PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC - SP

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC - SP Aline Tafarelo Tracanella O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL: um estudo sobre o valor posicional Mestrado em Educação Matemática São Paulo 2018

2 ALINE TAFARELO TRACANELLA O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL: um estudo sobre o valor posicional Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini. São Paulo 2018

3 Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos. Assinatura: Local e data:

4 Banca Examinadora

5 Quando você acredita não há nada que você não possa superar Quando você acredita a Terra é mais brilhante do que o Sol EU ACREDITO. (MELANIE CHISHOLM, PETER VETTESE; tradução nossa)

6 Este trabalho é dedicado à minha família e a todos os alunos que fizeram parte da minha trajetória profissional, pois a busca pelo saber deles me motivou a procurar sempre mais.

7 Agradeço à CAPES pelo financiamento da pesquisa.

8 AGRADECIMENTOS vida. A Deus pela oportunidade de aprender e de concluir mais uma etapa de estudos na minha À minha família, pelo carinho e pelo suporte durante todo o curso, principalmente nos momentos mais difíceis. À minha professora orientadora, Dra. Barbara Lutaif Bianchini, por seu constante empenho durante todas as orientações e seu permanente auxílio durante a construção dessa pesquisa. Às professoras que compõem a banca examinadora: Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho e Dra. Eloiza Gomes, pelas contribuições valiosas para o desenvolvimento da investigação. Aos colegas do GPEA, pois as discussões do grupo auxiliaram significativamente no delineamento da minha pesquisa, principalmente aos colegas Lucas Diego Antunes Barbosa e Renata Mendes Soares, pelo constante apoio e ajuda em todas as etapas. À coordenação e aos professores do PEPG em Educação Matemática, sempre dispostos a me auxiliar no processo de desenvolvimento desse trabalho. À secretária, Suzanne Lima Freitas, por estar sempre disposta a me ajudar com as questões burocráticas do curso. Aos colegas de curso, pelo auxílio durante todo o período em que estivemos juntos, seja durante as aulas ou nas conversas na cantina. Às minhas amigas: Luciana Tintino dos Santos, por sempre estar disposta a me ajudar nas revisões de português; Eunice Almeida, Danielle Albino, Fabiana Rabassi Cassador e Aparecida de Lourdes Bonanno pelo incentivo e pelo apoio fundamental para mim! À unidade escolar que me recebeu para que eu pudesse aplicar os instrumentos de coleta de dados, à professora regente das turmas e aos alunos que participaram da pesquisa. Muito obrigada!

9 TRACANELLA, A. T. O Sistema de Numeração Decimal: um estudo sobre o valor posicional f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo: RESUMO Assim que as crianças iniciam sua vida escolar, já carregam consigo alguma ideia sobre os números e sobre o funcionamento do Sistema de Numeração Decimal (SND). Todavia esses conhecimentos precisam ser sistematizados, ampliados e aprofundados adequadamente, para auxiliar na construção de outros conceitos matemáticos. Diante dessa problemática, a presente pesquisa tem por objetivo investigar que conhecimentos são mobilizados por alunos do quarto ano do Ensino Fundamental acerca do valor posicional no SND e sobre a compreensão do número zero nesse mesmo sistema. Para isso, buscamos em uma breve contextualização histórica resgatar como se deu o desenvolvimento desses saberes por povos antigos no decorrer do tempo. Como aportes teóricos, nos baseamos nas pesquisas de Piaget e Szeminska e de Kamii sobre a construção do conceito de número pelos alunos. Com relação à aquisição das propriedades do SND, discorremos sobre as pesquisas de Fayol e de Lerner e Sadovsky, bem como de Zunino, que aborda também a questão do número zero nesse sistema. Para atender ao objetivo da pesquisa, adotamos a metodologia de cunho qualitativo, pois o foco da investigação está nos conhecimentos mobilizados pelos educandos na busca por uma solução para as atividades propostas. Elaboramos um instrumento com seis exercícios envolvendo o valor posicional e o número zero, baseado na sequência proposta na tese de Brandt. Uma semana após a aplicação do instrumento, realizamos uma entrevista semiestruturada, que foi de suma importância para compreender com maior clareza as respostas fornecidas pelos alunos. Na análise e discussão dos dados obtidos, compreendemos que os estudantes mobilizaram conhecimentos acerca da sequência numérica e dos critérios de comparação apontados por Lerner e Sadovsky. Além desses conhecimentos mobilizados, os participantes também recorreram à contextualização das atividades para justificar suas respostas, usando a comparação com situações cotidianas, como, por exemplo, a observação da idade entre crianças. Com relação ao número zero, analisamos os significados atribuídos a esse número pelos alunos durante as entrevistas. Durante as fases da pesquisa, todos os educandos afirmaram que o zero não vale nada, mas trouxeram justificativas que vão ao encontro dos fatos histórico apontados na breve contextualização realizada no primeiro capítulo da investigação. Notamos também que os participantes estão construindo seus conhecimentos acerca do SND, apresentando um conhecimento não estável, ou seja, que se altera de acordo com a pergunta feita referente à situação proposta. Os resultados encontrados nessa pesquisa apontam que o trabalho com o SND precisa ser contínuo, durante todos os anos iniciais do Ensino Fundamental, pois os alunos continuam construindo seus conhecimentos acerca do SND e ampliando sua compreensão sobre o número zero nos anos posteriores ao ciclo de alfabetização. Palavras-chave: Números naturais; Sistema de Numeração Decimal; Valor posicional; Número zero; Ensino Fundamental.

10 ABSTRACT As soon as children begin their school life, they already carry with them an idea about the numbers and operation of the Decimal Number System (DNS). However, this knowledge need to be systematized, extended and deepened appropriately in order to assist in the construction of other mathematical concepts. Given this problem, the present research aims to investigate the mobilized knowledge of the positional value in the DNS and the understanding of the characteristics of number zero in the same system by students of the fourth year of Elementary School. Therefore, it is done a brief historical context to rescue how the development of this kind of knowledge by ancient people has developed over time. As theoretical contributions, it is used the researches of Piaget & Szeminska, and of Kamii on the constructions of the number concept by the students. Regarding to the acquisition of the properties of the DNS, it is discussed the researches of Fayol, Lerner & Sadovsky as well as Zunino, who also studies the issue of the number zero in this system. To achieve the research objective, it is adopted the qualitative methodology, since the focus of it is on the mobilized knowledge by the students in the search for a solution to proposed activities. It was also developed an instrument with six exercises involving the positional value and the number zero, based on the proposed sequence in the Brandt version. One week after an application of the instrument, it was conducted a semistructured interview, which was of very important to understand the answers provided by the students. In the analysis and discussion of the obtained data, it is understand that the students mobilized knowledge about the numerical sequence and the criteria of comparison pointed out by Lerner & Sadovsky. In addition to these mobilized knowledge, the participants also used the contextualization of activities to justify their responses, using a comparison with everyday situations, such as, for example, age observation among children. Regarding the number zero, it was analyzed the meanings attributed to this number by the students during interviews. During the research phases, all students stated that zero worth nothing, but they have provided justifications that meet the historical facts pointed out in the brief contextualization carried out in the third chapter of the research. It is also noted that the participants are building their knowledge about DNS, presenting an unstable knowledge that changes according to the question asked regarding the proposed situation. The results found in this research indicate that the work with DNS needs to be continuous throughout the initial years of Elementary School, as the students continue to build their knowledge about DNS and expand their understanding of the number zero in the years after the literacy cycle. Keywords: Natural Numbers; Decimal Number System; Positional Value; Number Zero; Elementary School.

11 LISTA DE FIGURAS Figura 1: Mapa da antiga Mesopotâmia Figura 2: Sinais cuneiformes representando os números de 1 a 60 utilizados pelos babilônios Figura 3: O número 75 na escrita babilônica Figura 4: O zero-marcador utilizado na escrita do número Figura 5: Os glifos que representam o zero maia Figura 6: Representação maia dos numerais do 1 ao Figura 7: Representação do número no sistema numérico maia Figura 8: Ábaco de colunas utilizado pelos hindus Figura 9: Evolução da escrita dos algarismos indo-arábicos através do tempo Figura 10: Classificação dos zeros na história Figura 11: Linha do tempo com os principais acontecimentos históricos com relação a origem do SND e do zero Figura 12: Sentidos atribuídos ao zero Figura 13: Exemplo de relações mentais entre os números 7 e Figura 14: Relação de ordem Figura 15: Relação de inclusão hierárquica Figura 16: Protocolo do aluno A3 para o item a) da questão Figura 17: Protocolo da aluna A4 para o item a) da questão Figura 18: Protocolo do aluno A3 para o item d) da questão Figura 19: Protocolo da aluna A4 para o item d) da questão Figura 20: Protocolo do aluno A3 em resposta a questão Figura 21: Protocolo da aluna A4 para a questão Figura 22: Protocolo do aluno A3 sobre o item a) da questão Figura 23: Protocolo da aluna A4 sobre o item a) da questão Figura 24: Protocolo do aluno A3 para o item b) da questão Figura 25: Protocolo da aluna A4 para o item b) da questão Figura 26: Protocolo do aluno A3 para o item a) da questão Figura 27: Protocolo da aluna A4 para o item a) da questão Figura 28: Protocolo do aluno A3 para o item b) da questão Figura 29: Protocolo do aluno A3 para o item c) da questão Figura 30: Protocolo do aluno A3 no item a) da Atividade Figura 31: Protocolo da aluna A4 para o item a) da Atividade Figura 32: Resolução da participante A4 durante a entrevista Figura 33: Segunda resolução apresentada por A4 na entrevista Figura 34: Protocolo do aluno A3 para a questão Figura 35: Protocolo da aluna A4 para a questão Figura 36: Protocolo do aluno A3 para a questão Figura 37: Protocolo da aluna A4 para a questão Figura 38: Protocolo do estudante E2 para o item a) da Atividade Figura 39: Protocolo do aluno E5 para todos os itens da Atividade Figura 40: Protocolo do aluno E6 para todos os itens da Atividade Figura 41: Protocolo do aluno E 1 para todos os itens da Atividade Figura 42: Protocolo do participante E4 para a Atividade Figura 43: Protocolo do participante E2 para a Atividade Figura 44: Protocolo do participante E5 para a Atividade

12 Figura 45: Protocolo do aluno E1 para a Atividade Figura 46: Protocolo do aluno E6 para a Atividade Figura 47: Protocolo do aluno E5 para o item a) da Atividade Figura 48: Resolução do cálculo pelo aluno E 5 durante a entrevista Figura 49: Protocolo do aluno E6 para o item a) da Atividade Figura 50: Resolução do cálculo pelo aluno E 6 durante a entrevista Figura 51: Protocolo do participante E2 para o item a) da Atividade Figura 52: Subtrações resolvidas por E2 durante a entrevista Figura 53: Protocolo do aluno E3 para todos os itens da Atividade Figura 54: Resolução do cálculo do aluno E3 durante a entrevista Figura 55: Protocolo do aluno E6 para a Atividade Figura 56: Protocolo do participante E2 para a Atividade Figura 57: Protocolo do participante E5 para o item d) da Atividade Figura 58: Protocolo do aluno E3 para a Atividade Figura 59: Resolução do cálculo pelo aluno E3 durante a entrevista Figura 60: Protocolo do participante E4 para a Atividade Figura 61: Resolução do cálculo pelo aluno E4 durante a entrevista Figura 62: Protocolo do participante E6 para a Atividade

13 LISTA DE QUADROS Quadro 1: Representações dos sistemas de numeração de algumas civilizações antigas Quadro 2: Os significados do zero Quadro 3: Pesquisas concernentes ao número zero Quadro 4: Pesquisas sobre o SND Quadro 5: Respostas dos participantes em cada item que caracterizam os critérios de comparação numérica utilizados na Atividade Quadro 6: Distribuição dos alunos segundo os critérios utilizados para a comparação numérica na Atividade Quadro 7: Os significados do zero nas entrevistas sobre a Atividade Quadro 8: Quantidade de arranjos possíveis na Atividade Quadro 9: Alunos que formaram os números com repetição e sem repetição na Atividade Quadro 10: Quantidade de arranjos feitos por cada participante nos dois primeiros itens da Atividade Quadro 11: Utilização do zero pelos alunos nos arranjos da Atividade Quadro 12: Justificativas utilizadas pelos participantes na entrevista para o último item da Atividade Quadro 13: Justificativas que surgiram nos protocolos dos alunos para a Atividade Quadro 14: Respostas dos alunos ao questionamento inicial da entrevista sobre a Atividade Quadro 15: Levantamento dos acertos cometidos pelos participantes na Atividade

14 CAPÍTULO 1 SUMÁRIO INTRODUÇÃO CAPÍTULO 2 APRESENTAÇÃO DO CONTEXTO DA PESQUISA Trajetória docente Justificativa e problemática CAPÍTULO 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Contextualização do ponto de vista histórico do SND e do número zero Significados do zero em pesquisas correlatas Sistema de numeração decimal (SND) CAPÍTULO 4 APORTES TEÓRICOS Piaget e a construção do número pelas crianças A influência do SND e do zero na compreensão dos números pelas crianças CAPÍTULO 5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS A pesquisa qualitativa A unidade escolar e os sujeitos da pesquisa Trajetória da pesquisa CAPÍTULO 6 ANÁLISE DOS DADOS Análise das atividades e dos dados coletados com o instrumento piloto Análise das atividades e dos dados coletados com o instrumento definitivo Análise da produção de cada participante no instrumento definitivo CAPÍTULO 7 CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE A INSTRUMENTO PILOTO APÊNDICE B INSTRUMENTO DEFINITIVO APÊNDICE C - ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA APÊNDICE D - TCLE APÊNDICE E - SOLICITAÇÃO DE AUTORIZAÇÃO PARA PESQUISA NA UNIDADE ESCOLAR

15 15 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO O ensino dos números em nosso Sistema de Numeração Decimal (SND) geralmente é voltado à aprendizagem mecânica das ordens numéricas, ou seja, para a memorização das palavras unidade, dezena e centena, sem uma compreensão adequada sobre as especificidades e o significado dessas ordens, gerando, dessa maneira, equívocos na representação escrita e nas operações com os números no SND (BRASIL, 1997). De acordo com a prática em sala de aula, percebemos tal dificuldade, principalmente quando o aluno conclui o primeiro ciclo, no terceiro ano do Ensino Fundamental. Com o início do estudo dos números decimais no segundo ciclo, os equívocos se agravam, pois, a lógica de organização do conjunto dos números racionais no SND é diferente da estrutura dos números naturais. Como mostram as pesquisas de Kamii (1994), o educando está em processo de construção desses conhecimentos nessa faixa etária que compreende indivíduos entre seis e dez anos de idade. Zunino (1995), diante dos resultados de sua investigação, afirma que é instintivo aos alunos aplicar os conhecimentos adquiridos para o conjunto dos números naturais no conjunto dos racionais, no caso mais específico da sua representação decimal. Dessa forma, nos termos de Brousseau (2008), o conhecimento aplicável ao conjunto dos números naturais no SND cria obstáculos para a aprendizagem dos números racionais nesse mesmo sistema, seja em sua representação fracionária ou decimal, como, além do mais, apontam diversas pesquisas (BIANCHINI, MAGINA, 1996; SILVA, 1997; CUNHA, 2002; JUCÁ, 2008). Fundamentados nas pesquisas mencionadas, consideramos que a presente investigação possa contribuir com a prática de professores que atuam nos anos iniciais do Ensino Fundamental, visto que discutimos sobre a aquisição dos conhecimentos relacionados às propriedades do SND no conjunto dos números naturais. Esses conceitos são essenciais para que os educandos consigam construir outros conhecimentos matemáticos adequadamente, como as operações aritméticas e os números decimais. Sendo assim, decidimos investigar os conhecimentos mobilizados pelos alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental com relação ao atributo do valor posicional no SND e, em particular, à compreensão do número zero.

16 16 Com base nessa problemática, formulamos duas questões que orientam nossa pesquisa: Que conhecimentos sobre o valor posicional no SND são mobilizados por alunos de quarto ano do Ensino Fundamental? e Que significados para o número zero no SND são indicados por educandos de quarto ano do Ensino Fundamental? Ao buscar um contexto que atendesse aos requisitos exigidos pelo tema da investigação, corroboramos com Zunino (1995) que afirma que a análise de uma situação experimental auxilia na observação dos conhecimentos empregados pelos educandos na busca por uma solução para o problema proposto. Além disso, os educandos revelam seus conhecimentos ao produzir e interpretar quantidades, ao explorar o valor dos algarismos no SND e ao resolver operações elaboradas por eles mesmos para buscar as soluções para as situações propostas. As atividades propostas pelos professores precisam considerar que os educandos estão em contato direto com o SND, mas para compreendê-lo adequadamente precisam descobrir e reconstruir os princípios que o orientam (ZUNINO, 1995). De tal modo, optamos por realizar uma pesquisa de campo de cunho qualitativo, aplicando uma sequência de atividades com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Para auxiliar numa melhor organização da presente investigação optamos por estruturála da seguinte forma: no primeiro capítulo se encontra esse texto (a introdução) e no segundo capítulo discorremos sobre a trajetória docente da pesquisadora, além de apresentar a justificativa e a problemática do tema escolhido. O terceiro capítulo faz uma breve contextualização histórica sobre o SND e sobre o número zero, explorando os conhecimentos desenvolvidos por povos que apresentavam um sistema de numeração posicional e indícios do zero (IFRAH, 1994, 1997; KAPLAN, 2001; ROQUE, 2012; STEWART, 2016). Neste mesmo capítulo apresentamos uma revisão bibliográfica na qual abordamos três trabalhos correlatos sobre o SND (RODRIGUES, 2001; BRANDT, 2005; CASTRO, 2016) e três investigações sobre o número zero (SALVADOR, 2003; GUIMARÃES, 2008; MARCONDES, 2014). Os aportes teóricos sobre a construção do conceito de número foram elaborados tendo como base a teoria de Piaget e de seus colaboradores, como Szeminska (1981) e Kamii (1992, 1994), além dos trabalhos colaborativos entre Kamii e Declark (1996) e Kamii e Housman (2002). Isto constitui o quarto capítulo da pesquisa. Além desses autores, discutimos também as pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996) e de Zunino (1995), acerca dos conhecimentos das crianças com relação ao SND e ao número zero.

17 17 No quinto capítulo expomos os procedimentos metodológicos adotados e versamos também sobre a trajetória da pesquisa, bem como uma breve caracterização da unidade escolar e dos participantes da investigação. As análises dos dados obtidos foram desenvolvidas no sexto capítulo. O instrumento piloto foi aplicado com dois alunos, sendo um do terceiro ano e outra do quarto ano, ao passo que o instrumento definitivo foi aplicado com seis alunos do quarto ano. Para realizar as análises nos baseamos nos protocolos recolhidos dos educandos e nas entrevistas que ocorreram após a aplicação das atividades. Optamos por manter o instrumento piloto no texto final da investigação, pois os dados recolhidos com estas atividades forneceram informações importantes para nossa pesquisa. No sétimo capítulo encerramos essa investigação com as considerações finais. Nesse capítulo, fazemos uma breve retomada dos aportes teóricos e trabalhos correlatos levantados e utilizados para realizar as análises dos dados, bem como tecemos algumas considerações acerca dos objetivos e das percepções construídas no decorrer da pesquisa. Também apresentamos algumas perspectivas para investigações futuras.

18 19 CAPÍTULO 2 APRESENTAÇÃO DO CONTEXTO DA PESQUISA Nesse capítulo descrevemos resumidamente a trajetória profissional da pesquisadora e também sua motivação para a investigação. Nele, abordamos a problemática que envolveu o tema escolhido, a justificativa para o desenvolvimento do trabalho e apresentamos os objetivos e as questões de pesquisa. 2.1 Trajetória docente 1 Minha trajetória na carreira docente se inicia com o curso normal em nível Médio, antigo CEFAM (Centro Específico de Formação e Aperfeiçoamento do Magistério), o qual concluí em dezembro de Neste curso tive meu primeiro contato com a educação, por meio de aulas teóricas e de estágios supervisionados. No ano seguinte à conclusão, comecei a ministrar aulas na Educação Infantil em um município da região metropolitana de São Paulo. Concomitantemente, ingressei na Licenciatura Plena em Matemática no Centro Universitário FIEO (UNIFIEO), em Osasco. Desde essa época me inquietava a dificuldade que alguns alunos apresentavam no que diz respeito à construção do conceito de número, pois percebi que não conseguiam estabelecer relação entre a representação numérica com algarismos e as quantidades associadas. Ao concluir a graduação, passei a lecionar em outro município, também na região metropolitana de São Paulo, agora no cargo de Professora de Educação Básica do Ensino Fundamental I, com alunos de 6 a 10 anos de idade. Ali, exercia função polivalente, responsável por ministrar aulas de cinco disciplinas. No mesmo período fui chamada para trabalhar na prefeitura de São Paulo com a ocupação de Professora de Educação Básica II, atendendo alunos de 6º a 9º anos, ministrando aulas de Matemática como disciplina específica. Mantive os dois cargos e pude perceber que as dificuldades acerca dos números naturais e de suas relações com os outros conjuntos numéricos se estendiam por todos os anos do Ensino Fundamental, principalmente nos 6º e 7º anos. Cursei, também, Licenciatura em Pedagogia. Porém ainda não me sentia apta para lidar com tais problemas das salas de aula. Decidi fazer uma especialização latu sensu em Educação Matemática, que acrescentou muito em minha formação. Ainda assim não foi o suficiente. 1 Nessa seção o texto foi redigido na primeira pessoa do singular, pois se refere exclusivamente à experiência profissional da pesquisadora.

19 20 Ingressei no mestrado em Educação Matemática buscando compreender melhor como o processo de conhecimento do número ocorre nos educandos e fui direcionada ao Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica (GPEA), sob a orientação da professora Dra. Barbara Lutaif Bianchini. As discussões, participações e contribuições dos integrantes do grupo foram de fundamental importância para o desenvolvimento da presente pesquisa, que está inserida no projeto denominado A Álgebra na Educação Básica, em vigor no GPEA desde 2014, fazendo parte da linha de pesquisa A Matemática na estrutura curricular e formação de professores. Este projeto investiga o ensino e a aprendizagem de Álgebra na Educação Básica, bem como as concepções e conhecimentos de alunos e professores, seja em formação inicial ou continuada. Esta pesquisa foi incluída nesse projeto uma vez que nela abordamos a aprendizagem de alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental acerca do valor posicional no SND e, em particular, à compreensão do número zero nesse sistema. Essa problemática será mais discutida na próxima seção. 2.2 Justificativa e problemática Desenvolver o pensamento matemático adequadamente é fundamental para que os indivíduos possam fazer parte e contribuir com o progresso da sociedade na qual vivemos. Para isso, os educandos precisam aprender Matemática, indo além dos algoritmos, fórmulas e respostas memorizadas. Os alunos precisam descobrir como pensar matematicamente, analisando situações, elaborando estratégias, argumentando sua posição com os colegas e preparando respostas adequadas ao contexto. Ler, entender, traduzir e interpretar a leitura de um problema matemático, além de também saber o que está fazendo: isso é parte do processo matemático. Visando esse trabalho efetivo com a Matemática, o Ministério da Educação e Cultura (MEC) criou os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (BRASIL, 1997), que são documentos oficiais norteadores dos objetivos e dos conteúdos a serem trabalhados nas escolas de todo o país. É seccionado em áreas de conhecimento e em ciclos. Para os anos iniciais (do primeiro ao quinto ano) do Ensino Fundamental, tem-se o primeiro ciclo que compreende as 1ª e 2ª séries (atuais primeiro, segundo e terceiro ano) e o segundo ciclo, que abrange as 3ª e 4ª séries (atualmente quarto e quinto ano). Os conteúdos presentes nos PCN foram divididos em blocos: Números e operações, Espaço e forma, Grandezas e medidas e Tratamento da informação.

20 21 Como nosso objetivo está relacionado com a aprendizagem dos números, trataremos somente sobre o bloco de Números e operações, apesar de que é preciso levar em consideração que o conhecimento de número também apresenta relações com os outros blocos. De acordo com os PCN (BRASIL, 1997, p. 25) [...] é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares. É evidente que os números estão presentes na vida das crianças desde seu nascimento, pois, desde cedo são estimuladas pelos pais e adultos a contarem e mostrarem nos dedos a quantidade. Conforme crescem, notam que na casa ou apartamento onde moram possui um número, que há números no telefone, no relógio, nas brincadeiras, nas músicas, para medida das roupas, dos calçados, e assim por diante. Com isso, quando entram na escola apresentam certa familiaridade com os números e algumas ideias sobre suas particularidades. O zero faz parte desses números, que geralmente significa nada para as crianças. No entanto, quando se inicia o estudo do SND, a compreensão do zero é ampliada e pode causar dúvidas no significado dos números e, consequentemente, no estudo de outros conceitos matemáticos, como, por exemplo, das operações aritméticas. Pensando nisso, os PCN (BRASIL, 1997, p. 19) indicam para que tanto se contextualize a Matemática quanto, especialmente, insira-a no processo histórico como algo históricosocialmente construído: O conhecimento matemático deve ser apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução. O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica, científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no mundo. Corroboramos com a afirmação dos PCN, pois consideramos de suma importância relacionar a história do desenvolvimento de um conceito matemático com a aprendizagem dos alunos, ainda que tenhamos em consideração que esse não é o único recurso que auxilia no processo de aquisição de conhecimento dos educandos, assunto que será desenvolvido no terceiro capítulo. Dessa forma, iniciamos esta pesquisa com uma breve contextualização histórica acerca do SND e do número zero, pois acreditamos ser relevante compreender como esses conceitos foram construídos com o passar dos anos, social e culturalmente, por povos

21 22 diferentes, assim como auxiliar os professores e alunos a perceber que as dificuldades de entendimento que ocorrem atualmente também aconteciam com os povos antigos. Dentre os objetivos gerais elencados pelos PCN para a disciplina de Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, podemos destacar: Construir o significado do número natural a partir de seus diferentes usos no contexto social, explorando situações-problema que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos. Interpretar e produzir escritas numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com base na observação de regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da linguagem matemática. (BRASIL, 1997, p. 47). De acordo com os objetivos supracitados, podemos inferir que a criança elabora conhecimentos sobre os números da mesma forma na qual apreende a língua escrita. Sendo assim, é necessário partir de situações cotidianas para que o aluno construa hipóteses acerca do significado dos números e da escrita numérica (BRASIL, 1997). Os atributos do SND vão sendo reconhecidos nas situações de uso social que fazem parte da vivência dos educandos, assim como é apontado em pesquisas, como, por exemplo, a de Kamii (1994). Para Piaget e Szeminska (1981), a construção do conceito de número se dá a partir do momento em que o educando constitui um pensamento operatório, conseguindo abstrair relações numéricas e realizando a reversibilidade das operações, isto é, conseguindo desfazer mentalmente ações já realizadas. Quando se desenvolvem essas estruturas mentais do indivíduo, o sujeito está mais preparado para compreender com clareza as propriedades do SND, visto que apresenta o pensamento operatório. Dos objetivos específicos propostos pelos PCN, com relação ao bloco de conteúdo denominado Números e Operações para o primeiro ciclo, selecionamos alguns itens que são relevantes para a presente investigação, os quais têm as seguintes finalidades: Utilização de diferentes estratégias para quantificar elementos de uma coleção: contagem, pareamento, estimativa e correspondência de agrupamentos. Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela identificação da quantidade de algarismos e da posição ocupada por eles na escrita numérica. Observação de critérios que definem uma classificação de números (maior que, menor que, estar entre) e de regras usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade). Organização em agrupamentos para facilitar a contagem e a comparação entre grandes coleções. Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas pela compreensão das características do sistema de numeração decimal (base, valor posicional). (BRASIL, 1997, p. 50).

22 23 Esses propósitos vão ao encontro de pesquisas como as de Kamii (1994) e Piaget e Szeminska (1981) quando tratam sobre as quantificações, correspondências e agrupamentos numéricos; além das pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996), Zunino (1995), entre outras que versam acerca da formulação de hipóteses para comparação, para a leitura, para a escrita de números, para o valor posicional e para o SND 2. No segundo ciclo percebemos um objetivo geral referente ao ensino dos números, que visa Ampliar o significado do número natural pelo seu uso em situações-problema e pelo reconhecimento de relações e regularidades (BRASIL, 1997, p. 55). Além desse, identificamos também dois objetivos específicos: Reconhecimento de números naturais e racionais no contexto diário e Compreensão e utilização das regras do sistema de numeração decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de qualquer ordem de grandeza (Ibid., p. 58). O trabalho com os números racionais ocupa uma grande parte do currículo no segundo ciclo. Todavia, os atributos do SND que são válidos para os números naturais não o são para os racionais, gerando mais equívocos, como mostram resultados de pesquisas (VALERA, 2003; SILVA, 2008; ZUNINO, 1995). Esse fato pode afetar a aprendizagem, pois se os alunos não compreenderem adequadamente as características do SND com os números naturais, consequentemente também não entenderão os atributos referentes ao novo conjunto numérico, uma vez que as propriedades do SND passam a não ter a mesma validade em conjuntos numéricos diferentes. Podemos observar, através dos objetivos supracitados, tanto para o primeiro quanto para o segundo ciclo, que o trabalho com os números naturais é intenso com os alunos até o terceiro ano. Entretanto, do quarto ano em diante a quantidade de conteúdos relacionados a esse conjunto numérico diminui, pela inserção do estudo do conjunto dos números racionais, que assume grande parte do currículo de matemática. Sendo assim, podemos afirmar que tanto os pesquisadores que concebem o currículo quanto os autores de livros didáticos assumem que os alunos já aprenderam esses conteúdos e que não há a necessidade de ser retomados ou aprofundados. Kamii (1992) aponta os resultados das pesquisas de Bednarz e Janvier (1982) que, ao realizarem entrevistas individuais com alunos de 3ª e 4ª séries (respectivos quartos e quintos anos atualmente), concluíram que alunos dessa faixa etária entre 9 e 10 anos ainda não compreendiam adequadamente o valor posicional. Esses estudos mostram que se faz necessário 2 Essas pesquisas citadas serão explanadas nos aportes teóricos, que se encontram no quarto capítulo.

23 24 um trabalho contínuo sobre o SND e suas características durante todo o Ensino Fundamental, não somente durante o ciclo de alfabetização. Como o primeiro ciclo se encerra ao final do terceiro ano do Ensino Fundamental, optamos por aplicar o instrumento elaborado com educandos do quarto ano, pois já concluíram esse ciclo e apresentam certo conhecimento acerca do SND e de seus atributos, visando compreender como esses alunos mobilizam o que apreenderam acerca do valor posicional e do número zero no nosso sistema de numeração ao resolver as atividades propostas no instrumento. Diante dessa problemática e da nossa inquietação em situações de não compreensão dos conceitos pelos alunos durante as aulas, elaboramos a seguinte questão de pesquisa: Que conhecimentos sobre o valor posicional no SND são mobilizados por alunos de quarto ano do Ensino Fundamental? Além dessa, também procuramos responder: Que significados para o número zero no SND são indicados por educandos de quarto ano do Ensino Fundamental? Na tentativa de compreender melhor e responder a essas questões, no capítulo a seguir discorreremos sobre os trabalhos correlatos que nos ajudaram a delinear a nossa pesquisa.

24 25 CAPÍTULO 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Na revisão bibliográfica trazemos uma pequena contextualização histórica a respeito do número zero e do SND, mostrando povos antigos, e suas simbolizações, que apresentavam sistemas numéricos semelhantes ao nosso. Tratamos também sobre os trabalhos que versam acerca dos significados do número zero e do SND por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental o nível com o qual realizamos nossa investigação. 3.1 Contextualização do ponto de vista histórico do SND e do número zero Se olharmos para o zero vemos o nada, mas se olharmos através dele descobrimos o mundo. Robert Kaplan Nessa seção faremos uma breve contextualização histórica do SND e do número zero, destacando apenas os fatos pontuais mais significativos para essa pesquisa, já que a trajetória histórica do zero é muito complexa e densa, além de demandar estudos filosóficos, religiosos, estéticos e metafísicos, que fogem ao objetivo deste trabalho. Somente trataremos de alguns aspectos históricos relevantes para melhor compreensão e contextualização da pesquisa. A Matemática, tal como conhecemos atualmente, se desenvolveu por meio de problemas. Porém, a Matemática que é ensinada nas escolas foi produzida há muito tempo e reorganizada várias vezes, trazendo a ideia de que os conhecimentos matemáticos são prontos e acabados, sendo passíveis de transmissão, apenas. Surge a necessidade de um ensino de matemática mais próximo de situações cotidianas que facilitem a compreensão dos conceitos no tocante a algo que seja familiar aos indivíduos, favorecendo a atribuição de sentido aos conhecimentos matemáticos. Para que isso ocorra, a Matemática precisa ser ensinada partindo de um contexto, que não precisa ser necessariamente um problema rotineiro, mas sim que promova a identificação dos conhecimentos matemáticos e de como eles se relacionam em uma rede de conceitos (ROQUE, 2012). A história da Matemática pode ser uma ferramenta didática muito útil para a compreensão de conceitos, pois o papel da história da matemática pode ser justamente exibir esses problemas, muitas vezes ocultos no modo como os resultados se formalizaram (ROQUE, 2012, p. 32). Dessa forma, recriar os problemas que geraram esses conhecimentos pode ser uma forma de construí-los com os alunos.

25 26 Por esse motivo se faz necessário iniciar nossa pesquisa com uma breve contextualização histórica acerca dos sistemas de numeração utilizados por povos antigos, bem como sobre o desenvolvimento de símbolos que representavam o número zero. Povos antigos como os romanos e os egípcios criaram seus próprios sistemas de representação numérica, nos quais podiam escrever qualquer número utilizando letras, traços, pontos ou desenhos. Contudo, faltava um símbolo para representar o nada que, muitos séculos depois, passou a ser o que entendemos atualmente como número zero. Partindo dessa variedade de representações numéricas, optamos por abordar somente os povos que mais se aproximaram do uso do zero em seus sistemas de numeração: os babilônios, que se encontravam na antiga região da Mesopotâmia; os maias, localizados na América Central; os hindus, situados na Índia; os árabes, que se localizavam no atual Oriente Médio e tiveram grande influência na disseminação do sistema de numeração decimal para outros países; e o uso do zero nas operações comerciais na Idade Média. No Quadro 1 apresentamos símbolos e características de dois sistemas numéricos de civilizações antigas que fazem parte da história. No entanto, não serão aqui abordadas com maior profundidade por não apresentarem indícios do zero em seus sistemas numéricos. Sistema de numeração Egípcio (aproximadamente III milênios a. C.) Quadro 1: Representações dos sistemas de numeração de algumas civilizações antigas Símbolos Características - Algarismos hieroglíficos; - Sistema decimal; - Sistema aditivo; - Não apresentava necessidade de um símbolo para o zero. Romano (aproximadamente I milênio a. C.) I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 Fonte: Adaptado de Ifrah (1997) - Emprego de letras representando quantidades; - Princípio aditivo e subtrativo; - Não apresentava um símbolo para o zero.

26 Mesopotâmia: os babilônios A Mesopotâmia é uma região situada entre os rios Tigre e Eufrates, onde hoje está situado o Iraque. Por causa da água em abundância, essa região sofreu ataques de diversos povos antigos, datando aproximadamente o aparecimento das primeiras civilizações em 4000 a. C., formando na região um dos berços das civilizações antigas. Na Figura 1 podemos ver um mapa da região, com as demarcações dos povos antigos, inclusive da Babilônia, que é a civilização discutida nessa seção. Figura 1: Mapa da antiga Mesopotâmia Fonte: Escola Britannica 3 Os sumérios eram uma civilização anterior aos babilônios, que viveram na Mesopotâmia por volta do IV milênio a. C. e utilizavam uma escrita cuneiforme em barras de argila para representar os numerais, com um sistema de base sexagesimal. Ao invadir a região da Mesopotâmia, por volta do terceiro milênio antes da era cristã, os babilônios se apropriaram da representação cuneiforme dos sumérios e utilizaram para seus registros numéricos (IFRAH, 1997). O sistema de numeração babilônico apresentava como características o sistema posicional e a base sessenta. Ser posicional significa que [...] cada algarismo vale não pelo seu valor absoluto, mas pela posição que ocupa na escrita de um número, ou seja, pelo seu valor relativo (ROQUE, 2012, p. 50). Os babilônios utilizavam somente dois símbolos para a escrita dos números, que escreviam alternando as posições até chegar ao sessenta. Roque afirma que o sistema numérico dessa civilização é uma combinação da base 60 com a base 10, pois os sinais mudavam de 10 em 10, como observamos na Figura 2. 3 Escola Britannica < acesso em mar. de 2017.

27 28 Figura 2: Sinais cuneiformes representando os números de 1 a 60 utilizados pelos babilônios Fonte: Roque, 2012, p. 49 Verificamos na Figura 2 que o número 1 e o número 60 eram representados pelo mesmo símbolo, pois, ao chegar ao sessenta, o número mudava de ordem, iniciando uma repetição das mesmas posições usadas anteriormente. Isso causava certa ambiguidade no sistema numérico babilônico. Mesmo assim, era suficiente para o contexto no qual o número era utilizado, para fazer a distinção das grandezas de uma representação numérica para outra. Além disso, vemos que a numeração babilônica também utilizava o princípio aditivo, pois na escrita dos numerais até o 59 eram repetidos os símbolos da escrita cuneiforme quantas vezes fossem necessários para representar a quantidade desejada. Ao passar para a ordem seguinte, no sistema era utilizada a posição e o princípio aditivo para escrever os números, como mostrado na Figura 3 com a escrita do número setenta e cinco. Figura 3: O número 75 na escrita babilônica Fonte: Ifrah, 1997, p. 297 De acordo com Kaplan (2001), os sumérios foram o primeiro povo a criar um símbolo para representar o nada. Como o registro deles era cuneiforme e o sistema era posicional de base sessenta, a coluna vazia era representada por duas cunhas inclinadas, que serviam para

28 29 separar as ordens. Kaplan denomina esse símbolo como zero-marcador, já que sua função era marcar que uma coluna estava vazia e era utilizada sempre nas colunas do meio de um número, não na última. Essa utilização causava confusão para discernir o 2 do 20 ou do 200, sendo que o zero-marcador não era usado no final dos números e nem como resultado de cálculos. Não podemos denominá-lo como zero, pois sendo somente um marcador não indicava a ausência de quantidade. Na Figura 4 notamos os símbolos utilizados para formar o número 3.645, no qual o zero-marcador é utilizado para representar uma coluna vazia. Figura 4: O zero-marcador utilizado na escrita do número Fonte: Roque, 2012, p. 56 Na dissertação de Guimarães, a autora afirma que os babilônios foram os primeiros a considerar o zero e que apresentavam um sistema de representação numérica igual aos sumérios, tal como defendido por Kaplan, incluindo o mesmo símbolo para o zero. Conforme afirma a autora, Este zero algarismo babilônico era utilizado apenas em posições intermediárias, ele não era utilizado no final do número, o que provocava muitas ambiguidades que precisavam ser resolvidas recorrendo-se ao contexto. Surge nos babilônios, o zero, como marca lugar, mas ainda limitado (GUIMARÃES, 2008, p. 39). Não há consenso entre pesquisadores da história da Matemática em relação à origem do zero, pois vários povos antigos tinham seus respectivos sistemas numéricos ao mesmo tempo em regiões diferentes do mundo, mas muitos registros históricos se perderam com o passar dos milhares de anos. Têm-se indícios históricos de que o zero-marcador pode ter surgido na região da Mesopotâmia, com os sumérios, de acordo com Kaplan (2001), ou com os babilônios. Entretanto, praticamente ao mesmo tempo os maias também apresentavam um símbolo para representar a ausência de quantidade no seu sistema numérico. Analisaremos o sistema numérico maia a seguir.

29 Maias Os maias, civilização que se encontrava na América Central, também tinham um símbolo próprio para representar a falta de uma quantidade. Era um desenho parecido com uma concha ou caramujo, colocado entre os números para indicar que uma ordem estava vazia. Apresentavam um sistema de numeração que tinha como características o valor posicional, o sistema aditivo e um símbolo próprio para o zero. Na Figura 5 podemos ver as variações do símbolo utilizado pelos maias para representar o número zero. Figura 5: Os glifos que representam o zero maia Fonte: Ifrah, 1994, p. 253 Os maias tinham um sistema de numeração de base vinte, na qual os números eram representados por barras na horizontal ou na vertical que valiam cinco e por pontos sobrepostos a essas barras, que correspondiam a um. Além disso, também apresentavam variantes gráficas para o símbolo do um e do cinco, como ilustrado na Figura 6. Figura 6: Representação maia dos numerais do 1 ao 19 Fonte: Ifrah, 1997, p. 639 Além disso, segundo Ifrah, o sistema numérico maia tinha uma instabilidade, pois na terceira casa ao invés de ser múltiplo de quatrocentos, os números passavam a ser múltiplos de

30 31 trezentos e sessenta. Todavia, para as ordens seguintes, retoma-se o uso da base 20 estritamente, sendo que cada ordem a partir da quarta assume o valor vinte vezes maior do que a ordem inferior. Assim, em virtude da irregularidade da terceira ordem, a quarta posição correspondia aos múltiplos de = 20 x 360 (e não aos = 20 x 20 x 20), a quinta aos múltiplos de = 20 x (e não aos de = 20 x 20 x 20 x 20), e assim por diante (IFRAH, 1997, p. 640). A Figura 7 representa a escrita do número utilizando o sistema de numeração maia. Figura 7: Representação do número no sistema numérico maia Fonte: Ifrah, 1997, p. 640 Os maias eram muito interessados na astronomia e na contagem do tempo, isso pode justificar a troca de base nas ordens superiores dos números. Conforme o que afirma Stewart, Os maias fizeram uso considerável dos números em seu sistema de calendário, sendo um dos aspectos conhecido como Contagem Longa. Esta contagem atribui uma data a cada dia contando quantos dias se passaram desde a data mítica da Criação, que teria sido 11 de agosto de 3114 a.c. no corrente calendário ocidental. Nesse sistema um símbolo para o zero é essencial para evitar a ambiguidade. (STEWART, 2016, p ). No nosso sistema de numeração decimal, o zero apresenta o atributo de operador aritmético, pois se operarmos 17 x 10 obteremos 170 como resultado, acrescentando um zero ao final do número inicialmente multiplicado. Apesar de utilizar um sistema de notação posicional de base vinte e apresentar um símbolo para o zero, os maias não podiam utilizar o zero como operador aritmético, uma vez que a irregularidade do sistema a partir da terceira ordem mudava a estrutura das operações em todo o sistema. Dessa forma, o zero utilizado pelos maias não podia ser utilizado em cálculos matemáticos, o que impediu essa civilização de aproveitar mais atributos desse sistema de numeração.

31 Hindus Aproximadamente no século V da era Cristã, os sábios hindus já haviam descoberto, por meio da representação dos números em língua materna, o sistema posicional e o zero (sunya, que significa vazio), bem como atribuíam um algarismo diferente e independente de identificação visual para cada unidade. No entanto, essas descobertas ainda não garantiram a formação do SND como conhecemos hoje, pois inicialmente só era válido para a representação numérica em língua materna, não para a representação utilizando algarismos. Os indianos utilizavam um sistema aditivo e de base dez. Os símbolos que eles adotavam não eram suficientes para escrever números grandes, que eram utilizados na astronomia. Então começaram a representar os números por meio da escrita em língua materna, atribuindo um nome para cada número inteiro de 1 a 9 e para os múltiplos de dez. A escrita era feita da esquerda para a direita. Assim, de acordo com Guimarães (2008, p. 46), Ainda numa forma verbal, nasceu o sistema de posição indiano. Para a escrita de números como 301 não bastava dizer Um, Três, facilmente os sábios indianos contornaram essa situação recorrendo a palavra sunya, que significa vazio. E então o 301 era escrito por: eka sunya tri ( um.vazio.três ). Inicialmente, os hindus admitiam a existência do zero e precisavam de algo para representá-lo, então passaram a utilizar a língua escrita para se referir a ele. Astrônomos hindus o denominavam como kha (posição), ambara (céu), akasa (atmosfera) e sunya (vazio), que posteriormente se tornou o nome mais utilizado para se referir ao zero (KAPLAN, 2001). Como não havia um padrão na escrita dos algarismos, podendo gerar enganos na compreensão dos números, os hindus utilizaram por muito tempo os algarismos escritos em língua materna. Contudo, esse sistema dificultava a realização das operações matemáticas. Para isso, eles utilizavam o ábaco de colunas, nas quais eram escritos os símbolos que eles inventaram para representar os números antes da escrita, deixando uma coluna vazia na falta de alguma ordem (Figura 8) e conseguiam operar com esses símbolos (IFRAH, 1994). Figura 8: Ábaco de colunas utilizado pelos hindus Fonte: Ifrah, 1994, p. 279

32 33 Aproximadamente no início do século VI d.c., os calculadores da Índia perceberam que poderiam fazer os mesmos cálculos trocando as palavras pelos símbolos e criando uma representação para o zero, que primeiramente era um ponto e depois passou a ser um pequeno círculo. Desta maneira surgiu o sistema de numeração posicional indiano e o nosso símbolo atual para representar o zero. (IFRAH, 1994). Com o sistema de numeração posicional estabelecido, os indianos começaram a praticar os cálculos aritméticos nesse novo sistema. Surgiram as primeiras observações com relação ao comportamento dos números nas operações, inclusive com o zero. Kaplan afirma que os matemáticos indianos queriam compreender a relação do zero com os outros números, não somente estabelecer um símbolo para o nada. Então os indianos começaram a descrever o comportamento do zero com outros números e entre os próprios números, criando leis de interação entre eles. Mahavira explica isso de forma expressiva quando diz que o zero se torna o mesmo que é adicionado a ele (KAPLAN, 2001, p. 76). Ainda conforme o mesmo autor: O que caracteriza a atividade viva de fazer matemática é que, para ser um número, qualquer coisa tem de se socializar com os números que já existem, ser capaz de pelo menos trocar amabilidades com os nativos. Ele deve se combinar com os outros de todas as formas conhecidas. Para que o zero seja um poder de mesmo status que aquilo a que ele dá poder, temos de entender como somar, subtrair e multiplicar e dividir com ele, para início de conversa, e foi exatamente isso que os matemáticos indianos fizeram. [...] Conforme a arte do cálculo desenvolvia uma genealogia da teoria, o zero e os números evoluíram em direção um ao outro. (p. 77). Os matemáticos indianos foram os primeiros a tentar estabelecer essas relações numéricas. Temos como exemplo Brahmagupta, que, por volta de 600 d.c., dizia que um número subtraído dele mesmo teria zero como resultado. Já Mahavira, aproximadamente em 850 d.c., afirmava que a multiplicação de qualquer número por zero teria como resultado o zero e que a subtração por zero manteria o número sem alterações. Com relação à divisão existiam controvérsias de pensamento entre eles. Mahavira assegurava que na divisão de um número por zero o resultado seria o próprio número. Segundo Gundlach (1992, p. 13): Essa afirmação parece conter já a essência do conceito de zero como elemento neutro da adição, e é interessante observar que Mahavira considera que a divisão por zero tem o mesmo efeito que a adição e a subtração de zero ou seja, que não tem nenhum efeito sobre o número sobre o qual opera, como divisor. Bhaskara, 300 anos após Mahavira, anunciava que a divisão de qualquer número por zero obteria como resposta o infinito, contrapondo a afirmação de Mahavira. Os matemáticos

33 34 da época evitavam fazer assertivas sobre a divisão, principalmente por zero, pois diziam que não havia sentido. Desde seus primórdios podemos notar que o zero era motivo de discórdia e de dúvidas entre os estudiosos, principalmente no que concerne às operações aritméticas Árabes O povo árabe teve um papel muito importante no resgate dos conhecimentos das civilizações antigas. Muito estudiosos, se apropriavam dos saberes constituídos nos locais que conquistavam. Salvaram e traduziram para o árabe várias obras literárias e científicas dos gregos, judeus e babilônios, que não chegariam ao nosso conhecimento por terem suas obras originais perdidas. Mesmo com tudo isso, o conhecimento do sistema de numeração hindu foi determinante. Os sábios árabes não somente traduziam os textos. Além disso, teciam comentários e misturavam os conhecimentos e técnicas que acumularam desses povos antigos, auxiliando no progresso das ciências (IFRAH, 1994). Na Figura 9 percebemos a evolução da escrita dos algarismos indo-arábicos para os mais próximos do que usamos atualmente. Figura 9: Evolução da escrita dos algarismos indo-arábicos através do tempo Fonte: Ifrah, 1994, p. 310 Famosos mercadores, os árabes possivelmente tenham conhecido o zero, os números e o sistema posicional em viagens a negócios para a Índia, no final do século VIII d.c. Utilizavam

34 35 esse sistema principalmente nas transações comerciais, primeiramente como registro dos resultados das operações encontradas em tabuleiros de contagem. Em seguida começaram a empregá-lo diretamente nos cálculos. Foram os responsáveis por disseminar esse sistema pelo mundo. Por este motivo, os números que empregamos atualmente ficaram conhecidos como algarismos indo-arábicos (IFRAH, 1994) Idade Média Nessa época, tudo que vinha do Oriente era mal visto pelos povos Ocidentais, pois na visão deles essa região era dotada de misticismo e a Europa tinha, como religião predominante, o catolicismo, que relegava tudo que consideravam misticismo e seus correlatos. Durante a Idade Média o conhecimento ficou centralizado nos centros religiosos, sendo poucos os privilegiados que aprendiam a ler e não faziam parte do clero. Aproximadamente no século IX os religiosos estudiosos europeus já haviam tido contato com o sistema de numeração indiano trazido pelos árabes, mas preferiram manter seus antigos modos de calcular (IFRAH, 1994). Portanto, o sistema de numeração decimal e o zero vindo do Oriente não foram bem aceitos e não eram utilizados no cotidiano das pessoas, somente os comerciantes os manipulavam, porém de maneira disfarçada. No século XII, Fibonacci, o mercador, ao voltar de suas viagens pelo Oriente, escreveu um livro expondo tudo o que aprendeu em Matemática, principalmente o sistema de numeração hindu. No livro, Fibonacci introduziu os nove algarismos hindus. No entanto, referia-se ao zero como um sinal. Realizou explorações com esses números, escrevendo sequências numéricas que são conhecidas até hoje como as sequências de Fibonacci, que são muito encontradas na natureza. Com a expansão do comércio, cada vez mais os cálculos demandavam maior destreza e exatidão. Os comerciantes necessitavam realizar contas de débito e crédito de seus clientes e o zero exercia papel de balança: quando a soma dos débitos e créditos resultava em zero, o cliente estava com suas dívidas pagas. Aproximadamente no século XVI, com o final da Idade Média e início da Idade Moderna, o zero passou a ser considerado um número, quando os algoristas, que eram pessoas adeptas ao uso dos algarismos hindus para calcular, conseguiram mostrar que realizar cálculos com os algarismos indo-arábicos era mais prático e rápido do que com o ábaco, que era defendido pelos abacistas. Mesmo com essa demonstração de destreza ao realizar as operações

35 36 com os algarismos hindus, algumas pessoas resistiram a esse novo método e continuaram utilizando o ábaco para operar com os números (IFRAH, 1994) A potencialidade do uso da história e os obstáculos no ensino de Matemática Acreditamos que essa breve contextualização histórica concernente à origem do Sistema de Numeração Decimal e, em particular, do número zero seja de fundamental importância para a nossa pesquisa, pois percebemos que a aquisição desses conceitos pelos povos foi historicamente lenta e sofreu influências de várias civilizações até chegar ao SND que utilizamos atualmente. Além disso, o percurso histórico permite observar as dificuldades na constituição do significado para o zero e fornece indícios das dificuldades dos educandos na sua manipulação. De fato, abordar essas questões com os alunos nas aulas de Matemática pode facilitar uma melhor compreensão por parte deles sobre a construção humana e histórica que é o conhecimento matemático, que passa por conjecturas e hipóteses até chegar à concepção formal do saber. Em relação à potencialidade do uso da história da Matemática para o ensino, Roque afirma que os conteúdos presentes nos currículos de Matemática da educação básica e até do nível superior permitem [...] analisar o momento no qual os conceitos foram criados e como os resultados, que hoje consideramos clássicos, foram demonstrados, contrabalançando a concepção tradicional que se tem da matemática como um saber operacional, técnico ou abstrato. A história da matemática pode perfeitamente tirar do esconderijo os problemas que constituem o campo de experiência do matemático, ou seja, o lado concreto do seu fazer, a fim de que possamos entender melhor o sentido de seus conceitos (ROQUE, 2012, p. 33). A história da Matemática pode ser uma ferramenta que fornece suporte para as aulas de Matemática. Todavia, como afirmam Miguel e Miorin (2004), não podemos ter a visão ingênua de que somente o uso da história da Matemática como recurso despertará o interesse dos alunos, motivando-os a aprender os conceitos matemáticos que foram desenvolvidos em contextos sociais e culturais diferentes dos nossos, que atualmente é permeado por evoluções tecnológicas constantes. Se o ensino da história por si só tivesse esse potencial motivador inerente, os professores dessa disciplina não enfrentariam os mesmos problemas de desinteresse dos educandos durante suas aulas. Segundo Miguel e Miorin (2004), a partir do século XIX o chamado princípio genético foi largamente utilizado para justificar a inserção da história no processo de ensino da Matemática

36 37 nas escolas. O princípio genético é uma adaptação da lei biogenética de Ernest Haekel ( ), na qual diz que o indivíduo na fase embrionária passa pelos mesmos estágios de evolução pelos quais seus ancestrais também passaram. Na interpretação pedagógica, os sujeitos passariam pelos mesmos processos que a humanidade teria passado para construir os conceitos, ou seja, para aprender Matemática o educando teria que refazer os passos dos matemáticos ou estudiosos da época para compreender a elaboração desses conhecimentos. Radford assegura que a utilização do princípio genético (que ele denomina de recapitulacionismo) para inserir a história nas aulas de Matemática não é suficiente, pois não basta somente inserir o indivíduo no contexto histórico da época. Ao contrário, existem diferenças culturais que dificultam a compreensão do processo de construção do conhecimento e do objeto matemático em si, que são consideradas irrelevantes no princípio genético. Segundo ele, [...] a concepção cultural da Matemática determina não apenas a função social do conhecimento matemático, mas também a um nível mais abstrato a concepção dos próprios objetos matemáticos (RADFORD, 2011, p. 82). Assim como Radford, Miguel e Miorin também acreditam que somente o princípio genético não basta para auxiliar na construção do conhecimento matemático, pois entendem [...] ser possível buscar na história da Matemática apoio para se atingir, com os alunos, objetivos pedagógicos que os levem a perceber, por exemplo: (1) a matemática como uma criação humana; (2) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; (3) as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem ao desenvolvimento das idéias matemáticas; (4) as conexões existentes entre a matemática e a filosofia, matemática e religião, matemática e lógica, etc.; (5) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de idéias e teorias; (6) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; (7) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova (MIGUEL; MIORIN, 2004, p. 53). No caso da nossa pesquisa, como não pretendemos realizar uma investigação histórica, entendemos que os três primeiros objetivos pedagógicos supracitados se adequariam aos nossos propósitos, já que estão relacionados aos motivos pelos quais a humanidade sentiu a necessidade de desenvolver e aprimorar os conhecimentos matemáticos no decorrer da nossa história, que foi explicitado no início desse capítulo, na breve contextualização histórica apresentada. De acordo com Miguel e Miorin, nas orientações didáticas do PCN de Matemática para o terceiro e quarto ciclo do Ensino Fundamental, ou seja, para os anos finais do Ensino Fundamental (do 6º ao 9º ano), fica implícita a opção de abordar a história dos conceitos matemáticos pelo trabalho com os obstáculos epistemológicos. Esse obstáculo foi inicialmente definido por Gaston

37 38 Bachelard ( ) para o estudo científico e esse conceito foi trazido para a Educação Matemática por Brousseau (2008, p. 49), que o define como Um obstáculo é um conhecimento no sentido que lhe demos de forma regular de considerar um conjunto de situações. Tal conhecimento dá resultados corretos ou vantagens observáveis em um determinado contexto, mas revela-se falso ou totalmente inadequado em um contexto novo ou mais amplo. O conhecimento novo, verdadeiro ou válido sobre um contexto mais amplo não é determinado de acordo com o conhecimento anterior, mas em oposição a ele: utiliza outros pontos de vista, outros métodos etc. Entre eles não existem relações lógicas evidentes que permitam desacreditar facilmente o erro antigo por meio do conhecimento novo. Ao contrário, a competição entre eles acontece no primeiro contexto. Os conhecimentos aqui considerados não são construções pessoais variáveis, mas, sim, respostas universais em contextos precisos. Portanto, surgem quase necessariamente na origem de um saber, seja ela histórica ou didática. Brousseau afirma ainda que os obstáculos surgem pelos erros que o sujeito comete baseado em um conhecimento anterior que era válido em outro domínio conceitual, como, por exemplo, na aprendizagem dos números racionais na sua forma decimal. Geralmente os alunos transpõem os atributos que são válidos no conjunto dos números naturais para o conjunto dos números racionais, no qual essas características não apresentam a mesma validade, gerando erros e obstáculos na aprendizagem desse novo conjunto numérico. Portanto, os obstáculos fazem parte do processo de aquisição de um novo conhecimento, sendo um conhecimento perfeitamente legítimo e inevitável (BROUSSEAU, 2008, p. 50). Segundo Almouloud (2007), Brousseau define quatro tipos de obstáculos: os epistemológicos, que são constitutivos do conhecimento; os didáticos, que dependem das escolhas didáticas feitas pelo educador no processo de ensino; os psicológicos, que levam a uma desestabilização das representações do sujeito; e os ontogênicos, que dependem das limitações que o indivíduo apresenta em certa fase da vida, podendo ser neurológicas ou de outra natureza. Baseados no breve contexto histórico e nas pesquisas citadas na revisão bibliográfica de nossa pesquisa podemos levantar a hipótese de que o número zero tem a possibilidade de ser considerado um obstáculo, pois pode ser a causa de dúvidas no processo de aprendizagem de conceitos matemáticos. Todavia, não temos indícios suficientes para definir se o número zero é um obstáculo epistemológico ou didático. Temos a clareza de que nossa pesquisa não tem como objetivo e nem apresenta características que bastam para afirmar isso, pois demandaria estudos epistemológicos, históricos e didáticos específicos sobre o número zero. Mesmo assim, tal hipótese pode ser uma perspectiva para pesquisas futuras. A história do número zero ainda percorre uma trajetória sinuosa, passando pelas equações, pelo conceito de limite, pela Física,

38 39 pelo sistema binário, entre outras situações que não fazem parte do objetivo dessa investigação, e que também podem ser mais bem estudadas em outras pesquisas. Com isso podemos inferir que o conhecimento da história da Matemática em relação aos sistemas de numeração auxilia o professor a compreender os obstáculos concernentes à construção do conhecimento do nosso SND e do número zero, além de ser importante aos alunos na construção desses conceitos matemáticos. Na Figura 10 vemos a classificação do zero e a comparação das propriedades desse número em cada sistema adotado na história de alguns povos antigos, discutidos nessa seção, até os dias atuais.

39 40 Figura 10: Classificação dos zeros na história Fonte: Ifrah, 1994, p. 294

40 41 A Figura 11 ilustra uma linha do tempo com os principais acontecimentos históricos e suas datas aproximadas com relação à origem do SND e do número zero em alguns dos povos citados em nossa pesquisa. Figura 11: Linha do tempo com os principais acontecimentos históricos com relação a origem do SND e do zero Fonte: a autora Partindo dessa breve contextualização histórica acerca do SND e do zero, versaremos sobre os trabalhos afins pesquisados para compor esta dissertação. Dentre eles, buscamos investigações que abordavam a construção do SND por alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental, pois estão relacionados com a faixa etária na qual realizaremos a pesquisa, como a tese de Brandt (2005) e as dissertações de Rodrigues (2001) e Castro (2016). Procuramos também pesquisas acerca do número zero, nas quais encontramos a dissertações de Salvador (2003) e de Guimarães (2008) e a tese de Marcondes (2014), que tratam os sentidos do zero que os educandos apresentam. Iniciaremos a discussão a partir dos trabalhos relacionados ao número zero. 3.2 Significados do zero em pesquisas correlatas Geralmente, quando crianças, compreendemos o zero como sinônimo de nada, de ausência ou falta de algo. Normalmente essa noção permanece com o sujeito por muito tempo, até depois de iniciar a vida escolar. O número zero aparece em várias situações durante a escolarização. Mas, de acordo com pesquisas como de Zunino (1995), seus sentidos não são trabalhados ou bem explicados para os alunos, que aprendem a operar mecanicamente com esse

41 42 número. Dessa forma, não sabem afirmar o sentido e as particularidades que o zero assume nos diferentes contextos, inclusive no SND. Durante as buscas por trabalhos afins ao nosso tema, encontramos a dissertação de Salvador (2003), a de Guimarães (2008) e a tese de Marcondes (2014), que abordam os sentidos do número zero. Foram poucas as investigações detectadas especificamente sobre o tema Os números relativos em sala de aula: um olhar para o zero Nesse item abordamos a pesquisa que culminou na dissertação de mestrado em Educação de Célia Maria Ananias Salvador, sob a orientação da professora doutora Adair Mendes Nacarato, na Universidade São Francisco em São Paulo, concluída em A investigação apresenta como objetivos identificar os significados atribuídos por alunos da 6ª série (atualmente 7º ano do Ensino Fundamental) ao zero e averiguar em qual proporção o ensino de números relativos auxilia na conceitualização acerca do número zero pelos alunos. Visando alcançar os objetivos, a pesquisadora elaborou a seguinte questão de pesquisa: Quais sentidos são atribuídos ao zero pelos alunos de 6ª série ao iniciarem o estudo de números relativos e quais contribuições a prática pedagógica traz a esse processo de elaboração conceitual? (SALVADOR, 2003, p. 5). Salvador relata que a pesquisa inicial era relacionada à aprendizagem das regras de sinais, no estudo dos números relativos. Após leituras, principalmente das pesquisas de Glaeser (1985, apud SALVADOR, 2003), o objeto de investigação passou a ser os obstáculos epistemológicos relacionados aos números negativos. Dentre eles, um em particular foi escolhido: a ambiguidade do zero absoluto e do zero como origem. Assim sendo, a questão do zero passou a ser o foco da pesquisa. A investigadora afirma que optou por estudar os obstáculos didáticos que envolvem o conceito do número zero, pois são relevantes durante o processo de escolarização. Inicialmente, a autora fez uma retomada histórica e epistemológica sobre os números relativos que não será relatada nesse texto, pois foge aos objetivos da presente investigação além de uma breve história do zero, que foi explicitada anteriormente nesse capítulo. Para iniciar as discussões sobre o tema, a autora levanta cinco sentidos diferentes para o número zero, baseadas em Caraça (1989, apud SALVADOR, 2003) e fazendo um comparativo com as respostas obtidas pelos alunos à pergunta supracitada, sendo eles: elemento de contagem; valor posicional; dado operatório; origem (medida); elemento discreto e contínuo.

42 43 No primeiro sentido citado, a pesquisadora continuou utilizando as afirmações de Caraça (1989), pois, para ele, os números naturais surgiram com a necessidade do homem de contar e registrar essas quantidades. Sendo assim, o zero não pode ser considerado um número natural, pois não é contável. Segundo Caraça, os números naturais devem começar pelo número um, e os números inteiros pelo zero. Todavia, Barker (1969, apud SALVADOR, 2003) afirma que o zero é um número natural, bem como para os axiomas de Peano, que formam as leis fundamentais dos números naturais. Dessa forma, percebemos que não há anuência entre os pesquisadores sobre o zero ser um número natural ou não. Admitindo o sentido do zero como valor posicional, ele assume uma particularidade fundamental na construção da sequência numérica. Sem o preenchimento da coluna vazia não conseguiríamos representar de maneira escrita os infinitos números com os quais lidamos atualmente, tal como foi percebido historicamente por povos antigos, como os babilônios, os maias e os hindus. Ao assumir o zero como dado operatório, a autora aponta que Caraça (1989, apud SALVADOR, 2003) distingue dois tipos de inconvenientes que podem ocorrer nessa situação: a impossibilidade pela definição, como a divisão por zero; ou a não abrangência da definição, como a potência com expoente nulo, que apresenta por definição o resultado um. Esses resultados também foram percebidos historicamente, como mencionamos na seção anterior, causando controvérsias com relação às operações com os números naturais pelos hindus. No sentido do zero como medida, Salvador assume a concepção de Caraça, que o utiliza como origem da reta numérica, isto é, ponto de partida dos números positivos e negativos ou quando adicionamos números opostos resultantes de uma medição, e esse resultado é zero. Nessas duas situações apreendemos a utilização do zero como medida. Para a autora, ao abordar o último sentido do zero elencado, o conjunto dos números inteiros (incluindo os naturais) é discreto, pois numeramos e contamos seus elementos. Porém, os pontos em uma reta são contínuos, podendo ser utilizados como medida. Nesse sentido, nos números inteiros o zero assume o significado de zero absoluto e na representação na reta o sentido passa a ser de zero origem. A pesquisadora afirma que com essas características o zero pode ser considerado um número com qualidade e quantidade. O Quadro 2 apresenta os significados do zero encontrados por Salvador, com as características, o desenvolvimento histórico e alguns exemplos de cada significado:

43 44 Quadro 2: Os significados do zero Significados do zero Características Desenvolvimento histórico Exemplos Zero como elemento de contagem Zero como valor posicional Zero como dado operatório Zero como origem Cardinal de um conjunto vazio; nem sempre considerado um número natural; de natureza discreta; impregnado de quantidade. Representa as ordens vazias, zero como algarismo; impregnado de quantidade. Elemento neutro da adição; anula o produto em uma multiplicação; a⁰ = 1 (por definição, com a 0); 0⁰ é indeterminado; impregnado de quantidade. De natureza contínua; surge para a unificação da reta numérica no campo dos reais; impregnado de qualidade. Tal significado não se fez presente na história da Matemática até a axiomatização de Peano (século XIX). Utilizado pelos babilônios, maias, chineses e hindus. Utilizado babilônios. pelos Sistematizado por Dedekind (século XIX) na definição de número real. Fonte: Adaptado de Salvador (2003, p. 86) - Sem valor; - Nulo; - Nada. - Na formação de números retrata colunas vazias: 10, 100, 307, 1000, 1010 etc. - Resultado de operações (1 1 = 0); - Elemento neutro da adição (5 + 0 = 5); - O produto de uma multiplicação por zero é nulo; - Divisão por zero é indefinida. - Ponto de referência; - Neutro, pois não apresenta sinal; - Ponto de partida. A autora buscou em documentos oficiais, como a Proposta Curricular para o Ensino de Matemática para o 1º grau do estado de São Paulo (SÃO PAULO, 1988) e os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), quais eram as orientações para os professores abordarem o conceito do número zero. No primeiro documento a autora encontrou referências ao significado do zero na parte relacionada ao conceito de número, às operações com os números naturais e aos números inteiros. Todavia, no segundo documento relatou que não encontrou referências ao trabalho com o número zero e seus significados. Essas constatações levam-nos a conjecturar sobre a inexistência de um trabalho pedagógico mais sistematizado com relação ao zero. Diante de tal fato, podemos inferir que o aluno, ao longo de sua escolarização, não vivencia situações-problema que o levem a construir o conceito de zero em toda a sua amplitude (SALVADOR, 2003, p. 88). A aplicação com os alunos da pesquisa de Salvador foi dividida em três momentos: no primeiro, a investigadora fez a pergunta: Qual o significado do zero para você? para os alunos no início do estudo dos números relativos. Os alunos trouxeram as respostas por escrito. Então foi iniciado o estudo da reta numérica, com jogos e discussões. No segundo momento, os alunos responderam ao mesmo questionamento inicial, para identificar se após o começo do trabalho

44 45 os sentidos do zero poderiam ter sido alterados. No último, com o término do estudo dos números relativos, a mesma questão foi proposta, para verificar se houve mais alterações nos sentidos atribuídos ao zero. A Figura 12 mostra as porcentagens relativas às respostas dos 39 alunos em cada momento da pesquisa. Figura 12: Sentidos atribuídos ao zero Fonte: Salvador, 2003, p. 91 Por meio das porcentagens encontradas a partir das respostas dos alunos em cada momento da pesquisa, a investigadora destacou que inicialmente os alunos entendiam o zero como valor absoluto (62%) e posicional (44%), que provavelmente vinha de aprendizagens anteriores no processo de escolarização. No segundo momento, após o trabalho com a reta numérica, foram ampliados os significados do zero, mantendo-o como valor absoluto (46%) e do zero como origem (49%), sendo este o sentido com maior frequência nas respostas dos alunos. No terceiro, depois do trabalho com os números inteiros, surgiram o zero como medida (46%) e como valor posicional (54%) novamente. Um fato a se destacar é que o sentido de zero como dado operatório foi o único que apresentou um crescimento progressivo na frequência dos sentidos destacados pelos alunos em cada momento, com 21%, 31% e 38%, respectivamente, de aparecimento nas respostas. Segundo a pesquisadora esse fato pode ser uma consequência do trabalho realizado abrangendo as propriedades das operações. Além desses, aparecem também as respostas de zero como número natural (5%), que surgiram somente no primeiro momento, e as respostas de zero como

45 46 número inteiro, que apareceram no primeiro e segundo momentos da pesquisa com 3% e 5% das respostas, na devida ordem. A investigadora afirma que a aquisição do conhecimento pelos alunos não ocorre de forma linear, é um processo com avanços e retrocessos. Verificamos esse fato nas análises feitas por Salvador, afirmando que o surgimento de alguns sentidos nos momentos da pesquisa não significa que o educando compreendeu completamente aquele sentido, mas sim que naquela fase foi o sentido que marcou mais ou que estava sendo trabalhado naquela etapa do processo. Observamos isso no sentido de valor posicional, pois, no primeiro momento, aparece como um dos mais citados pelos alunos e, após o trabalho pedagógico desenvolvido, esse significado surge novamente como o mais utilizado nas respostas. Um aspecto ressaltado pela pesquisadora reside nas qualidades atribuídas ao número zero durante as falas dos alunos. Frequentemente, os participantes afirmavam que o zero não tem valor, mas que seria necessário na composição de outros números. Para a autora, esse tipo de qualidade [...] trata-se de um conceito cotidiano, visto ser comum tal utilização nas interações informais. Em se tratando de escolarização, tal ênfase não deveria ser dada, visto que o zero tem um valor numérico (SALVADOR, 2003, p. 109). Ainda, ela atribui a qualidade apresentada zero não tem valor ao discurso dos próprios professores, principalmente das séries iniciais, pois tal proposição é muito frequente [...] e não leva em consideração a questão dos números decimais em que o zero tem valor, o que talvez provoque obstáculos didáticos posteriores para a aquisição de conceitos matemáticos (Ibid., p. 113). Portanto, as escolhas didáticas feitas pelo educador podem facilitar ou dificultar a elaboração conceitual dos alunos, criando obstáculos, nos termos apontados por Brousseau (2008), que afetam a compreensão de novos conceitos. Nas considerações finais, Salvador afirma que os alunos apresentaram os quatro sentidos do zero desde o primeiro momento, porém essas porcentagens foram se alternando, de acordo com o tema trabalhado em determinada etapa da pesquisa. Assevera a complexidade encontrada por ela para avaliar em que medida as contribuições com o trabalho com os números relativos auxiliaram na ampliação do conceito de zero, sendo que não teve subsídios suficientes para realizar essa avaliação. De acordo com a autora, o processo de escolarização pode dificultar o aluno em alguns aspectos em relação à Matemática, pois se adquire atitudes, valores ou até uma linguagem Matemática inapropriada. Assim, Salvador (2003, p. 125) afirma que

46 47 Constatamos, ainda, como o processo de escolarização deixa marcas no aluno, quer pela apropriação de um discurso pedagógico, quer pela incorporação de atitudes e valores com relação à matemática, ou, ainda, pelo uso de uma linguagem matemática embora muitas vezes de forma inadequada. A investigadora assegura que essas marcas deveriam ser objeto de investigação dos educadores. Contudo, a formação inicial dos professores nos cursos de graduação não favorece a discussão teórica de casos específicos da construção de conceitos matemáticos, como o caso do número zero. A discussão insuficiente ou inexistente desse conhecimento nos documentos curriculares e nos livros didáticos auxilia no processo de produção de saberes sem significado para os educandos Sentidos do zero Em sua dissertação de mestrado, intitulada Sentidos do zero, defendida em 2008 na Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, orientada pelo professor doutor Ubiratan D Ambrosio, Guimarães fez uma investigação com alunos de todos os níveis do Ensino Básico, sendo eles: Educação Infantil, Ensino Fundamental, Ensino Médio e a Educação de Jovens e Adultos (EJA) no nível Médio, questionando os educandos sobre quais significados eles tinham acerca do número zero. No total, a pesquisadora realizou 41 entrevistas. Guimarães fundamentou sua análise de dados com os pressupostos do programa da Etnomatemática proposto por D Ambrosio, que explica os objetivos desse programa com base nas origens da palavra Etnomatemática. Desse modo, temos: -ticas, que corresponde as maneiras, modos ou técnicas; -matema, que podemos compreender como explicar, conhecer ou conviver; - etnos, que pode ser interpretada como a realidade social e cultural em que vivemos. Aplicando em sua pesquisa, Guimarães (2008, p. 28) afirma que Os alunos de diferentes idades, séries, crenças (ETNOS) utilizaram de diferentes maneiras, modos, técnicas (TICAS) para explicar, entender (MATEMA) o zero. Alguns buscaram Ticas (formas, modos) ligados à disciplina matemática recorrendo a explicações matemáticas do zero, relacionando-o com as operações, posição na reta numérica e etc. Outros, buscaram Ticas de Matema, recorrendo a sentimentos que o zero traz em contextos diferentes, como a nota escolar, a expressão zero a esquerda. Alguns alunos, buscaram Ticas de Matema no sistema monetário. Cada aluno, a partir da sua realidade (ETNO) buscou maneiras, formas, modos (TICAS) para explicar, entender (MATEMA) o zero. D Ambrosio afirma que a Etnomatemática é uma teoria do conhecimento e que pode ser aplicada em todas as áreas, não só na Matemática. Visa o estudo da geração, organização

47 48 intelectual e social e difusão do conhecimento em geral (D AMBROSIO, apud GUIMARÃES, 2008). O saber é dependente do contexto cultural, social e natural, que surge com as necessidades pela existência e pela evolução da humanidade (GUIMARÃES, 2008). Depois de realizar as entrevistas com os alunos de todos os níveis da Educação Básica, a pesquisadora analisou as respostas de cada classe conforme a proposta do programa Etnomatemática e destacou quatro sentidos atribuídos ao número zero que poderiam ser categorizados segundo as explicações dos educandos. Ela gravou as entrevistas com os educandos e transcreveu as falas que ilustravam a presença de cada uma das categorias elencadas pela pesquisa. Os sentidos analisados pela investigadora foram o zero como: técnica matemática, isto é, técnicas para explanar o zero na Matemática; conceitual, para elucidar conceitos ideias como o zero valendo nada e sem valor fazem parte dessa explicação; técnica social, ou seja, o número zero utilizado em diversas situações sociais, como ao utilizar dinheiro para pagar as compras; e, metáfora, uma maneira de interpretar a realidade usando comparações, por exemplo, ao dizer que alguém é um zero à esquerda, ou seja, uma pessoa sem valor, perdedor, que não consegue melhorar as condições em que vive (GUIMARÃES, 2008). Na Educação Infantil entrevistou educandos de três a sete anos. Na fala dos alunos, observou que os quatro sentidos supracitados foram encontrados nas respostas dos alunos. Entretanto, nas falas dos educandos de três e quatro anos ficou evidente o sentido do zero como técnica social, pois os alunos associaram as maneiras que o zero aparece no contexto cotidiano, relacionando o zero com o teclado do telefone, por exemplo. Os alunos de cinco a sete anos levantaram o uso do número zero nas brincadeiras infantis, como pular corda. Essa faixa etária se apoia nos usos sociais do número zero, mais relacionados com o próprio cotidiano da criança. Nos anos iniciais do Ensino Fundamental os educandos forneceram explicações que foram classificadas nos sentidos de: zero como técnica matemática, zero conceitual e zero como técnica social. Não houve referência ao zero como metáfora com esses educandos. Nessa faixa etária a maior frequência das respostas foi na primeira categoria, na qual a construção da sequência numérica, o zero algarismo utilizado na escrita dos números, o zero como resultado e como operador em cálculos aritméticos, apareceu nas respostas dos alunos da 1ª à 4ª séries (atualmente do 1º ao 5º ano). Essas explicações surgiram na fala dos alunos desse nível provavelmente por ser a etapa da escolarização na qual são construídos os conceitos de sequência numérica e dos cálculos aritméticos. Nos anos finais do Ensino Fundamental (5ª a 8ª série, atualmente 6º ao 9º ano), que compreende dos 11 aos 14 anos, todos os sentidos apareceram na entrevista com os educandos.

48 49 Nessa fase, as respostas referentes ao zero conceitual foram as que mais se destacaram, pois, segundo a pesquisadora, Os alunos deram conceitos ao zero: um nada, não existe, não tem valor, vazio, sem conteúdo, não faz diferença, sensação de nada, não tem importância. E também conceitos como: vale mais, pode valer muito, tem importância, ajuda outros números, tem valor (GUIMARÃES, 2008, p. 73) É relevante notar que os alunos percebem que o número zero apresenta um sentido somente quando o algarismo zero compõe o número e atribuem valor quando acompanhado por outros algarismos na composição de números. Desta forma o zero pode valer muito. No Ensino Médio regular, Guimarães ressalta que o sentido do zero como técnica matemática, como método para se explicar o número zero no contexto matemático, sobressaiuse nas respostas dos educandos, assim como havia ocorrido com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Dentre as explicações que os alunos apresentaram temos como exemplos: o zero número, que indica ausência; o zero como origem da reta numérica; como o zero marcador babilônico, utilizado para marcar a ausência de uma ordem no número; o zero nos números decimais; o zero neutro, ou seja, nem negativo, nem positivo em relação aos números inteiros. Na EJA em nível Médio, na qual geralmente são frequentados por adultos de faixa etária variada, todos os sentidos do número zero elencados pela pesquisadora foram citados. Dentre eles podemos destacar as respostas que estão na categoria do zero como técnica social, pois os participantes da entrevista alegaram que o zero está relacionado com situações negativas do nosso cotidiano, como a falta de dinheiro, a nota baixa na escola e as contas para pagar. Porém, alguns alunos apresentaram fatos relacionados a situações positivas, como quando está representando datas, seja de aniversário ou de casamento. Assim, o zero pode ser utilizado em contextos diversos, assumindo significados divergentes de acordo com o seu uso e a entrevista com os alunos de todos os níveis da Educação Básica ajudou a evidenciar esse fato. Ressalta ela que O zero nada, o zero muito, o zero fracasso, o zero início, o zero centro, o zero nas operações, o zero na história quantos zeros foram discutidos nesse trabalho (GUIMARÃES, 2008, p. 93).

49 Os sentidos do zero: as metáforas nas expressões de alunos surdos e professores de Matemática Na sua tese de doutorado, com a orientação da professora doutora Lulu Healy, pela Universidade Anhanguera, Marcondes (2014) trabalhou com os sentidos do número zero para alunos que apresentam surdez, visando colaborar para as discussões sobre políticas de inclusão, que ainda estão sendo construídas em nosso país. A autora relata, entre outras coisas, que trabalhou com uma aluna surda no segundo ano do Ensino Médio, e que essa aluna gostaria muito de cursar uma graduação e ter as mesmas condições que todos os alunos têm de estudar. Essas questões instigaram Marcondes a fazer uma pesquisa envolvendo a aprendizagem de conceitos matemáticos por alunos surdos. Nesse sentido, os objetivos iniciais da investigação foram pesquisar os tipos de pensamento levantados por alunos surdos e por professores quando falam sobre o número zero, além de propor, aplicar e analisar situações que explorem diversas percepções dos alunos e ampliar as ideias sobre o zero que os alunos já trazem de suas experiências escolares. Partindo dessa problemática, a pesquisadora apresenta quatro questões de pesquisa, que são: 1. Quais são os sentidos de zero dos diferentes participantes (professores e alunos surdos) de práticas matemáticas e como esses sentidos estão expressos? 2. Qual é o papel do corpo nas expressões dos sentidos do zero? Qual a natureza das metáforas e gestos associados aos sentidos de zero que emergem nas expressões dos participantes? 3. Em quais estilos de pensamento (narrativo e paradigmático) estão expressos os sentidos do zero? 4. A história do mundo sem o zero motivou os alunos surdos a se apropriarem de um novo discurso sobre o zero? (MARCONDES, 2014, p. 25). Para investigar essas questões, Marcondes fez entrevistas sobre o número zero com vinte alunos do Ensino Fundamental de uma cidade do estado de São Paulo, bem como com cinco professores, sendo que dois deles trabalham no Ensino Fundamental (um somente com os alunos surdos) e outros três do Ensino Superior. Como a pesquisa foi realizada com alunos surdos que utilizam a Língua Brasileira de Sinais (LIBRAS), Marcondes levantou a hipótese de que as formas de expressão podem alterar os sentidos. Por isso passou também a analisar os sinais e as metáforas que envolvem o conceito do zero. Em suas reflexões teóricas utilizou com frequência as referências de Vygotsky (1997; 2008), que aborda a questão do signo e do significado, bem como o conceito da mediação e da

50 51 influência dos gestos como recursos para pensarmos sobre a linguagem, relacionando principalmente com o aluno surdo. Também apontou os estilos de pensamento narrativo e pragmático de Bruner e as metáforas conceituais discutidas por Sfard, Lakoff e Nuñez (MARCONDES, 2014). Após as entrevistas com professores e alunos, a pesquisadora questionou os alunos sobre como seria o mundo sem o zero e, em seguida, apresentou um vídeo chamado O mundo sem o zero 4, que é um episódio de um desenho animado infantil, o Cyberchase, exibido no Brasil pelo canal aberto da TV Cultura. É um programa no qual os personagens sempre resolvem as situações apresentadas utilizando conceitos matemáticos. Após o vídeo, a investigadora repetiu a pergunta inicial e observou as respostas dos educandos. Marcondes (2014, p. 26) elencou as metáforas do zero encontradas nas falas dos alunos e professores e obteve que zero é ausência, zero é um lugar, zero é fracasso, zero é companhia, zero é infinitamente pequeno, zero é arrasador e zero é um divisor de águas. Dentre as respostas encontradas, percebemos que algumas fazem uma alusão negativa ao zero, como zero é um fracasso, e outras fazem uma referência positiva, como em zero é um divisor de águas. Notamos que a investigação apresentada conseguiu responder às questões propostas e mostrou que a presença dos gestos durante as falas dos alunos enriqueceu os significados que os indivíduos apresentavam nas entrevistas. O uso do recurso visual foi de extrema importância, pois os educandos surdos utilizam esse recurso para sua comunicação cotidiana e, após assistirem o vídeo, os significados apresentados por eles inicialmente foram ampliados e, em alguns casos, até modificados Considerações sobre as pesquisas relacionadas ao número zero Investigações brasileiras nas quais o número zero é o objeto matemático estudado são escassas. Na busca em livros, percebemos também que é dada pouca importância a esse número, apesar de ser fundamental para o funcionamento adequado do nosso sistema de numeração, juntamente com os atributos do SND e com os outros números. Nos trabalhos supracitados podemos perceber a relevância da discussão em sala de aula sobre esse número. Na dissertação de Salvador (2003) são levantados os diferentes sentidos do zero, segundo as concepções de Caraça e de acordo com as respostas dos alunos à pergunta: 4 A world without zero, na versão original do episódio em inglês.

51 52 Qual é o significado do zero para você?. Esse trabalho ilustra os diferentes sentidos que o zero pode assumir de acordo com o contexto no qual é utilizado em sala de aula. Cabe ao professor trazer essa conversa para a sua classe e auxiliar os alunos a compreenderem o significado e a importância histórica desse número na formação do nosso SND, além de discutir os diversos usos e sentidos do zero. Por sua vez, a dissertação de Guimarães (2008) teve por objetivo investigar os sentidos culturais que os alunos de todas as fases da Educação Básica apresentam em relação ao número zero. De acordo com as respostas obtidas pelos alunos, notamos que geralmente o zero possui uma conotação negativa, estando relacionado com situações do cotidiano que não são agradáveis, como a nota escolar, a pessoa fracassada, entre outros. Marcondes (2014), em sua tese relacionada ao sentido que os alunos surdos trazem sobre o número zero, pesquisou como esses alunos compreendiam o sentido do zero antes e depois de um trabalho realizado com esses educandos, envolvendo entrevistas e um vídeo, fato que acrescentou e alterou os sentidos apresentados pelos alunos inicialmente. Dessa forma, podemos afirmar que o trabalho por meio de situações didáticas pelas quais os alunos apreendam os diferentes significados do número zero em sala de aula se faz necessário para ampliar os sentidos do zero que os educandos trazem culturalmente, trabalhando outras concepções sobre o número, principalmente sua influência no registro numérico escrito e na formação do SND que utilizamos atualmente. Essas pesquisas contribuíram significativamente para a nossa investigação, pois trouxeram os diversos significados que o número zero apresenta e que, geralmente, não estão explícitos nos materiais didáticos, dificultando a compreensão de professores e alunos sobre o tema. Além disso, esses significados podem ser identificados nas respostas que os alunos trazem no instrumento e na entrevista realizada, que são explicitados detalhadamente na análise dos dados da presente pesquisa. A formação do SND para os alunos não acontece de forma linear e sequenciada. Demanda um trabalho mais aprofundado e contínuo, que será discutido nas pesquisas correspondentes abordadas na seção a seguir. 3.3 Sistema de numeração decimal (SND) Como pudemos perceber, o SND que utilizamos hoje sofreu mudanças e demorou para ser aceito historicamente como um modelo econômico de escrita numérica. As sociedades antigas tardaram a compreendê-lo adequadamente e a utilizá-lo em suas atividades cotidianas.

52 53 Por ser um sistema de escrita econômico, apresenta uma opacidade que, geralmente, interfere na significação dos números, dificultando o processo de aprendizagem dos alunos. Para ampliar essa discussão fizemos buscas no banco de teses da CAPES, no Sistema de Publicação de Teses e Dissertações da PUC-SP (TEDE) e no Portal de Periódicos da CAPES, por meio de palavras-chave como valor posicional, sistema de numeração decimal, número zero e Ensino Fundamental I, encontrando até janeiro do presente ano aproximadamente 750 trabalhos sobre esse tema. Iremos abordar aqui três que foram selecionados por estarem mais próximos de nosso objeto de trabalho: a tese de Brandt (2005), e as dissertações de Rodrigues (2001) e de Castro (2016) Contribuições dos registros de representação semiótica na conceituação do sistema de numeração Em sua tese de doutoramento, concluído na Universidade Federal de Santa Catarina, Célia Finck Brandt, orientada pelo professor doutor Méricles Thadeu Moretti, aponta que a compreensão do valor posicional no SND não é facilmente compreendida pelos alunos, conforme pesquisa realizadas por Constance Kamii, Nunes e Bryant, e pela própria Brandt na Universidade Federal de Ponta Grossa. Diante dessa problemática, apresenta a seguinte questão: Quais as formas de organizar e propor, no processo de ensino, situações que permitam aos alunos compreender o SND enquanto forma de comunicação e de registro da medida de um conjunto, expressa por um número, e atribuir sentido e significação aos registros de representação do número: escrita e numeral arábico que veiculam a estrutura do SND? (BRANDT, 2005, p. 21). Brandt visou auxiliar na melhor compreensão e ressignificação do SND, com a construção de uma proposta de ensino que objetive a correlação entre teoria e prática em sala de aula. A pesquisadora elencou três objetivos principais a serem alcançados com essa investigação, sendo eles: a) analisar os padrões de organização da palavra e do numeral arábico que constituem registros de representação do número; b) investigar a evolução do sentido atribuído ao número e dos registros de representação do número, para analisar sua influência na aprendizagem no plano pedagógico; c) investigar e propor de forma a levar os alunos a atribuírem sentido e significação aos registros do número, por meio da organização de uma situação de ensino. (BRANDT, 2005, p. 21).

53 54 Como teoria principal a investigadora utilizou a teoria dos registros de representação semiótica, proposta por Raymond Duval, pois tinha como finalidade verificar como ocorre a conversão da palavra escrita para a representação por algarismos indo-arábicos dos números, e o caminho inverso. Para isso, resgatou pesquisas que mostravam como as palavras escritas que representavam os numerais em outras línguas eram formadas, como no inglês, francês e chinês. Observou que no inglês e no francês, assim como em nossa língua, não há uma relação explícita entre a palavra e o sistema posicional, dificultando a compreensão da posição que o algarismo ocupa em determinado número. No sistema chinês, a posição da palavra indica se o algarismo que a representa deve ser somado ou multiplicado por dez, como bem explica Brandt (2005, p. 32): Esses termos oscilam à esquerda e à direita do 10, que é a base do sistema de numeração. Se, um dos termos é colocado à esquerda do 10 ele assume a função de multiplicação, como por exemplo, er shi que significa 20, isto é 2 x 10. Se colocado à direita, ele assume a função de adição, como por exemplo, shi er que significa 12, isto é Sendo assim, os alunos chineses tendem a aprender o sistema de numeração com mais facilidade, já que a sua representação em língua materna é mais transparente e regular que a nossa. Duval (apud BRANDT, 2005) afirma que compreender as diversas representações de um objeto matemático é fundamental para o processo de aprendizagem desse conceito. Outro fator apontado por ele é que muitas vezes as pessoas confundem as representações com o objeto matemático em si como, por exemplo, o estudo das funções. Apesar de a função ser um objeto matemático, o gráfico é geralmente trabalhado como se fosse o próprio objeto matemático, e não como uma das formas de representar esse objeto. Vergnaud, segundo Brandt, também aborda a questão das diversas imagens que um número pode ter, mostrando que um número pode ter várias representações, sendo que uma delas é no SND. Dependendo do uso das representações, os números não apresentam as mesmas propriedades, ou seja, precisamos conhecer as representações dos números para poder escolher a mais adequada para cada situação vivenciada. De acordo com Brandt, os objetos matemáticos necessitam de uma grande variedade de representações semióticas porque eles não existem fisicamente e, portanto, não são facilmente percebidos, estando relacionados diretamente ao funcionamento cognitivo do pensamento do indivíduo. Segundo Duval (1995) muitos registros devem ser mobilizados para que os objetos

54 55 matemáticos não venham a ser confundidos com suas representações passando a ser reconhecidos em cada uma delas (BRANDT, 2005, p. 68). Além disso, Brandt resolveu, em sua investigação, observar como os alunos constroem os sentidos e os significados dos números no SND com as representações da palavra e da escrita arábica. Para isso, elaborou um instrumento com atividades envolvendo as duas representações que pretendia analisar e o aplicou com 47 alunos de 3ª e 4ª séries (atualmente 4º e 5º anos) do Ensino Fundamental de uma escola estadual no Paraná. Ao analisar os resultados da aplicação do instrumento de pesquisa com os educandos, Brandt verificou que as atividades de comparação de números na representação pela escrita arábica proporcionaram a observação de padrões na escrita dos números, auxiliando no entendimento do valor posicional, que é uma lei primordial para a formação do SND. Nessas atividades, o zero tornou-se motivo de discussão, pois a autora relata que [...] foi possível conduzir a reflexão a respeito do número de algarismos do numeral e sua associação com tipos de grupos (de cem, de dez, etc) e também a respeito do zero como associado ao número de algarismos do numeral, mas não tornando o número sempre maior em virtude da posição por ele ocupada. (BRANDT, 2005, p. 194). Asseverou ainda que o trabalho com o algarismo que representa o número zero suscita várias representações, uma vez que sua troca de posições em um numeral pode transformá-lo em outros números com significados diferentes. Utilizar essas atividades de comparação numérica fomentou várias hipóteses sobre a estrutura do SND e sobre o significado do zero nesse sistema de numeração. Contraexemplos foram criados e facilitaram o entendimento da importância do algarismo zero nesse sistema. Nas considerações finais de sua tese, Brandt expôs que os alunos participantes da investigação apresentaram dificuldades em reconhecer os tipos de representação dos números (palavra e escrita arábica) abordados nas atividades propostas, bem como em construir generalizações a respeito da estruturação do SND. Pensando nisso, a pesquisadora realizou alterações no instrumento aplicado e apresentou como proposta que pode auxiliar os alunos a melhorarem a compreensão do SND. Nosso instrumento de pesquisa é um recorte com algumas adaptações da sequência de ensino que Brandt sugeriu ao final de sua investigação. Todavia escolhemos atividades que estão mais de acordo com o nosso objetivo de pesquisa e que serão explicitadas detalhadamente na análise dos dados.

55 Base dez: o grande tesouro matemático e sua aparente simplicidade Em sua pesquisa de mestrado concluída em 2001, sob a orientação da professora doutora Célia Maria Carolino Pires, pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Wanda S. Rodrigues apresentou a seguinte questão: Como evolui a construção das escritas numéricas e seu uso, ao longo do ensino fundamental, especialmente em relação às técnicas operatórias e às representações decimais de números racionais? (RODRIGUES, 2001, p. 1). Um dos objetivos levantados pela investigadora foi gerar contribuições para a criação de propostas pedagógicas coerentes com as necessidades dos alunos, tendo em consideração os obstáculos que afetam o ensino da base dez. Rodrigues abordou a construção do conceito de número conforme Fayol (1996), afirmando que [...] o que dá sentido ao conceito de número é um conjunto relativamente grande e diversificado de situações e práticas sociais, nas quais a quantificação e comparação, transformação e combinação, quantificações de comparações (ter a mais, ou a menos, do que), e composições de transformações (ganhar dois, depois cinco), desempenham, todas, um certo papel. (RODRIGUES, 2001, p. 45) A autora corrobora com Fayol, pois afirma que atividades desse tipo indicam duas características: a numeração, que é um sistema organizado, originado de uma cultura específica, um produto social externo ao aluno que precisa interiorizá-lo para resolver situações cotidianas; e as noções lógico-matemáticas que estruturam e organizam internamente esse sistema nos alunos. Essas características fazem parte da construção interna do conhecimento do sistema de numeração, sendo que os estímulos externos são considerados intervenções indiretas (RODRIGUES, 2001). A pesquisa de Rodrigues contou com 927 participantes, sendo 35 turmas distribuídas entre: Educação Infantil, 2ª e 4ª séries do Ensino Fundamental (atualmente 3º e 5º anos, respectivamente) de 4 escolas particulares, 3 escolas municipais e 3 escolas estaduais. Além desses alunos, a pesquisadora resolveu entrevistar os 29 professores que atuavam com aquelas turmas no ano letivo de Com o grupo dos alunos da Educação Infantil, a pesquisadora realizou entrevistas individuais para saber um pouco sobre cada aluno e a vivência que tinham com os números, com perguntas relacionadas à idade, à quantidade de irmãos, ao número da casa em que moravam, entre outros. As atividades propostas para a investigação foram: um ditado de números; a comparação de números com centenas e milhares; comparação numérica na opinião dos

56 57 estudantes; o reconhecimento dos números de 0 a 9, na qual eram apresentados cartões com os números e os alunos precisavam nomeá-los; a identificação em contextos diversos, na qual foi apresentada uma propaganda de uma loja de calçados infantis, era pedido que os participantes indicassem onde estavam os números e se sabiam o significado daqueles números. Analisando as respostas obtidas, a pesquisadora percebeu que os educandos apresentam vivências com os números em contextos diversos anteriores à escola, escrevendo números maiores de acordo com a experiência que tinham com eles e utilizando os algarismos que conhecem para formar os números que não sabiam escrever ainda. Apareceram também as escritas decompostas dos números, que seguiam o modo de pronúncia dos nomes, mostrando a ligação que os alunos dessa fase de escolaridade apresentam com a linguagem oral. Na atividade de comparação surgiram critérios para determinar quando um número é maior que o outro. Como exemplos, podemos citar: a quantidade de algarismos e a observação do primeiro algarismo de cada número para determinar o maior. Para esse grupo, o zero apareceu como o menor número, todavia no maior obtiveram respostas variadas. Rodrigues sugere que o trabalho com números em diversos contextos sociais seja mais explorado na sala de aula, pois os alunos trazem essas experiências com números do seu cotidiano, podendo ser trabalhadas as aplicações dos números em situações diferentes. Com os grupos de estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental, divididos em 2ª e 4ª séries (atualmente 3º e 5º anos), as atividades propostas foram semelhantes, atentando-se ao nível de dificuldade estabelecido para cada série pesquisada. Nesse âmbito, o instrumento de coleta de dados para a 2ª série foi composto da seguinte forma: ditado de números; colorir em um quadro a maior e a menor quantidade; situação-problema; escrita por extenso do nome dos numerais; cálculo mental envolvendo as operações de adição, subtração e multiplicação. Para a 4ª série houve as seguintes alterações: no ditado os números apresentavam a classe dos milhares; situação-problema que envolvia as trocas na base dez; a escrita do maior e do menor número utilizando 4 e 3 algarismos diferentes; escrita por extenso do nome dos numerais; cálculo mental envolvendo adição, subtração e multiplicação, sendo que as duas últimas atividades propostas foram mantidas idênticas às do instrumento da 2ª série. Ao analisar as respostas obtidas, a pesquisadora verificou um avanço significativo na escrita numérica apresentada nos alunos da 2ª série, comparados com os resultados dos alunos da Educação Infantil. Todavia, o mesmo progresso não aconteceu com os educandos da 4ª série, pois o índice de erros foi maior do que os da 2ª série. Como os números eram da classe dos milhares, alguns alunos se confundiram, trocando o ponto (utilizado como marcador para troca de classes) pela vírgula, provavelmente por estarem estudando os números decimais. Além disso, alguns

57 58 estudantes colocavam o ponto a cada duas ordens do número, ou começando a contar da esquerda para direita. Por exemplo, o número colocavam , evidenciando o desconhecimento das ordens de grandeza na escrita dos números. Outro aspecto importante abordado por Rodrigues está relacionado ao sistema de trocas no SND. Na atividade relacionada às trocas de uma ordem para outra, o desempenho dos alunos de ambas as séries foi semelhante, explicitando que esse trabalho deve ser contínuo, durante todos os anos iniciais do Ensino Fundamental. Os resultados envolvendo o cálculo mental também não foram satisfatórios. Mesmo sem a obrigatoriedade do cálculo realizado no papel, os alunos resolveram as operações na folha, revelando que esse tipo de atividade não é trabalhado com frequência, ou pode ser resultado de um contrato didático 5, no qual as respostas das questões de Matemática devem vir sempre acompanhadas por um cálculo escrito. Rodrigues afirma que os alunos de ambas as séries não veem o zero como um algarismo significativo, pois, Ainda não têm clareza sobre o papel do zero para indicar a falta de determinadas ordens; para eles, o zero apenas não vale nada, não é um algarismo. Por isso, ao comparar números como 200 e 146, o número 146 é maior, porque tem três algarismos (significativos) e o 200 tem apenas um algarismo (significativo). (RODRIGUES, 2001, p. 76). A atividade da 4ª série, na qual se pedia para escrever o maior número de 4 algarismos e o menor número de 3 algarismos, na parte que solicitava a escrita do menor número, houve a aparição de números do tipo 001, que mostram a dificuldade na compreensão dos papéis do zero, fato historicamente comprovado, mas que foram primordiais para a construção do SND que utilizamos atualmente. Em nossa visão teríamos aceitado esse tipo de resposta como correta, pois é um número formado por três algarismos, ainda que os dois primeiros não sejam significativos. Nas considerações finais, Rodrigues apontou que o objetivo do trabalho era de contribuir com reflexões para os professores que ensinam Matemática, independente de qual segmento de ensino da Educação Básica. Além disso, refletiu sobre como os alunos pensam acerca dos conhecimentos matemáticos, em especial sobre a formação do conceito de número pelos educandos. 5 De acordo com Brousseau (2008, p. 74), [...] a relação didática não pode formalmente gerar um contrato. As cláusulas não podem ser escritas, as sanções em caso de quebra não podem ser previstas etc. Contudo, a ilusão de que existe um contrato é indispensável para que a relação aconteça e seja, eventualmente, bem-sucedida. Cada um o professor e o aluno imagina o que o outro espera dele e o que cada um pensa do que o outro pensa... e essa ideia cria possibilidades de intervenção, de devolução da parte adidática das situações e de institucionalização.

58 59 Asseverou, além do mais, que a formação inicial dos professores em Matemática é insuficiente, que reflete em suas práticas limitadas em sala de aula, sem explorar mais a fundo os conceitos matemáticos fundamentais para a construção do pensamento com os educandos. Essa má formação também repercute na maneira como os professores utilizam os materiais disponíveis, sejam materiais concretos (ábaco, material dourado, entre outros) ou livros didáticos. O trabalho com os alunos na formação do conceito de número no SND precisa ser pautado na diversidade de atividades que estimulem os educandos a pensarem e confrontarem suas hipóteses com as de seus colegas, partindo do pressuposto que esse processo de construção desses conceitos é contínuo e demanda um estudo cada vez mais aprofundado em cada série do Ensino Fundamental. Segundo Rodrigues (2001, p. 118): A compreensão do zero com significado ligado à função de indicar o lugar da "unidade faltante" na escrita de um número, ou com a finalidade de indicar a multiplicação de um número natural por 10, quando colocado à sua direita, ou sem função, quando colocado à esquerda de um natural, foi muito presente nas produções das crianças, sem falar nas interpretações que surgiram nas escritas decimais dos [números] racionais. O zero é, sem dúvida, um grande desafio para os alunos, assim como o foi para a humanidade A construção do conceito de sistema de numeração decimal durante a alfabetização Matemática: uma proposta de intervenção de ensino Em sua dissertação de mestrado, concluída em 2016 pela Universidade Estadual de Santa Cruz, em Ilhéus, Bahia, Viviane Oliveira de Castro, sob a orientação da professora doutora Sandra Maria Pinto Magina, realizou uma pesquisa na qual visava investigar a influência de uma intervenção pedagógica na construção do SND por alunos do 3º ano do Ensino Fundamental por meio de materiais manipulativos e jogos. Para tanto, elaborou a seguinte questão de pesquisa: Qual a influência de uma intervenção pedagógica, apoiada em material manipulativo, jogos e discussão coletiva, para a construção do conceito de Sistema de Numeração Decimal (SND) por parte de alunos do 3º ano do Ensino Fundamental? E de que forma e em que medida se dá tal influência? (CASTRO, 2016, p. 24) O SND apresenta duas características fundamentais, que são a base dez e o sistema posicional. Além dessas, alguns atributos são, igualmente, conferidos a esse sistema, como a escrita econômica, a numeração posicional, a base decimal, o zero indicando ausência, ser aditivo e multiplicativo. O ensino desses atributos é primordial para a compreensão, pois por

59 60 ser um sistema notacional é uma representação mental da quantidade expressa por um símbolo, ou por um conjunto de símbolos que funcionam de acordo com regras determinadas para substituir o que representam. Por ser uma criação da humanidade o SND precisa ser um conhecimento organizado pela escola, visando a aquisição de conceitos como a contagem, determinando a correspondência biunívoca termo a termo; a contagem por agrupamentos, ou seja, realização de contagem através de agrupamentos simples ou agrupamentos complexos, que seriam os agrupamentos de agrupamentos, como, por exemplo, a centena que é um agrupamento das dezenas; os agrupamentos e as trocas, no qual a mudança para uma ordem superior somente será realizada em troca de agrupamentos de 10; o valor posicional, determinando que cada algarismo à direita vale dez vezes mais do que o que está à sua esquerda; o princípio aditivo; o significado do zero. Castro explicitou que a Matemática é baseada em uma concepção formalista, na qual o foco do ensino é a transmissão de fórmulas e algoritmos em detrimento da compreensão de significados. Nesse sentido, propôs um ambiente de diálogos entre os educandos e deles com o professor, pois durante essas discussões o educador poderia perceber como os alunos estariam pensando e fazer inferências mais apropriadas para potencializar a aprendizagem. Desta maneira, os educandos poderiam adquirir progressivamente a simbologia própria da linguagem matemática e tornar a alfabetização matemática mais significativa. Visando elaborar um ambiente que favorecesse a alfabetização matemática, Castro decidiu utilizar como base teórica de sua pesquisa a Teoria das Situações Didáticas (TSD), elaborada por Brousseau. Nessa teoria, Brousseau advoga um ensino centrado nas situações didáticas, que se forem bem elaboradas pelo professor, instigarão os educandos a refletirem, argumentarem, levantarem hipóteses e construírem seus conhecimentos no movimento de investigação. A utilização dos jogos em sala de aula para construir o conceito do SND pode ser definida como uma situação adidática, na qual os alunos assumem o papel de pesquisadores, elaborando um ambiente (milieu) favorável à aprendizagem significativa dos conceitos abordados. Com relação aos procedimentos metodológicos utilizados, a pesquisa apresenta um delineamento quase-experimental, isto é, tem como base a comparação entre as condições de intervenção e não intervenção deve sempre ser feita com o grupo experimental e de controle antes e após a mediação (CASTRO, 2016, p. 116). Com isso, a pesquisadora aplicou um préteste com alunos do 3º ano do Ensino Fundamental participantes para equiparar os grupos de acordo com o nível de conhecimento. Então dividiu os participantes em dois grupos: o

60 61 experimental, no qual foi aplicada pela investigadora uma intervenção de ensino pautada em jogos sobre o SND; e o controle, no qual foi aplicada uma sequência didática pela própria professora da sala, sem a interferência da pesquisadora. Dez dias após a intervenção, aplicou com os alunos dos dois grupos um pós-teste que apresentava as mesmas questões do pré-teste com a diferença da troca de posições das atividades e da mudança de alguns contextos, para avaliar o progresso na aprendizagem dos alunos acerca do SND. A análise dos resultados apresenta dados quantitativos e qualitativos, para poder explorar adequadamente as respostas obtidas pela pesquisa. Examinando as porcentagens relativas à quantidade de acertos de cada grupo no pré-teste e no pós-teste, verifica-se que o grupo experimental apresentou progresso significativo na porcentagem de acertos, passando de 36,5% para 76% no pós-teste. Todavia o grupo controle não exibiu o mesmo avanço: de 59,6% no pré-teste para 60,9% no pós-teste. Pela avaliação qualitativa das respostas obtidas, a pesquisadora afirma Os resultados ora analisados nos levam a concluir que a participação dos alunos na intervenção de ensino pautada num ambiente matematizador com utilização de materiais manipulativos e jogos com regras apoiadas nas propriedades do SND favoreceu no entendimento das regularidades deste conteúdo de ensino, visto que, tais recursos possibilitam experiências concretas que conduzem o entendimento da relação simbólica e os respectivos conceitos matemáticos envolvidos (CASTRO, 2016, p. 172). Ao comparar as atividades do pré-teste com as do pós-teste, a investigadora pôde afirmar que o maior índice de erros aconteceu quando os alunos buscaram resolver as situações propostas por meio de algoritmos. Essa comparação vai ao encontro com o que Parra (1996, apud CASTRO, 2016) obteve de suas pesquisas, confirmando que o ensino de algoritmos sem a compreensão adequada das propriedades do SND afeta a resolução de problemas, sendo que o ideal seria que os alunos utilizassem cálculo mental, estimativas ou até mesmo a calculadora para auxiliar na construção da resposta. O algoritmo é uma ferramenta útil para a resolução mais rápida e econômica dos cálculos. Contudo essa ferramenta passa a ter sentido para os educandos a partir do entendimento das características do SND. Durante as considerações finais, a investigadora, de acordo com os resultados obtidos, conseguiu responder sua questão de pesquisa, afirmando que a intervenção de ensino aplicada com os alunos do 3º ano do Ensino Fundamental mostrou-se positiva com relação ao nível de aprendizagem dos alunos acerca dos conceitos associados ao SND. Além disso, os educandos do grupo experimental conseguiram o dobro dos acertos em comparação com o pré-teste, mostrando que a influência dos jogos e materiais manipulativos foi estatisticamente expressiva.

61 Considerações acerca dos trabalhos correlatos sobre SND As pesquisas discutidas nessa seção, que foram Brandt (2005), Rodrigues (2001) e Castro (2016), apontam resultados significativos com o objetivo da nossa investigação, pois mostram que os estudantes apresentam dificuldades na compreensão do SND e do zero para a formação dos números. Brandt (2005) indica que os alunos apresentam dificuldades na associação entre a escrita arábica, com algarismos, para a escrita com palavras, visto que a opacidade do SND influencia negativamente na escrita arábica dos numerais. Portanto os alunos confundem ao transitar de uma representação para a outra. Segundo a pesquisadora, intervenções de ensino que possibilitem uma aprendizagem construtiva e não mecanizada do SND e de seus atributos precisam ser valorizadas pelos educadores, possibilitando um desenvolvimento cognitivo mais amplo, além dos muros da escola. Rodrigues (2001) aponta que a pouca compreensão da estrutura do SND pelos educandos é reflexo da má formação dos professores, que também não apresentam um conhecimento estruturado sobre as características e propriedades do SND e nem sobre os materiais manipulativos que auxiliam nesse processo. Além disso, os educadores não fazem um trabalho progressivo sobre esse assunto, pois acreditam que a aprendizagem dos atributos do SND e o trabalho com materiais concretos devem ser concentradas nos anos (séries) iniciais do Ensino Fundamental, sendo considerados já construídos nas séries seguintes. Sendo assim, o aluno não constrói um conhecimento adequado acerca do SND, apenas participando de um processo mecânico de aprendizagem. Na pesquisa de Castro (2016), nota-se que os alunos com menor desempenho, que foram escolhidos para compor o grupo experimental e participar da intervenção de ensino proposta pela pesquisadora, evidenciaram, além do progresso na aquisição do conhecimento, uma segurança maior para resolver as atividades do pós-teste por meio de estratégias próprias de resolução, evidenciando a compreensão que os alunos adquiriram do SND. Além disso, Castro (2016) mostrou com dados quantitativos e qualitativos que um trabalho realizado com jogos e materiais manipulativos influenciou positivamente na construção do conhecimento dos alunos, pois partiram de atividades exploratórias nas quais os alunos participavam ativamente do movimento de descoberta dos atributos do SND. As três pesquisas citadas revelam que a compreensão adequada do SND e do número zero não é um processo imediato e simples de se construir. Demanda um trabalho contínuo e

62 63 progressivo que precisa ocorrer durante todos os anos iniciais do Ensino Fundamental, estendendo-se quando os alunos iniciam o estudo de outros conjuntos numéricos, além dos números naturais. Sendo assim, o professor precisa criar um ambiente que favoreça a aprendizagem, oferecendo atividades diversificadas, seja mobilizando diferentes representações ou com jogos que estimulem a construção do SND pelos estudantes.

63 65 CAPÍTULO 4 APORTES TEÓRICOS Nesse capítulo apresentamos os aportes teóricos que fundamentam nossa investigação. Para isso, abordaremos a teoria de Piaget e Szeminska (1981) para a construção do conceito de número pelas crianças, e as pesquisas de Kamii (1992, 1994) que prossegue e aprofunda os estudos de Piaget sobre o número e os alunos. Adotamos como referencial a teoria de Piaget e as pesquisas de seus colaboradores, pois apesar de fazer parte de estudos iniciados na década de 60, não encontramos outras reformulações teóricas que fossem mais coerentes com o estudo dos mecanismos que motivam a elaboração do conhecimento, de acordo com a abordagem cognitivista do processo de ensino. Portanto, consideramos que, apesar dos estudos de Piaget serem vistos como antigos, ainda são relevantes para as questões educacionais da atualidade. Também discutiremos as investigações de Lerner e Sadovsky (1996) sobre a compreensão do SND pelos educandos, e Zunino (1995) que relaciona o conhecimento do SND com o número zero. Em seguida faremos uma síntese dessas pesquisas e como elas se relacionam com o nosso objeto de investigação. 4.1 Piaget e a construção do número pelas crianças Piaget (2002) 6, pesquisador com formação em biologia, estava interessado em investigar o desenvolvimento da cognição humana e, para isso, estudou a psicologia da inteligência: queria descobrir como o ser humano constrói conhecimento. Baseou, assim, suas pesquisas em análises e observações do comportamento humano durante a infância, pois esta fase da vida é o prelúdio do homem em si. Durante suas pesquisas, Piaget (2002, p. 2) criou a epistemologia genética que, segundo ele, tem por objetivo [...] procurar distinguir as raízes das diversas variedades de conhecimento a partir de suas formas mais elementares, e acompanhar seu desenvolvimento nos níveis ulteriores até, inclusive, o pensamento científico. Pretendia descobrir a gênese de todo tipo de conhecimento, independente de áreas específicas. Desta forma, também se interessou pela questão do conhecimento do número, fazendo algumas pesquisas com seus colaboradores, como Inhelder (1971), na qual investigou a aquisição do conhecimento de quantidades 6 A primeira edição da obra Epistemologia Genética, de Jean Piaget, foi lançada no Brasil no ano de 1971, porém nesse texto utilizamos a edição mais recente, de 2002.

64 66 contínuas; e Szeminska (1981) 7, onde trabalhou as quantidades descontínuas e a origem do número na criança tal como será detalhado neste texto. Piaget e Szeminska afirmam que a base para o conceito de número advém do desenvolvimento de características da cardinação e da ordenação. Dentre elas, podemos destacar: a conservação de quantidades; a correspondência termo a termo; a equivalência; a relação de inclusão e a reversibilidade. Esses atributos estão diretamente relacionados, sendo que a evolução nas propriedades da cardinação acarretam progressos também na ordenação. Além disso, de acordo com os autores, são classificados em três fases correspondentes. Para compreender como ocorreria a conservação de quantidades contínuas pelas crianças, Piaget e Szeminska fizeram experimentos envolvendo líquidos e vasilhames de tamanhos e formas diversos. O pesquisador mostrava para o indivíduo um recipiente com determinada quantidade de um líquido e perguntava se, ao passar o líquido para outro frasco com um formato diferente (seja de um diâmetro ou de uma altura maior), ou dividir o líquido em dois ou três reservatórios iguais, haveria alteração na quantidade inicial. No entanto, os autores perceberam que as quantidades contínuas mereciam um estudo mais aprofundado, resultando no trabalho posterior de Piaget com Inhelder, O desenvolvimento das quantidades físicas na criança, publicado no Brasil em Em relação às quantidades descontínuas, Piaget e Szeminska realizaram outros testes como um que consistia em formar duas fileiras com a mesma quantidade de cartões, porém cada fileira apresentando uma cor diferente. Inicialmente, o investigador colocava uma fileira de cartões e pedia que a criança formasse outra fileira com a mesma quantidade. Se o participante não enfileirasse os cartões, o pesquisador arrumava em correspondência biunívoca e solicitava que o aluno contasse cada grupo de cartões e comparasse as quantidades. Em seguida, alterava a disposição espacial de uma das fileiras, aumentando o espaço que separava cada cartão fazendo com que uma fileira ficasse visualmente maior que a outra. Sem que os sujeitos contassem novamente, o adulto perguntava se as fileiras agora tinham a mesma quantidade ou se uma tinha mais que a outra. Geralmente os educandos tendiam a dizer que a fileira maior tinha mais cartões. Com o apoio dessa e de outras tarefas de conservação de quantidades, Piaget e Szeminska concluíram que o conhecimento sobre os números não é inato e que não são obtidos 7 No Brasil, a primeira edição da obra A gênese do número na criança, trabalho de Piaget com Szeminska foi publicada em 1971, assim como O desenvolvimento das quantidades físicas na criança, que é o resultado das pesquisas de Piaget com Inhelder. Porém nesse texto utilizamos a terceira edição do livro A gênese do número na criança, que foi publicada em 1981.

65 67 por meio da linguagem. Conseguiram demonstrar que o indivíduo constrói seu conceito de número por intermédio da elaboração e do estabelecimento de relações mentais entre os objetos e o mundo. Diante disso, podemos afirmar que a construção do conceito de número não apresenta uma progressão linear e única para todo ser humano. É um processo individual e que sofre mudanças, com progressos e retrocessos, de acordo com o tempo para estabelecer as relações mentais de cada sujeito. A Figura 13 ilustra um exemplo de relações mentais criadas entre os números 7 e 14. Figura 13: Exemplo de relações mentais entre os números 7 e 14 Fonte: Kamii, 1992, p. 95 De acordo com as respostas das crianças para as situações apresentadas, Piaget e Szeminska definiram três fases para a conservação de quantidades, sendo elas: a ausência de

66 68 conservação, quando, por exemplo, o sujeito afirma que com a troca de recipiente a quantidade é alterada, seja para mais ou para menos; as respostas intermediárias, que pode ser considerada uma fase de transição, pois nem todos os indivíduos necessariamente passam por ela, sendo que em alguns casos o sujeito responde que não há alteração na quantidade do líquido e em outras há; e a conservação necessária, na qual o sujeito afirma que não há diferença na quantidade de líquido independentemente da partição realizada em reservatórios diferentes. Piaget e Szeminska ressaltaram que a diferenciação entre qualidade e quantidade é fundamental para o desenvolvimento do processo de conservação de quantidades. Segundo eles, a qualidade está relacionada com a percepção e a atribuição de características concretas dos objetos, além de determinar relações entre esses atributos. Estas relações podem ser de dois tipos: relações simétricas, que indicam as semelhanças entre as qualidades dos objetos, e as assimétricas, que estão relacionadas com as diferenças entre os objetos, sendo consideradas o início da quantificação. Como asseguram Piaget e Szeminska (1981, p. 32): Sob sua forma elementar, a quantidade é, pois, dada ao mesmo tempo que a qualidade: ela é constituída pelas relações assimétricas que unem necessariamente entre si as qualidades, sejam quais forem. Não existem, com efeito, qualidades em si, mas apenas qualidades comparadas e diferenciadas e essa diferenciação, enquanto envolve relações de diferenças assimétricas, não é outra coisa que o germe da quantidade. De acordo com os autores, a conservação de quantidades é uma tarefa complexa de ser realizada, pois o indivíduo precisa estabelecer relações entre os objetos e, ao analisar tais relações, o sujeito consegue efetuar comparações entre as quantidades estabelecidas. Podemos dizer que é composto por um processo de classificação de igualdades e de seriação de diferenças, direcionando a constituição das quantidades. A correspondência termo a termo e a equivalência foram outros pontos analisados por Piaget e Szeminska ao realizar a pesquisa com crianças entre 4 e 8 anos de idade. Os autores chegaram à conclusão que, assim como para a conservação de quantidades, a correspondência termo a termo e a equivalência também apresentam três fases que são muito semelhantes às supracitadas. São elas: a ausência tanto da correspondência termo a termo quanto da equivalência, isto é, o sujeito não consegue estabelecer uma relação biunívoca entre os objetos, baseando-se no comprimento das fileiras para comparar as quantidades, porém ao mudar a disposição física dos objetos o indivíduo também pode mudar sua resposta, fato que mostra a ausência da equivalência; a correspondência termo a termo, mas sem equivalência durável, pois o aluno consegue estabelecer a correspondência, contudo, ao espaçar ou apertar uma das fileiras, a equivalência deixa de existir, pois ainda está muito ligado à percepção visual dos

67 69 objetos, apresentando, assim, um conhecimento local 8 sobre a equivalência; e a correspondência termo a termo e a equivalência durável, na qual os educandos conseguem estabelecer a correspondência termo a termo e assegurar a equivalência dos conjuntos independente da disposição física dos objetos. Na terceira fase nota-se que a disposição espacial pode ser alterada e que não há mudança na quantidade de objetos do conjunto, porque o aluno compreendeu a reversibilidade das ações, que adquire significado para o sujeito a partir do momento em que associa a reversibilidade como base da equivalência. A percepção visual é um processo imutável. Entretanto, quando o educando passa a estabelecer relações entre essas percepções, as operações reversíveis podem substituir a percepção intuitiva e a correspondência assume um caráter operatório e quantificante, assegurando a equivalência durável dos conjuntos correspondentes. [...] é fácil perceber em que condições se opera a aritmetização da correspondência termo a termo: a correspondência deixa de ser qualitativa e se torna numérica assim que os elementos são concebidos como iguais (= equivalentes sob todos os pontos de vista) entre si e os caracteres diferenciais que os opunham uns aos outros no seio de uma mesma coleção são substituídos pela única diferença compatível com a sua igualdade, ou seja, por sua posição relativa na ordem da colocação em correspondência. Mais uma vez é, portanto, a igualização das diferenças que é fonte da unidade e, por isso mesmo, do número. (PIAGET; SZEMINSKA, 1981, p ). Por meio deste trecho podemos compreender a importância que Piaget e Szeminka davam à correspondência termo a termo na construção do conceito de número. Conforme sustentam, a evolução do conhecimento sobre equivalência é fator relevante para a aquisição da correspondência numérica, que torna as outras relações estabelecidas entre os objetos de forma secundária, focando somente na relação numérica determinada pelo conjunto de objetos analisado. Assim como com a correspondência cardinal, eles encontraram três etapas muito semelhantes para a correspondência ordinal (ou serial). São elas: a comparação geral sem a correspondência termo a termo ampla; seriação e correspondências progressivas; seriação e correspondência operatória. As fases citadas seguem as da conservação de quantidades e da 8 Nesse texto assumimos a definição de conhecimento local de acordo com Leonard e Sackur (1990, apud ALMOULOUD, 2007, p. 134): Chamamos conhecimento local um conhecimento do aluno que tem as seguintes propriedades: é um conhecimento correto com algumas limitações; o aluno ignora a existência dessas limitações, ou seja, são conhecimentos válidos em determinadas situações, mas que podem se alterar na mudança de contexto. Além disso, os limites de um conhecimento local, assim como seu campo de validade, fornecem ao aluno pontos de apoio para avançar na direção de conhecimentos menos locais (LEONARD; SACKUR, 1990, apud Almouloud, 2007, p. 134), isto é, os conhecimentos locais podem ser utilizados como base para a construção de novos conhecimentos.

68 70 correspondência termo a termo discutidas anteriormente nesse texto, explicitando como também é gradativa e contínua a aquisição da correspondência serial. De acordo com esses autores, as definições de número cardinal e ordinal são complementares, pois, Um número cardinal é uma classe cujos elementos são concebidos como unidades equivalentes umas às outras e, no entanto, distintas, com suas diferenças consistindo então unicamente em que se pode seriá-las e, portanto, ordená-las. Inversamente, os números ordinais são uma série da qual os termos, ao mesmo tempo em que se sucedem segundo as relações de ordem que lhe são atribuídas por suas posições respectivas, constituem igualmente unidades equivalentes umas às outras e, consequentemente, suscetíveis de serem reunidas cardinalmente. (PIAGET; SZEMINSKA, 1981, p. 219). Na primeira fase tanto da seriação quanto da cardinação, o pensamento dos alunos é muito intuitivo, baseando-se nos aspectos visuais para estabelecer as relações entre os objetos. Não apresentam a conservação de quantidades, a correspondência termo a termo e nem a equivalência como conhecimentos bem estabelecidos, tendo como referencial para a comparação somente a experiência perceptiva. Com a aquisição do início da conservação de quantidades, da correspondência termo a termo e com a exibição de uma equivalência que ainda não é durável, passa para a segunda fase. Esta é determinada pela falta de coordenação entre as categorias e pela inconsistência do conhecimento, que podemos denominar de não estável 9, pois em alguns momentos o sujeito demonstra ter adquirido a conservação de quantidades, mas ao mudar a disposição física dos objetos, por exemplo, já não consegue estabelecer essa relação. A terceira fase é marcada pelo aparecimento do pensamento operatório, pois o educando deixa de se basear em sua intuição e percepção visual para estruturar com antecedência e abstrair as relações entre os objetos, controlando os resultados esperados. Nesse nível, os sujeitos apresentam a conservação de quantidades, a correspondência termo a termo, a equivalência durável e a reversibilidade das operações bem estabelecidas e desenvolvidas em seu pensamento (PIAGET; SZEMINSKA, 1981). 9 Utilizamos nessa pesquisa o termo conhecimento não estável com o significado de um conhecimento em processo de construção, que ainda não está completo, portanto passível de apresentar erros de acordo com o contexto inserido. Almoloud (2007, p. 129), baseando-se em Piaget, afirma que no conceito de desequilíbrio [...] os conhecimentos saem de um estado de equilíbrio e passam por fases transitórias, nas quais os conhecimentos anteriores não funcionam bem. A superação desse momento de desequilíbrio, para um novo estágio de equilibração, significa que houve reorganização dos conhecimentos em que as novas aquisições foram integradas ao saber antigo. Fazendo um paralelo com a teoria de Piaget, podemos dizer que conhecimento não estável é aquele que está passando pelas fases transitórias de construção do saber, enquanto que o conhecimento estável se encontra no estágio de equilibração, no qual o saber foi construído e incorporado à rede de conhecimentos do indivíduo.

69 71 Ao pesquisar sobre as classes, Piaget e Szemiska apontam que a relação de inclusão é de suma importância para o desenvolvimento do conceito de número, pois estabelece a relação entre as partes e o todo de conjuntos numéricos. Inicialmente o sujeito não institui essa relação, como no exemplo citado na obra, da comparação entre a quantidade de crianças, de meninos e de meninas. Quando se compara o todo (no caso, o conjunto de pessoas) com as partes (o conjunto de meninas e o conjunto de meninos), o indivíduo diz que as partes são maiores que o todo, porque assim que o todo é separado em partes o sujeito não consegue mais visualizá-la como uma totalidade, comparando somente as partes entre si, pois ainda não apresentam a reversibilidade das operações bem desenvolvida. [...] a síntese aditiva das partes num todo ou a coordenação das qualidades que definem as classes em jogo só são possíveis em função de construções intelectuais reversíveis operadas pela criança e que é na medida em que suas experiências mentais permanecem irreversíveis que a coordenação das qualidades como a própria inclusão aditiva e a coligação aritmética lhe são possíveis (PIAGET; SZEMINSKA, 1981, p. 244). Quando a criança consegue compor e recompor conjuntos, estabelecer relações, identificar implicações e realizar inclusões em geral, podemos afirmar que a reversibilidade faz parte de suas experiências mentais e servirá de auxílio na compreensão das características e propriedades do SND, pois o educando terá desenvolvido um mecanismo operatório flexível e com dupla direção, estando apto a realizar a operação inversa. Piaget e Szeminska (1981, p. 253) afirmam que a hierarquia aditiva das classes, a seriação das relações e a generalização operatória do número (isto é, a construção dos números que ultrapassam os inteiros intuitivos, 1, 2 a 4 ou 5) constituem-se [...] por volta dos 6 ou 7 anos de idade. É nesse momento que os sujeitos conseguem tornar flexíveis as respostas intuitivas, no qual adquirem a capacidade de incluir, seriar e enumerar os conjuntos. Em seguida, discorremos como Kamii, com base nas pesquisas de Piaget, aprofunda seus estudos sobre o conhecimento do número. crianças As pesquisas de Constance Kamii acerca do desenvolvimento do número nas Constance Kamii é uma pesquisadora que aborda a questão da formação do conceito de número nas crianças e a sua influência na aprendizagem das operações matemáticas. Aluna e colaboradora de Jean Piaget, Kamii utilizou a teoria de seu professor como suporte para suas investigações no âmbito da aquisição dos conceitos matemáticos.

70 72 Em sua obra intitulada A criança e o número, Kamii (1994) discutiu a natureza do número partindo dos três tipos de conhecimento estabelecidos por Piaget: o conhecimento físico, que abrange as características físicas do objeto, que podem ser observadas; o conhecimento social, que é baseado nas convenções criadas socialmente; e o conhecimento lógico-matemático, que são relações concebidas mentalmente pelos sujeitos entre dois objetos. Para Piaget (apud KAMII, 1994) esses conhecimentos estão associados, pois a base para a formação do conhecimento físico e social está vinculada ao desenvolvimento do conhecimento lógico-matemático. Para auxiliar no processo de construção do conhecimento físico, Piaget distingue dois tipos de abstração, a empírica (ou simples) na qual o indivíduo se atenta somente a uma das propriedades físicas do objeto e despreza as outras, e a reflexiva (ou construtiva) na qual o sujeito estabelece a construção de relações mentais entre os objetos. Essas construções são únicas, cada sujeito cria as suas de acordo com as conexões que estabelece entre os objetos (KAMII, 1994). Kamii afirma que, mesmo tendo definições distintas, os dois tipos de abstração não podem ser dissociados. Não há como ter uma abstração empírica sem o estabelecimento de relações. As abstrações, nesse sentido, estão imbricadas. Portanto, um sistema de referência lógico-matemático (construído pela abstração reflexiva) é necessário para a abstração empírica, porque nenhum fato poderia ser lido a partir da realidade externa se cada fato fosse um pedaço isolado do conhecimento já construído numa forma organizada. (Ibid., p. 18). A construção dos conhecimentos físico e lógico-matemático depende das abstrações empíricas e reflexivas para se desenvolver, logo, afetam diretamente na elaboração de relações para a compreensão do número pelas crianças. Para os números que apresentam somente unidades é comum o uso de materiais concretos para a contagem, na qual a abstração empírica ainda se encontra presente. Para entender o processo de formação dos números maiores, os sujeitos precisam estabelecer várias relações mentais (abstração reflexiva) sobre os objetos, para conseguir compreender quantidades que nunca contaram antes. (KAMII, 1994). Piaget, de acordo com Kamii, assevera que a elaboração da sequência numérica se constitui com base na abstração construtiva, estabelecendo relações de ordem e de inclusão hierárquica. A relação de ordem está associada à contagem, pois quando oferecemos objetos para os indivíduos contarem, a maioria conta duas vezes o mesmo objeto ou pula algum durante a enumeração. A relação de ordem não está elencada com a ordem espacial dos objetos, mas sim com a relação mental que é criada durante a contagem. Sendo assim, o indivíduo que construiu

71 73 essa relação mental consegue contar elementos de um conjunto adequadamente, mesmo que a disposição física deles não obedeça a um padrão, como ilustrada na Figura 14. Figura 14: Relação de ordem Fonte: Kamii, 1994, p. 20 A inclusão hierárquica se refere à construção efetiva de uma sequência numérica na contagem de um conjunto de objetos. Esta relação [...] significa que a criança inclui mentalmente um em dois, dois em três, três em quatro, etc (KAMII, 1994, p. 20), como se vê na Figura 15. Figura 15: Relação de inclusão hierárquica Fonte: Kamii, p. 21 Na relação de inclusão hierárquica o indivíduo percebe que a construção da sequência numérica segue uma hierarquia, na qual um número está contido no outro e não somente como uma correspondência biunívoca, na qual cada objeto do conjunto pertence a um nome. Além dessas relações, a reversibilidade já citada anteriormente também é fundamental para a compreensão do conceito de número. Tal relação implica que toda a ação feita mentalmente pode ser desfeita; ou seja, ao observar o todo, o indivíduo consegue separar esse todo em duas partes e reuni-las novamente em seguida (KAMII, 1994). A reversibilidade ocorre aproximadamente aos sete anos de idade, portanto não seria recomendado trabalhar com o valor posicional dos números até que o educando tenha

72 74 compreendido adequadamente as relações de inclusão hierárquica, de ordem e de parte-todo, que são relações fundamentais para o aperfeiçoamento do pensamento reversível e para um melhor entendimento das características do SND (KAMII; DECLARK, 1996). Tendo por base as pesquisas realizadas com alunos de 1ª e 2ª séries (atuais 2º e 3º anos), Kamii e Housman (2002, p. 100) asseguram que o ensino das operações baseadas em algoritmos é danoso por dois motivos: (a) Eles encorajam as crianças a abandonarem seu próprio pensamento; e (b) eles desensinam valor posicional, desse modo impedindo as crianças de desenvolver senso numérico. Para os educandos, o algoritmo auxilia a intensificar o erro, pois reforça o pensamento que o 2 do 27, por exemplo, representa dois e não vinte, tendo uma visão muito isolada das ordens numéricas, observando somente o valor absoluto de cada algarismo. Dessa forma, o ensino acentuado de algoritmos prejudica o entendimento do valor posicional, tanto que os alunos não conseguem analisar se a resposta encontrada por meio de algoritmo é compatível com os números que se encontram nas parcelas da operação. Para auxiliar na construção do conhecimento social, Kamii (1994, p. 24) argumenta que assim como o conhecimento físico, o conhecimento social é um conhecimento de conteúdo e requer uma estrutura lógico-matemática para sua assimilação e organização. Desta maneira, o conhecimento lógico-matemático não pode ser transmitido como um conhecimento social, pois é uma construção interna, que tem como base o estabelecimento de relações do próprio sujeito. As palavras que representam os números podem ser consideradas conhecimento social, pois dependem de cada idioma, ou seja, da cultura de cada país. Porém, a ideia de número faz parte do conhecimento lógico-matemático e é única para a humanidade, independente de questões culturais. Por conseguinte, o ato de ensinar o aluno a recitar a sequência numérica é um conhecimento social, mas que não revela que o sujeito compreendeu o significado matemático do ato de contar. Para Kamii (1994), é de suma relevância indicar a diferença entre a construção do número e a quantificação de objetos. A primeira é construída na cabeça do indivíduo, não sendo possível uma observação externa. A segunda possui alguns aspectos observáveis, como o comportamento do sujeito durante a quantificação. Contudo, o pensamento desenvolvido por ele não podemos analisar, por ser desenvolvido internamente. A pesquisadora sugere que, apesar da estrutura mental auxiliar na quantificação de objetos, os professores ofereçam diversas situações de contagem aos alunos, pois tais tipos de atividade podem favorecer o desenvolvimento de outras estruturas mentais, desde que o indivíduo já tenha maturação suficiente para tanto. A autora ressalta seis princípios de ensino que podem favorecer o desenvolvimento do conceito de número pelos educandos:

73 75 [...] encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos e ações em todas as espécies de relações; encorajar as crianças a pensarem sobre número e quantidades de objetos quando estes sejam significativos para elas; encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar conjuntos (em vez de encorajá-las a contar); encorajar a criança a fazer conjuntos com objetos móveis; encorajar as crianças a trocar ideias com seus colegas; imaginar como é que a criança está pensando, e intervir de acordo com aquilo que parece estar sucedendo em sua cabeça. (KAMII, 1994, p ). Nesses princípios, Kamii salienta que é preciso desenvolver a autonomia, a resolução de conflitos e de problemas cotidianos que envolvam a contagem. Segundo ela, os números não precisam ser ensinados visto que, como o número é uma construção interna do sujeito, não pode ser transmitido de uma pessoa para a outra, mas pode ser estimulado por meio de situações cotidianas que auxiliem na construção desses conceitos, pois os alunos interessam-se por contextos nos quais sejam necessárias contagem ou comparação de quantidades. O professor precisa utilizar-se dessas situações diárias para estimular os alunos a resolverem os problemas pensando sobre os números, sem a rigidez de um horário predeterminado e de atividades deslocadas do cotidiano. Kamii critica, ainda, o uso de materiais educativos baseados em barras para o ensino inicial dos números, como o material Cousinaire, pois não há discriminação entre as quantidades discretas e contínuas, e que apresenta diferenças, de acordo com as pesquisas já citadas de Piaget. Nesse material, a barrinha de 1 centímetro corresponde ao número 1, a de 5 centímetros ao número 5 e assim por diante. Entretanto, para as crianças, cada barrinha pode ser apenas 1, pois realizam a contagem com quantidades discretas. A extensão, isto é, o tamanho do objeto, não é considerada pelas crianças pequenas, pois é uma quantidade contínua. As discussão e argumentação são ferramentas cruciais para o desenvolvimento do conceito de número. Segundo Kamii (1994, p. 63), no âmbito lógico-matemático a confrontação de duas ideias erradas pode fazer surgir uma outra que seja mais lógica que qualquer uma das outras duas. Quando os educandos chegam a conclusões diferentes, eles podem aprender muito uns com os outros ao argumentarem sobre seus resultados, podendo eles mesmos chegarem à resposta correta, sem a intervenção direta do adulto. É claro que em alguns momentos há a necessidade da interferência do educador, de acordo com as observações feitas sobre o comportamento dos alunos, para incentivar os sujeitos a pensarem, ao invés de fornecer as respostas prontas. Depois de discutido à luz da teoria de Piaget e das pesquisas de Kamii como as crianças constroem o conceito de número, exploraremos a aquisição das propriedades do sistema de numeração decimal, que histórica e didaticamente apresentam dificuldades de compreensão

74 76 pelos indivíduos, como já foi mostrado nas pesquisas que compõem a revisão bibliográfica do capítulo anterior e que veremos também na próxima seção. 4.2 A influência do SND e do zero na compreensão dos números pelas crianças Ao pesquisar sobre as operações matemáticas, Lerner e Sadovsky (1996) perceberam que ao efetuar os cálculos os alunos não relacionavam os números com as ordens (unidade, dezena e centena) que teriam sido estudadas previamente. Conforme afirmam as pesquisadoras, parecia que os alunos não percebiam a relação entre a formação dos números e as regras do nosso sistema de numeração. Diante dessa situação resolveram iniciar uma investigação sobre como os educandos compreendem o sistema de numeração e os conflitos gerados pelas características desse sistema. As autoras argumentam que essas dificuldades também foram detectadas em outros países, resultando em diversas pesquisas sobre o tema. Dentre elas, destacam a de Kamii, que defende que as regras do sistema de numeração devem ser trabalhadas posteriormente, e a de Bernarz e Janvier, que argumentam que o trabalho com essas regras deve partir do agrupamento, utilizando materiais manipuláveis e situações de agrupamentos significativos. As pesquisadoras asseguram que essas concepções não levam em consideração que os alunos estão em contato diário com diversos tipos de números e elaboram por si mesmos critérios que auxiliam no processo de compreensão da notação convencional dos números (LERNER; SADOVSKY, 1996). A pesquisa de Lerner e Sadovsky parte de situações de jogo, nas quais alunos entre 5 e 8 anos tinham que comparar os resultados numéricos para definir os ganhadores. A maioria dos educandos que participou tinha iniciado a primeira série (atualmente o segundo ano do Ensino Fundamental) há pouco tempo. Nas comparações realizadas pelos alunos, as investigadoras levantaram alguns critérios que foram surgindo das respostas dos participantes, dos quais podemos destacar: a quantidade de algarismos, ou seja, o número que apresenta mais algarismos na sua escrita é o maior; a posição dos algarismos ou o primeiro é quem manda, isto é, compreender que a posição do algarismo é determinante para a comparação numérica no nosso sistema de numeração; o papel dos nós, que são os números das potências de base 10 (10, 100, 1000 etc.); e a importância da numeração falada, pois a sequência oral apresenta informações sobre a escrita dos números que os educandos costumam usar em suas produções. O primeiro critério, sobre a quantidade de algarismos, fica claramente descrito nas transcrições das entrevistas com os alunos feita por Lerner e Sadovsky. Mesmo que o sujeito não

75 77 saiba denominar oralmente os números que estão comparando, esse critério ainda é válido. Quando os indivíduos conhecem o nome dos números, ao realizar as comparações, eles utilizam esse método e também se apoiam na sequência numérica oral para comparar as quantidades. Usando a posição dos algarismos como critério de comparação, os sujeitos mostram que reconhecem a importância desse preceito na formação dos números. De tal modo, o indivíduo consegue compreender que os algarismos possuem um valor quando são observados isoladamente valor absoluto e que apresentam outro valor dependendo da posição assumida na formação de um número valor relativo que são conceitos fundamentais para o melhor entendimento do sistema de numeração decimal. Quando comparam números com a mesma quantidade de algarismos, observam o primeiro número, sendo determinado o número maior aquele que apresentar o maior algarismo na frente do número. Se o primeiro for igual, a observação passa a ser do segundo algarismo, para realizar a comparação, e assim sucessivamente (LERNER; SADOVSKY, 1996). Nesse sentido, as pesquisadoras afirmam que mesmo que os alunos [...] ainda não descobriram as regras do sistema (o agrupamento usando o recurso da base 10), porém isso não lhes impede, em absoluto, de elaborar hipóteses referentes as consequências dessa regra a vinculação entre a quantidade de algarismos ou sua posição e valor do número e utilizá-las como critérios válidos de comparação de números. A partir destas hipóteses, as crianças poderão, sem dúvida, formular perguntas e o professor poderá enuncia-las questões que as conduzirão, através de aproximações sucessivas, a descobrir a regra do sistema. (Ibid., p. 90). As pesquisadoras asseguram que a aquisição da sequenciação não ocorre de maneira linear e progressiva, mas com base nos nós, que são os números formados pelas potências de base 10, como o 100, o 1000, o 10000, entre outros, além dos múltiplos de dez e de cem. É após se ancorarem nos nós que os indivíduos desenvolvem hipóteses acerca dos números que estão entre eles e vão construindo a sequência numérica. Em suas investigações sobre o valor posicional, Zunino averiguou como os alunos interpretam o duplo papel do zero no SND, que representa ao mesmo tempo a ausência de elementos e a presença de uma posição (ZUNINO, 1995, p. 118). Os sujeitos entrevistados eram de primeira, terceira e de quinta série (atualmente segundo, quarto e sexto anos, respectivamente) do Ensino Fundamental. Ao serem questionados sobre o valor do zero, afirmaram que não possui nenhum valor, além de apresentar argumentos sobre a atribuição do zero nos cálculos, que a pesquisadora separa em duas categorias: o zero como resultado de uma operação e o zero como estado inicial (ou operador), que mostra o conhecimento dos alunos acerca do zero ser o elemento neutro da adição.

76 78 Ao questionar sobre as especificidades do zero em números formados por vários algarismos, os participantes não apresentaram um consenso, pois alguns afirmaram que o zero somente teria valor se colocado à direita de um número e à esquerda não representa valor algum; outros disseram que mesmo estando em outras composições do número, o zero continuaria a não apresentar valor; outros ainda asseguraram que caso se suprima o zero de um número se formaria um segundo número diferente do primeiro (ZUNINO, 1995). Ao comparar números formados com o zero, a regra da maior quantidade de algarismos também é válida. No entanto, pode haver confusões se compararmos, por exemplo, 1000 e 0001, fazendo com que os alunos confirmem que possuem o mesmo valor, apesar da posição alterada dos algarismos. Em outro caso, ao comparar 1000 e 00056, o sujeito entrevistado afirmou que o é maior que mil. Zunino conjectura que o educando pode pensar que o zero não tem valor quando está à esquerda de um número. Entretanto, caso apareça mais de um zero à direita esse conjunto de zeros passa a assumir um valor; ou, então, esse educando utilizou somente o critério da quantidade de algarismos sem considerar o valor que o zero assume a esquerda do número. A pesquisadora destaca que mesmo sem conhecer a denominação oral dos números, os alunos utilizam a regra da quantidade de algarismos para realizar a comparação numérica. Além do mais, Zunino apresenta a situação em que o zero ocupa posições intermediárias na formação do número, como por exemplo o 108, e relata que os alunos ficam divididos quanto a essa situação. Alguns declaram que nesse caso o zero tem valor. Todavia, certos educandos continuam afirmando que o zero não tem valor, apesar de ser importante para a formação desse número. Algumas crianças que fazem parte dessa última opção deparam-se com uma contradição: O 0 não vale nada, porém não pode ser suprimido. Isto as leva em algumas situações a aceitar que o 0 tem algum valor quando faz parte de uma quantidade, porém essa aceitação os conduz a uma nova contradição. Javier, por exemplo, chega a afirmar que no 108 o 0 tem valor, porém quando se pergunta quanto vale [...] responde: Isso é o que não entendo. Outras crianças que também enfrentam essa contradição limitam-se a dar respostas alternativas afirmando às vezes que o 0 vale sim e outras vezes que não vale porém, tampouco conseguem encontrar uma solução que resulte satisfatória. (Ibid., p. 124). O que os alunos precisam perceber é que o zero determina a falta de elementos a uma determinada potência de base dez, dependendo da posição que ocupa no número. Um zero na ordem das centenas indica que, após sucessivos reagrupamentos na base dez, não ficou nenhum conjunto equivalente a essa potência da base (10²). Se excluímos esse algarismo, assumindo

77 79 como exemplo o número 2018, passamos a ter outro número, pois o algarismo 2 assumirá nova posição e novo valor, passando a ser 218. Segundo Zunino, para uma compreensão adequada do SND e do valor posicional, os educandos necessitam reconstruir esse conhecimento, descobrindo os princípios que possuem o SND. Para isso, o professor precisa propor situações que favoreçam essa construção, partindo dos saberes cotidianos que os alunos trazem sobre esse sistema numérico. Com relação à numeração falada, Lerner e Sadovsky (1996) apontam que os educandos se apoiam nas dicas sobre a escrita dos números presentes na fala e nos nós para escrever os números. Quando utilizam esse recurso, muitos equívocos são cometidos, pois, como nosso sistema de numeração decimal é um sistema econômico de escrita, a numeração falada não corresponde à escrita posicional dos algarismos que formam os números. As autoras afirmam, então, que [...] se a organização da numeração falada fosse posicional, a denominação oral correspondente a 4705, por exemplo, seria quatro, sete, zero, cinco, no entanto, a denominação realmente utilizada para este número explicita, além dos algarismos quatro, sete e cinco, as potências de dez correspondentes a tais algarismos (quatro mil setecentos e cinco) (Ibid., p.100) Comparando com a história do SND já discutida no terceiro capítulo, podemos dizer que os hindus apresentaram, inicialmente no desenvolvimento do sistema de numeração deles, uma numeração falada posicional, pois escreviam os números em língua materna, da mesma forma que Lerner e Sadovsky apresentam no trecho citado. Contudo, como precisavam da escrita mais rápida, passaram a utilizar os algarismos para representar a numeração falada, chegando ao SND que utilizamos atualmente. Características do nosso SND que foram construídas historicamente, como a escrita econômica e a falta de transparência, são fatores que dificultam a compreensão do sistema. A falta de transparência implica no valor que cada algarismo assume de acordo com a posição na qual se encontra na escrita numérica, ou seja, precisamos saber qual é a potência da base para multiplicar por cada algarismo e determinar o valor do número. A economia na escrita advém da possibilidade de escrever qualquer número com apenas dez símbolos. Essas características estão associadas, pois quanto mais econômica for a escrita, menos transparente esse sistema será (LERNER; SADOVSKY, 1996). A partir desse fato podemos inferir que, para se apropriar do nosso SND, os alunos precisam conhecer essas propriedades e conseguir relacioná-las adequadamente.

78 80 Outro aspecto que interfere na compreensão da numeração falada e da escrita é a justaposição das palavras, que sempre estão associadas a uma operação aritmética e, em alguns, casos está relacionada à soma ou à multiplicação. Como exemplos, podemos citar o mil e nove, referente a uma soma ( ) e o seiscentos, relativo a uma multiplicação (6 x 100). Além disso, a mudança na ordem na qual o número é pronunciado altera a operação aritmética implicada: quando falamos dois mil, a operação envolvida é a de multiplicação (2 x 1000); porém se dissermos mil e dois, a operação passa a ser de adição ( ). Isto torna o entendimento do SND ainda mais complicado para os educandos (LERNER; SADOVSKY, 1996). Para as autoras, [...] se as crianças descobrissem as operações envolvidas na numeração falada, este conhecimento seria importante para entender como funciona a numeração escrita (Ibid., p. 101). Sendo assim, concluem que a numeração falada possui forte influência na compreensão da numeração escrita, bem como a numeração escrita também intervém no entendimento da numeração falada. São conhecimentos que possuem correlação direta, portanto, o desenvolvimento de um provoca o progresso do outro. Fayol (1996) realizou pesquisas nesse sentido, mostrando que a compreensão dos números envolve diretamente a numeração falada e que cada língua facilita ou dificulta mais esse processo, como é o caso do nosso idioma. Novamente de acordo com Lerner e Sadovsky, os indivíduos precisam ser colocados frente a situações de conflito para avançar no conhecimento do SND. Saber o valor dos números e usar o critério da quantidade de algarismos ainda não é suficiente para a construção das propriedades e dos conceitos referentes ao SND. Segundo a investigação que fizeram com alunos, os sujeitos entravam em conflito e questionavam os seus conhecimentos a partir da produção escrita que eles próprios fizeram dos números. Mas, para isso, foi imprescindível intervenção a fim de auxiliar nesse processo. Dessa forma, é primordial favorecer atividades de escrita, nas quais os educandos comparem e pensem sobre as diversas escritas numéricas, visando a progressão até a escrita convencional. Para as autoras, uma desvantagem da utilização dos algarismos tradicionais está na forma de operar com esses números, pois ao realizar cálculos aritméticos por ordens (unidade, dezena e centena) os algarismos, que possuem um valor de acordo com a sua posição, ficam isolados e perdem o valor relativo, passando a ser vistos somente com o valor absoluto. Cada ordem é operada separadamente, perdendo o significado do número como um todo. Ainda, questionam a necessidade de ensinar as operações aritméticas dessa forma, resultando em uma atividade mecânica, sendo que geralmente os alunos realizam as operações mentalmente, fazendo decomposições dos números.

79 81 Do mesmo modo, criticam o uso excessivo do trabalho com agrupamentos em sala de aula, pois esse tipo de tarefa não está relacionado com o valor posicional, uma vez que independentemente da posição dos agrupamentos de dez ou agrupamentos de cem o resultado obtido será o mesmo. Sendo assim, a posição do algarismo deixa de ser primordial para a compreensão do número como um todo. Assim, as autoras corroboram com o conceito de abstração reflexiva, elaborado por Piaget e defendido por Kamii (1994), para a construção do conceito de número, pois [...] a noção de agrupamento não é a origem da posicionalidade: as crianças descobrem esse princípio de maneira totalmente independente das ações de agrupar e reagrupar objetos, o elaboram a partir de sua ação intelectual sobre as escritas numéricas que as rodeiam. (LERNER; SADOVSKY, 1996, p. 121). Lerner e Sadovsky ressaltam, ainda, que o trabalho em sala de aula precisa favorecer a análise de regularidades da numeração escrita, pois a escrita numérica precisa estar baseada nas relações significativas que são construídas umas com as outras. Quando o aluno estabelece regularidades, consegue explicar como funciona o sistema numérico e gera progressos no uso da numeração escrita. Dessa forma, a diversidade de representações do SND não deve ser vista como um obstáculo para a aprendizagem, mas sim como um trampolim que estimule a discussão entre os pares e a construção mútua de conhecimento sobre a escrita numérica. Com base nos aportes teóricos supracitados e nas necessidades impostas pela presente investigação, no próximo capítulo estabeleceremos a modalidade de pesquisa escolhida e um breve percurso de como a investigação ocorreu.

80 83 CAPÍTULO 5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Esse capítulo tem como finalidade apresentar os apontamentos referentes aos procedimentos metodológicos adotados para a presente pesquisa, para atender com maior eficiência aos objetivos propostos. Adotamos uma abordagem qualitativa como metodologia de pesquisa, tendo como fundamento as obras de Lüdke e André (1986) e de Bogdan e Biklen (1994). Além disso, fornecemos um panorama sobre a unidade escolar e sobre os participantes, bem como uma trajetória da investigação. 5.1 A pesquisa qualitativa Durante a nossa experiência como docente em sala de aula com alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental, vivenciamos situações nas quais os educandos não evidenciavam compreender o número zero e o valor posicional no SND. Partindo dessa inquietação, elaboramos as seguintes perguntas de pesquisa: Que conhecimentos sobre o valor posicional no SND são mobilizados por alunos de quarto ano do Ensino Fundamental? e Que significados para o número zero no SND são indicados por educandos de quarto ano do Ensino Fundamental? Ao realizarmos uma busca sobre trabalhos correlatos e sobre os respectivos aportes teóricos, percebemos a necessidade da presente investigação ser de cunho qualitativo, pois como indica Vianna (2003), as abordagens qualitativas [...] procuram ir além da superfície dos eventos, determinar significados, muitas vezes ocultos, interpretá-los, explicá-los e analisar o impacto na vida em sala de aula (p. 83), definição essa que vai ao encontro com as nossas propostas de pesquisa, pois objetivamos compreender que conhecimentos sobre o valor posicional no SND e, em particular, sobre o número zero são mobilizados por alunos que cursam o quarto ano do Ensino Fundamental, bem como esse fato influencia no cotidiano em sala de aula. Lüdke e André (1986) afirmam que a pesquisa qualitativa [...] envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes

81 84 (p.13). Corroboramos com essa assertiva, pois na presente investigação valorizamos o entendimento dos conhecimentos mobilizados pelos alunos, por meio das respostas que eles forneceram para as atividades solicitadas e de uma entrevista semiestruturada, que realizamos após uma semana da aplicação do instrumento piloto. sendo eles De acordo com Bogdan e Biklen (1994), a pesquisa qualitativa possui cinco atributos, 1. Na investigação qualitativa a fonte directa de dados é o ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento principal. [...] 2. A investigação qualitativa é descritiva. [...] 3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] 4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma indutiva. [...] 5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. (p ). O investigador é sujeito ativo na pesquisa qualitativa, indo até o local de estudos para poder analisar também o contexto no qual aqueles indivíduos estão inseridos, pois facilita a compreensão das situações em seus ambientes comuns de ocorrência. Por isso muitas vezes se utiliza de registro diversificados, como vídeos, áudios, imagens e registros escritos, visto que analisar somente um desses registros dissociados dos outros pode gerar perdas importantes de significado (BOGDAN; BIKLEN, 1994). A descrição das situações nas quais a investigação está inserida é aspecto primordial para a pesquisa qualitativa. O investigador prioriza mais a análise descritiva das situações do que as quantitativas, sendo que o processo de aquisição do conhecimento passa a ser o foco dos questionamentos. O mais importante não é a quantidade de conceitos adquiridos, mas sim como ocorre essa aquisição. Os dados coletados são analisados de forma indutiva, ou seja, a pesquisa vai se delineando a partir dos agrupamentos dos dados, partindo de casos particulares para os gerais, formando categorias. Para isso, o pesquisador precisa inferir significado nos dados coletados, explorando outras formas de registro como a entrevista, na qual o diálogo estabelecido entre o participante e o investigador permita considerar as experiências vivenciadas pelo sujeito (BOGDAN; BIKLEN, 1994).

82 85 Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012), a entrevista é uma ferramenta primordial para um trabalho de campo, no qual o pesquisador vai até o ambiente (no caso da educação, na escola) em que geralmente acontecem os problemas a serem observados para coletar dados que subsidiem a investigação. É apropriada para um aprofundamento dos estudos, como acréscimo a outras técnicas utilizadas na coleta de dados, como da sequência didática que propusemos nesse estudo. Essa modalidade é muito utilizada nas pesquisas educacionais, pois o pesquisador, pretendendo aprofundar-se sobre um fenômeno ou questão específica, organiza um roteiro de pontos a serem contemplados durante a entrevista, podendo, de acordo com o desenvolvimento da entrevista, alterar a ordem deles e, até mesmo, formular questões não previstas inicialmente. (Ibid., p. 121) Escolhemos utilizar a entrevista semiestruturada, pois essa modalidade permite uma maior flexibilidade nas questões, podendo ser formulados novos questionamentos que não estavam previstos de acordo com as respostas fornecidas pelos alunos. Esse tipo de entrevista possibilita a exploração de aspectos não observados pelo investigador ao analisar somente as respostas escritas dos participantes para cada atividade. Acreditamos que realizar as entrevistas após a aplicação das atividades foi uma experiência muito rica e facilitadora para uma melhor compreensão da resolução encontrada pelo educando. Além da entrevista e da recolha documental das atividades dos participantes, também utilizamos a observação e as notas de campo realizadas durante a aplicação como parte dos dados recolhidos, para auxiliar no processo de análise dos dados (BOGDAN; BIKLEN, 1994). Para compreender melhor o contexto no qual a pesquisa foi feita, a seguir apresentamos uma breve caracterização da unidade escolar e dos participantes da investigação. 5.2 A unidade escolar e os sujeitos da pesquisa A escola que escolhemos para realizar a pesquisa está localizada em um bairro periférico de uma cidade da região metropolitana de São Paulo. A escola apresenta uma estrutura física apropriada para as atividades escolares, porém como o prédio é antigo, necessita de algumas reformas e adequações, principalmente com relação ao acesso facilitado para cadeirantes. Optamos por realizar a investigação nessa unidade escolar por ser uma escola pública municipal, que recebe alunos de todos os anos iniciais do Ensino Fundamental (isto é, alunos

83 86 de 6 a 10 anos de idade, cursando do 1º ao 5º ano) e por ser de fácil acesso e permanência durante o desenvolvimento da pesquisa. Além disso, escolhemos uma unidade escolar no bairro vizinho ao da residência da pesquisadora, pois não queríamos que a convivência com os alunos no cotidiano interferisse nos dados coletados para a investigação. Inicialmente tínhamos dúvidas com relação a qual ano do Ensino Fundamental realizar a pesquisa, por isso resolvemos aplicar o instrumento piloto com um aluno do terceiro ano e uma aluna do quarto ano. Diante desse panorama, a direção da unidade escolar pediu para uma professora, que trabalha com os dois anos que solicitados (3º e 4º anos) em períodos diferentes nessa mesma escola, se a investigadora poderia realizar a pesquisa nas salas em que ela leciona. A professora aceitou e foi muito prestativa, explicando sobre o perfil das salas com as quais ela trabalha. Solicitamos que a professora indicasse um aluno de cada turma para realizar as atividades no contraturno. Para os responsáveis pelos alunos sugeridos foi enviado o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE), que se encontra no Apêndice D, para que pudéssemos iniciar a pesquisa. Logo que a autorização foi concedida, começamos a investigação. Os alunos selecionados para a investigação realizaram as atividades com a pesquisadora na biblioteca, que foi o espaço cedido pela direção da unidade escolar para a aplicação do instrumento. Após a aplicação do instrumento piloto e da análise dos dados obtidos nessa fase da pesquisa, optamos por aplicar o instrumento definitivo somente com os alunos do quarto ano, pois consideramos que indivíduos que cursam esse nível e que apresentam a faixa etária entre nove e dez anos mobilizam com mais facilidade conhecimentos acerca dos atributos do SND, portanto conseguiríamos observar melhor que conhecimentos são mobilizados por eles para resolver as questões do instrumento. Continuamos então com a turma de quarto ano da mesma professora citada anteriormente, solicitando que ela selecionasse outros seis alunos para participarem da pesquisa. Enviamos novamente o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) e assim que recebemos a anuência dos responsáveis por meio desse documento iniciamos a aplicação individual do instrumento definitivo, nos mesmo moldes da aplicação do instrumento piloto. A aplicação ocorreu conforme o esperado, sem interrupções ou interferências externas, tanto no instrumento piloto quanto no definitivo. Todos os participantes dessa segunda fase da pesquisa frequentam a mesma sala de aula, no período da tarde, com a mesma professora. Segundo a educadora regente da sala, todos estes apresentam um desempenho regular na disciplina de

84 87 Matemática, pois geralmente alcançavam notas que ficavam na média dos demais alunos da sala. Visando explicar como o processo de construção dessa investigação ocorreu, apresentamos no próximo item a trajetória percorrida desde o início da pesquisa. 5.3 Trajetória da pesquisa Assim que o tema foi delimitado, iniciamos a revisão bibliográfica, buscando por trabalhos correlatos no banco de teses da CAPES, no Sistema de Publicação de Teses e Dissertações da PUC-SP (TEDE) e no Portal de Periódicos da CAPES. Fizemos a busca utilizando palavras-chave como: sistema de numeração decimal, número zero, valor posicional e Ensino Fundamental I. Até janeiro de 2018 encontramos 757 trabalhos (entre teses, dissertações e artigos) utilizando essas palavras-chave, portanto separamos as que mais se aproximavam do nosso tema pela leitura dos títulos. Dessa primeira seleção, separamos vinte potenciais investigações que poderiam ser utilizadas. Após uma leitura dos resumos desses vinte trabalhos levantados, selecionamos duas teses e quatro dissertações que compõem a revisão bibliográfica da presente pesquisa. Escolhemos esses trabalhos por serem os que mais se aproximavam dos nossos objetivos de pesquisa. Para justificar melhor a escolha, separamos as pesquisas correlatas em dois quadros, explicitando resumidamente o objetivo e os resultados encontrados de cada trabalho selecionado, sendo que o Quadro 3 dispõe das investigações utilizadas relativas ao número zero e no Quadro 4 está a ordenação dos trabalhos consultados referentes ao SND.

85 88 Quadro 3: Pesquisas concernentes ao número zero PESQUISAS RELACIONADAS COM O NÚMERO ZERO Tipo: Autor (Ano) Título Objetivos Resultados Dissertação: (2003) Salvador Dissertação: Guimarães (2008) Tese: Marcondes (2014) Os números relativos em sala de aula: um olhar para o zero O sentido do zero Os sentidos do zero: as metáforas nas expressões de alunos surdos e professores de Matemática Identificar os significados que os alunos atribuem ao zero e analisar em que medida o ensino dos números relativos influenciou na elaboração conceitual sobre o zero. Compreender o zero, não só com o olhar bibliográfico, mas também com o olhar de jovens, crianças e adultos que frequentam a escola hoje. Investigar os estilos de pensamento (narrativo e paradigmático) utilizados por alunos surdos quando falam sobre o zero. Fonte: Dados da pesquisa Significados atribuídos pelos alunos: zero absoluto, zero como medida, zero como valor posicional, zero como dado operatório, zero como número natural e zero como número inteiro. Significados encontrados do zero: zero como técnica matemática, zero conceitual, zero como técnica social e como metáfora. Metáforas: o zero é ausência, o zero é um lugar, o zero é fracasso, o zero é companhia, o zero é infinitamente pequeno, o zero é esmagador e o zero é divisor de águas. Quadro 4: Pesquisas sobre o SND PESQUISAS RELACIONADAS COM O SND Tipo: Autor (Ano) Título Objetivo Resultados Dissertação: Rodrigues Base dez: o grande Identificar a trajetória da A evolução entre os (2001) tesouro matemático e construção das escritas conhecimentos escolares e sua aparente numéricas e de seu uso, ao socialmente construídos simplicidade longo do Ensino não ocorre de forma linear. Fundamental. Tese: Contribuições dos Investigar a evolução do Foram analisados dois Brandt (2005) registros de sentido atribuído ao número registros de representação representação e dos registros de e concluiu-se que não há semiótica na representação do número, congruência entre a conceituação do para analisar sua influência palavra e o numeral sistema de numeração na aprendizagem no plano pedagógico. arábico. Dissertação: Castro A construção do Investigar a influência de Conclui que ensinar o (2016) conceito de sistema de uma intervenção SND, aos estudantes do 3º numeração decimal pedagógica, apoiada em ano do Ensino durante a alfabetização material manipulativo, jogos Fundamental, por meio de matemática: uma e em discussão coletiva, para jogos e material proposta de a construção do conceito de manipulativo, mostrou-se intervenção de ensino Sistema de Numeração uma opção muito profícua. Decimal (SND) por parte de alunos do 3º ano do Ensino Fundamental. Fonte: Dados da pesquisa

86 89 Com relação ao referencial teórico, consideramos pertinente estudarmos a teoria de Piaget (1981, 2002) e as obras de Kamii (1992, 1994), inclusive com duas de suas colaboradoras, como Kamii e Declark (1996) e Kamii e Housman (2002) visando discutir sobre a construção do conceito de número pelas crianças. Abordamos também os problemas encontrados pelos alunos para a aquisição das propriedades e dos conceitos envolvidos no SND, como o valor posicional, baseados nas pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996) e Zunino (1995). Como a investigação foi realizada com alunos, foi necessário submeter o nosso projeto de pesquisa ao Comitê de Ética da PUC-SP. O projeto passou por análise e foi aprovado, sob o protocolo nº Com o projeto aprovado, demos continuidade à pesquisa, com a aplicação do instrumento piloto. Partindo da sequência de atividade proposta por Brandt (2005), elaboramos um instrumento piloto, com 6 atividades abrangendo o valor posicional e o número zero no SND, que serão melhor detalhadas no capítulo a seguir. Aplicamos no mês de maio de 2017, com dois alunos entre 8 e 9 anos de idade, sendo um do terceiro e outra do quarto ano do Ensino Fundamental. Optamos por aplicar o instrumento piloto com educandos que cursam anos diferentes para poder definir qual idade seria mais adequada para a resolução da sequência de atividades. A escolha das seis atividades dentre as quinze que compunham o instrumento de Brandt (2005) se deu de acordo com as atividades referentes à relação de ordem, que envolvem questões de comparação numérica, que estão no cerne da formação de conceitos relativos ao valor posicional no SND, à construção da sequência numérica e da compreensão do número zero nesse sistema (LERNER; SADOVSKY, 1996). Sendo assim, escolhemos atividades alusivas à formação, comparação e ordenação numérica, principalmente. As atividades foram realizadas após o horário de aula para o aluno do terceiro ano (pois o mesmo estudava no período da manhã) e com a aluna do quarto ano antes do horário da aula (porque a participante estudava no período da tarde), com duração média de uma hora, tempo suficiente para completar todas as atividades. Estas foram aplicadas individualmente e em dias diferentes. Durante a realização da sequência de atividades, que ocorreu na biblioteca da escola, ambos os alunos mostraram interesse, apresentando dúvidas nos enunciados de duas questões, todavia responderam a todas as situações propostas. Uma semana depois, fizemos uma entrevista semiestruturada com cada um deles separadamente, na qual fizemos perguntas acerca das respostas que os alunos deram para as

87 90 atividades. Além disso, fizemos inferências, estimulando os participantes a pensar sobre as respostas dadas e visando compreender melhor os conhecimentos mobilizados por eles ao resolverem atividades sobre o SND. Utilizamos o termo crianças fictícias durante a entrevista, nos referindo a sujeitos inventados pela pesquisadora para estimular a comparação nas respostas dos participantes, recurso utilizado nas pesquisas de Zunino (1995) e de Lerner e Sadovsky (1996), com o mesmo objetivo. Após aplicar e analisar os dados obtidos com os alunos no instrumento piloto, fizemos reformulações com relação ao enunciado das atividades 3 e 4, por serem de difícil compreensão para os participantes da pesquisa. Percebemos também que seria mais adequado aplicar o instrumento definitivo com alunos do quarto ano, pois na análise que fizemos sobre os dados coletados com o instrumento piloto mostraram que a aluna do quarto ano trouxe contribuições importantes para os objetivos da pesquisa. Portanto, decidimos prosseguir a investigação somente com os alunos do quarto ano. Em agosto de 2017 aplicamos o instrumento definitivo para seis educandos do quarto ano. Nesse segundo momento, não conseguimos que os alunos participantes viessem no contraturno escolar, pois dependiam do horário do transporte escolar ou os responsáveis não conseguiam leva-los para a unidade escolar antes do turno de suas aulas, que era à tarde. Portanto, tivemos que aplicar o instrumento no turno dos alunos, durante as aulas. Continuamos utilizando o espaço da biblioteca, nos mesmos moldes da aplicação do instrumento piloto. No primeiro dia, aplicamos as questões individualmente com três alunos, levando em média cinquenta minutos para a resolução das atividades que compõem o instrumento. No dia seguinte, realizamos a aplicação com os outros três educandos. Na semana seguinte, voltamos à escola e iniciamos as entrevistas com os participantes, dividida novamente em dois dias. A entrevista foi composta por questões que sofreram alterações de acordo com as respostas dos alunos, portanto algumas questões foram suprimidas, ampliadas ou modificadas, dependendo dos dados obtidos nos protocolos de cada estudante. Tanto a aplicação do instrumento quanto as entrevistas transcorreram como esperávamos e havíamos previsto no nosso planejamento, com a participação ativa dos educandos em ambas as fases. Realizamos uma análise dos dados obtidos tanto com o instrumento piloto, como com o definitivo, que serão discutidas no próximo capítulo, fundamentadas nas teorias discutidas e nos trabalhos correlatos levantados na revisão bibliográfica. Como a aplicação do instrumento piloto trouxe dados que consideramos pertinentes e importantes para a pesquisa, decidimos

88 91 manter a análise desse instrumento no corpo da investigação, visando complementar a análise dos dados do instrumento definitivo. Portanto, o capítulo a seguir está dividido em duas seções, sendo a primeira concernente às análises do instrumento piloto e a segunda com relação às análises do instrumento definitivo. Nos Apêndices A, B e C da dissertação se encontram os dois instrumentos e as questões da entrevista semiestruturada realizada, respectivamente.

89 93 CAPÍTULO 6 ANÁLISE DOS DADOS Neste capítulo apresentamos a análise dos dados obtidos pelo instrumento piloto e pelo definitivo, executados nos meses de maio e agosto de O capítulo é dividido em duas seções: uma dedicada à análise do instrumento piloto, aplicado com dois alunos; e outra ao instrumento definitivo, efetuado com seis educandos. 6.1 Análise das atividades e dos dados coletados com o instrumento piloto O instrumento piloto foi aplicado com um aluno do terceiro ano e com uma aluna do quarto ano dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Os participantes apresentam, respectivamente, oito e nove anos de idade. Para realizar as análises utilizamos os protocolos desenvolvidos pelos alunos e também transcrições dos áudios gravados durante a aplicação da atividade e da entrevista. Com o objetivo de diferenciar os participantes da pesquisa, utilizaremos as siglas P, para pesquisadora, A3, para aluno do terceiro ano e A4 para aluna do quarto ano. Exploramos as atividades desenvolvidas de acordo com a ordem que aparecem no instrumento, tal como explicitamos a seguir Análise de cada questão e a produção dos alunos Nessa seção fizemos análise de cada atividade de acordo com o que produziram os dois participantes, conforme os dados obtidos com os protocolos e com as entrevistas. Em seguida, perpetramos breve consideração acerca da aplicação do instrumento piloto com os educandos. Atividade 1: Qual número é maior? Justifique suas respostas. a) 12 e 15 b) 112 e 121 c) 240 e 340 d) 1147 e 147

90 94 Esta questão foi proposta com o objetivo de investigar quais são as estratégias utilizadas pelos alunos ao comparar números naturais com a mesma quantidade de algarismos e com quantidades diferentes. Era esperado que os alunos respondessem corretamente, explicassem como conseguiram distinguir as quantidades e decidir pela maior. Com isso pudemos identificar que os critérios quantidade de algarismos, magnitude do número e o primeiro é quem manda observados por Lerner e Sadovsky (1996), foram utilizados pelos educandos ao justificar as respostas. Os alunos mostraram compreender a atividade. Porém questionaram o significado da palavra justifique, pois provavelmente esta palavra não faz parte do vocabulário deles. A Figura 16 mostra a resposta obtida pelo aluno A3 e a Figura 17 a resposta elaborada pela aluna A4. Figura 16: Protocolo do aluno A 3 para o item a) da questão 1 Fonte: Dados da pesquisa Figura 17: Protocolo da aluna A 4 para o item a) da questão 1 Fonte: Dados da pesquisa Percebemos que os alunos acertaram a questão, como era esperado, contudo utilizaram argumentos diferentes do previsto por nós para justificar a escolha. O participante A3 considerou que como o número 15 vem depois, logo é maior; ou seja, provavelmente o aluno se apoiou no conhecimento de sequência numérica para decidir qual número representa a maior quantidade. A participante A 4 associou os números da questão em relação à idade para conseguir justificar sua resposta. Parece-nos que A4 tentou relacionar o problema a uma situação de seu cotidiano, pois a vivência com irmãos, primos ou amigos mais velhos pode estimular esse tipo de comparação. Nos itens b) e c) da atividade os participantes acertaram as respostas e mantiveram a mesma justificativa utilizada nos protocolos anteriores. No item d) os alunos utilizaram argumentos diferentes das estratégias explicitadas por nós. A Figura 18 ilustra a resposta do participante A3.

91 95 Figura 18: Protocolo do aluno A 3 para o item d) da questão 1 Fonte: Dados da pesquisa Nesse item, podemos observar que inicialmente A3 emprega a mesma justificativa dos itens anteriores, ancorando-se na sequência numérica, mas também se apoia nas operações que ele chama de continha para garantir que o número seja maior. Pode-se inferir que ele esteja associando com a operação de adição ou de multiplicação com os números naturais, pois afirma que vem o resultado maior. Nos anos iniciais do Ensino Fundamental, as operações de adição e multiplicação são associadas à crença de que sempre nesses dois cálculos o resultado será maior do que as parcelas ou os fatores envolvidos na operação. Esse pode ser um dos motivos que fez com que A3 afirmasse que o resultado de uma operação envolvendo o 1147 seria maior do que o resultado de um cálculo com o número 147. Afirmação que é verdadeira somente nas operações envolvendo os números naturais e que geralmente não é explicitado para os alunos, fato que origina um obstáculo, segundo Brousseau (2008), pois os educandos acabam generalizando esse atributo para outros conteúdos. Para os números racionais na sua representação decimal, por exemplo, essa característica perde sua validade. Percebe-se também que o aluno reconhece o mil como um número maior que 147. Durante a entrevista, A3 justificou suas respostas, como podemos observar na transcrição do áudio a seguir: P: Uma outra criança me disse que um número é maior se tiver mais algarismos. Isto é verdade sempre? A3: Eu acho que sim. O mil é muito maior que o cem. P: O que acontece se acrescentarmos um zero à esquerda de um número? A3: Porque quando coloca aqui [à esquerda] o cento e quarenta e sete fica cento e quarenta e sete. P: E se acrescentarmos um zero à direita? A3: Aqui [à direita] fica valendo mil e catorze... não, fica mil quatrocentos e setenta. P: Por que isso acontece? A3: Porque o zero não vale nada antes, só depois. P: No item c) dessa atividade, temos dois números que terminam com os mesmos algarismos, o 340 e o 240. Como você fez para descobrir qual era o maior?

92 96 A3: Porque o 3 [340] é mais que o 2 [240]. O 3 é trezentos, o 2 é duzentos. Acho que o primeiro é o que vale. P: Será que o que você disse: o primeiro é que vale acontece todas as vezes que comparamos os números? A3: Não sei se sempre vai ser assim. De acordo com as respostas percebe-se que o aluno reconhece o critério da quantidade de algarismos, o valor posicional do zero e que o primeiro número é determinante na comparação de números representados pela mesma quantidade de algarismos, tal como nota-se nas resoluções apresentadas por ele anteriormente e como já apontadas pelas pesquisas de Lerner e Sadovsky (1996). Além disso, o aluno mostra reconhecer o valor posicional, pois ao responder que Porque quando coloca aqui [à esquerda] o cento e quarenta e sete fica cento e quarenta e sete e Aqui [à direita] fica [...] mil quatrocentos e setenta declara que alterando a posição dos algarismos o número muda. No entanto, ainda não consegue generalizar suas hipóteses, ou seja, não percebeu ainda que existe um padrão para se comparar números naturais. A Figura 19 mostra a resposta para o mesmo item que a participante A4 forneceu. Figura 19: Protocolo da aluna A 4 para o item d) da questão 1 Fonte: Dados da pesquisa A participante A4 se baseia na quantidade de algarismos dos números para realizar a comparação, assim como os resultados encontrados por Lerner e Sadovsky (1996) que afirmam que esse é um dos critérios utilizados pelos alunos para comparar números, mesmo que não consigam denominar oralmente o número representado. Mesmo assim, não é o caso de A4, já que reconheceu os dois números oralmente também. Apesar de A4 justificar utilizando a expressão mais números, ela se refere à quantidade de algarismos, não à magnitude do número. Podemos conjecturar que a aluna não usou esse critério anteriormente, pois somente esse item apresentava divergência na quantidade de algarismos entre os números comparados. Durante a entrevista, transcrita a seguir, questionamos as respostas dadas por A4: P: Uma outra criança me disse que um número é maior se tiver mais algarismos. Isto é válido sempre? A 4 : Não, porque pode ter um número de três algarismos e outro de dois, só que um pode ter três zeros e o outro pode ter, tipo, doze [Um número formado por dois algarismos, como o doze]. P: E nesse caso que você citou, qual número vai ser maior?

93 97 A4: O que tem menos, o doze. P: Mesmo que o outro seja formado por três algarismos (no caso, três zeros) o doze com dois algarismos vai ser maior? A 4 : Porque o número doze é maior que zero. P: Mesmo que tenha menos algarismos? A 4 : Sim. P: O que acontece se acrescentarmos um zero à esquerda do 12, por exemplo? A4: Na frente [à esquerda] do número não, vai continuar valendo 12. P: E à direita? A4: Atrás [à direita] vai ficar valendo 120. P: No caso do item d), os dois números terminam com 40 (340 e 240). Um outro aluno me disse que como o final deles é igual, tanto faz o outro algarismo, e escolheu o 240 como o maior número. Você concorda com isso? A4: Não, porque tem cem números a mais, não péra... porque o trezentos tem cem números a mais que o duzentos. P: Qual algarismo mostra que o 340 é maior que o 240? A4: O número 3. Dá para ver que o dois é menos que o três, por isso o 340 é maior. Ao refutar a primeira pergunta, a aluna A4 mostra que reconhece o valor posicional do zero. Pelas respostas fornecidas por ela anteriormente, acreditávamos que concordaria com a hipótese levantada na indagação e que utilizou como fundamento para explicar o retorno que deu à atividade. Contudo, a educanda ofereceu uma visão inesperada da questão, afirmando que um número pode ser formado por três algarismos zero e ser menor que outro formado por dois outros algarismos quaisquer, diferentes de zero. A4 aponta um contraexemplo, baseada no valor posicional de cada algarismo. Nas respostas das outras questões inferimos que a aluna compreende o valor posicional dos algarismos, pois utiliza o critério o primeiro é o que manda, apontado por Lerner e Sadovsky (1996). Observando os dados obtidos com essa atividade, percebemos que os educandos mobilizaram conhecimentos sobre a sequência numérica, sobre o valor posicional e sobre os critérios de comparação de Lerner e Sadovsky (1996) para responder e justificar suas escolhas. Além disso, apresentaram o significado não vale nada para o número zero e A4 mostrou, durante a entrevista, que reconhece o valor posicional do zero ao argumentar com um contraexemplo.

94 98 Atividade 2: Forme com os algarismos 1, 2 e 0, todos os números com 2 algarismos possíveis. a) Agora, forme com os algarismos 1, 2 e 0, todos os números com 3 algarismos possíveis. b) Escreva os numerais que você escreveu no quadro acima em ordem crescente. Explique sua resposta. Essa atividade foi escolhida para compor o instrumento, pois, de acordo com Lerner e Sadovsky (1996), a ordenação presente em atividades de produção e comparação numérica é produtiva para o entendimento das propriedades do SND. Portanto, visamos identificar a compreensão do valor posicional dos algarismos na formação dos números, inclusive do número zero, além de observar o estabelecimento de uma sequência numérica crescente. Como atividades desse tipo estão presentes nos livros didáticos e são propostas pelos PCN (BRASIL, 1997), era esperado que os alunos realizassem arranjos entre os algarismos e chegassem a escrever as possibilidades, pois relativamente à combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações-problema que envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem (BRASIL, 1997, p. 40). Poderia ser feito por diagrama de árvore, ou simplesmente pelo arranjo entre os algarismos, já que esse tipo de atividade é proposto para alunos dessa faixa etária pelos currículos nacionais e pelos livros didáticos. Exercícios dessa forma são muito utilizados por meio da abordagem visual para a busca de uma solução, como mostram resultados de pesquisas com professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental, como a de Oliveira (2014) e de Bifi (2014). Oliveira (2014) faz uma análise de livros didáticos e dos conhecimentos mobilizados por professores, concluindo que os livros didáticos geralmente tratam a combinatória superficialmente e que os conhecimentos dos educadores sobre o tema são insuficientes para abordá-lo adequadamente em sala de aula. Bifi (2014) apresenta resultados semelhantes aos de Oliveira, ao acompanhar os horários de trabalho pedagógico coletivos e algumas aulas de professores, afirmando que a formação inicial e continuada precisa ser modificada para abranger uma melhor compreensão dos conteúdos matemáticos relacionados ao bloco Tratamento da Informação, no qual conteúdos que trabalham com contagem estão inseridos nos PCN.

95 99 Decidimos manter o enunciado da atividade sem deixar explícito se poderia haver repetição dos algarismos, pois queríamos observar se respostas desse tipo iriam aparecer nos dados coletados. Sendo assim, também esperávamos obter respostas de números formados pelos mesmos algarismos. Os sujeitos que participaram leram o enunciado e indicaram que não haviam compreendido o que era para ser feito. Explicamos e rapidamente fizeram a atividade, anunciando ser fácil. O estudante A3 formou alguns números, como podemos verificar na Figura 20. Todavia, não explorou todas as possibilidades. A estudante A 4 conseguiu formar mais números, como podemos observar na Figura 21. Figura 20: Protocolo do aluno A 3 em resposta a questão 2 Fonte: Dados da pesquisa Figura 21: Protocolo da aluna A 4 para a questão 2 Fonte: Dados da pesquisa Nenhum aluno repetiu algarismos na formação dos números e, no caso de A4, houve números iniciados com o algarismo zero, enquanto A3 não o fez. Sendo assim, A4 encontrou todas as possibilidades de formação numérica sem repetição dos algarismos, ao passo que A3 somente formou quatro dos seis números que poderiam ser formados sem reincidência. De acordo com a resposta obtida na entrevista com A3, na primeira atividade, verificamos que, na visão do aluno, como o zero não vale nada antes de um número, ele não pensou nessa possibilidade de escrita iniciada pelo algarismo que representa o zero. No item a) os educandos seguiram pelo mesmo caminho adotado inicialmente, entretanto A4 repetiu algarismos, escrevendo os números 100 e 200, enquanto o aluno A3 continuou a formação dos números com três algarismos sem recorrência. Mesmo assim escreveu duas vezes o número 102. Acreditamos que foi apenas uma distração com relação à posição dos algarismos,

96 100 pois formou corretamente os números anteriores. Notamos também que A 4 conseguiu formar seis dos vinte e sete números possíveis com repetição de algarismos. Já A3 formou quatro das seis possibilidades de formação de números sem reincidência de algarismos. As Figuras 22 e 23 ilustram os resultados obtidos pelos estudantes nesse item da segunda questão. Figura 22: Protocolo do aluno A 3 sobre o item a) da questão 2 Fonte: Dados da pesquisa Figura 23: Protocolo da aluna A 4 sobre o item a) da questão 2 Fonte: Dados da pesquisa No item b) o aluno A3 não compreendeu o que era para ser feito, pois escreveu em ordem crescente os algarismos isolados Ao percebermos seu engano, fizemos uma intervenção dizendo que era para escrever em ordem crescente os números que ele havia formado no item a). Ao escrevê-los, percebeu-se que repetiu o mesmo número duas vezes, no entanto não mostrou interesse em corrigir o erro e nem relacionou com o número 120, que poderia ter formado invertendo a posição dos algarismos. Para justificar a ordem escolhida argumentou que o segundo número que ele escreveu é maior do que o primeiro, novamente recorrendo ao uso da sequência numérica como ferramenta para a comparação. Podemos observar sua resposta na Figura 24. Figura 24: Protocolo do aluno A 3 para o item b) da questão 2 Fonte: Dados da pesquisa A seguir temos a transcrição da entrevista com A3 sobre a resolução dessa atividade: P: Por que 210 é maior que 201? A3: Porque o 10 [210] é um algarismo maior do que o 1 [201]. P: Quantos grupos de 10 são determinados pelo algarismo 1 do 210? A3: No 210 tenho três grupinhos de 10 [dezenas].

97 101 P: E pelo algarismo 0 do 201? A3: No 201 também. Ao relacionar a tarefa desenvolvida com o retorno obtido na entrevista, notamos na última pergunta que provavelmente o aluno A 3 tenha aprendido as ordens dos números em um ensino baseado nos agrupamentos, pois apresenta respostas que misturam os grupinhos de dez com as ordens dos algarismos, já que aceita que tanto o zero quanto o um representam três grupinhos de dez. As pesquisas de Kamii (1992) apontam que o trabalho com agrupamentos não considera o valor posicional, que é um dos principais atributos desse sistema, bem como as investigações de Lerner e Sadovsky (1996) que mostram que esse método de ensino não se atenta para o conhecimento que os alunos trazem sobre os números do seu contato cotidiano. Essas pesquisas afirmam que o ensino das ordens dos números por agrupamentos não é uma forma adequada para a construção das propriedades do SND. A aluna A 4, no mesmo item da atividade, começou escrevendo os números em ordem decrescente, até que percebeu o erro e sinalizou isso traçando uma linha em cima do erro cometido. Em seguida, escreveu corretamente os números em ordem crescente e utilizou novamente o critério de comparar idades para explicar como ordenou os números. Podemos observar essa trajetória na Figura 25. Figura 25: Protocolo da aluna A 4 para o item b) da questão 2 Fonte: Dados da pesquisa atividade: A seguir temos as respostas obtidas por A4 durante os questionamentos sobre essa P: Por que 120 é maior que 102? A4: Porque tem 18 números a mais. P: O algarismo 2 vale quanto no 120? A4: No cento e vinte ele vale vinte. P: E no 102? A 4 : No cento e dois ele vale dois. P: Quantos grupos de 10 são determinados pelo algarismo 2 na posição que ele ocupa no 120? A4: 2 grupos.

98 102 P: E pelo algarismo 0 na posição que ele ocupa no 102? A4: Nenhum grupo. A4 não utilizou a mesma justificativa da comparação de idades durante a entrevista. Mostrou ter conhecimento acerca do valor posicional e conseguiu responder adequadamente aos questionamentos levantados. Com os dados obtidos por meio dessa questão, notamos que os alunos se basearam nos conhecimentos que eles têm acerca da sequência numérica para justificar suas respostas. Além disso, foi interessante perceber que A3 mostrou, durante a entrevista, que foi orientado acerca dos números a partir de agrupamentos, fato que, segundo Kamii (1992), interfere no reconhecimento do valor posicional. Já A4 utilizou o zero à direita na formação numérica e apresentou repetição de algarismos, respostas que não foram fornecidas por A3, bem como mostrou conhecimento acerca do valor posicional. Atividade 3: Qual é a melhor posição para colocar um algarismo em um número formado por outros 2 algarismos, sem modificar a posição do número dado, para que se tenha o maior número possível? Explique sua resposta em cada caso. a) 45 e o algarismo 2 b) 27 e o algarismo 3 c) 52 e o algarismo 0 Essa questão foi escolhida para compor o instrumento porque pretendemos identificar a influência do valor posicional e do significado do número zero na composição de números. Esperava-se que os educandos analisassem as situações propostas e colocassem o algarismo indicado no início ou no final dos números, fazendo com que o valor final construído com a colocação de mais um algarismo fosse o maior possível. Além disso, esperávamos que os educandos percebessem que a posição do algarismo influencia diretamente no valor do número e expressassem isso nas explicações solicitadas para cada item, podendo ser utilizados os critérios de comparação apontados por Lerner e Sadovsky (1996). Essa atividade foi de difícil compreensão para os alunos. Eles não entenderam o enunciado quando fizeram a leitura inicial e tivemos que explicar mais de uma vez para que entendessem o que era para ser feito. Depois da intervenção da pesquisadora, os alunos realizaram a atividade e ambos acertaram as questões, e apresentaram justificativas interessantes.

99 103 O aluno A 3, para justificar a sua resposta no item a), usou o argumento de que em uma operação de adição e de multiplicação com o quatrocentos o resultado é maior, como podemos inferir a partir da resposta fornecida por ele na primeira atividade. Portanto o algarismo 2 precisa ir atrás do número 45, como se vê na Figura 26. Além disso, antes de dar a resposta definitiva, A3 perguntou se poderia colocar o algarismo 2 na frente e atrás do número 45, pois assim ficaria maior ainda, mostrando conhecer o critério da quantidade de algarismos, pois um número formado por 4 algarismos é maior que um formado por 2 ou 3 algarismos. A pesquisadora solicitou que ele escolhesse somente uma dessas posições para responder à questão. Figura 26: Protocolo do aluno A 3 para o item a) da questão 3 Fonte: Dados da pesquisa A estudante A4, ao explicar como pensou, indicou o uso da sequência numérica como ferramenta de comparação, pois alegou que se o número começasse por duzentos viria antes do que o outro que começasse por quatrocentos, como podemos observar na Figura 27. Figura 27: Protocolo da aluna A 4 para o item a) da questão 3 Fonte: Dados da pesquisa A aluna A4 continuou utilizando esse mesmo argumento nos itens seguintes, não fazendo alterações significativas, por isso não iremos discutir os outros itens realizados por A4 nessa questão. O educando A3 alterou suas justificativas em cada item, como se pode verificar na Figura 28, para o item b), no qual cita diretamente que o 327 é mais do que o 273. Figura 28: Protocolo do aluno A 3 para o item b) da questão 3 Fonte: Dados da pesquisa No item c) o aluno A3 expôs seu significado sobre o número zero sobre a escolha do maior número. Para ele, o quinhentos é maior porque o zero não vale nada percepção

100 104 sobre o número zero que aparece na pesquisa de Salvador (2003), que aponta esse tipo de resposta como validação do sentido denominado zero como elemento de contagem representando o número zero como nulo e sem valor. De acordo com a pesquisa de Guimarães (2008), essa resposta de A 3 pode ser classificada como zero conceitual, no qual as ideias de nulo e sem valor também fazem parte dessa categoria. Na Figura 29 apreendemos o significado que o aluno A3 atribuiu ao número zero. Figura 29: Protocolo do aluno A 3 para o item c) da questão 3 Fonte: Dados da pesquisa Para verificar a compreensão que o aluno A3 apresentava sobre o zero, resolvemos questioná-lo sobre essa atividade: P: Uma outra criança me disse que quando colocamos o zero na frente do número 52 ele fica maior. Você acredita que essa criança está certa? A3: A criança errou. P: Por quê? A3: Porque se colocar o zero na frente fica 052, e 052 é um algarismo menor do que 520. Ainda se colocar no meio, fazendo 502 também fica maior, só no começo que não. P: Quanto vale o algarismo 3 colocado no final do número 27? A3: Fica 273 e vai valer 1[unidade]. P: E quanto vale o algarismo 3 colocado no meio do número 27? A3: Fica 237 e vai valer 10 [dezena]. P: E quanto vale o algarismo 3 colocado no início do número 27? A3: Fica 327 e o 3 vai valer 300 [centena]. O participante A3 mais uma vez mostrou em suas respostas o significado de que o número zero não representa quantidade quando está colocado à esquerda do número, mantendoo com o mesmo valor inicial. Além disso, argumentou que se fosse entre os dois números também seria maior do que no início (à esquerda), pois formaria o 502. Conjecturamos que este aluno se encontra no processo de construção e de significação do SND, pois ao mesmo tempo em que constatamos respostas de acordo com a formalidade do SND, também verificamos que o educando está em processo de compreensão do valor posicional, porque tem dificuldade em identificar com clareza o valor relativo de cada algarismo que compõe o número. Entrevistamos também A4, que nos respondeu o seguinte: