Luana Cordeiro de Almeida

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1 IME-UFF COLORAÇÃO TOTAL E COLORAÇÃO TOTAL EQUILIBRADA DE FAMÍLIAS DE SNARKS Luana Cordeiro de Almeida Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal Fluminense, IME-UFF, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática. Orientadoras: Simone Dantas de Souza Diana Sasaki Nobrega Niterói Dezembro de 07

2 Cordeiro de Almeida, Luana Coloração Total e Coloração Total Equilibrada de Famílias de Snarks/Luana Cordeiro de Almeida. Niterói: IME-UFF, 07. VIII, 67 p.: il.; 9, 7cm. Orientadoras: Simone Dantas de Souza Diana Sasaki Nobrega Dissertação de mestrado Combinatória Programa de Pós-graduação em Matemática, IME-UFF, 07. Referências Bibliográficas: p snarks.. coloração total.. dot product... I. Dantas de Souza, Simone et al.. II. Universidade Federal Fluminense, IME, Programa de Pós-graduação em Matemática. III. Título. iii

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4 Agradecimentos Às minhas orientadoras, Simone Dantas e Diana Sasaki, que com competência e compreensão me guiaram nessa jornada, estimulando-me a crescer como cientista e como pessoa. Aos membros da banca, professores Slobodan Tanushevski e Raphael Machado, por terem aceitado examinar esse trabalho e contribuir com suas críticas. Obrigada pela atenção. A minha mãe Socorro, minha tia Ceiça e meu marido João, que estiveram ao meu lado em cada passo. Vocês são meu porto seguro. Àqueles que me tocaram com seu exemplo, que me ensinaram sobre dedicação e curiosidade científica mas também sobre coragem, rigorosidade e a necessidade da verdadeira compreensão. Vocês são minha inspiração, Fernando J. O. Souza, João Paulo Costalonga, Daniele Sepe. À Comunidade, aqueles de todos os cantos do mundo que respondem dúvidas de estranhos, disponibilizam seus artigos, divulgam Ciência. Sua ajuda foi inestimável. Finalmente, aos amigos, que emprestam forças, afastam os maus pensamentos, compartilham conhecimentos (e comida!). Eu não teria conseguido sem vocês, 0 e Priscila Carvalho. I get by with a little help from my friends. v

5 Resumo da Dissertação apresentada ao IME-UFF como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) COLORAÇÃO TOTAL E COLORAÇÃO TOTAL EQUILIBRADA DE FAMÍLIAS DE SNARKS Luana Cordeiro de Almeida Dezembro/07 Orientadoras: Simone Dantas de Souza, Diana Sasaki Nobrega Um grafo cúbico é dito Tipo se admite uma coloração total com cores. Em caso contrário, é possível encontrar uma coloração total desse grafo com 5 cores e ele é dito Tipo. Em 00, Cavicchioli, Murgolo, Ruini e Spaggiari apresentaram um abrangente estudo sobre classes especiais de grafos e reportam que todos os snarks livres de quadrado e ciclicamente -aresta-conexos com até 0 vértices são Tipo. Esse achado os levou a propor o problema de achar o menor desses snarks Tipo. Uma questão relacionada a essa é a de coloração total equilibrada, isto é, em que a diferença entre o número de vezes que cada cor é usada é de, no máximo,. Grafos cúbicos sempre admitem colorações totais equilibradas com ou 5 cores mas esse problema de classificação é NP-completo, como mostrado por Dantas et al. em 06, e nesse mesmo artigo os autores propuseram o problema de encontrar um grafo cúbico Tipo com cintura maior que e número de coloração total equilibrada 5. Procurando contribuir com essas investigações, em nosso trabalho apresentamos colorações totais equilibradas utilizando cores para a primeira família de snarks de Loupekine e a estendemos para colorações totais equilibradas com cores de produtos internos entre snarks dessa família e das famílias de Goldberg, Flor e para colorações totais de produtos entre snarks de Loupekine e de Blanuša. Também utilizamos o produto interno para obter uma nova família infinita de snarks Tipo. Palavras-Chave: Grafos, Snarks, Coloração Total, Coloração Total Equilibrada. vi

6 Abstract of Dissertation presented to IME-UFF as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) TOTAL COLOURING AND EQUITABLE TOTAL COLOURING OF FAMILIES OF SNARKS Luana Cordeiro de Almeida December/07 Advisors: Simone Dantas de Souza, Diana Sasaki Nobrega A cubic graph is said to be Type if it admits a total colouring with colours. Otherwise, it is possible to find for this graph a total colouring with 5 colours and it is said to be Type. In 00, Cavicchioli, Murgolo, Ruini and Spaggiari presented a comprehensive study on special classes of graphs in which they reported all squarefree cyclically -edge-connected snarks with at most 0 vertices are Type. This lead them to question what is the smallest Type snark with these properties. A related question to this one is to find an equitable total colouring, i.e., a total colouring for which the cardinalities of colour classes differ by at most. Cubic graphs always admit an equitable total colouring with or 5 colours but classifying them is a NP-Complete problem, as shown by Dantas et al. in 06. In the same paper, the authors posed the problem of finding a cubic Type graph with girth at least 5 that does not admit an equitable total colouring with colours. Our goal in this work is to contribute to answer these questions. We present equitable total colourings for the first family of Louekine snarks and extend these colourings for dot products between Loupekine and Flower, Goldberg or Blanuša snarks. We also use dot product to find a new infinite family of Type snarks. Keyworks: Graph Theory, Snarks, Total Coloring, Equitable Total Coloring. vii

7 Sumário Agradecimentos v Lista de Figuras Introdução Preliminares 8. Definições e Resultados Básicos Coloração de Grafos Cúbicos Coloração Total Equilibrada de Famílias Infinitas de Snarks 8. Snarks Flor Snarks de Blanuša Snarks de Goldberg Snarks de Loupekine Coloração Total de Produtos de Snarks. Produtos Internos de Snarks Snarks Flor Snarks de Blanuša Produtos Tipo 55 6 Trabalhos Futuros 6 Referências Bibliográficas 6 viii

8 Lista de Figuras. Grafo de Petersen, o primeiro snark A aresta a é incidente aos vértices e. O grau do vértice é Em negrito, o subgrafo induzido pelos vértices, e. A sequência γ =, d,, f, 6, h, 5, g,, a, é um caminho que não é simples entre e. O conjunto {f, g} é um -corte do grafo Colorações de vértices, arestas e total de um mesmo grafo, com o menor número de cores possível Da esquerda para a direita representamos a quebra da aresta e, da direita para a esquerda representamos a emenda das semiarestas e e e.5 Exemplo de -Construção Exemplo de -Construção O primeiro snark Flor F (à esquerda) e o bloco LF i (à direita) O segundo snark Flor, F colorações totais para F e LF i coloração total para F O subgrafo P v, w Os dois subgrafos P e,e possíveis B e B B (em cima) e B (embaixo) Uma -coloração total equilibrada para B Colorações totais para B e B Colorações φ e φ de P v, w Uma -coloração total equilibrada para B O bloco fundamental BG i usado na construção dos snarks de Goldberg 7

9 . O snark G A dupla G que será adicionada ao snark G i O snark G Uma -coloração total para G Uma -coloração total para G Uma -coloração total equilibrada para G O primeiro snark de Loupekine, L Bloco B k L k coloração total equilibrada para o primeiro snark de Loupekine Colorações de B k e P k para k mod Coloração total equilibrada de L Colorações de B k e P k para k mod Coloração total equilibrada de L Colorações de B k e P k para k mod Coloração total equilibrada de L Colorações de B k e P k para k 0 mod Coloração total equilibrada de L Produto interno entre os grafos G e G u u é uma aresta interna, u v é uma aresta intermediária e v x é uma aresta externa Colorações para os produtos P 0,5 nas arestas internas Coloração para os produtos P 0, nas arestas intermediárias Colorações para os produtos P 0, nas arestas externas Colorações para os produtos P 0,5 nas arestas externas Superior: O tijolo B (Tipo ); inferior: o tijolo P (Classe ) Um elemento da família S Um s-quadrado e um s-dominó Colorações totais equilibradas para os snarks S e S (apenas as cores das arestas são representadas; as cores dos vértices podem ser deduzidas a partir dessas)

10 5.5 O snark S (Tipo ), com uma 5-coloração total equilibrada Representação das -colorações de arestas para os blocos L Tijolo L Tijolo L k Os snarks T e T (apenas as cores das arestas são representadas; as cores dos vértices podem ser deduzidas a partir dessas) O snark T (Tipo )

11 Capítulo Introdução Um dos problemas mais famosos e importantes da Teoria dos Grafos é o de coloração de mapas planares. Em 85, o matemático sul-africano Francis Guthrie propôs, inspirado pela observação de um caso particular, que seriam necessárias apenas quatro cores para colorir qualquer mapa, de forma que duas regiões vizinhas não tivessem a mesma cor. Esse problema ficou conhecido como Conjectura das Quatro Cores e ficou em aberto por mais de um século, até que uma prova foi finalmente anunciada em 976 por Appel e Haken (e publicada em 989) [], com auxílio computacional. A verificação dessa prova mostrou-se demasiado intricada e uma outra demonstração foi dada por Robertson, Sanders, Seymour e Thomas em 997 [9], ainda com uso de computadores. Tal questão, de fácil formulação mas difícil de resolução, foi abordada por muitos matemáticos ao longo dos anos e uma das tentativas de solucioná-las deu origem ao objeto de nosso trabalho. O estudo dos snarks surgiu em 880, quando o físico matemático Peter Tait abordou o problema de coloração de mapas em termos de coloração de arestas de grafos cúbicos [8], em uma tentativa de provar a (então) Conjectura das Quatro Cores. Tait provou que a validade da Conjectura era equivalente a todos os grafos cúbicos (simples e conexos) sem pontes e planares admitirem uma -coloração de arestas. Apesar de verdadeira, tal equivalência ainda não tornava tão simples a prova da Conjectura. Uma década mais tarde, Petersen [6] mostrou o primeiro exemplo de um grafo cúbico sem pontes não--colorável (embora este grafo tenha aparecido em um artigo de Kempe, em 886). A existência desse tipo de grafo não é trivial e a dificuldade de encontrá-los levou Martin Gardner a escrever sobre eles

12 Figura.: Grafo de Petersen, o primeiro snark em 976 [9], comparando-os à esquiva criatura apresentada no poema The Hunting of the Snark: An Agony in 8 Fits [9], de Lewis Carroll. Desde sua descoberta, snarks têm se mostrado uma classe de grafos relevante, aparecendo como potenciais contraexemplos minimais para várias conjecturas, como a dos 5-fluxos de Tutte [0] e a de Berge-Fulkerson [8]. Outros problemas também já foram resolvidos através de snarks, como pode ser visto em []. Para além da modelagem de mapas, os problemas de coloração de grafos possuem as mais diversas aplicações e são alguns dos mais estudados na área. Uma coloração total de um grafo é uma atribuição de cores a seus vértices e arestas tal que elementos adjacentes ou incidentes não tenham a mesma cor. Os clássicos teoremas de Brooks e Vizing nos fornecem cotas superiores para o mínimo de cores necessárias para colorir os vértices ou as arestas, respectivamente, de um dado grafo. Para coloração total, permanece em aberto a existência de um resultado equivalente. Já sabemos, no entanto, que para grafos cúbicos é sempre possível encontrar uma coloração total com ou 5 cores [0]. No primeiro caso, o grafo é dito Tipo e, no segundo, Tipo. Também, dado um grafo, o problema de decidir se existe uma k-coloração total para ele é difícil (de fato, o problema de decidir se um grafo cúbico admite coloração total com cores ou apenas com 5 cores é NP-completo, como mostrado por McDiarmid e Sánchez-Arroyo [5]) então seu estudo tem sido feito dentro de classes de grafos. Em 00, Cavicchioli, Murgolo, Ruini e Spaggiari [0] apresentaram um abrangente estudo sobre classes especiais de grafos. Eles reportam que, com auxílio de computador, é possível determinar que todos os snarks livres de quadrado e ciclicamente -aresta-conexos com até 0 vértices são Tipo. Tal achado os levou a propor o seguinte: 5

13 Questão. Qual é a ordem do menor snark (se houver) Tipo? Outra questão relacionada a essa é a de coloração total equilibrada, isto é, uma coloração total de um grafo de modo que a diferença entre o número de vezes que cada cor é usada é de, no máximo, uma unidade. Wang [] provou que o número de coloração total equilibrada de um grafo cúbico é ou 5. Esse problema de decisão é NP-completo, como mostrado por Dantas et al. [5], e nesse mesmo artigo foi proposta a seguinte questão: Questão. Existe um grafo cúbico Tipo com cintura maior que e número de coloração total equilibrada 5? Colorações totais equilibradas com cores foram apresentadas para várias famílias de snarks como os snarks Flor por Campos, Dantas e de Mello [8], para a família de Goldberg por Dantas et al. [5], e para as famílias de Blanuša por Sasaki, Dantas, Figueiredo e Preissmann [5]. Porém, os exemplos de snarks Tipo que não admitem uma -coloração total equilibrada envolviam sempre quadrados ou triângulos. Assim como na questão anterior, os ciclos pequenos parecem exercer um importante papel nesse problema. Uma -coloração total para snarks de Loupekine havia sido construída por Sasaki et al. [5], mas essa não era equilibrada. Sendo essa uma família de snarks com cintura grande, escolhemos este ponto de partida, e obtivemos uma coloração total equilibrada para essa família. Nos demais snarks e produtos estudados, procuramos questionar se a coloração obtida era equilibrada ou poderia ser modificada de modo a tornar-se equilibrada. No Capítulo, introduzimos as definições básicas de grafos bem como as específicas ao nosso problema. Em seguida, discutimos o problema de coloração de grafos cúbicos e propriedades que podemos utilizar para restringir nosso estudo a grafos não-triviais e vemos a definição de snark. Por fim, apresentamos alguns exemplos que ilustram como o problema de coloração total se distancia do problema de coloração de arestas em grafos de cintura pequena, o que motiva a investigação de grafos com cintura maior. 6

14 No Capítulo, tratamos de coloração total de famílias infinitas de snarks. Estudamos resultados anteriores para as famílias de Blanuša, Goldberg e Flor. A estratégia envolvida na construção de colorações equilibradas para esses casos não pode ser estendida diretamente para a família de snarks de Loupekine, embora o princípio de construção desses grafos seja semelhante. Assim, nesse trabalho nós investigamos os snarks de Loupekine e, inspirados pelos exemplos anteriores, construimos para essa família uma coloração em quatro partes, que mantém-se equilibrada a cada passo. Em seguida, no Capítulo, nos dedicamos à operação de produto interno entre snarks. Discutimos algumas propriedades dessa operação e como ela é útil no estudo de coloração. Questionamos se os resultados vistos no Capítulo podem ser estendidos quando efetuamos o produto entre dois desses snarks e vemos alguns exemplos. Os resultados desses dois últimos capítulos foram apresentados no VII Latin American Workshop on Cliques in Graphs, realizado em 06 na Argentina, e um resumo expandido relativo a essa apresentação foi submetido à revista Matemática Contemporânea sob o título On equitable total colouring of Loupekine Snarks and their products []. No Capítulo 5, estudamos os grafos Tipo de cintura pequena obtidos por Brinkmann, Preissmann e Sasaki [5]. Utilizamos o produto interno para obter uma família infinita de snarks Tipo. Nossos resultados desse capítulo foram aceitos para apresentação no IX Latin and American Algorithms, Graphs and Optimization Symposium (LAGOS), que será realizado em Setembro de 07 na cidade de Marseille, França, e o respectivo resumo extendido foi submetido à revista Electronic Notes in Discrete Mathematics sob o título de On Type Snarks and Dot Products []. Finalmente, no Capítulo 6, apresentamos nossas conclusões e um resumo dos atuais resultados, relativos às questões levantadas, para alguns dos snarks e famílias de snarks mais conhecidos. Também mostramos tópicos para estudos futuros nesse tema. Agora que as motivações e a organização desse trabalho foram expostas, estamos prontos para dar início à nossa investigação. 7

15 Capítulo Preliminares. Definições e Resultados Básicos Um grafo G é uma dupla (V (G), E(G)) de conjuntos, em que E(G) é formado por pares não-ordenados de elementos distintos de V (G). Os elementos de V (G) são chamados de vértices e os de E(G) de arestas. Quando não houver risco de confusão, podemos escrever simplesmente V e E. Se e = {u, v} é um elemento de E, dizemos que e é incidente a u e v e que estes vértices são vizinhos; se duas arestas e e f são incidentes a um mesmo vértice, diremos que elas são arestas adjacentes. Podemos escrever e = uv se a aresta e é incidente aos vértices u e v. Um grafo é dito completo se há arestas entre todo par de vértices distintos. O grau de um vértice v é o número de arestas incidentes a ele e é denotado por d G (v). Um grafo é k-regular se todos os seus vértices possuem grau k e é regular se é k-regular para algum k. Um grafo regular é dito cúbico. O grau máximo Δ(G) é o maior dentre os graus de vértices de G. d a e c b Figura.: A aresta a é incidente aos vértices e. O grau do vértice é. Dizemos que um grafo G = (V (G ), E(G )) é subgrafo de G se V (G ) V (G) e 8

16 E(G ) E(G). Um subgrafo G de G é dito induzido por um conjunto de vértices V V (G) se tem V como seu conjunto de vértices e seu conjunto de arestas é formado por todas as arestas de G que são incidentes apenas a vértices de V ; analogamente, G é induzido pelo conjunto de arestas E E(G) se E = E(G ) e V (G ) é formado por todos os vértices que são incidentes às arestas de E. Um caminho é um grafo simples cujos vértices podem ser arranjados em uma sequência linear tal que dois vértices são adjacentes se e somente se são consecutivos na sequência. Por extensão, também chamamos de caminho em um grafo G um subgrafo de G que é um caminho. Dizemos que γ é de tamanho ou comprimento n. Um caminho é dito simples se não há repetição de vértices internos na sequência e fechado se v 0 = v n. Um ciclo é um caminho simples fechado e a cintura do grafo é o comprimento do menor ciclo desse grafo. Um grafo é dito conexo se existe um caminho entre quaisquer dois de seus vértices; cada subgrafo conexo maximal é dito uma componente conexa de G. Seja W V (G) um conjunto de vértices de G. Dada uma partição V (G) = W V (G)\W dos vértices de um grafo G, o corte por arestas (ou simplesmente corte ) definido por essa partição é o conjunto de arestas C com uma extremidade em W e a outra em V (G)\W. Note que a deleção de um corte aumenta o número de componentes conexas do grafo. Uma ponte é um corte formado por apenas uma aresta. Um k corte é um corte formado por k arestas. Dizemos que um grafo conexo é k-aresta-conexo (aqui diremos simplesmente k-conexo) se não possui cortes de tamanho menor que k. Um c-corte é um corte C tal que cada um dos grafos induzidos por W e por V (G)\W após a deleção de C contém um ciclo; se um grafo conexo não possui um c corte de tamanho menor que k, ele é dito ciclicamente k aresta conexo. Sempre que não for especificado o contrário, sem perda de generalidade, trataremos de grafos conexos. 9

17 5 h 6 g f d a e c b Figura.: Em negrito, o subgrafo induzido pelos vértices, e. A sequência γ =, d,, f, 6, h, 5, g,, a, é um caminho que não é simples entre e. O conjunto {f, g} é um -corte do grafo. Uma coloração de vértices de um grafo G é uma função C V que associa a cada vértice de G um elemento de um conjunto C, disjunto de V e de E, que chamaremos de cores de modo que vértices vizinhos não possuam a mesma cor. De forma semelhante, uma coloração de arestas de um grafo G é uma função C E que associa a cada aresta de G uma cor e não associa cores iguais a arestas adjacentes. Diremos que um grafo é k colorável se admite uma k coloração de arestas. Neste trabalho, sempre que nos referirmos simplesmente a coloração estaremos tratando de uma coloração de arestas. Diremos que um grafo cúbico é Classe se admite uma -coloração de arestas e que é Classe em caso contrário. Por fim, uma coloração total de um grafo é uma função que associa cores a ambos vértices e arestas, sendo que não são atribuídas cores iguais a elementos adjacentes, vizinhos ou incidentes. Quando quisermos enfatizar que as cores de elementos adjacentes ou incidentes são diferentes, diremos que a coloração total é própria. Diremos que um grafo cúbico é Tipo se admite uma -coloração total e que é Tipo em caso contrário. Uma coloração (de vértices, de arestas ou totais) será dita equilibrada se a diferença entre o número de vezes que cada cor é usada é de, no máximo,. Se um grafo cúbico admite uma -coloração equilibrada, diremos que ele é equilibradamente Tipo e, em caso contrário, diremos que é equilibradamente Tipo. 0

18 Figura.: Colorações de vértices, arestas e total de um mesmo grafo, com o menor número de cores possível O número cromático χ(g) de um grafo G é o menor número de cores para o qual existe uma coloração de vértices, enquanto o índice cromático χ (G) é o menor número de cores para o qual existe uma coloração de arestas. A investigação desses conceitos deu origem a dois teoremas clássicos da Teoria dos Grafos, que nos informam a quantidade de cores necessária para obter colorações de um dado grafo. São eles: Teorema. (Teorema de Brooks [6]) Se G é um grafo completo ou um ciclo ímpar, então χ(g) = Δ(G) +. Em caso contrário, χ(g) Δ(G). Teorema. (Teorema de Vizing []) O índice cromático χ (G) de um grafo G é igual a Δ(G) ou a Δ(G) +. Esses dois fortes resultados inspiraram uma extensão para mundo de coloração total. Analogamente às definições anteriores, definimos o número cromático total χ (G) de um grafo G como o menor número de cores para o qual obtemos uma coloração total de G. Na década de 60, foi posto o seguinte: Conjectura 5. (Conjectura da Coloração Total (TCC) [], []) O número cromático total χ (G) é igual a Δ(G) + ou Δ(G) +. Tal conjectura foi respondida afirmativamente para grafos cúbicos por Rosenfeld [0] (uma prova concisa foi dada por Feng e Lin em [7]) mas permanece em aberto no caso geral. Note que, semelhante ao Teorema de Vizing, a Conjectura da Coloração Total apresenta apenas duas possibilidades para número cromático total: a cota inferior trivial para o problema ou esse número mais uma unidade. No entanto, enquanto

19 o Teorema de Brooks cita características estruturais como critério para sabermos quando o número cromático de um grafo é exatamente seu grau máximo mais ou é estritamente menor que esse número, a TCC não faz menção a um critério desse tipo para classificar os grafos em Tipo ou Tipo. Esse problema de classificação é NP- Completo, como demonstrado por McDiarmid e Sánchez-Arroyo [5]. Um problema pertence à classe NP se uma resposta pode ser verificada em tempo polinomial por uma máquina de Turing determinística e é dito NP-Completo se qualquer problema NP pode ser reduzido a ele em tempo polinomial - daí a importância dessa última classe. Mais informações sobre complexidade podem ser encontradas em [0]. Utilizaremos também o conceito de semigrafo, que é uma extensão do conceito de grafo com a introdução de arestas pendentes, que se ligam a apenas um vértice; estas serão chamadas de semiarestas. Definimos um semigrafo G como uma tripla (V (G), E(G), S(G)) em que V (G), E(G) e S(G) são conjuntos disjuntos, cujos elementos são chamados vértices, arestas e semiarestas, respectivamente. Podemos escrever s = (x, ) se a semiaresta s é incidente ao vértice x. Coloração, conexidade, subgrafo e as demais noções apresentadas anteriormente podem ser estendidas para semigrafos de forma natural, com as devidas adaptações. O grafo subjacente a um semigrafo G = (V, E, S) é o grafo G = (V, E). Uma junção de dois semigrafos G e G com o mesmo número k de semiarestas é um grafo com todos os vértices e arestas em ambos G e G mais k arestas disjuntas (x, y) tais que (x, ) é uma semiaresta de G e (y, ) é uma semiaresta de G. Denotamos por G v o semigrafo obtido a partir de G pela deleção do vértice v. As arestas (v, x) incidentes a v tornam-se semiarestas (x, ) em G v. Se deletamos dois vértices vizinhos, G v, w tem dois pares de semiarestas (x, ), (x, ) e (y, ), (y, ), em que x e x eram vizinhos de v e y, y eram vizinhos de w. Duas operações que usaremos frequentemente entre grafos e semigrafos são as de quebra e emenda de arestas. Seja G um grafo (ou, possivelmente, um semigrafo) e e = (x, y) uma aresta de G. A quebra de e em G produz o semigrafo G e que tem os mesmos vértices que G, sendo E(G e ) = E(G)\{e} e S(G e ) = S(G) {s, s }, em que s = (x, ) e s = (y, ) (se G é um grafo, consideramos S(G) = ). Os vértices x e y aos quais e é incidente formam um par de vértices. De forma semelhante, a emenda de duas semiarestas s = (x, ) e s = (y, ) em um semigrafo G produz

20 um semigrafo G com os mesmos vértices de G e com E(G ) = E(G) {e}, em que e = (x, y), e S(G ) = S(G)\{s, s } (mais uma vez, se S(G ) =, G é um grafo). As operações de quebra e emenda serão especialmente utilizadas quando quisermos construir grafos a partir de dois outros grafos dados. e e e Figura.: Da esquerda para a direita representamos a quebra da aresta e, da direita para a esquerda representamos a emenda das semiarestas e e e. Coloração de Grafos Cúbicos Chamamos de snark um grafo cúbico sem ponte que não admite -coloração de arestas. Na Introdução, mencionamos os grafos cúbicos ciclicamente -aresta-conexos. Vejamos que podemos nos restringir a esses grafos no estudo de snarks. Um resultado clássico no estudo de colorações é o Lema de Paridade, posto independentemente por Blanuša e Blanche Descartes: Lema 6. (Lema de Paridade [], [6]) Seja G um grafo cúbico com arestas -coloridas. Se um corte de n arestas tem n i arestas de cor i, então n n n n(mod). Demonstração. Sejam G e G as componentes conexas definidas pela deleção em G do n-corte C e V, V seus respectivos conjuntos de vértices. Note que cada aresta em C possui um extremo em V e outro em V. Sem perda de generalidade, consideraremos os vértices de V : como G é cúbico e suas arestas estão -coloridas, cada um desses vértices é extremo de exatamente uma aresta de cada cor, sendo que, para cada cor i, um vértice v de V é extremo de uma aresta do corte de cor i ou é extremo da aresta vw de cor i, com w V. Assim, o número de vértices em V é igual ao número de arestas de cor i no corte mais um número par (correspondente às duplas de vértices v e w das arestas vw dessa cor que não estão no corte) isto é,

21 n n n V V n(mod), como desejávamos, sendo que a última equivalência segue diretamente da soma de n, n e n. Corolário 7. Um grafo cúbico que possui ponte não admite -coloração de arestas. Demonstração. É consequência direta do Lema de Paridade, pois a cor da ponte teria paridade diferente das demais, que não aparecem no corte. Note que a contagem dada pelo Lema de Paridade se aplica também a semiarestas, com demonstração análoga: nesse caso, transformamos as semiarestas em arestas adicionando vértices como seus extremos. Assim, as semiarestas passam a ser arestas de um corte e podemos aplicar o argumento anterior. As colorações encontradas para esse corte são naturalmente aplicadas às semiarestas correspondentes. Vejamos também duas construções de grafos cúbicos dadas por Isaacs []. -Construção (Isaacs []) Sejam G e H gráficos cúbicos e x x, y y duas arestas de G e H, respectivamente. O grafo GH é obtido por -Construção a partir de G e H usando as arestas x x e y y se é o resultado das emendas das semiarestas (x i, ), (y i, ), obtidas pelas quebras das duas arestas originais. Note que GH é ainda um grafo cúbico. x y x y x y x y x y x y Figura.5: Exemplo de -Construção Lema 8. (Isaacs []) O grafo GH obtido por -Construção é Classe se e somente se G e H são Classe. Demonstração. Sejam e = (x, x ) uma aresta de G e f = (y, y ) uma aresta de H. Permutando as cores se necessário, podemos dizer que e e f possuem a mesma cor,

22 então as -colorações de G e H se estendem a uma -coloração de GH. Por outro lado, pelo Lema de Paridade, as semiarestas em G e possuem a mesma cor (assim como as de H f ) e uma coloração de G e induz uma coloração de G, atribuindo à aresta (x, x ) a mesma cor de (x, ) (analogamente para H). Assim, uma -coloração de GH induz -colorações de G e de H (pela quebra de (x, y ) e (x, y )). Antes do próximo resultado sobre essa construção, precisaremos de um Lema. Lema 9. Se G é um grafo com subgrafo G Classe (Tipo ) e Δ(G ) = Δ(G), então G é Classe (resp. Tipo ). Demonstração. Se G admite uma Δ(G)-coloração de arestas (resp. Δ(G) + - coloração total), sua restrição induz uma coloração de G. Então, se Δ(G ) = Δ(G), isso significa que G admite uma Δ(G )-coloração de arestas (resp. Δ(G ) + - coloração total), o que contradiz a hipótese de G ser Classe (resp. Tipo ). Corolário 0. Sejam G um grafo cúbico e H um grafo cúbico. Se G e é Tipo, então GH obtido utilizando a aresta e é Tipo. Vejamos que não obtemos por -Construção um grafo Tipo a partir de grafos que não são Tipo. Proposição. (Isaacs []) Se G e H são grafos cúbicos Tipo, então GH é um grafo Tipo. Demonstração. Rotulamos os vértices usados na construção como na Figura.5. Sem perda de generalidade, podemos assumir que x e y possuem cor, que os vértices x e y possuem cor e que as arestas e e f possuem cor. Dessa forma, se atribuimos cor às arestas (x, y ) e (x, y ), uma -coloração total de GH é obtida naturalmente pela extensão das colorações de G e H. -Construção (Isaacs []) Sejam G e H gráficos cúbicos e x e y vértices de G e H, respectivamente. O grafo GH é obtido por -Construção a partir de G e H usando os vértices x e y se é o resultado das emendas das semiarestas (x i, ), (y i, ), em que x, x, x são os vértices vizinhos de x em G e y, y, y são os vértices 5

23 vizinhos de y em H. Note que GH é ainda um grafo cúbico. Obtemos então dois resultados semelhantes aos anteriores. x y y x y x x y x x x y x x x y y y y y Figura.6: Exemplo de -Construção Lema. (Isaacs []) Um grafo GH obtido por -Construção é Classe se e somente se G e H o são. Demonstração. A demonstração é semelhante à do Lema 8: Sem perda de generalidade, podemos supor que (x i, x) e (y i, y) possuem cor i. Assim, as respectivas arestas (x i, ), (y i, ) e (x i, y i ) também possuem cor i e -colorações de G e H são preservadas em GH. Por outro lado, se GH admite uma -coloração de arestas, pelo Lema de Paridade, cada uma das arestas no corte possui uma cor diferente. Assim, podemos adicionar um vértice em cada subgrafo pelo corte e conectar a esses vértices as três arestas do corte, obtendo -colorações de arestas para G e H. Corolário. Sejam G um grafo cúbico e H um grafo cúbico. Se G x é Tipo, então GH obtido utilizando o vértice x é Tipo. Demonstração. Mais uma vez, segue diretamente do Lema 9. Finalmente, vejamos o Teorema que justifica a classificação dos grafos cúbicos de corte pequeno como triviais para nosso estudo. Teorema. (Isaacs []) Seja G um grafo cúbico conexo não--colorável, com um c-corte de tamanho (resp. c-corte de tamanho ). Então G pode ser obtido por -Construção (resp. -Construção) a partir de um grafo cúbico H não--colorável que possui menos vértices que G. Demonstração. Suponha que G possui um c-corte {e, e }, com e = (x, y ) e e = (x, y ). Quebrando essas arestas obtemos duas componentes conexas não-vazias G 6

24 e G e, emendando as semiarestas de uma componente entre elas mesmas, obtemos grafos cúbicos conexos G e G. Já que, por hipótese, G não admite -coloração de arestas pelo Lema 8, s.p.g., G é Classe ; como a -construção não cria novos vértices e G não é vazio, G tem menos vértices que G, como desejávamos. Para um c-corte de tamanho, a demonstração é análoga, utilizando o Lema. Por esses resultados, Isaacs qualificou os grafos cúbicos com ponte e c-corte de tamanho ou de triviais em relação à coloração de arestas e propôs concentrar esse estudo nos grafos cúbicos ciclicamente -aresta-conexos. Aqui acaba nossa exposição sobre fatos básicos de coloração de grafos cúbicos. Estamos prontos para explorar as colorações de famílias infinitas de snarks. 7

25 Capítulo Coloração Total Equilibrada de Famílias Infinitas de Snarks Nesse capítulo, veremos colorações para algumas das famílias mais estudadas de snarks. São elas as famílias Flor, de Blanuša, de Goldberg e de Loupekine. O que essas famílias possuem em comum é que são construídas por processos iterativos a partir da adição de blocos de modo que os grafos obtidos são, ainda, snarks. Essa propriedade confere certa simetria aos elementos dessas famílias e nos permite encontrar infinitas colorações a partir de um número finito de configurações. Para as três primeiras dessas famílias, precisamos colorir apenas dois subgrafos para que possamos estender essa coloração para toda a família. Porém, esse não é o caso da família de Loupekine e apresentar uma -coloração total equilibrada dessa família é um dos nossos objetivos com esse trabalho. Primeiro, estudaremos os snarks Flor, cuja estrutura é a mais simples dentre os grafos tratados aqui e é também diferente das demais. Os snarks de Loupekine, Blanuša e Goldberg são constituídos de cópias de um subgrafo do grafo de Petersen muito parecido com o grafo original. Veremos como se dá a construção dessas três famílias utilizando esses subgrafos. Para os snarks de Blanuša e Goldberg, apresentamos as colorações já estabelecidas em trabalhos anteriores. Finalmente, na seção., apresentamos a nossa -coloração total da família de Loupekine. 8

26 . Snarks Flor Os snarks Flor formam a primeira família infinita de snarks, tendo sido descoberta independentemente por Grinberg (que não a publicou) e por Isaacs []. O primeiro elemento dessa família, F, é na verdade o grafo de Tietze [9], cujo mergulho na Faixa de Möbius forma um mapa que é colorido com, no mínimo, 6 cores (lembre que quaisquer mapas no plano podem ser coloridos com ). Eles são formados por pétalas em formato de Y conectadas entre si e dispostas em torno de um cálice central, que é um n-ágono, como podemos ver na Figura.. Novos snarks são obtidos adicionando pares de pétalas ao snark anterior e aumentanto o n-ágono de maneira a acomodá-las. Note que, para F, o cálice é um triângulo que, se contraído, origina o grafo de Petersen. y x v u v u u v x y x i- v i- u i- u i v i y i y x y i- x i Figura.: O primeiro snark Flor F (à esquerda) e o bloco LF i (à direita). Mais precisamente, a construção de um snark Flor é a seguinte: sejam F n+, n os elementos da família de Snarks Flor, em que F i tem ordem i. Definimos a pétala P t i como o grafo com conjunto de vértices V (P t i ) = {u i, v i, x i, y i } e conjunto de arestas E(P t i ) = {u i v i, x i v i, y i v i }. As arestas usadas para unir as pétalas P t i e P t j (com uma exceção, no primeiro snark), são ditas arestas de conexão e definimos um conjunto delas como E ij = {u i u j, x i x j, y i y j }. Por fim, para cada i ímpar e maior que 5, definimos o bloco LF i como o grafo com vértices V (LF i ) = V (P t i ) V (P t i ) e arestas E(LF i ) = E(P t i ) E(P t i ) E (i )i, como ilustrado na Figura.. Este é o bloco usado para aumentar os snarks a cada passo. 9

27 y x v x y v u y u u v x u u 5 x v v 5 y 5 y x 5 Figura.: O segundo snark Flor, F 5 Então o primeiro snark flor F é definido como a união de P t, P t, P t e E E {u u, x y, y x }. Para cada i ímpar maior que 5, F i é obtido de F i e LF i quando unimos seus conjuntos de vértices e de arestas e substituimos E (i ) (em destaque na Figura.) por E (i )(i ) E i. A Figura. mostra F 5 ; em destaque estão as arestas em E (i )(i ) E i. Uma coloração total equilibrada com cores para essa família foi determinada por Campos, Dantas e Mello: Teorema 5. (Campos et al. [8]) Cada snark F i, i ímpar, da família Flor é Tipo. Demonstração. Colorações para o primeiro Flor e todos os blocos LF i são ilustradas em.. Para verificarmos se essa coloração serve no caso de F 5, precisamos analisar as cores presentes nas conexões entre as pétalas P t, P t e entre as pétalas P t 5, P t. Primeiro, deletamos as arestas (u, u ), (x, x ) e (y, y ) de forma que cada um desses vértices agora não é extremo de uma aresta de cor. Como os vértices de grau no bloco LF 5 também não são extremos de arestas de cor, podemos usar essa cor em todas as novas arestas de conexão. Resta ver que a cor dos vértices são compatíveis. Mas u e u 5 são de cor e, respectivamente, então podem ser conectados a u e u (de cor e, resp.). Também podemos conectar sem problemas 0

28 x e y (cores e ) a x e y (cores e ) e fazemos de forma semelhante com x 5 e y 5 (cores e ) a x e y (cores e ). Assim, a coloração obtida para F 5 é própria, como pode ser visto na Figura.. Para os snarks Flor a partir de F 5, a demonstração é essencialmente a mesma, exceto que agora as cores de x i e y i são e, respectivamente. O argumento anterior permanece válido já que essas cores são ainda diferentes das de x i e y i (de fato, eles são vizinhos de vértices de cor e mesmo no bloco LF i ). Então, graças à conservação dessa configuração de cores nos elementos envolvidos na ampliação do snark, podemos garantir que a coloração do novo snark é ainda própria e o Teorema segue, por indução. Figura.: -colorações totais para F e LF i

29 Figura.: -coloração total para F 5 Corolário 6. Cada snark F i, i ímpar, da família Flor admite uma coloração Tipo equilibrada. Demonstração. A coloração exibida para o snark F é equilibrada, sendo as cores e atribuídas a 8 elementos e as cores e a 7 elementos. A adição de um grafo de conexão (com as devidas deleções e adições de arestas) contribui com 5 elementos de cada cor, preservando o equilíbrio de coloração do snark anterior.. Snarks de Blanuša Os dois snarks originais de Blanuša foram os primeiros a serem descobertos [] após de Petersen e são os únicos snarks com 8 vértices [8]. As famílias baseadas nesses snarks foram construídas por Watkins [] a partir de grafos de Petersen usando a operação de produto interno, discutida no Capítulo. Neste capítulo, porém, abordaremos essa construção em termos da adição de blocos fundamentais, como fazemos para as demais famílias. Primeiro, note que devido à alta simetria do grafo de Petersen P, todas as suas arestas (v, w) são equivalentes entre si de modo que existe apenas um semigrafo

30 P v = P v, w, a menos de isomorfismos. Em P v, w, os dois pares de vértices são equivalentes e os dois pares de semiarestas também. Figura.5: O subgrafo P v, w Além disso, existem apenas duas maneiras de escolher pares de arestas e e e não-adjacentes em um grafo de Petersen, sejam elas duas arestas à distância ou duas arestas à distância. Assim, existem apenas dois semigrafos P e,e. Figura.6: Os dois subgrafos P e,e possíveis Dessa maneira, se emendamos as semiarestas de dois semigrafos P v, w e P e,e par a par, podemos obter apenas dois grafos diferentes B e B, que são ditos o primeiro e o segundo snark de Blanuša, ilustrados na Figura.7. De fato, estes dois grafos não são isomorfos e são chamados de Blanuša e Blanuša. Eles são os primeiros snarks nas famílias B e B, cujos membros são construídos adicionando ao grafo anterior novos blocos P v, w. Para isso, deletamos as arestas e e f que conectam os vértices v e w ao bloco seguinte e o novo bloco é conectado aos vértices aos quais as arestas e e f eram incidentes. Um exemplo dos segundos elementos em cada uma dessas famílias pode ser visto na Figura.8. Note que no novo grafo rotulamos duas novas arestas e e f, escolhidas da mesma

31 v e w v f e w f Figura.7: B e B forma que as anteriores. Escrevemos Bn k para o snark de Blanuša da n-ésima família formado por k blocos, ou seja, o (k )-ésimo elemento dessa família; nessa notação, B = B e B = B. Foi provado por Sasaki et al. que snarks de Blanuša são Tipo e, além disso, as colorações exibidas nesse trabalho são equilibradas: Teorema 7. (Sasaki et al. [5]) Os snarks de Blanuša admitem colorações Tipo equilibradas. Demonstração. As colorações dadas para B e B na Figura.9 são -colorações totais próprias. Note que as cores das arestas e e f são as mesmas das semiarestas do bloco adicional na coloração φ, ilustrada na Figura.0, então podemos emendar as semiarestas resultantes da quebra de e e f, par a par, com as do bloco e a cor das novas arestas será a mesma usadas nas semiarestas. Também, os vértices expostos no snark original, à esquerda, são de cor e serão conectados a vértices de cor e em P v, w ; à direita, são de cor e e serão conectados a vértices de cor e, respectivamente (note que as cores dos elementos envolvidos é a mesma para as duas famílias). Assim, a coloração obtida para B e B é própria.

32 e f v w e f v w Figura.8: B (em cima) e B (embaixo) Figura.: Uma -coloração total equilibrada para B Agora, dado um snark de Blanuša B n, n =, colorido dessa forma, os vértices expostos no primeiro bloco quando quebramos e e f permanecem os mesmos, na cor, bem como a cor das semiarestas criadas. Nos vértices do lado direito, porém, teremos as cores e, enquanto que da coloração φ obtemos as cores e para os vértices que devem ser conectados a esses. Por isso, no segundo bloco adicionado 5

33 Figura.9: Colorações totais para B e B usamos a coloração φ, na qual esses vértices possuem cores e, respectivamente. Procedendo dessa maneira, não só obtemos uma coloração própria para B e B como fazemos os próximos vértices do lado direito a serem expostos voltarem à configuração original, e. Podemos então proceder por indução e colorir os próximos blocos adicionados, alternadamente, com φ e φ, o que produz -colorações totais para todos os snarks em ambas as famílias. Por fim, as colorações iniciais, de B e B, eram equilibradas, com três cores sendo usadas em elementos e uma cor em. A adição de um bloco contribui com 5 elementos de cada cor, o que mantém o equilíbrio das colorações. 6

34 Figura.0: Colorações φ e φ de P v, w Figura.: Uma -coloração total equilibrada para B. Snarks de Goldberg Os grafos de Goldberg foram apresentados em 978 [] como uma família infinita de contraexemplos para a Conjectura do Grafo Crítico (mais detalhes em []). Eles são formados por blocos BG i obtidos pela deleção de um caminho de tamanho em um grafo de Petersen dispostos ao redor de um ciclo de tamanho ímpar. u i v i z i w i s i t i x i y i Figura.: O bloco fundamental BG i usado na construção dos snarks de Goldberg 7

35 O primeiro grafo G contém três dessas unidades, em torno de um triângulo. Os demais snarks G i surgem por indução, adicionando a G i uma dupla de blocos, que chamaremos de G, entre BG i e BG. x y z w s t y w x v v t s u u z u v s t z w x y Figura.: O snark G 8

36 u i- u i v i- v i s i- t i- s i t i z i- w i- z i w i x i- y i- x i y i Figura.5: A dupla G que será adicionada ao snark G i x y y z w s t z w x t v v s u u s 5 x 5 z 5 u 5 u v t w y v 5 u t 5 w 5 s z y 5 v s t x z w x y Figura.6: O snark G 5 Campos et al. [8] mostraram que os snarks de Goldberg admitem -colorações totais, mas as colorações encontradas nesse trabalho não eram equilibradas. Foi provado por Dantas et al. que eles admitem -colorações totais equilibradas: Teorema 8. (Dantas et al. [5]) Todos os G i, i ímpar, snarks de Goldberg admitem -colorações totais equilibradas. 9

37 Demonstração. A Figura.7 mostra uma -coloração total equilibrada para G. Agora, considere a coloração das duplas G dada na Figura.8. Note que as arestas tracejadas são das cores, e, respectivamente, e os vértices u, s e x em BG 5 não estão conectados a arestas dessas cores, respectivamente. Além disso, esses vértices possuem as mesmas cores que os vizinhos de BG em BG, portanto, não há conflito nessa parte da coloração de BG 5. Por outro lado, u 5, t 5 e y 5 também não estão conectados a arestas coloridas com, e, respectivamente, e suas cores são diferentes das de u, s, x. Assim, a coloração que obtemos para G 5 é própria. Se procedemos dessa maneira para colorir G i, as relações entre as cores de BG i e BG são as mesmas de quando i = 5. Também, para i 7, os vértices u i, t i, y i possuem cores, e, que são diferentes das de u i, s i e x i, e as cores,, podem ser usadas para as arestas entre BG i e BG i. Então as colorações obtidas para todos os snarks G i, i ímpar, também são próprias. Por fim, a cada passo são adicionados 0 elementos de cada cor e, portanto, as colorações obtidas são sempre equilibradas. 0

38 Figura.7: Uma -coloração total para G Figura.8: Uma -coloração total para G

39 Figura.9: Uma -coloração total equilibrada para G 5. Snarks de Loupekine Finalmente, estudamos os snarks de Loupekine e trazemos os principais resultados desse capítulo. As duas famílias de Loupekine foram introduzidas por Isaacs [] e são construídas usando os mesmos blocos fundamentais que os grafos de Goldberg, com duas diferenças: os três primeiros blocos são unidos a um único vértice central e as duplas de blocos adicionadas possuem um outro formato. Nesse trabalho, estudamos apenas a primeira família, para a qual obtivemos uma coloração total equilibrada. Mais precisamente, o primeiro grafo L 0 nessa família é o ilustrado na Figura.0. Denotamos por L fixed o subgrafo induzido pelos vértices {u,..., u 7, v,..., v 7, x} em cada snark da família e, no k-ésimo elemento L k, chamamos de P k o subgrafo

40 induzido por {w,... w 7, x}. O segundo snark L é construído pela deleção em L 0 das arestas dos tipos w i v j e w i u j, para i, j =,..., 7, e pela adição do bloco B, ilustrado.. Ao bloco adicionado a L k damos o nome de B k e seus vértices são rotulados de acordo. Os próximos elementos na família são obtidos pela adição de outros blocos B i, conectando os vértices de baixo do último bloco adicionado aos vértices superiores do novo bloco e os vértices inferiores desse último com os de P k, como mostrado na Figura.. v 6 u 7 v u 5 v 7 v 5 v v v x u u u u u 6 w w w w w 5 w 6 w 7 Figura.0: O primeiro snark de Loupekine, L 0 y k6 xk x k7 y k y k x k5 y k x k y k5 y k x k yk7 x k x k6 Figura.: Bloco B k

41 L fixed B B B B.. B k P k Figura.: L k

42 Nosso objetivo nessa parte do trabalho foi encontrar uma coloração total equilibrada para esses snarks. Para isso, estudamos os resultados apresentados no início desse capítulo. No entanto, as estratégias utilizadas para os demais snarks não poderiam ser estendidas diretamente para esse caso. Como provado anteriormente, os blocos adicionados aos snark Flor não interferem de modo algum no equilíbrio de cores do grafo e a configuração de cores da região onde o próximo bloco será adicionado também permanece a mesma; algo semelhante acontece na família de Goldberg. Já nos snarks de Blanuša, o equilíbrio é mantido a cada passo mas as configurações de cores mudam e, por isso, é necessário alternar duas colorações para os novos blocos. Para os snarks de Loupekine, nos deparamos com ambas as dificuldades. Primeiro, o número de elementos novos no grafo a cada passo não é múltiplo de. Como consequência, será adicionado a uma das classes de cores um elemento a menos que às demais. Assim, precisamos ter o cuidado de que essa cor deficitária não seja a mesma em todos os passos e não podemos atribuir a mesma coloração a todas as duplas adicionadas. Para resolver esse problema, construimos quatro colorações para as duplas, cada uma compatível com a anterior. Porém, essa solução apenas não foi suficiente: necessitamos também recolorir a parte inferior do grafo, o subgrafo P k, a cada passo, de modo que ao final a coloração obtida fosse própria. Essa é a essência da demonstração que trazemos em seguida. Teorema 9. Todos os membros da família de Loupekine admitem colorações Tipo equilibradas. 5

43 Figura.: -coloração total equilibrada para o primeiro snark de Loupekine Demonstração. O primeiro grafo nessa família admite uma -coloração total, como ilustrado na Figura.; a coloração de L fixed é sempre a mesma para todos os membros da família. Porém, os blocos adicionados aqui não possuem um número múltiplo de quatro de elementos e, portanto, eles mudam o equilíbrio entre o número de elementos de cada cor. Assim, construímos quatro colorações para esses blocos - e os respectivos P k - de forma que após adicionarmos quatro blocos, chegamos a uma coloração semelhante à inicial e o processo pode ser repetido. As colorações de B k e P k, são as mostradas nas Figuras. a.0. Figura.: Colorações de B k e P k para k mod 6

44 Figura.5: -Coloração total equilibrada de L Figura.6: Colorações de B k e P k para k mod 7

45 Figura.7: -Coloração total equilibrada de L Figura.8: Colorações de B k e P k para k mod 8

46 Figura.9: -Coloração total equilibrada de L 9