, f(x 0 )), (x 1, f(x 1 )),..., (x n, f(x n )). O polinômio é o seguinte: P n (x) = f[x 0 ] + (k=1) (n) f[x 0, x 1,..., x k ] (x-x 0 )(x-x 1 )... (x-x k ) onde ) f[x 0, x 1,..., x k ] é a k-ésima diferença dividida de f(x) relativa a x 0,..., x k e é definida recursivamente a partir da seguinte fórmula: f[ xi, x i+1,..., x i+k ] = (f[x i+1,, x i+k ] f[x i,, x i+k-1 ]) / (x i+k x i ) 177

4 178 sendo f[x i ] = f(x i ). Normalmente, tal polinômio é utilizado para realizar a interpolação e calcular um valor aproximado para f(x), com x entre x 0 e x n. O que fazemos aqui é extrapolar tal intervalo, calculando um valor aproximado para f(x) com x fora do intervalo (x 0, x n ), ou seja, usamos P n (x) para prever valores futuros da seqüência (LIMA, 2005). No caso das séries aqui consideradas, usamos como domínio da função f(x) o conjunto dos números naturais. As séries simuladas, usadas como controle, serão as seguintes: (a) uma série de números aleatórios, obtidos através de um gerador computacional; (b) uma série de dados caóticos, obtidos a partir do conhecido mapeamento logístico x n+1 = 4 * x n * (x n 1); (c) uma série de dados periódicos, obtidos a partir da função seno e (d) uma série de dados quase-periódicos, obtidos a partir de uma soma de quatro termos cossenodais com freqüências incomensuráveis. Os programas para os cálculos serão feitos com o programa MATLAB (HANSELMAN, 2003), disponível no Uni-FACEF. Uma vez realizada a previsão, fica-se com duas populações : uma que é constituída pelos valores reais e outra constituída pelos valores previstos. Para cada posição dos dados nas duas séries, às vezes a previsão se verifica e às vezes não. Usando um linguajar biológico, pode-se dizer que uma previsão é verdadeiramente positiva quando há a previsão que o valor vá aumentar e ele realmente aumenta; por outro lado, pode-se dizer que uma previsão é verdadeiramente negativa quando há a previsão que o valor vá diminuir e ele realmente diminui. Mas podem aparecer dois tipos de erros: um que se pode chamar de falso positivo, que ocorre quando a previsão é de que o valor vá aumentar e ele, na realidade, diminui; e outro que se pode chamar de falso negativo, que ocorre quando a previsão é de que o valor vá diminuir e ele, de fato, aumenta. A estes intervalos demos o nome de bandas de previsão. Vários parâmetros podem ser definidos a partir daí, como a Sensibilidade e a Especificidade. A Sensibilidade é a probabilidade de que um método diga que o valor do dado vá aumentar dado que ele realmente aumenta; já a Especificidade é a probabilidade de que um método diga que o valor do dado vá diminuir dado que ele realmente diminui. 178

5 179 Dois parâmetros de particular interesse são o Valor Preditivo Positivo (VPP) e o Valor Preditivo Negativo (VPN). O VPP é a probabilidade de que um dado aumente de valor dado que o método previsor previu que ele aumentaria; já o VPN é a probabilidade de que um dado diminua de valor dado que o método previsor previu que ele diminuiria. A maneira típica de se representar a relação entre a sensibilidade e a especificidade de um teste é por um gráfico em que, para cada valor de corte possível, se coloca a sensibilidade no eixo das ordenadas e um menos a especificidade no eixo das abscissas. Unindo-se os pontos assim obtidos para cada valor de corte diferente, obtém-se uma curva que é chamada de curva ROC (Receiver Operating Characteristic). Este conjunto de parâmetros, calculados para o método previsor polinomial, comparados com os mesmos parâmetros calculados por métodos estocásticos tradicionais (como médias móveis e regressão) é o que se pretende obter no presente trabalho. 3 RESULTADOS Aprendemos a trabalhar, inicialmente, com a linguagem FORTRAN. Construímos os seguintes programas, necessários ao desenvolvimento do trabalho: i.programa 1 * PROGRAMA DIF1: PARA O DIAGRAMA DE RETORNO COM 1 ATRASO REAL X,Z INTEGER I,J DIMENSION X(2000),Z(2000) OPEN(1,FILE='ENTRADA.DAT') OPEN(2,FILE='SAIDIF.DAT') DO I = 1,1000 READ(1,*)X(I) IF(I.GT.1)THEN Z(I-1) = X(I) - X(I-1) IF DO J = 2,999 WRITE(2,*)Z(J-1),Z(J) 179

6 180 ii.programa 2 * PROGRAMA TAB: PARA LER UMA SERIE TEMPORAL E COLOCA-LA NA * SEGUINTE FORMA: * DUAS COLUNAS, SO A PRIMEIRA CONSTITUIDA PELOS NUMEROS * NATURAIS (E O DOMINIO DA FUNCAO) * E A SEGUNDA CONSTITUIDA PELOS VALORES DA SERIE REAL X INTEGER I,N OPEN(1,FILE='ENTRADA.DAT') OPEN(2,FILE='EN.DAT') N = 500 DO I = 1, N READ(1,*)X WRITE(2,*)I,X iii.programa 3 * PROGRAMA DIF2: PARA O DIAGRAMA DE DIFERENCAS RELATIVAS * COM 1 ATRASO REAL X,Z INTEGER I,J DIMENSION X(2000),Z(2000) OPEN(1,FILE='ENTRADA.DAT') OPEN(2,FILE='SAIDIF2.DAT') DO I = 1,1000 READ(1,*)X(I) IF(I.GT.1)THEN Z(I-1) = (X(I) - X(I-1))/X(I-1) IF DO J = 2,999 WRITE(2,*)Z(J-1),Z(J) iv.programa 4 180

7 181 * PROGRAMA LOGIST: PARA CALCULAR UMA SERIE TEMPORAL CAOTICA INTEGER I REAL X OPEN(1,FILE='CAOS.DAT') X = 0.2 DO I = 1, 3000 X = 4*X*(1-X) IF(I.GT.2000)THEN WRITE(1,*)X IF v.programa 5 * PROGRAMA QUASEP: PARA CALCULAR UMA SERIE TEMPORAL * QUASE-PERIODICA REAL X,A,B,C,D INTEGER I OPEN(1,FILE='QUASEPN.TXT') WRITE(*,*)'DE O NUMERO DE PONTOS DESEJADO:' READ(*,*)N DO I = 1, N A = COS(( /9.0)*I*0.1) B = COS((SQRT(11* )/9.0)*I*0.1) C = COS((SQRT(3* )/9.0)*I*0.1) D = COS((SQRT(2* )/9.0)*I*0.1) X = A + B + C + D WRITE(1,*)X vi.programa 6 * PROGRAMA RAND1: PARA GERAR NUMEROS ALEATORIOS REAL X,Y INTEGER I OPEN(1,FILE='RAND.DAT') DO I = 1, 1000 CALL RANDOM(X) IF(I.GT.1)THEN WRITE(1,*)Y,X 181

8 182 IF Y = X vii.programa 7 * PROGRAMA SENO: PARA CALCULAR O SENO DE X REAL X INTEGER I OPEN(1,FILE='SENO.DAT') DO I = 1,1000 X = SIN(I*0.1) WRITE(1,*)X Os programas 1, 2 e 3 foram construídos para formatar os números a serem usados de maneira conveniente. O programa 4 foi construído para gerar uma série temporal caótica, o 5 para gerar uma série temporal quase-periódica, o 6 para gerar uma série temporal aleatória e o 7 para gerar uma série temporal periódica. Estamos, no momento, construindo os programas para aplicar a Teoria da Decisão. A idéia é estudar as probabilidades das previsões, em relação ao valor anteriormente assumido pela variável. 4 ANÁLISE E CONCLUSÃO Estamos, no momento, construindo os programas para aplicar a Teoria da Decisão. Além de passar os programas já feitos no Fortran para o Matlab, a fim de tê-los todos numa mesma plataforma. A idéia é estudar as probabilidades das previsões, em relação ao valor anteriormente assumido pela variável. 182

9 183 BIBLIOGRAFIA BOX, G. E. P; PIERCE, D. A. Distribution of autocorrelations in autoregressive moving average models. Journal of the American Statistical Association, v. 65, p , BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, p. DE VEAUX, R.; SCHWEINSBERG, J.; SCHUMI, J.; UNGAR, L. H. Prediction intervals for neural networks via nonlinear regression. Technometrics. v. 40, n. 4. p , HANSELMAN, Duane; LITTLEFIELD, Bruce. Matlab 6 Curso Completo. São Paulo: Prentice Hall, p. HARDIE, B. G. S.; FADER, P. S.; WISNIEWSKI, M. An empirical comparison of new product trial forecasting methods. International Journal of Forecasting. n. 17, p , HARRISON, P. J.; STEVENS, C. F. Bayesian Forecasting. Journal of the Royal Statistical Society: series B, v. 38, n. 3, p , KEIM, D.; STAMBAUGH, R. Predicting returns in stock and bond markets. Journal of Financial Economics. v. 17, p , KUTSURELIS, J. E. Forecasting financial markets using neural network: an analysis of methods and accuracy f. (Tese em Administração). Naval Postgraduate School, Monterey, California LIMA, Fabiano Guasti; SILVA FILHO, Antônio Carlos da ; SILVA, Fátima Maria Helena Simões Pereira da ; MARTINS, P. F. C. ; CHAGAS, M. F.. Previsão de Curto Prazo Usando Polinômios Interpoladores na Forma de Newton. In: XVI ENANGRAD, 2005, Belo Horizonte. XVI ENANGRAD, SHALIZI, C. R.; SHALIZI, K. L; CRUTCHFIELD, J. P. An algorithm for pattern discovery in time series. Santa Fe Institute. Working Paper Nov