UM ESTUDO SOBRE O PROBLEMA DA ÁRVORE GERADORA MÍNIMA COM ESTRUTURA DO GRAFO FUZZY

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1 UM ESTUDO SOBE O POBLEMA DA ÁVOE GEADOA MÍNIMA COM ESTUTUA DO GAFO FUZZY Márcia Tomie Taahashi Universidade Federal de Uberlândia FAMAT/UFU Av. João Naves de Ávila, 22, Campus Sta. Mônica Bloco F, sala8, CEP: , Uberlândia, MG mtomie@famat.ufu.br Aebo Yaamami Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, UNICAMP Caixa Posta6, CEP: 38-97, Campinas, SP aebo@dt.fee.unicamp.br esumo: Neste trabalho é estudado o problema da árvore geradora mínima em um grafo cujas arestas apresentam incertezas. Estas incertezas são modeladas por meio da teoria de grafos fuzzy. O algoritmo proposto inicialmente por Delgado et al. (99) e as heurísticas propostas por Chunde (996) serão discutidos e mais dois algoritmos serão propostos. O objetivo é adequar melhor o conjunto fuzzy de soluções ao critério do decisor. Palavras-Chave: grafos fuzzy, árvore fuzzy, confiabilidade Abstract: We study a minimum spanning tree problem with uncertainty about the arcs. In order to deal with this problem, we use a fuzzy graph model. We discuss both the algorith proposed by Delgado et al (99) and Chunde s heuristics (Chunde, 996) and propose two distinct algorithms to solve the studied problem. The objective is to find a fuzzy solution set that is better suited to some decision maer criterion. Keywords: fuzzy graphs, fuzzy trees, reliability. Introdução O problema da árvore geradora mínima aparece em uma série de aplicações, ou como um subproblema destas. Um exemplo é a instalação de linhas telefônicas (ou elétricas) entre um conjunto de localidades utilizando a infra-estrutura das rodovias com o menor uso de material. Outros problemas (análise de clusters, armazenamento de informações, dentre outros) também podem ser tratados por esta modelagem que possui eficientes algoritmos como Krusal, Prim e Sollin (Ahuja et. al., 993). Desde o trabalho proposto por Zadeh (965), a incerteza em problemas tem sido extensamente estudada (Dubois e Prade, 98). Em (osenfeld, 975) temos o primeiro trabalho conhecido sobre grafos fuzzy, ou seja, grafos que possuem funções de grau de pertinência associadas aos seus nós e arestas. Após este estudo inicial, outros trabalhos foram propostos para diversos problemas em grafo, como o problema do caminho mínimo, fluxo máximo, etc., em que uma função de grau de pertinência pode estar associada a um nó, um aresta ou um parâmetro associado ao grafo (Taahashi, 24). Neste trabalho é feito um estudo sobre o problema da árvore geradora mínima com estrutura do grafo fuzzy. Na Seção 2, o problema é definido e os algoritmos previamente propostos para o problema são apresentados e discutidos. Na Seção 3 são apresentados uma heurística e um algoritmo para encontrar as soluções do problema. Um exemplo didático é apresentado na Seção 4 e as considerações finais na Seção 5.

2 2. Definição do problema Seja G ( N, A) = um grafo com m nós e n arestas com custo c associado a cada aresta ( c ). O problema consiste em construir uma árvore geradora, T, em que a soma dos custos das arestas de T seja mínima (vide Figura ). Neste trabalho, um grafo crisp com custo crisp refere-se ao problema clássico, isto é, um problema em que tanto o grafo quanto os parâmetros associados são bem definidos. Figura : Exemplo de um uma árvore geradora mínima Em um grafo fuzzy, os nós e arestas apresentam graus de grau de pertinência ao grafo: σ () i [, ], i N e µ [, ], j) A sendo que µ min{ σ ( i), σ ( j) }, ou seja, a grau de pertinência da aresta não pode ser maior que a grau de pertinência dos nós associados (osenfeld, 975). O custo c pode ser crisp ou fuzzy. Neste trabalho consideraremos o custo crisp. O problema da árvore geradora mínima com custo (ou outro parâmetro) fuzzy pode ser visto em (Taahashi, 23). Com isso, uma árvore geradora deve possuir um custo c( T ) = e um grau de grau de c j) T pertinência dado pela aresta com menor grau de pertinência µ T = { µ } min. Este grau de pertinência j) T da árvore geradora mínima também é interpretado como um valor de confiabilidade da solução. Isto pode ser válido em uma situação em que o grau de pertinência de cada aresta diz respeito à segurança de uma conexão em uma rede óptica, por exemplo. Quando resolvemos um problema de árvore geradora mínima em um grafo fuzzy, encontramos um conjunto fuzzy de soluções. No caso, para determinado grau de pertinência, obtemos uma árvore geradora mínima. Em (Delgado et al, 99) é proposto um algoritmo fundamental para problemas de grafos fuzzy que utiliza o conceito do α -corte para determinar o conjunto solução. Dado um conjunto fuzzy X ~, um α -corte é um conjunto crisp associado a X ~ em que pertencem apenas os elementos ~ com grau de pertinência maior ou igual a α, isto é, X α = { x X µ x α}. Na Seção 2.. este algoritmo foi adaptado para o problema da árvore geradora mínima fuzzy. 2.. Adaptação do algoritmo de Delgado (Delgado et al, 99) para o problema da árvore geradora mínima em um grafo fuzzy (DVV9). grafo fuzzy G ~. Seja o grafo G resultante do conjunto suporte ( ( N, A ), A = { j) A > } ) G µ do = G é um grafo crisp e pode ser resolvido por meio de um algoritmo clássico. Com a árvore geradora mínima, T, resultante de G, temos: α = min C = j ) { µ } j ) T c T 2279

3 o custo C é o menor valor que podemos encontrar para uma árvore geradora neste grafo G ~ e o grau de pertinência desta árvore é igual a α. Considerando que o decisor quer saber todo o conjunto de soluções possíveis, devemos retirar do grafo G ~ as arestas cujo grau de pertinência seja menor ou igual a α. Com isso, temos um novo subgrafo crisp de G ~ ( G ), que deve ser conectado (isto é, podemos encontrar um caminho de um nó a qualquer outro do grafo). esolvendo G, outra árvore geradora mínima T e seu grau de pertinência α serão encontrados. Observe que: α < α < α < < α < α + < L < α 2 L L C C C C C2 + L C com sendo a última iteração com o grafo conectado. Quando o subgrafo resultante não é mais conectado, o procedimento termina e o conjunto de soluções é apresentado ao decisor Adaptação do algoritmo DVV9: Passo : Seja um grafo fuzzy G ~ = ( N, A) com custo c ( i, j ) A [, ], ( i j) A µ,. Seja = ; α. =, e grau de pertinência das arestas Passo : esolva o problema crisp associado. Seja T a árvore geradora mínima encontrada. Faça: T T C c j ) T α min µ, { } ( i j ) T onde α é o grau de pertinência da árvore T com custo C. Passo 2: etire do grafo as arestas com grau de pertinência menor ou igual a α. Faça +. Se o grafo apresentar componentes não conectados, então FIM. Caso contrário volte ao Passo Complexidade do algoritmo DVV9 Neste caso, também teremos a complexidade do algoritmo dependendo do algoritmo crisp proposto, da densidade de arestas do grafo e dos graus de pertinência associados a cada aresta. Considerando o algoritmo de Krusal, a ordem de complexidade do problema é de O( m + n log n) (Ahuja et.al, 993). No pior caso, em um grafo completo, o procedimento deverá ter ( n m + ) iterações, ou seja, o algoritmo deve retirar apenas um aresta por vez, até chegar a uma árvore como O n m m + n log n. subgrafo. Neste caso, a complexidade deste algoritmo será da ordem de (( )( )) A maior dificuldade do algoritmo DVV9 é a possibilidade de que o conjunto fuzzy de soluções ter uma grande dimensão e, com isso, ter pouca utilidade ao decisor. Neste sentido, o trabalho de (Chunde, 996) propõe duas heurísticas que são apresentadas a seguir As heurísticas de Chunde (Chunde, 996) Para tentar contornar a dificuldade encontrada no algoritmo DVV9 (Delgado et al, 99), Chunde propôs realizar apenas uma iteração do algoritmo DVV9, em um α -corte mais conveniente 228

4 (heurística CH96a). Neste caso, o decisor escolhe um determinado grau de confiabilidade e para este valor é obtida a árvore geradora mínima correspondente. Outra proposta encontrada em (Chunde, 996), resolve o seguinte problema (heurística CH96b): Min g T s. a. g F c ( ) ( T ) = F( T ). c( T ) ( T ) = j ) T ( T ) = c j ) T T τ ( N ) em uma tentativa de equacionar a confiabilidade da árvore e o seu custo total c ( T ). Neste modelo, g(t) é um balanceamento entre o grau de pertinência, µ, e o custo da árvore geradora, c (T ). Como o interesse é encontrar uma solução com mínimo custo e máximo grau de pertinência, o complementar da grau de pertinência µ T foi utilizada. τ (T ) é o conjunto de árvores geradoras. Basicamente ele também calcula as mesmas árvores geradoras mínimas que a proposta na seção anterior, mas determina a que tiver a melhor relação entre o custo da solução encontrada e o seu grau de pertinência, segundo critério proposto pelo autor. µ 3. Um algoritmo para encontrar a árvore geradora mínima com maior grau de confiabilidade e uma heurística para determinar um subconjunto fuzzy de soluções: Como a solução do algoritmo clássico fornece uma árvore geradora mínima com grau de pertinência mínimo, é claro que um aumento no grau de pertinência deve resultar em uma árvore geradora com custo igual ou maior que as anteriormente obtidas pelo algoritmo (Seção 2.). Propomos então encontrar a solução com o maior grau de pertinência possível, α. Com isso outra heurística pode ser proposta. Com os dois grau de pertinência extremos, ditos α e α, o decisor pode optar por uma partição conveniente do problema, sabendo da sua monotonicidade. O limitante inferior é encontrado tomando o grafo G onde µ >. Seja G ( N, A) = um grafo fuzzy. Sejam σ e µ os grau de pertinência dos nós e arestas do grafo. Como temos arestas, consideramos µ >. A proposta do algoritmo é encontrar as = µ ji arestas de maior grau de pertinência de cada nó do grafo (Passo ) e tomar o menor dentre eles como o valor para o corte (Passo 2). Caso o subgrafo resultante seja não conectado, procuramos a aresta de maior grau de pertinência que una estas partes (Passo 3). Com este procedimento, também sabemos o grau de pertinência da solução antes de resolvê-lo. Caso o usuário queira apenas saber o grau máximo de pertinência, o último passo é dispensável. 3.. Algoritmo para obter a árvore geradora mínima com maior grau de pertinência (Max-α): { } Passo : Para i N faça β i max µ. j: j ) A α = min β. Construa um grafo G sendo Passo 2: Seja { } i N i N N A { j) A µ α} Passo 3: Enquanto existirem componentes não conectados, faça: 228

5 , de maior grau de pertinência, µ pq, que ligue dois componentes não conectados em G. Então, faça: A A i, j A µ µ α Encontre a aresta ( p q) A {( ) } pq α min, { α } Passo 4: esolva o problema da árvore geradora mínima para G por meio de um algoritmo clássico (Prim ou Krusal). Se o problema tiver custos fuzzy, utilize algoritmo adequado (Taahashi e Yamaami, 23). µ pq 3... Complexidade do algoritmo Max-α: Este algoritmo teria a sua complexidade próxima a do algoritmo de Prim, já que o princípio é similar, da ordem de O( m + n log n) (Ahuja et. Al, 993), dependendo de como são implementados os passos e Uma heurística para obter um subconjunto fuzzy de soluções: Uma proposta corrente para os problemas em grafos fuzzy (Taahashi, 24) é a determinação do número de partições, h, pelo decisor. Neste caso, divide-se o intervalo [,] em h subintervalos [, α ), [ α, α 2 ),[ α 2, α 3),...,[ α h, ]. Cada α i, i =,2,..., h define um α -corte, isto é, um conjunto em que somente os nós e/ou arestas com grau de pertinência maiores ou iguais a α i são elementos. Com isso os α -cortes seriam previamente conhecidos e o número de soluções no subconjunto fuzzy seria limitado a h. Uma variante que propomos é a inclusão de um teste que evita o cálculo desnecessário em um α -corte. Caso a árvore geradora obtida em uma iteração tenha uma grau de pertinência β > α +, então o valor de α + β. Também, o intervalo a ser dividido está entre,. [,α ] e não entre [ ] Heurística (FMST-H): Passo : Seja um grafo fuzzy G = ( N, A) com custo j) A ], ], ( i j) A c, e grau de pertinência das arestas µ,. Encontre a solução de máximo grau de pertinência (MAX-α ). Seja h o número iα de partições dado pelo decisor. Seja α i =, i =, L, h. Faça = e vá para o passo 2. h Passo : Enquanto α α execute os passos 2, 3 e 4 Passo 2: Encontre o subgrafo cujas arestas possuem grau de pertinência maior ou igual a α. esolva o problema crisp associado. Seja T a árvore geradora mínima encontrada. Faça: T T C c j ) T min, α µ { } ( i j ) T onde α é o grau de pertinência da árvore T com custo C. Passo 2: Se α > α +, faça α + α e + 2. Caso contrário, faça +. etire as arestas com grau de pertinência menor ou igual a α do grafo. Se o grafo apresentar componentes não conectados, então FIM. Caso contrário volte ao Passo. 2282

6 4. Exemplos Seja o grafo apresentado na Figura com os seguintes graus de pertinências para suas arestas: aresta µ aresta µ aresta µ aresta µ (,2),8 (2,6),6 (5,6),6 (6,),5 (,4),2 (3,6),7 (5,8),4 (7,), (,5),6 (3,7),9 (5,9),9 (8,9),6 (2,3),5 (4,5),75 (6,7), (9,),8 (2,5),9 (4,8), (6,9),9 Tabela : Grau de pertinência das arestas no grafo G A árvore geradora apresentada junto ao grafo na Figura é a que possui menor custo, c = 53, mas também menor grau de pertinência, α =, 2. etirando as arestas com grau de pertinência menor ou igual a α, obtemos uma outra árvore T = {(,2),(2,3),(2,6),(4,5),(5,9),(6,7), (6,9),(6,), (8,9)} que difere de T somente pela troca da aresta (,4) por ( 4,5), mas faz com que o custo aumente para c = 63 e o grau de pertinência de T para α =, 5. Se retirarmos as arestas com grau de pertinência menor ou igual a α, obtemos T 2 = {(,2),(2,6),(3,7),(4,5),(5,9),(6,7),(6,9), ( 7,),(8,9)} com custo c 2 = 75 e grau de pertinência α 2 =, 6. Para =3: T 3 = { (,2),(2,5),(3,7),(4,5),(4,8),(5,9),(6,7),(6,9 ) ( 7,)} com c 3 = 93 e α 3 =, 75 e esta é a árvore geradora mínima de maior grau de pertinência, pois a retirada da aresta ( 4,5) com grau de pertinência igual a, 75 torna o grafo desconexo. Este exemplo é pequeno para aplicar as heurísticas, mas podemos verificar o funcionamento do algoritmo para obter a árvore geradora mínima de maior valor de confiabilidade. Seja β = {.8,.9,.9,.,.9,.,.,.,.9,. } sendo β i o maior grau de pertinência de uma aresta incidente no nó i. Então o valor de corte é igual a α = min { β i } =, 8. Montando um subgrafo com as arestas com grau de pertinência maior que o valor de corte, notamos que existem duas árvores no subgrafo, uma englobando os nós 4 e 8 e a outra com os nós restantes. Tomando as arestas que conectam estas duas árvores, temos que a aresta ( 4,5) com grau de pertinência µ 45 =, 75 é a aresta com maior grau de pertinência. Acrescentando as arestas que possuem grau de pertinência entre,75 e,8 obtemos um subgrafo em que apenas a árvore geradora mínima com maior grau de pertinência está contida. Considere um grafo completo com nós. A Tabela 2 apresenta os dados deste grafo sendo que a parte inferior da tabela é referente ao custo das arestas e a parte superior é referente ao grau de pertinência das arestas. nós ,654,579,53,838,934,4966,727,7948, ,3529,7468,96,6822,8998,393,9568, ,445,683,328,826,8385,5226, ,3795,547,6449,568,88, ,59,88,374,73, ,662,727,9797, ,5466,274, ,2523, , Tabela 2: Custos (j<i) e grau de pertinência (i<j) de um grafo completo com nós 2283

7 No caso, o custo foi gerado aleatoriamente no Matlab, com valores entre 5 e, Os grau de pertinência tiveram o mesmo procedimento, com valores entre e, distribuídos uniformemente. Utilizando ao algoritmo DVV9 (Delgado et al, 99) obtemos um conjunto fuzzy de soluções com 3 árvores que são apresentadas com seus respectivos custos e grau de pertinência. Arvore geradora mínima custo grau de pertinência {(,7),(4,7),(,3),(,6),(5,6),(5,8),(2,4),(3,)(4,9)} 5,579 2 {(,7),(4,7),(,6),(5,6),(5,8),(2,4),(4,9),(5,),(3,)} 5,59 3 {(,7),(4,7),(,6),(6,8),(5,8),(2,4),(4,9),(5,),(3,)} 5,934 4 {(,7),(4,7),(2,4),(4,8),(5,8),(6,8),(4,9),(5,),(3,)} 5, {(,7),(4,7),(2,4),(4,8),(5,8),(6,8),(4,9),(2,3),(3,)} 5, {(,7),(4,7),(2,4),(4,8),(5,8),(6,8),(4,9),(3,8),(3,)} 52,374 7 {(,7),(4,7),(2,4),(4,8),(6,8),(4,9),(5,7),(3,8),(3,)} 53, {(4,7),(2,4),(4,8),(6,8),(4,9),(5,7),(,5),(3,8),(3,)} 55,568 9 {(4,7),(2,4),(4,9),(5,7),(6,9),(6,8),(,5),(3,8),(3,)} 55,6449 {(6,8),(6,9),(4,9),(2,4),(2,7),(5,7),(,5),(3,8),(3,)} 56,727 {(2,4),(2,7),(4,9),(5,7),(6,9),(,5),(,8),(3,8),(3,)} 6,727 2 {(2,4),(2,7),(4,9),(5,7),(6,9),(,5),(3,7),(3,),(3,8)} 6, {(2,7),(5,7),(,5),(2,9),(4,9),(6,9),(3,7),(3,),(3,8)} 63,88 Tabela 3: Conjunto de soluções, seus custos e grau de pertinência Se aplicarmos o algoritmo para obter a solução de maior confiabilidade, teremos como β={.95,.9568,.8939,.938,.838,.9797,.8998,.8385,.9797,.9883}, portanto α =,838. Para este valor, a árvore formada pelos nós e 5 é desconexa do restante do subgrafo. Observando as arestas que podem conectar estas duas partes, temos a aresta (5,7) com grau de pertinência igual a,88. Colocando as arestas que possuem grau de pertinência entre,88 e,838 obtemos um subgrafo que possui uma ou mais árvores geradoras mínimas com grau de pertinência igual a,88. Considerando a heurística CH96a, basta saber o valor de confiabilidade escolhido pelo decisor e efetuar uma iteração do algoritmo DVV9 para este valor de corte. Para o CH96b, considerando os valores da Tabela 3, temos que a árvore 3 é a escolhida pela heurística com que possui a melhor relação entre confiabilidade e custo. Para a heurística proposta neste trabalho, a partição depende do decisor. Se for escolhido h = 3, teremos um subconjunto com quatro árvores geradoras. Para o problema das Tabelas 2 e 3 seriam as árvores, 4, 8 e 3; com seus respectivos custos e grau de pertinência. Para partições maiores, o subconjunto será mais bem representado. 5. Conclusões Neste trabalho estudamos o problema da árvore geradora mínima em um grafo fuzzy. Os algoritmos propostos anteriormente foram discutidos, suas dificuldades avaliadas e, com base nestas observações, um algoritmo para obter a árvore geradora mínima de maior confiabilidade foi obtido e mais uma heurística foi proposta como alternativa ao decisor em casos de problemas de grande porte, densos e/ou grande variação nos grau de pertinência das arestas. Como trabalhos futuros pretende-se realizar mais testes com os algoritmos apresentados. Também considerar a incerteza nos parâmetros associados aos nós e/ou arestas. eferências: Ahuja,.K; Magnati, T.L. e Orlin, J.B. (993), Networ flows : theory, algorithms, and applications, Prentice-Hall. 2284

8 Chunde, Y. (996) On the Optimization Problem of Spanning Tree in Fuzzy Networ, The Journal of China Universities of Posts and Telecommunications, 3 (2) pp Delgado, M.; Verdegay, J.L. e Vila, M.A. (985) On Fuzzy tree definition, European Journal of Operational esearch, 22, pp Delgado, M.; Verdegay, J.L. e Vila, M.A. (99) On valuation and optimization problems in fuzzy graphs: a general approach and some particular cases, OSA J. Comput., pp Dubois, D.; Prade, H. (98) Fuzzy Sets and Systems, Academic Press. osenfeld, A. (975) Fuzzy Graphs, in Fuzzy Sets and Their Applications, pp.77-95, Academic Press. Taahashi, M.T.; Yamaami, A. (23) Um estudo sobre a árvore geradora mínima com parâmetros fuzzy, XXXV Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Natal, Novembro 23. Taahashi, M.T. (24) Contribuições ao estudo de grafos fuzzy: teoria e algoritmos, Tese de doutorado, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, UNICAMP, Campinas, SP. Zadeh, L.A. (965) Fuzzy Sets, Information and Control, 8, pp