A CONEXÃO NA MATEMÁTICA ESCOLAR COMO UMA ESTRATÉGIA DE ENSINO

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1 A CONEXÃO NA MATEMÁTICA ESCOLAR COMO UMA ESTRATÉGIA DE ENSINO MESTRANDO: ALUIZIO RIBEIRO PINHEIRO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ RESUMO Este trabalho trata de investigar se as conexões entre os saberes matemáticos estão presentes no ensino realizado pelo Sistema de Organização Modular de Ensino (SOME) 1 no município de Abaetetuba, Estado do Pará, por meio de um grupo de professores, dos livros didáticos e dos registros dos alunos que participam deste projeto, através de uma abordagem qualitativa, com observação participante e à luz da Teoria Antropológico do Didático (TAD). Busca-se verificar as conexões realizadas pelos professores em sala de aula entre a regra de três e outros temas do ensino básico. Os resultados apontam que as conexões entre os saberes matemáticos não são práticas rotineiras no ensino realizado pelo SOME. Palavras-chave: TAD. Conexão. Matemática Escolar. 1. Introdução Os PCNs (1998, p.69) recomendam o quanto é importante que o ensino de um tema de matemática de determinada série seja conduzido de forma que mantenha ligações estreitas com o estudo de outros temas, pois esta relação de interatividade entre eles pode facilitar a compreensão dos conceitos pelos estudantes. O currículo da disciplina matemática na educação básica é constituído por temas que são organizados em programas de ensino, numa seqüência presumidamente facilitadora da aprendizagem para os alunos. A seqüência com intencionalidade de facilitar a aprendizagem dos temas matemáticos se manifesta em um fazer escolar em que são estabelecidas conexões e integrações entre eles, ora em processo de estudo, estudados ou a estudar. No entanto, não raro, o tratamento linear, seqüencial e isolado dos temas nas escolas, poderá desprover dos conceitos matemáticos os significados para o aluno. Mantido esse isolamento por meio das organizações pontuais, pode haver uma inadequada 1 Mais adiante, nas páginas sete e oito, daremos maiores detalhes sobre o funcionamento do SOME.

2 assimilação dos conteúdos matemáticos que leve a reduzir, ou mesmo impedir, o fazer articulado dos conteúdos pelos alunos na resolução de problemas. Assim, nos parece que a manutenção do ensino de matemática restrito a organizações pontuais dos temas em muito pode promover rendimento escolar não desejável dos alunos do ensino básico, como os observados nos últimos anos nos índices de aprovação escolar e no Exame Nacional de Avaliação Básica (SAEB) 2. Tal preocupação, a da conexão dos temas em matemática, tem sido objeto de estudo de diferentes pesquisadores como Chevallard, Bosch e Gáscon (2001), Garcia (2005), Garcia et. al. (2005) e Garcia et. al. (2006), todos com fundamentos na Teoria do Antropológico do Didático (TAD) de Yves Chevallard (1999), que considera que as praxiologias matemáticas precisam estar conectadas para que haja uma evolução do conhecimento matemático. É essa idéia de conexão que caracteriza a atividade de estudo da matemática como um fazer articulado e integrado de modelos matemáticos para facilitar a compreensão das propriedades, definições, algoritmos, teoremas e uma constante retificação dos conceitos. Para Devlin (2006, p.267) o pensamento conectado é uma ação inteligente em resposta a estímulos cada vez mais sutis e complexos, baseado em um conjunto crescente de experiências lembradas. É por isso que, quando estamos trabalhando em um tema, geralmente recordamos de outros que estão ligados a ele. Para Morin (1999, p.25) é absolutamente banal na psicologia cognitiva: o fato de que a atividade normal do nosso espírito, do nosso cérebro, nossa atividade mental normal, funciona integrando informação num conjunto que lhe dá sentido. Por isso acreditamos que é necessário contextualizar o conhecimento matemático com a matemática, com outros conhecimentos e com o mundo social dos envolvidos neste processo de estudo para que o conhecimento matemático tenha significado para ele. Para Pais (2006, p. 90), as articulações produzem significado para o conhecimento. Quanto mais intensas elas forem, tanto mais sentido terá um conteúdo educacional. É por isso que, quando nós utilizamos várias formas de representação conectada de um conteúdo, estamos contribuindo para a sua compreensão. São por essas razões que estamos assumindo que a falta de conexões de temas matemáticos no ensino básico pode levar a um rendimento não desejável do ensino escolar por não promover um fazer matemático, caracterizado pela conexão e integração de saberes para gerar um novo saber, como preconiza a TAD. É com esse pensamento que nos propomos a investigar se as conexões entre os saberes matemáticos estão presentes no ensino realizado pelo SOME 2 O SAEB é aplicado desde 1995, este exame testa as competências em língua portuguesa e matemática de uma amostra nacional de estudantes na quarta e oitava séries da educação básica e terceira série da educação média

3 no município de Abaetetuba, Estado do Pará, por meio de um grupo de professores, dos livros didáticos e dos registros dos alunos que participam do projeto. Considerando a envergadura do currículo da matemática restringimos nossa pesquisa ao tema regra de três, tratado na sexta série do ensino fundamental, que apresenta óbvias relações com outros temas matemáticos tratados na mesma série e posteriores, inclusive em outras disciplinas do ensino fundamental e médio, entre elas destacando-se a física, química e biologia. Os objetivos específicos deste trabalho são analisar as organizações matemáticas e didáticas (re)construídas pelos professores para o ensino da regra de três. Para atender esses objetivos, no primeiro momento, apresentaremos como resultado da análise histórica do conceito de regra de três, três exemplos, cada um tratando de uma técnica de resolução desse tema. No segundo momento, abordamos a TAD e destacamos o seu interesse por um fazer conectado dos saberes da matemática escolar. No terceiro momento, tratamos da construção metodológica deste trabalho. No quarto momento, fazemos a triangulação das análises espontâneas dos dados desta pesquisa. No quinto momento, apresentamos as nossas considerações sobre os resultados desta investigação. 2. As técnicas Neste primeiro momento, sintetizaremos os resultados da nossa investigação bibliográfica dos trabalhos de Bernal (2004) e Oliveira e Santos (1999) sobre o tema regra de três, através do tratamento de três técnicas abordadas pelos autores para a resolução desse tipo de tarefa. Tarefa 1 Técnica da regra de três descrita por Trajano (1927) - Se 4 quilos de café custam 2$000 3, quanto devem custar 6 quilos? Segundo Trajano (1927, p.151), a regra de três tem por fim achar a quantidade desconhecida de um problema, quando são dadas três quantidades conhecidas e proporcionais. Ainda, segundo Trajano, na regra de três simples há duas razões, uma tem as duas quantidades conhecidas a que se dá o nome de quantidades principais; a outra tem uma quantidade conhecida e outra desconhecida; ambas têm os nomes de quantidades relativas porque têm relação com as primeiras. E mais particularmente, a regra de três direta 3 2$000 são dois Mil Réis, símbolo R$, dinheiro que vigorou de 8/10/1833 a 31/10/1942, com o cifrão entre centenas e milhares, o que também era escrito como 2$, no caso dos três últimos algarismos serem zero.

4 acontece quando as quantidades relativas aumentam na mesma razão que as principais aumentam, ou diminuem na mesma razão que as principais diminuem. Trajano assim descreve a resolução da tarefa em foco: para formarmos a proporção, temos três quantidades conhecidas e uma desconhecida representada por x, cujo valor queremos achar. 4 quilos e 6 quilos são quantidades conhecidas e principais e formam a primeira razão; 2$000 e x são quantidades relativas das primeiras e formam a segunda razão. Este problema é de regra de três direta, porque aumentando o número de quilos, aumentará necessariamente o importe deles; diminuindo o número de quilos, diminuirá também o seu importe. Para dispor esses quatro termos em uma proporção, escreveremos x como o quarto termo da proporção e, a quantidade da mesma espécie que x, como terceiro termo. Ora, neste problema x representa dinheiro e a quantidade da mesma espécie é 2$000. Depois de escrevermos esses dois termos na proporção, passaremos a escrever os outros dois termos da outra razão. Se x for maior do que 2$000 escreveremos a maior quantidade como o segundo termo; se for menor, escreveremos a menor quantidade como segundo termo. Pela natureza do problema, vê-se que x é mais do que 2$000, porque se 4 quilos custam 2$000, 6 quilos devem custar mais de 2$000. Então escreveremos 6 como segundo termo e 4 como primeiro. Multiplicaremos agora os meios e dividiremos o produto pelo extremo conhecido e teremos 3$000, que é o importe dos 6 quilos. (1º) (2º) (3º) (4º) 4 : 6 : : 2$000 : x x = = 3$ 6 2$000 x= = 3$ 4 Pelos registros dessa resolução fica evidenciado que Trajano faz uso da proporção para resolver as tarefas de regra de três. Tarefa 2 Técnica da regra de três descrita por Ávila (1986) - Cinco torneiras idênticas juntas enchem um tanque em 144 minutos. Quantas dessas torneiras são necessárias para encher o mesmo tanque em uma hora e meia? Ávila assim descreve a resolução da tarefa em foco: seja C a capacidade do tanque, N o número de torneiras (esta grandeza representa uma taxa de variação, qual seja, a

5 quantidade de água despejada por minuto) e T o tempo necessário para encher o tanque. Então, C = NT. Basta agora substituir os dados nesta equação, eliminar C e resolver a equação resultante para encontrar N. Como uma hora e meia é o mesmo que 90 minutos, temos: C = 5 x 144 e C = N x 90, De onde se segue que 90N = 5 x 144 e, finalmente, N = 8 torneiras Pelos registros dessa resolução fica evidenciado que Ávila faz uso da equação do primeiro grau para resolver as tarefas de regra de três. Tarefa 3 Técnica da regra de três descrita por Lima (1986) - Se 10 máquinas iguais, funcionando 6 horas por dia, durante 60 dias, produzem peças, em quantos dias x, 12 dessas mesmas máquinas, funcionando 8 horas por dia, produzirão peças? Lima assim descreve a resolução da tarefa em foco.temos neste exemplo quatro variáveis: M = número de máquinas; H = horas de funcionamento por dia; D = dias de funcionamento; e P = número de peças produzidas. O número D de dias necessários para produzir P peças em M máquinas que trabalham H horas por dia, é diretamente proporcional a P, porque para dobrar, triplicar etc. o número de peças produzidas é necessário dobrar, triplicar etc. o número de dias de trabalho (supondo, evidentemente, M e H fixos). Por outro lado, se dobrarmos, triplicarmos etc. o número M de máquinas, o número de dias (necessários para produzir as P peças, trabalhando H horas por dia) fica reduzido à metade, a um terço etc. Logo, D é inversamente proporcional a M. Analogamente, se verifica que D é inversamente proporcional a H. Feitas estas simples e necessárias constatações, se chamamos de k o número de dias necessários para produzir uma só peça, usando uma única máquina e trabalhando apenas uma hora por dia, resulta do teorema 4 que: D = k. então = k. Para D = 60, M = 10, H = 6 e P = , temos: = k; e Para M = 12, H = 8, P = e querendo achar o valor do D, temos: = k. Igualando os valores de k, obtemos uma função em D. =, que nos dá D = 40 dias.

6 Pelos registros dessa resolução fica evidenciado que Lima faz uso da função linear para resolver as tarefas de regra de três. 3. O referencial teórico Adotamos a Teoria Antropológico do Didático (TAD), proposta por Chevallard (1999) por entendermos que ela valoriza o processo de estudo, prioriza a atividade matemática e considera que a conexão entre os temas é uma estratégia que pode contribuir para o desenvolvimento intelectual e social dos estudantes. A partir da palavra grega didaktikós, que significa próprio à instrução, relativo ao ensino, Yves Chevallard, em 1999, associa o adjetivo didático ao substantivo estudo. Assim, a idéia do didático diz respeito, fundamentalmente, à idéia de tomar atitudes para aprender alguma coisa (saber) e conectar esses saberes para resolver os problemas cotidianos, escolares e científicos (saber-fazer). Para Chevallard (1999), o que distingue a atividade matemática das outras atividades humanas é que, diante de uma tarefa é preciso entendê-la para resolvê-la (a técnica) e articular os saberes adquiridos para justificá-la (a tecnologia). O como resolver a tarefa depende da linguagem e do desenvolvimento mental do mundo matemático de cada ser, que chamamos de saber, que é o motor gerador das resoluções das tarefas e do desenvolvimento do saber matemático. A palavra praxeologia é formada por dois termos gregos, práxis e logos, que significam, respectivamente, prática e razão. Chevallard (1999) lembra que uma prática ou técnica humana, no interior de uma instituição, está sempre acompanhada de um discurso mais ou menos desenvolvido, da tecnologia, ou seja, de um logos que a justifica, que a acompanha e que lhe dá razão. Existem, portanto, dois níveis diferentes, mas inseparáveis, que vão se construindo e se definindo em um processo dialético: práxis e logos estão intimamente relacionados e a articulação entre eles permite dar forma às praxeologias matemáticas. Para desenvolver o saber matemático é preciso estruturá-los em organizações matemáticas, também denominadas por Yves Chevallard de praxeologias matemáticas, por permitir modelar o conhecimento matemático como atividade humana. O conhecimento matemático é o produto oriundo de atividades com a intenção de resolver determinados tipos de questões ou tarefas que eram problemáticas para uma determinada comunidade, em um dado momento histórico. Para converter um tipo de tarefa inicialmente problemática em rotineira, Chevallard (1999) defende que devem ser elaboradas determinadas maneiras de fazer, ou técnicas, as quais tinham que ser inteligíveis, eficientes e justificadas para que pudessem existir.

7 Uma organização didática é uma organização do ensino, que tem como objetivo buscar recursos e estratégias para facilitar a compreensão dos temas apresentados para os estudantes. De um ponto de vista antropológico, o estudo, e com ele o ensino e a aprendizagem, são atividades que deveriam articular os conteúdos do currículo escolar para contribuir com a evolução social dos cidadãos. Por isso, para analisar os livros, os cadernos e as práticas docentes referentes ao tema regra de três, o pesquisador terá de dar conta de pelo menos duas tarefas: uma, verificar, descrever e analisar uma praxeologia matemática que se pode construir na própria matemática; outra, verificar, descrever e analisar uma praxeologia didática que pode ser utilizada para fazer a conexão do ensino entre as praxeologias matemáticas pontuais da regra de três e outros temas. 4. A metodologia Como este trabalho investiga se as conexões entre os saberes matemáticos estão presentes no ensino realizado pelo SOME-Abaetetuba, nós precisávamos de métodos que pudessem nos proporcionar os dados e as condições para analisá-los. Por isso, adotamos a pesquisa qualitativa porque nessa visão os objetos não são reduzidos a variáveis únicas, mas são estudados em sua complexidade e totalidade em seu contexto diário. Portanto, os campos de estudo não são situações artificiais em laboratório, mas práticas e interações dos sujeitos na vida cotidiana (Flick, 2004, p.21). E também a etnografia, porque nela a observação e a participação entrelaçam-se a outros procedimentos, já que o etnógrafo participa pública e secretamente da vida diária das pessoas por um período de tempo, observando o que acontece, escutando o que é dito, fazendo perguntas... Na verdade, coletando os dados que estejam disponíveis ou que possam ser disponibilizados para iluminar as questões com as quais ele se ocupa (Ibid, 2004, p. 159). Após definirmos os métodos para a coleta dos dados era necessário apresentar a instituição onde a pesquisa foi desenvolvida, seu funcionamento e como foi realizada e selecionada a escolha dos professores de matemática, nossos principais objetos de estudo. O SOME Sistema de Organização Modular de Ensino - é um projeto do Governo do Estado do Pará que teve início em 1980, com o objetivo de levar o Ensino Médio, por módulos, à zona rural dos municípios do Estado, nos quais ainda não era possível oferecer o ensino regular. Cada módulo é composto de 56 dias letivos (em média 10 semanas) e o professor de matemática do ensino fundamental trabalha 24 aulas por semana, enquanto o do regular, trabalha somente 6, isto é, cada semana de aula no ensino modular equivale a um mês de aula no ensino regular. Ressalta-se que o projeto está sujeito às mesmas normas educacionais do Estado que regem o ensino regular.

8 Em 2007 o SOME atendeu alunos, em 86 municípios, distribuídos em 345 localidades da zona rural, sendo alunos do Ensino Fundamental embora o projeto inicial fosse só para o Ensino Médio e por pressão política em alguns municípios como Abaetetuba, Bujaru, Concórdia do Pará e Cachoeira do Arari junto ao governo do Estado, o mesmo se estendeu para o Ensino Fundamental maior e alunos no Ensino Médio. (Secretaria do SOME). O SOME pólo Abaetetuba ou SOME-Abaetetuba teve início em 1996 e, é nessa instituição que obtivemos os nossos dados. Abaetetuba é um município localizado a 60 quilômetros de Belém-Pa, com uma população de habitantes (IBGE, 2007), distribuídos nas áreas urbana (sede) e rural (centros e 72 ilhas). Em 24 dessas ilhas é que o SOME atua, levando educação para alunos do Ensino Fundamental e 799 do Ensino Médio (dados da Secretaria do SOME-Abaetetuba), ou seja, são nessas localidades ribeirinhas que os professores do SOME desenvolvem seus trabalhos educacionais. Como foi a escolha dos professores de matemática do SOME-Abaetetuba, visto que para nossa pesquisa os critérios eram os seguintes: que estivessem trabalhando com a sexta série e que já tivessem trabalhado com outras séries do ensino básico. Procuramos a direção do SOME-Abaetetuba, explicamos a intenção do nosso trabalho de pesquisa, solicitamos autorização para realizá-lo e levantamos as informações sobre os professores. Obtivemos a autorização da direção e fomos informados que haviam oito professores que atendiam aos nossos critérios. Por morarmos em Abaetetuba e trabalharmos no SOME desde 2002, sabíamos quem eram os oito professores e entramos em contato com todos. O primeiro contato foi satisfatório e, ao explicarmos qual a intenção da nossa pesquisa, colocaram-se à nossa disposição, informando que entrariam em contato para informar em que momento iriam trabalhar o tema regra de três. Daí em diante fomos recebendo os convites e, organizados para a tarefa, nos deslocamos, passando uma semana em cada localidade com o professor pesquisado e sua equipe de trabalho. Dos oitos professores que atendiam aos nossos critérios foi possível realizarmos entrevistas com seis e a análise de cinco, pois um deles teve que retornar a sede e não ministrou as aulas. Durante a coleta dos dados, acompanhamos os trabalhos desenvolvidos pelos professores em sala de aula, focando as nossas observações para as suas organizações matemáticas e didáticas (re)construídas para o ensino da regra de três, a fim de verificar se havia uma intencionalidade destes em estabelecer uma conexão dela com outros temas. Após a coleta destes dados era preciso escolher um método para tratá-los. E a triangulação dos dados foi utilizada devido à possibilidade de uso de diferentes fontes (Denzin, 1989, apud Flick, 2004, p.237).

9 5. A triangulação Tendo como objetivo possibilitar as melhores condições para conhecer e avaliar o objeto em estudo, recorremos à triangulação por ela permitir combinar as diferentes fontes de dados como as entrevistas semi-estruturadas dos professores, os livros didáticos adotados, os cadernos dos alunos e as nossas observações das aulas. As conexões feitas pelo professor P3. Em busca de compreender o fazer docente do professor P3, perguntamos a ele se ensinava regra de três na sexta série e em que momento do curso fazia isso, recebendo como resposta: No meio do curso, porque na sexta série o meu objetivo é que o aluno aprenda equações do primeiro grau. Por isso, começo o curso com equações e ela vai chamando os números naturais, números inteiros, números racionais, razão, proporção e a regra de três. A resposta desse docente já sinaliza que a sua idéia de organização didática é de conectar os saberes da matemática escolar da sexta série a partir da equação do primeiro grau, o que é diferente do livro Tudo é Matemática (DANTE, PNLD 2005), adotado por ele, que sugere fazer a conexão da razão, proporção, regra de três e porcentagem a partir da proporcionalidade. Essa situação nos coloca diante de um conflito que deve ser resolvido pela prática do professor P3, isto é, pelo registro dos cadernos dos alunos. Analisando a prática do professor P3, através dos cadernos dos seus alunos, foi possível ver que ele fez uma organização didática entre equação, proporção e regra de três, sendo essa resolvida pela técnica descrita por Trajano, como veremos no registro do caderno do aluno a seguir.

10 A porcentagem em matemática financeira faz parte do fazer docente do professor P3 como mostra o registro dos cadernos dos alunos. Esse registro dos cadernos mostra que o saber-fazer da regra de três está presente no fazer do aluno ao resolver o problema de porcentagem, o que corrobora nossa interpretação de uma intencionalidade do professor P3 em estabelecer conexão entre os saberes matemáticos e, nesse caso entre a regra de três e a porcentagem. Comparando o livro didático com os cadernos dos alunos verificamos que o professor o tem como um dos recursos para a sua prática, pois ele aceita algumas das sugestões de tarefas apresentadas pelo livro, mas não as suas organizações didáticas, isto é, o professor trabalha os mesmos temas do livro, como equação do primeiro grau, proporção, regra de três e porcentagem, mas não dá a esses saberes o mesmo tratamento linear e seqüencial do livro. Ele utiliza os saberes matemáticos já tratados para resolver as tarefas de outros saberes que está se iniciando. Essa didática que o professor utiliza no seu fazer docente caracteriza, segundo Chavellard (1999), a conexão entre os saberes matemáticos. A triangulação desses dados evidenciou que o professor P3 tem a intencionalidade de fazer a conexão entre os saberes matemáticos da sexta série do ensino fundamental e mostrou a conexão feita por ele entre a regra de três e a porcentagem. 6. As considerações finais

11 Quanto à conexão entre a regra de três e outros temas, esta pesquisa nos revela que apenas um dos cinco professores pesquisados fez uso dos saberes matemáticos adquiridos para resolver as novas tarefas, isto é, os outros professores se detiveram a reproduzir o formalismo contido na apresentação seqüencial e linear dos livros didáticos, quando repetem em sala de aula as suas organizações matemáticas pontuais e isoladas. Quando os professores têm esse tipo de atitude, estão abrindo mão da sua competência didática e aceitando o livro como instrumento didático e determinante de todo o processo de ensino. Isso não é recomendável para o processo ensino/aprendizagem da matemática, já que acreditamos que o livro tem seus próprios limites por ser apenas um instrumento e não o objeto principal do trabalho pedagógico do professor de matemática. Por isso, o professor como coordenador do processo de ensino/aprendizagem não pode ter um, mas vários recursos didáticos. Segundo Pais (2006, p.52) quanto mais intensas forem à interatividade e a articulação entre estes, mais significativa será a aprendizagem do aluno. Assim, acreditamos que a estratégia de conexão entre os temas é uma forma de valorizar os saberes adquiridos dos alunos para que estes não tenham tanta dificuldade para acomodar os saberes novos, já que em matemática um tema sempre está associado à criação de outros temas. O pensamento de Devlin (2006) corrobora com essa estratégia quando afirma o nosso cérebro faz conexões para recordar dos fatos. E é difícil encontrarmos um tema puro ou totalmente isolado para trabalhar, pois até mesmo as noções fundamentais recorreram ao apoio da intuição, como foi o caso dos axiomas da matemática. Esta pesquisa mostra que ainda predomina no sistema escolar o ensino tradicional, que tem no livro didático a sua única fonte de referência para as organizações matemáticas e didáticas, que o professor tenta transmiti-las de forma lógica e sistemática aos seus alunos, tratando-as de forma pontual e isolada, causando fragmentações e dificultando a realização de conexões entre os temas, o que pode estar dificultando a compreensão dos temas do currículo escolar, pois segundo Chevallard (1999) a conexão dos conteúdos através das praxeologias de complexidade crescente possibilita a evolução intelectual dos alunos. Como atualmente o ensino modular não faz ou faz pouco uso desta estratégia de conexão dos temas, é possível entender a exclusão de alguns temas nas provas. Por isso, quando o professor anuncia o dia da prova, os alunos logo perguntam; o que é para estudar? E o professor seleciona alguns temas. Essa falta de conexão dos conteúdos parece estar contribuindo para tornar o trabalho dos professores, em especial os de matemática, sem uma aprendizagem significativa, pois os alunos apresentam dificuldade de relacionar conteúdos matemáticos entre si e com outras disciplinas. O resultado da nossa pesquisa, de alguma forma, foi confirmado em 2006, nos resultados do SAEB, na parte referente a matemática

12 7. Referências ÁVILA, G. Razões, proporções e regra de três. Revista do professor de matemática, - Rio de janeiro, n. 8, p 1-8, BERNAL, Márcia Maria. Estudo do objeto proporção: elementos de sua organização matemática como objeto a ensinar e como objeto ensinado. Florianópolis, Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica) Programa de Pós-Graduação em Educação Científica e Tecnológica, UFSC, CHEVALLARD, Y. El análisis de lãs práticas docentes em La teoria antropológica de lo didático. Recherches em Didactique dês mathématiques, vol 19, no. 2, pp , CHEVALLARD, Y., BOSH, M. e GASCÓN, J. Estudar Matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. - Porto Alegre: Artmed Editora, DANTE, L. R. Tudo é matemática. - São Paulo : Ática, 2002 (PNLD, 2005). DEVLIN, Keith J. O gene da matemática; tradução de Sergio Moraes Rego. 3ª. ed. Rio de janeiro: Record, FLICK, U. Uma introdução à pesquisa qualitativa. - Porto alegre : Bookman, GARCÍA, et. al. (2006). Matemática modelling as a tool for the connection of school mathematics. Analyses ZDM 2006 Vol. 38 (3) LIMA, E. L. Que são grandezas proporcionais? Revista do Professor de matemática, rio de janeiro, n. 9, p , PAIS, Luiz Carlos. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte : Autêntica, Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos de matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, TRAJANO, A. Arithmetica progressiva. Curso completo theorico e pratico de arithemetica superior. 62. Ed. Rio de Janeiro; Livraria Francisco Alves, 1927.