BUSCA LOCAL MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO DO SERVIÇO EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA

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1 BUSCA LOCAL MULTIOBJETIVO PARA O PROBLEMA DE RESTAURAÇÃO DO SERVIÇO EM REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Vinícius Jacques Garcia 1, Paulo Morelato França Departamento de Engenharia de Sistemas DENSIS Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação FEEC Universidade Estadual de Campinas UNICAMP 1 : jacques@densis.fee.unicamp.br Resumo Redes de distribuição de energia elétrica são afetadas por contingências que causam a interrupção no fornecimento de energia em certas regiões. Diante da necessidade de manter certos padrões de qualidade do serviço estipulados pela agência reguladora, e pelo prejuízo financeiro causado pela redução do consumo, torna-se imperativo a adoção de procedimentos para restabelecer o fornecimento de energia aos consumidores afetados. O principal objetivo do problema de restauração do serviço é minimizar a carga sem fornecimento através da transferência para alimentadores de suporte. Devem ser preservadas as condições mínimas de operação como radialidade da rede, limites dos equipamentos e limites de quedas de tensão. Este trabalho propõe uma busca local para resolver o problema de restauração do serviço multiobjetivo, considerando a minimização da carga sem fornecimento e do número de chaves manipuladas. Para verificar a eficiência do algoritmo proposto foram utilizadas três redes de distribuição, sendo uma delas oriunda de um sistema de distribuição de uma cidade brasileira. Os resultados indicam que o algoritmo foi capaz de alcançar boas soluções não-dominadas e bem distribuídas sobre a fronteira Pareto obtida. Palavras-chave: operação de sistemas de potência, sistemas de distribuição, restauração do serviço, otimização multiobjetivo, heurísticas, busca local. Abstract Contingency situations may cause interruption of power supply in certain regions of the power distribution networ. Given the importance of the maintenance of quality limits in the power delivery and the financial loss for utility companies caused by the lac of power consumption, efforts must be made to reduce or even eliminate those regions without power supply. The main objective of the service restoration is to minimize the load not supplied by transferring them to support feeders. Minimal operational conditions should be maintained, such as a radial networ configuration, and equipment and voltage drop limits. This paper presents a new local search to solve the multiobjective service restoration problem considering the minimization of the load not supplied and of the number of switching operations involved. Computational results are presented for three power networs, one of them referring to an actual Brazilian distribution system. They prove that the algorithm is able to reach good and well-distributed non-dominated solutions over the Pareto front obtained. Keywords: power system operation, distribution systems, service restoration, multiobjective optimization, heuristics, local search. 1 Introdução Situações de contingência ocorrem com certa freqüência e causam ausência de fornecimento de energia elétrica em certas regiões das redes de distribuição. Além do prejuízo financeiro pela redução do consumo há também o impacto nos índices que medem a qualidade do serviço de distribuição segundo dois critérios intimamente relacionados com a satisfação do consumidor: a freqüência e a duração da interrupção do fornecimento de energia elétrica. Procedimentos de restauração do serviço

2 podem reduzir substancialmente a duração da interrupção, com a correta exploração das características da rede de distribuição. O problema de restauração do serviço (PRS) em redes de distribuição de energia elétrica procura minimizar a carga sem fornecimento transferindo-a para alimentadores de suporte adjacentes à região afetada, sempre respeitando todas as condições de operação e restrições elétricas. Outro fator de grande relevância é o tempo de resposta: uma alternativa para o restabelecimento deve ser proposta no menor tempo possível. Conforme apresenta Curcic et al. [5], vários trabalhos têm abordado o PRS desde o final dos anos 80. Os primeiros procuravam incluir o conhecimento dos operadores, com heurísticas que mantém grande correspondência com as regras e procedimentos utilizados nos centros de operações das companhias de distribuição. Morelato e Monticelli [13] e Liu et al. [10] propuseram abordagens como estas, baseadas em heurísticas e sistemas especialistas. Na década de 90 técnicas heurísticas continuaram bastante utilizadas para resolver o PRS [17]. Toune et al. [19] desenvolveram um estudo comparativo entre três diferentes metaheurísticas (algoritmos genéticos, Simulated Annealing e Busca Tabu) que resolvem o PRS e consideram o balanceamento de carga e os níveis de tensão em uma única função objetivo. Recentemente percebe-se certa preocupação com o aspecto multiobjetivo do problema, com abordagens que utilizam lógica nebulosa [8] ou a combinação desta com algoritmos genéticos [2] para resolver o PRS. Lee et al. [9] utilizaram uma metodologia multiobjetivo baseada em regras de decisão fuzzy, incorporando vários critérios de grande relevância prática como carga restaurada, número de chaves utilizadas, balanceamento de carga entre os alimentadores, níveis de tensão e perdas resistivas. Miu et al. [12] propuseram uma heurística multiobjetivo baseada em certos índices que relacionam a capacidade de reserva, a distância elétrica e a capacidade de transferência das chaves da rede, permitindo a classificação das mesmas para subsidiar as escolhas da busca. Os critérios considerados incluem a maximização da restauração de cargas prioritárias, da carga total restaurada e a minimização do número de chaves utilizadas. Mais tarde Matos e Melo [11] desenvolveram uma versão multiobjetivo da metaheurística Simulated Annealing para resolver o PRS, considerando como critérios a minimização do número de chaveamentos e a maximização da carga restaurada. Outra abordagem multiobjetivo foi proposta por Augugliaro et al. [2], combinando lógica fuzzy e algoritmos genéticos para resolver o PRS com dois critérios: maximização da carga restaurada e minimização das perdas resistivas. Ciric e Popovic [4] desenvolveram uma metodologia que combina busca heurística com programação inteira mista para resolver o PRS com uma única função objetivo que agrega quatro critérios independentes: número de chaves utilizadas, capacidade de reserva dos alimentadores, limites de tensão e perdas resistivas. Neste trabalho é proposta uma nova vizinhança multiobjetivo com a respectiva busca local associada para resolver o PRS em redes radiais. São considerados dois critérios de otimização: a maximização da carga restaurada e a minimização das chaves utilizadas. As seções a seguir incluem a definição do PRS (seção 2), a descrição da busca local proposta (seção 3), os resultados computacionais (seção 4) e as conclusões (seção 5). 2 Definição do problema Uma rede de distribuição de energia elétrica pode estar em três diferentes estados [15]: estado normal, estado de emergência e estado de restauração. No primeiro todas as cargas são atendidas quanto ao fornecimento de energia e os níveis de tensão e corrente estão dentro dos limites aceitáveis. O estado de emergência, por sua vez, é caracterizado pela ativação dos dispositivos de proteção da rede, o que causa ausência de fornecimento de energia em certas regiões. No estado de restauração busca-se restabelecer o fornecimento destas regiões afetadas através da transferência de carga para alimentadores de suporte. O problema de restauração do serviço (PRS) ocorre quando a rede passa do estado normal para o estado de emergência. Seu objetivo é restabelecer o fornecimento de energia aos consumidores 1090

3 afetados sem deixar de observar as restrições de operação da rede como limites de corrente das linhas, de tensão nas cargas e de capacidade das subestações, além, é claro, de manter uma rede radial (grafo acíclico) [1]. Como as alterações na rede propostas pelo PRS serão transitórias, somente serão mantidas até que o defeito seja eliminado, é desejável que as manipulações sejam mínimas para facilitar o retorno para o estado normal. Dessa forma, torna-se bastante oportuno tratar o PRS como um problema de otimização multiobjetivo, buscando-se minimizar a carga sem fornecimento e o número de chaves manipuladas com uma solução de compromisso entre estes dois critérios. Outros aspectos como perdas resistivas e balanceamento de carga poderiam ser incluídos como critérios do PRS, no entanto, dado a situação de emergência, podem ser mais bem tratados quando a rede estiver no estado normal. No modelo matemático apresentado a seguir, baseado no trabalho de Ciric e Popovic [4], é definido um PRS para minimizar a carga sem fornecimento e o número de chaves manipuladas, considerando como restrições os limites de corrente nas linhas, de tensão nas cargas e de capacidade das subestações, e a manutenção de uma rede com estrutura radial. Para evitar fluxos negativos nas arestas da rede, criou-se dois arcos para cada uma de forma a descrever fluxo nos dois sentidos, sendo o segundo pertencente ao conjunto dos arcos imaginários. Na Tabela 1 são apresentados os conjuntos, índices e variáveis do modelo matemático proposto. Min CF Min ( 1 ) (1) p CP CF Z P ( 1 X ) + (1 X ) + Y + Y (2) CA CA Sujeito a: Restrições de capacidade dos alimentadores: P G, ( q = 1,2, K, N ) (3) F q q Restrições de conservação de fluxo: ( P + P ) ( P + P ) = L Z, ( i = 1,2, K, N) (4) T i F i Restrições de limites de fluxo nas linhas: P IL X 0, ( = 1,2, K, M ) (5) P IL X 0, ( = 1,2, K, M ) (6) P ILY 0, ( = 1,2, K, M ) (7) P ILY 0, ( = 1,2, K, M ) (8) Restrições de limites de quedas de tensão nos nós: V L Z R V, ( = 1,2, K, N) (9) min max Restrições de radialidade da rede: ( X + X + Y + Y ) 1, ( = 1,2, K, N) (10) T i Restrições para que seja utilizado apenas um arco entre dois nós: ( X + X ) 1, ( = 1,2, K, M ) (11) ( Y + Y ) 1, ( = 1,2, K, M ) (12) i i s 1091

4 Tabela 1 : Conjuntos, índices e variáveis do modelo matemático. Grafo da rede N Conjunto de nós da rede M Conjunto de arcos da rede Variáveis P Fluxo de potência no arco P Fluxo de potência no arco imaginário Z p Indica se o nó p está atendido (Z p = 1) ou não (Z p = 0) X Indica se a chave normalmente fechada do arco está fechada (X = 1) ou aberta (X = 0) após a restauração do serviço. X Indica se a chave normalmente fechada do arco imaginário está fechada (X = 1) ou aberta (X = 0) após a restauração do serviço. Y Indica se a chave normalmente aberta do arco está fechada (Y = 1) ou aberta (Y = 0) após a restauração do serviço. Y Indica se a chave normalmente aberta do arco imaginário está fechada (Y = 1) ou aberta (Y = 0) após a restauração do serviço. Referente aos nós N s Conjunto de nós fonte CP Conjunto de nós consumidores L p Demanda do nó p R p Impedância do nó p G p Potência disponível no nó p Referente aos arcos F i Conjunto de todos os arcos cujos nós iniciais são o nó i T i Conjunto de todos os arcos cujos nós terminais são o nó i IL Limite de fluxo de potência no arco IL Limite de fluxo de potência no arco imaginário Referente às chaves CF Conjunto de todas as chaves normalmente fechadas CA Conjunto de todas as chaves normalmente abertas Outros V max Tensão máxima aceitável Tensão mínima aceitável V min Neste modelo multiobjetivo é considerada a minimização da carga sem fornecimento (eq. 1) e do número de chaves manipuladas (eq. 2). As variáveis de decisão do problema correspondem aos fluxos nos arcos (P e P ), à carga restaurada (Z p ) e aos estados das chaves disponíveis (X, X, Y e Y ). As restrições descritas pela equação 3 exigem que a capacidade dos alimentadores não seja ultrapassada. Caso isso não ocorra, a solução proposta poderá causar o acionamento dos dispositivos de proteção da rede, levando outras regiões a perderem o fornecimento de energia elétrica. A conservação de fluxo é garantida pelas restrições descritas na equação 4, exigindo que todo fluxo nos arcos deve ser obrigatoriamente consumido pelos nós. As equações 5, 6, 7 e 8 obrigam que as capacidades dos condutores sejam respeitadas. Outro requisito refere-se aos níveis de tensão, há um limite de tolerância usualmente definido por um limitante superior (V max ) e um limitante inferior (V min ). A equação 9 garante que os níveis de tensão de todos os nós estejam dentro desta faixa estabelecida. A radialidade da rede, ausência de ciclos, é garantida pelas restrições definidas na equação 10. Finalmente as equações 11 e 12 garantem um único sentido de fluxo para cada aresta da rede. Isto se deve a criação dos arcos imaginários para a descrição do fluxo em ambos os sentidos, mas que devem ser mutuamente excludentes na solução proposta. 1092

5 3 Busca local multiobjetivo Neste artigo é proposta uma nova vizinhança multiobjetivo com a respectiva busca local associada para o PRS em redes radiais de distribuição de energia elétrica. A partir de um conjunto inicial de soluções não-dominadas, busca-se aproximá-las da fronteira ideal de Pareto [16] através de alterações topológicas na estrutura das soluções. Problemas de otimização multiobjetivo envolvem a minimização (ou maximização) simultânea de um conjunto de objetivos conflitantes, sempre respeitando um determinado conjunto de restrições definidas. O critério de otimização baseia-se na relação de dominância definida da seguinte forma: uma solução z domina z se z j z j para todos os j objetivos considerados. Quando uma solução não é dominada por nenhuma outra ela é definida como não-dominada. O conjunto de todas as soluções não-dominadas é conhecido como conjunto de Pareto, conjunto de soluções eficientes ou fronteira ideal de Pareto. Para resolver o PRS, faz-se necessário assumir algumas premissas acerca das condições inicias do problema: 1) o sistema de distribuição corresponderá a uma rede radial, tanto antes quanto depois do defeito que ocasionou a ausência de fornecimento; 2) o estado da rede antes do defeito; e 3) o defeito já foi devidamente isolado, o que significa que todos os elementos defeituosos (chaves, trechos, blocos de carga, etc.) foram removidos da rede. Um requisito desse problema é que a rede de distribuição apresente algum defeito que ocasione a interrupção do fornecimento de energia em certas regiões. A rede resultante após o isolamento do defeito corresponderá a instância para o PRS, sem deixar de incluir o estado das chaves antes deste evento. Isso será de grande importância para avaliar a mínima modificação sugerida por uma solução. Considerando uma representação da rede de distribuição como um grafo [1], neste caso haverá uma região na qual não houve interrupção no fornecimento, chamada de área clara, e outra com o fornecimento interrompido, chamada de área escura. Logo, uma instância para o PRS corresponderá a uma floresta com uma árvore para a área clara e ao menos uma outra para a área escura. Os nós pertencentes à área clara que apresentam ao menos uma chave aberta interligando-os a alguma área escura são chamados de nós-fonte. BuscaLocalMultiobjetivo ( MAX iter, N sol, CP ) 1. CP m = CP; it = 0; 2. Enquanto it < MAX iter faça 3. Se CP m > N sol então 4. CP r = Reduz( CP m, N sol ); 5. Senão CP r = CP m ; 6. CP n = { }; 7. Para cada s i CP r faça 8. GeraVizinhança( s i, CP n ); 9. Atualiza( CP m, CP n ); 10. it = it + 1; 11. Retorna( CP m ); Figura 1 : Busca local multiobjetivo. A vizinhança desenvolvida procura trocar o nó-fonte de cada nó da área escura de tal modo que novas soluções possam ser geradas através da correta alteração da estrutura topológica da rede. Como é necessário manter uma árvore, qualquer alteração não pode ocasionar redes com ciclos. Para tanto foram desenvolvidos procedimentos específicos que, a partir de um nó da área escura, do seu respectivo nó-fonte atual e do novo nó-fonte, geram uma nova árvore. Além disso, é necessário considerar as restrições elétricas como quedas de tensão, corrente nos condutores e capacidade das subestações. Para verificar a factibilidade da nova solução proposta com relação a estas restrições é utilizado um método de fluxo de carga aproximado desenvolvido por Baran e Wu [3], conhecido como bacward-forward sweep power flow method. 1093

6 O algoritmo em pseudo-código da busca local desenvolvida é apresentado na Figura 1. Os parâmetros incluem o número de iterações da busca (MAX iter ), o número de soluções para as quais serão geradas as vizinhanças a cada iteração (N sol ) e o conjunto inicial de soluções não-dominadas (CP). No primeiro passo são inicializados o conjunto de soluções não-dominadas obtido pela busca local (CP m ) e o contador de iterações (it). A seguir, no laço entre os passos 2 e 10, procede-se com a redução do conjunto CP m caso o mesmo tenha cardinalidade maior que N sol, o que determinará o número de vizinhanças geradas a cada iteração. Para esta redução é utilizado o algoritmo de clustering definido por Morse [14] com o objetivo de obter soluções bem distribuídas na fronteira aproximada de Pareto. Nos passos 7 e 8 são geradas as vizinhanças para cada uma das N sol soluções do conjunto CP r, armazenando as soluções não-dominadas em CP n. Vale lembrar que este conjunto armazenará as soluções não-dominadas da iteração atual, as quais servirão para atualizar o conjunto com todas as soluções não-dominadas da busca (CP m ) no passo 9. No passo 10 é incrementado o contador de iterações e finalmente no passo 11 é retornado o conjunto com as soluções não-dominadas encontradas pela busca. As seções a seguir descrevem a representação da solução e o mecanismo para geração da vizinhança desenvolvido (passo 8 do algoritmo da Figura 1). 3.1 Representação da solução Uma das formas mais usuais de representar uma configuração para uma rede de distribuição é através do estado das chaves. Um vetor contendo os estados de todas as chaves pode ser usado para tal propósito: [ x 1, x 2,..., x n ], onde x i =1 se a chave i está fechada e x i = 0 se está aberta. Esta forma de representação foi adotada nos trabalhos de Morelato e Monticelli [13] e Hsu and Kuo [7], no entanto a grande dificuldade refere-se a manutenção de soluções factíveis quando o espaço de busca de 2 n combinações é considerado. (a) (b) Figura 2 : Rede de distribuição (a) e sua respectiva representação (b). A representação proposta neste artigo utiliza uma floresta para representar uma rede radial de distribuição de energia elétrica. Os nós do grafo são considerados como as barras de carga da rede, enquanto os arcos representam as chaves e trechos. Entretanto, ao invés de considerar o espaço de busca das chaves, a busca local considera o espaço de busca dos setores, definidos como regiões da rede nas quais a configuração permanece inalterada devido à ausência de chaves. Dessa forma proporciona-se um melhor desempenho do algoritmo pela utilização de um espaço de busca reduzido, dado que, nas redes brasileiras, geralmente se tem um espaço de busca dos setores bem menor que o espaço de busca das chaves. Na Figura 2.a e Figura 2.b são apresentadas uma rede e a sua respectiva representação, que inclui cinco listas: lista P(i) para informar o nó sucessor do nó i quando o grafo é percorrido em pré-ordem [1]; lista V(i) para indicar o nó predecessor do nó i; lista N(i) para indicar a profundidade no nó i; e lista A(i) para informar o número da árvore do nó i. Outra lista R(a) é utilizada para armazenar o número de árvores e seus respectivos nós iniciais. Convencionou-se que a árvore 1 será tomada como a área clara da rede, e as demais árvores corresponderão às áreas escuras. 1094

7 Foi desenvolvida uma estrutura especial para armazenar os setores de modo a facilitar a identificação dos mesmos pelos algoritmos desenvolvidos. Eles são tratados como árvores independentes, adequadamente manipuladas pelos algoritmos de construção da solução de modo a favorecer a eficiência computacional. Logo se evita busca desnecessária pelos arcos que não fazem parte do setor no momento da inclusão de um deles na área clara. Tal estrutura é apresentada na Figura 3, onde é mantida uma lista S(i) para indicar o setor de cada nó da rede. Com a informação do setor, busca-se a lista de adjacência correspondente, bastando apenas percorrê-la para determinar todos os arcos do mesmo. O exemplo desta figura é baseado na rede da Figura 2.a, considerando os arcos 1-5, 7, 8 e 11 como trechos de rede sem chave. Com isso formam-se três setores: S 1 com os nós 1-6, S 2 com os nós 7-9 e S 3 com os nós 10 e 11. Figura 3 : Estrutura para armazenar os setores da rede de distribuição. 3.2 Vizinhança para o PRS Dado o conjunto inicial de soluções não-dominadas, a busca local desenvolvida e apresentada na Figura 1 gera novas soluções através de perturbações sistemáticas em um subconjunto de soluções. Nesta seção será descrito com detalhes o mecanismo de geração dessas soluções vizinhas, incluso no passo 8 da Figura 1. Primeiramente deve ser dito que o algoritmo proposto considera apenas mudanças no estado das chaves que pertencem à área escura ou à fronteira entre esta e a área clara. Portanto não são consideradas alterações na configuração da rede na área clara, visto que, do ponto de vista do problema prático, tal abordagem não é muito adequada para uma situação de emergência e de alto risco. Sendo assim, considerando a representação em grafos apresentada na seção anterior, o problema restringe-se a conectar os nós da área escura através da busca de caminhos até um ponto da área clara. O movimento que define a vizinhança desenvolvida é a troca de nó-fonte de um setor da área escura, que, embora muito simples de entender, apresenta certa complexidade pelas restrições e pelo problema multiobjetivo. Dado uma solução, o conjunto de suas soluções vizinhas será formado por todas as soluções que forem obtidas com a alteração de nó-fonte de cada um dos setores da área escura. No entanto, para cada alteração ainda resta escolher qual o caminho que será utilizado. Para um melhor entendimento, considere a rede da Figura 2.a e os arcos 6, 9, 10 e 12 como sendo as únicas chaves. Com isso obtém-se três setores, um correspondendo à área clara e os outros dois às áreas escuras: setor 1 (área clara), com os nós 1-6; setor 2 (área escura), com os nós 7-9; e setor 3 (área escura), com os nós 10 e 11. Dado uma solução com todas as chaves abertas, as respectivas soluções vizinhas são apresentadas na Tabela 2, cada linha corresponde a uma solução (1 a coluna) gerada pela alteração de nó-fonte de um setor (2 a coluna) através de um caminho (4 a coluna) entre este setor e o nó-fonte destino (3 a coluna). De modo a facilitar a busca por novos caminhos, são armazenados em uma lista todos os caminhos entre um setor e os nós-fonte disponíveis. Considerando o exemplo da Tabela 2, para o setor 2 serão armazenados três caminhos: 7-4, e Com isso é possível saber quantos caminhos existem entre um determinado setor e um determinado nó-fonte sem a necessidade de percorrer o grafo novamente. 1095

8 Tabela 2 : Soluções vizinhas para a rede da Figura 2.a. Solução Setor Nó-fonte Caminho Na Figura 4 é apresentado o algoritmo responsável pela geração das soluções vizinhas. Conforme ilustrado na Tabela 2, o procedimento resume-se a encontrar todos os setores da área escura e realizar a troca dos nós-fonte de cada um deles através dos caminhos armazenados. No laço entre os passos 1 e 7 cada um destes setores é escolhido para ter seu nó-fonte atual alterado. A seguir, no laço entre os passos 3 e 7, é feita a escolha do caminho que será utilizado para a interligação, sendo que o nó-fonte incluído no caminho c deve ser diferente do nó-fonte atual. No passo 3 a solução s i é copiada para s, seguido da desconexão do setor t j do nó-fone atual (passo 4). O próximo passo se refere à conexão deste setor t j ao novo nó-fonte através do caminho c. Caso a solução seja factível quanto as restrições do PRS (passo 6), a mesma concorre a uma posição no conjunto aproximado de Pareto da iteração atual (CP n ). Por fim é retornado este conjunto com todas as soluções não-dominadas obtidas. GeraVizinhança ( s i, CP n ) 1. Para cada setor t j da área escura de s i faça 2. Para cada caminho c de t j até um nó-fonte faça 3. s = s i ; 4. Desconecta( t j, nó-fonte atual, s ); 5. Conecta( t j, c, s ); 6. Se s é factível faça 7. Atualiza( CP n, s ); 8. Retorna(CP n ) Figura 4 : Algoritmo para geração da vizinhança de uma solução para o PRS. Para ilustrar o funcionamento do algoritmo da figura anterior, apresenta-se na Figura 5 uma solução s i, baseada na rede apresentada na Figura 2, com as respectivas soluções parciais obtidas quando da geração de uma solução vizinha. A Figura 5.a corresponde a solução s i para a qual se quer alterar o nó-fonte do setor que inclui os nós 7-9. O primeiro passo é desconectar este setor do nó-fonte atual (nó 4), conforme ilustra a Figura 5.b. A seguir este setor é conectado ao novo nó-fonte através do caminho escolhido, neste caso , conforme ilustra a Figura 5.c. Percebe-se que, com a escolha deste caminho, o setor que inclui os nós 10 e 11 também foi adicionado à área clara, o que possibilita que tais movimentos alterem significativamente a estrutura topológica de uma dada solução. (a) (b) (c) Figura 5 : Procedimento para gerar uma solução vizinha. 1096

9 4 Resultados computacionais Para verificar a eficiência do algoritmo desenvolvido foram utilizadas três redes de distribuição, com as respectivas informações dadas pela Tabela 3. A primeira delas é oriunda do trabalho de Baran e Wu [3], a segunda foi proposta por Augugliaro et al. [2] e a terceira corresponde a uma rede real de uma cidade brasileira. Os algoritmos foram escritos usando a linguagem de programação C++ e executados em um computador padrão IBM-PC, processador Pentium GHz, 1GB RAM e sistema operacional Linux 2.6. Tabela 3 : Redes de distribuição utilizadas nos testes. Rede N o subestações N o nós N o setores N o arcos N o chaves Carga total (W) Carga área escura (W) Como já foi dito na seção 3, é necessário um conjunto inicial de soluções não-dominadas. O algoritmo utilizado para criar tal conjunto está descrito no trabalho de Garcia e França [6], trata-se de um procedimento construtivo muito semelhante aos algoritmos de árvore geradora, no entanto as escolhas dos nós são feitas de forma aleatória de modo a proporcionar boa diversidade entre as soluções encontradas. Além disso, como não se tem algoritmos semelhantes para comparação, desenvolveu-se um método de enumeração aleatória para gerar todas as soluções possíveis para o PRS considerado: gera-se arranjos aleatórios com cardinalidade também aleatória, cada um correspondendo aos setores da área escura que deverão ser interligados à área clara associados aos respectivos caminhos. Após várias horas de execução foi obtida a melhor fronteira de Pareto para cada uma das três redes apresentadas. O algoritmo de busca local desenvolvido neste trabalho apresenta três parâmetros: o número de iterações, o número de vizinhanças geradas a cada iteração e o conjunto inicial de soluções nãodominadas. Para gerar este conjunto foi utilizado o algoritmo desenvolvido por Garcia e França [6]. Para os outros dois parâmetros foram determinados diversos valores, com o objetivo de avaliar a influência de cada um na qualidade da fronteira de Pareto obtida. A Tabela 4 apresenta estes valores, o tempo computacional e a fronteira obtida para cada combinação, sendo que cada uma foi repetida 10 vezes. O valor de cada solução é representado por um par (x,y), onde x indica a carga não restaurada e y o número de chaves manipuladas. Para as duas primeiras redes não houve diferença quando são comparadas as fronteiras obtidas com cada combinação entre número de iterações e o número de vizinhanças por iteração. No entanto, é possível notar que o algoritmo conseguiu aproximar a fronteira inicial da fronteira ideal, tanto para a rede 1 como para a rede 2, conforme ilustra a Figura 6 e a Figura 7. Nelas são apresentadas a fronteira inicial (front.inicial), a fronteira obtida executando-se o algoritmo com 150 iterações e 2 vizinhanças geradas por iteração (It=150, N viz =2), a fronteira obtida executando-se o algoritmo com 150 iterações e 4 vizinhanças geradas por iteração (It=150, N viz =4) e a melhor fronteira encontrada pelo método de enumeração aleatória (front.ideal). Os resultados obtidos para a rede 3, na Tabela 4 e Figura 8, evidenciam a influência dos parâmetros na qualidade do conjunto de soluções não-dominadas encontrado. De um modo geral, o algoritmo proporcionou melhores resultados para o maior número de iterações e maior número de vizinhanças exploradas por iteração. Analisando-se a Figura 6, a Figura 7 e a Figura 8 é possível concluir que o algoritmo conseguiu fornecer todas as soluções que o método de enumeração aleatória obteve, além da boa distribuição das 1097

10 soluções sobre a fronteira aproximada de Pareto. Além disso, algumas das soluções pertencentes à melhor fronteira obtida somente foram alcançadas com o método proposto. Tabela 4 : Resultados dos testes com as três redes de distribuição. Rede 1 Rede 2 Rede 3 Fronteira inicial (1070,0) (1010,1) (950,2) (890,3) (770,4) (630,5) (570,6) (470,7) (420,8) (360,9) (150,10) N o iterações N o Tempo viz/it (s) Fronteira obtida ,03 (1070,0) (1010,1) (950,2) (830,3) (770,4) (590,5) (530,6) (470,7) (350,8) (150,10) ,05 (1070,0) (1010,1) (950,2) (830,3) (770,4) (590,5) (530,6) (470,7) (350,8) (150,10) ,06 (1070,0) (1010,1) (950,2) (830,3) (770,4) (590,5) (530,6) (470,7) (350,8) (150,10) ,04 (1070,0) (1010,1) (950,2) (830,3) (770,4) (590,5) (530,6) (470,7) (350,8) (150,10) ,05 (1070,0) (1010,1) (950,2) (830,3) (770,4) (590,5) (530,6) (470,7) (350,8) (150,10) ,06 (1070,0) (1010,1) (950,2) (830,3) (770,4) (590,5) (530,6) (470,7) (350,8) (150,10) Fronteira inicial (3814,0) (2765,2) (2676,3) (1627,4) (734,6) N o N o iterações viz/it Tempo (s) Fronteira obtida ,07 (3814,0) (2765,2) (2299,3) (1250,4) (357,6) ,11 (3814,0) (2765,2) (2299,3) (1250,4) (357,6) ,14 (3814,0) (2765,2) (2299,3) (1250,4) (357,6) ,07 (3814,0) (2765,2) (2299,3) (1250,4) (357,6) ,10 (3814,0) (2765,2) (2299,3) (1250,4) (357,6) ,14 (3814,0) (2765,2) (2299,3) (1250,4) (357,6) Fronteira inicial (3343,0) (2825,2) (2222,3) (1704,4) (1431,6) (1327,7) (809,8) (728,9) (0,10) N o iterações N o Tempo (s) viz/it Fronteira obtida ,32 (3343,0) (2825,2) (2222,3) (1704,4) (1431,5) (1169,6) (1042,7) (543,8) (281,9) (0,10) ,87 (3343,0) (2374,2) (2222,3) (1704,4) (1253,5) (735,6) (462,7) (200,8) (0,10) ,52 (3343,0) (2374,2) (2222,3) (1704,4) (1253,5) (735,6) (462,7) (200,8) (0,10) ,35 (3343,0) (2825,2) (2222,3) (1704,4) (976,5) (587,7) (88,8) (0,10) ,92 (3343,0) (2367,1) (1849,3) (1246,4) (728,5) (711,6) (193,7) (0,8) ,53 (3343,0) (2344,2) (1368,3) (518,5) (0,6) 5 Conclusões Este artigo apresenta uma nova busca local multiobjetivo para o problema de restauração do serviço em redes de distribuição de energia elétrica. Foi desenvolvido um modelo matemático que considera a minimização da carga não-restaurada e do número de chaves manipuladas, com restrições referentes aos limites de capacidade das subestações, dos condutores e de tensões nos nós, além da radialidade da solução proposta. Foi detalhado o algoritmo proposto com exemplos e pseudo-códigos, evidenciando as particularidades e as escolhas feitas no desenvolvimento do método. Com os testes computacionais foi possível verificar a eficiência do método desenvolvido quanto à capacidade em obter soluções não-dominadas muito próximas das soluções Pareto-ótimas. A boa distribuição das soluções sobre a fronteira encontrada também foi um aspecto muito positivo nos experimentos realizados. O tempo computacional se mostrou bastante satisfatório, dado o tamanho das instâncias e a complexidade envolvida para resolver um problema prático tão próximo do cotidiano das empresas de distribuição de energia elétrica. Os trabalhos futuros incluem o desenvolvimento de uma Busca Tabu para incorporar maior conhecimento acerca dos movimentos realizados e das regiões do espaço de busca já exploradas. 1098

11 Figura 6 : Fronteiras de Pareto obtidas para a Rede 1. Figura 7 : Fronteiras de Pareto obtidas para a Rede 2. Figura 8 : Fronteiras de Pareto obtidas para a Rede

12 Agradecimentos Os autores são muito gratos à FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) e ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pelo apoio financeiro. Referências bibliográficas [1] Ahuja, R.K., Magnanti, T.L., Orlin, J.B., Networ Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, [2] Augugliaro, A., Dusonchet, L., Riva-Sanseverino, E., Evolving non-dominated solutions in multiobjective service restoration for automated distribution networs, Electric Power Systems Research, vol. 59, pp , [3] Baran, M.E., Wu, F.F., Networ Reconfiguration in Distribution Systems for Loss Reduction and Load Balancing, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 4, no. 2, pp , [4] Ciric, R.M., Popovic, D.S., Multi-objective distribution networ restoration using heuristic approach and mix interger programming method, Electrical Power and Energy Systems, vol. 22, pp , [5] Curcic, S., Ozveren, C.S., Crowe, L., Lo, P.K.L., Electric power distribution networ restoration: a survey of papers and a review of the restoration problem, Electric Power Systems Reserarch, vol. 35, pp , [6] Garcia, V.J., França, P.M., Abordagem multicritério para resolução do problema de restauração do serviço em redes de distribuição de energia elétrica, Anais do XV Congresso Brasileiro de Automática, Gramado, 6 pags., [7] Hsu, Y.Y., Kuo, H.C., A heuristic based fuzzy reasoning approach for distribution system service restoration, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 9, no. 2, pp , [8] Huang, C-M., Multiobjective service restoration of distribution systems using fuzzy cause-effect networs, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 18, no. 2, pp , [9] Lee, S.-J., Lim, S.-I., Ahn, B.-S., Service Restoration of Primary Distribution Systems Based on Fuzzy Evaluation of Multi-Criteria, IEEE Transactions on Power Systems, vol. 13, no. 3, pp , [10] Liu, C.C., Lee, S.J., Venata, S.S., An expert system operational aid for restoration on loss reduction of distribution systems, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 2, no. 2, pp , [11] Matos, M.A., Melo, P., Multiobjective Reconfiguration for Loss Reduction and Service Restoration Using Simulated Annealing, Proceedings of IEEE Budapest Power Tech99, [12] Miu, K.N., Chiang, H.-D., Yuan, B., Darling, G., Fast service restoration for large-scale distribution systems with priority customers and constraints, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 13, no. 3, pp , [13] Morelato, A.L., Monticelli, A., Heuristic search approach to distribution system restoration, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 4, pp , [14] Morse, J.N., Reducing the size of the nondominated set: Pruning by clustering, Computers and Operations Research, vol. 7, no. 1, pp , [15] Murphy, L., Wu, F., A comprehensive analysis of distribution automation systems, University of California, Bereley, [16] Pareto, V., Cours D Economie Politique, Lausane: F. Rouge, [17] Shirmohammadi, D., Service restoration in distribution networs via networ reconfiguration, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 7, no. 2, pp , [18] Steuer, R.E., Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Application, New Yor: Wiley, [19] Toune, S., Fudo, H., Genji, T., Fuuyama, Y., Naanishi, Y., Comparative Study of Modern Heuristic Algorithms to Service Restoration in Distribution Systems, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 17, no. 1, pp ,