18.996: Tópicos Sobre Problemas de Pesquisa na Internet Aula 3. Objetos Distribuídos Rastreados

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1 18.996: Tópicos Sobre Problemas de Pesquisa na Internet Aula 3 Objetos Distribuídos Rastreados Palestrante: R. Rajaraman Redatores: M. T. Hajiaghagi e H. Zhou 1 Introdução O problema do rastreamento de dados é um dos problemas mais básicos na área de pesquisa na Internet. Suponha que tenhamos um conjunto 1...m de objetos e um conjunto 1...n de nós. Como mostra a Figura 1, consideramos a Internet inteira como um serviço de comunicação tal que cada dois nós i e j podem se comunicar via Internet, mas com algum custo c ij. Nestas observações, quando dizemos que dois nós i e j na rede são vizinhos, queremos dizer que i e j estão próximos um do outro em alguma medida lógica, como latência, e não necessariamente estamos falando de vizinhança do próximo hop. Figura 1: A Internet como um serviço de comunicação Também pressupomos que cada nó contenha um conjunto de cópias de objetos. Agora, nossa meta é encontrar uma cópia (próxima) do objeto solicitado, inserir ou excluir cópias de objetos e, por fim, atualizar informações de controle quando os nós entrarem ou saírem do sistema. Mais precisamente, temos as operações a seguir. 1. find(u, x): o nó u emite uma solicitação para localizar e obter uma cópia do objeto x. 2. insert(u, x): o nó u insere uma nova cópia do objeto x em seu espaço de armazenamento. 3. delete(u, x): o nó u exclui uma cópia existente do objeto x de seu espaço de armazenamento. 4. join(u): o nó u entra no sistema. 5. leave(u): o nó u sai do sistema. Observamos que as operações insert e delete referem-se ao espaço de armazenamento público dos nós. Dessa forma, insert(u, x) torna uma nova cópia de x em u disponível para acesso a todos os nós da rede, enquanto delete(u, x) torna uma cópia de x em u existente disponível para o restante da rede. Também observamos que, após uma operação join ou leave, é muito provável que tenhamos uma série de operações insert ou delete. Ao rastrear objetos distribuídos, pressupomos que todos os nós sejam iguais e que tenham a mesma força. Por exemplo, não temos nós centrais nem especiais que sejam mais fortes do que outros. A principal razão por trás dessa suposição é que, em sistemas distribuídos reais como a Internet, os nós podem entrar ou sair do sistema com muita freqüência e muitas vezes não podemos pressupor que esses nós sejam muito fortes. Além disso, essa premissa torna o nosso sistema mais tolerante a falhas; por exemplo, se cada nó é Objetos Distribuídos Rastreados - 1

2 terminado abruptamente, temos somente uma operação leave e podemos adaptar todo o sistema com muita facilidade. O problema do rastreamento de dados tem muitas aplicações. Primeiro, tome como exemplo o DNS de que precisamos para mapear nomes para endereços IP. Nesse sistema, nossos objetos são endereços IP cujas cópias são armazenadas em alguns nós da Internet. Dado um nome, queremos encontrar uma cópia do objeto que contém seu endereço IP. Uma segunda aplicação está nas redes peer-to-peer em que cada nó age como cliente e como servidor, e precisamos fornecer acesso eficiente a dados compartilhados usando procedimentos leves. Novamente, a operação básica nessas redes pode ser considerada casos especiais das operações mencionadas anteriormente. Outro exemplo são os servidores duplicados, nos quais as operações join e leave podem ser ignoradas, e o rastreamento de usuários móveis, no qual temos somente uma cópia de cada nó (cada nó contém um objeto exclusivo) [AP95]. Entre os sistemas comerciais usuais atuais que utilizam sistemas de compartilhamento de arquivos peer-to-peer estão Napster, Gnutella e Freenet. Trataremos dos sistemas Gnutella e Freenet em mais detalhes nas duas subseções a seguir. Entre os projetos de pesquisa acadêmica selecionados nessa área estão o Oceanstore da Universidade da Califórnia, em Berkeley, que é conduzido por Kubiatowics et al., o Chord no Massachusetts Institute of Technology, que é conduzido por Stoica et al. e a CAN (Content Addressable Network), novamente na Universidade da Califórnia, em Berkeley, que é conduzida por Ratnasamy et al. 1.1 Gnutella A rede Gnutella é um sistema descentralizado, não gerenciado, para compartilhamento, pesquisa e aquisição de arquivos. A rede Gnutella oferece suporte ao compartilhamento e à pesquisa de qualquer tipo de arquivo, diferente da Napster, que só permite aos usuários compartilhar determinados tipos de arquivos, os MP3. No entanto, a Gnutella não oferece nenhuma função extra, como chat (bate-papo). A Gnutella é um sistema peer-to-peer, com software cliente que também age como servidor. A Gnutella foi criada por um grupo de desenvolvedores da Nullsoft, uma subsidiária da America Online. Suponha que um nó u deseje encontrar um objeto como uma página da Web, a qual contém algumas palavras-chave. A Gnutella funciona inundando o protocolo em que o nó X envia sua solicitação a todos os seus vizinhos e depois esses vizinhos enviam a solicitação a todos os seus vizinhos até que a solicitação seja alcançada por um nó Y que contenha o objeto e, depois, o nó Y retorna uma cópia do objeto para X (veja a Figura 2). Nesse sistema de arquivos, cada solicitação é satisfeita por uma cópia próxima e dessa forma é eficiente em termos de custo de localização. O processo de inundação é de certa forma controlado no sistema, ou seja, cada nó possui um índice pesquisável em um banco de dados, o que impede a inundação através de alguns caminhos incorretos. No entanto, esse sistema não é escalável e, no pior caso, a rede toda pode ser inundada. Também para eliminar os loops, o sistema usa um campo de tempo de vida (TTL - Time-To-Live), que pode evitar o excesso de inundação. Figura 2: Encontrando um objeto na Gnutella Objetos Distribuídos Rastreados - 2

3 1.2 Freenet A Freenet (Free Network) é uma rede descentralizada peer-to-peer em larga escala que reúne a força de computadores membros de todo o mundo para criar um armazenamento virtual em massa de informações aberto a qualquer pessoa que publique ou exiba informações de todos os tipos gratuitamente. A Freenet duplica e transfere dinamicamente informações em resposta à demanda de fornecimento de serviço eficiente e uso de largura de banda mínima, independentemente da carga. Além disso, a Freenet é privada e segura, isto é, as informações nela armazenadas são protegidas por criptografia intensa de forma a obter proteção contra adulteração ou falsificação. Essa rede é uma implementação Open Source aprimorada do sistema descrito por Ian Clarke, em 1999, no ensaio A distributed decentralized information storage and retrieval system ( Um sistema de armazenamento e recuperação de informações descentralizado e distribuído ). A primeira versão (Versão 0.1) desse sistema foi lançada em março de Para encontrar um objeto, a Freenet usa um DFS da rede, o que resulta em uma versão seqüencial de inundação no pior caso. A Figura 3 ilustra uma seqüência de mensagens de consulta e resposta na Freenet). Aqui temos uma troca de eficiência por escalabilidade, isto é, uma solicitação talvez precise ser encaminhada com uma longa cadeia de nós antes de ser satisfeita, mas há um pequeno congestionamento em virtude de uma única solicitação. Figura 3: Encontrando um objeto na Freenet 1.3 Medidas O custo de comunicação entre dois nós é uma função idealizada de latência, largura de banda, tamanhos de filas etc. Para fazer a análise, pressupomos que nossa função de custo seja um custo estático métrico. O custo de uma operação é o custo total de comunicação da mensagem que ela envia para conduzir a operação. Considere v como um nó mais próximo de n que tenha uma cópia de x. Definimos a operação de stretch de find(u, x) como. Os stretches das operações insert e delete são definidos similarmente [BFR95]. Para as operações join e leave, usamos o número de nós que são atualizados como uma medida em vez do custo de comunicação. O overhead de memória é definido como a quantidade máxima de informações de controle armazenadas em um nó da rede. A partir de agora, chamamos de informações de controle a lista de nós para a qual o nó encaminha solicitações ou a lista de objetos que o nó reconhece. Também definimos a carga estática de um nó como o número de objetos que ele reconhece e de carga dinâmica de um nó o número de operações find que afetam o nó por unidade de tempo. Objetos Distribuídos Rastreados - 3

4 2 Algoritmos para rastreamento de dados Nesta seção apresentamos três algoritmos para um eficiente rastreamento de dados. O primeiro é um algoritmo simples que apresenta as principais idéias. O segundo algoritmo é o de Awerbuch e Peleg [AP90]. Awerbuch e Peleg motivaram a idéia de preservação de localidade, que consiste no seguinte: se uma tarefa estiver relacionada a um subconjunto dos sites localizados em uma pequena região da rede, é interessante a execução da tarefa envolver somente sites na região ou nas proximidades da região e o custo da tarefa ser proporcional ao seu nível de localidade. Os conceitos de coberturas de vizinhança escassa e decomposições hierárquicas de clusters (veja a Subseção 2.2) foram introduzidos pela primeira vez neste ensaio. Usando esses conceitos, eles comprovaram limites próximos aos ótimos no fator de stretch. Percebemos a principal desvantagem do algoritmo quando temos as operações join e leave. O segundo algoritmo, que é um esquema de rastreamento mais básico, é o de Plaxton et al. [PR99]. O ensaio considera a preservação parcial das localidades e o equilíbrio de carga estática e forma o componente de localização de dados do Oceanstore (veja a Subseção 2.3). Devido a restrições de tempo, não conseguimos abordar o trabalho recente sobre algoritmos de rastreamento de dados, incluindo os projetos Chord e CAN. 2.1 Um algoritmo simples: um rastreamento distribuído baseado em árvore Uma abordagem ingênua para o rastreamento de dados é a incorporação de uma árvore na rede e a posterior comunicação de cada nó a todos os seus ancestrais sobre seus próprios objetos (veja a Figura 4). Agora, para find(u, x), encaminhamos a solicitação pelo percurso de u até a raiz da árvore, até encontrarmos o primeiro ancestral que contém informações de controle sobre o objeto x e então recuperamos o objeto de um nó apropriado. Na verdade, a árvore e sua incorporação determinam a localização de informações de controle entre os nós da rede. Essa abordagem tem seus problemas. O primeiro é que a raiz da árvore deve ter informações de controle sobre todos os objetos. Em outras palavras, temos overhead de memória Ω(m). O segundo problema é que a incorporação pode não respeitar a localidade da rede. Por exemplo, considere um anel de nós 0,...,n em que c ij seja o número de hops entre o nó i e j no anel mais um (a função de custo é métrica). Pode-se observar que, em cada três incorporações, há dois nós de distância um no anel cuja distância na rede seja Ω(n). Na próxima subseção, consideraremos as coberturas de vizinhança escassa introduzidas por Awerbuch e Peleg [AP90] para resolver o segundo problema. A idéia principal aqui é tentar incorporar várias estruturas em forma de árvore na rede. Essa idéia foi ainda considerada por Bartal et al. em seu artigo sobre árvores hierarquicamente bem separadas [Bar98]. Figura 4: Rastreamento distribuído baseado em árvore Objetos Distribuídos Rastreados - 4

5 2.2 Coberturas de vizinhança escassa A vizinhança r de um vértice u é definida como N r (u) = {v c(u,v) r}. Lembre-se de que c(u,v) é a distância entre u e v na rede. Um M r de cobertura de vizinhança r escassa é um conjunto de nós (também chamado de clusters) de vértices S,...,S com as seguintes propriedades: 1 l 1. Para cada vértice v existe algum 1 i l de forma que. 2. O diâmetro de cada cluster S i (o diâmetro do subgrafo induzido por S i ),, está em O(r log n). 3. Cada nó pertence a O(log n) clusters. A estrutura de dados de coberturas de vizinhança escassa é uma família de coberturas de vizinhança r escassa para diferentes valores de r. Os aplicativos muitas vezes requerem a construção de coberturas de vizinhança r escassa para valores dobrados sucessivamente de O(log(Diam(G)), por exemplo, r = 1,2,4,8,... Aqui G é nosso grafo de rede. O algoritmo para encontrar M r de cobertura de vizinhança r escassa é o seguinte: Inicialmente, todos os nós estão desmarcados. Repita o seguinte até que todos os nós sejam removidos. 1. Selecione um nó n desmarcado. 2. Encontre o menor j de forma que. 3. Ou j existe ou inclui todos os nós; no segundo caso, defina j = log n. 4. Inclua o conjunto na cobertura. 5. Marque todos os nós em e remova todos os nós de a partir de análises mais detalhadas. 6. Se existir algum nó u desmarcado, vá para a etapa 1; caso contrário, desmarque todos os nós e, em seguida, vá para a etapa 1. Em primeiro lugar, observamos que, quando um nó v é removido, seu N r (v) está incluído em algum cluster (veja a Figura 5). Usando o fato de que em cada cluster pelo menos metade dos nós será removida, pode-se comprovar que cada nó estará no máximo em O(log n) clusters (veja os detalhes em [ABCP99]). Linal e Saks [LS93] mostraram como um algoritmo aleatório distribuído pode ser usado para computar coberturas escassas. Nesta abordagem, cada nó u começa com N r (u) como um cluster. Depois, em cada round, todo cluster cresce simultaneamente, mas alguns clusters param por causa dos outros (os vínculos são desfeitos aleatoriamente). O tempo de execução desse algoritmo é tempo polilogarítmico. O leitor é remetido ao ensaio original para obter mais detalhes. Figura 5: Desenvolvendo as regiões para obter uma cobertura de vizinhança escassa Objetos Distribuídos Rastreados - 5

6 Agora, pressupomos que temos uma estrutura de dados de coberturas de vizinhança escassa que contenha todos os. Nossa solução para o rastreamento de dados é baseada na hierarquia de coberturas na rede. Para cada cluster S em cada M i 2 de cobertura, escolhemos um l(s) e fornecemos serviços de roteamento interno construindo um componente de roteamento de árvore para S com raiz em l(s). Para cada i, associamos a cada nó u um cluster doméstico,, que é o cluster que contém n i 2 (u). Assim, cada nó possui log(diam(g)) clusters domésticos. Agora, considere a operação find(u, x). O nó u primeiro tenta usar o M i 2 de cobertura mais baixo, isto é, encaminhar sua solicitação do objeto x para seu primeiro cluster doméstico líder, l(home 1 (u)). Se essa tentativa falhar, isto é, l(home 1 (u)) não conhecer nenhuma informação de controle sobre x, u tentará novamente enviar sua mensagem, desta vez usando o M 2 2 de cobertura etc., até que finalmente dê certo. Suponha que um nó v mais próximo a u que contenha x tenha distância d até u. Como v está contido em cluster em M i 2 é no máximo 2 i log n, temos: e o diâmetro de cada Assim, o stretch de find é O(log n). Para insert(u, x), o nó u informa o líder de cada cluster que contém u em M 2 i para todos os. O custo do pior caso para essas duas operações está em O(Diam(G)polylog(n)); no entanto, um stretch amortizado de O(polylog(n)) pode ser obtido [BFR95]. O custo das operações join e leave está em Ω(n), visto que precisamos atualizar todos os nós no pior caso. Por fim, como alguns nós líderes precisam armazenar informações de controle de todos os objetos, o overhead de memória desse algoritmo está em Ω(m). Na próxima subseção, apresentamos um algoritmo com um melhor overhead de memória. 2.3 Um Esquema de Rastreamento Básico Se, para cada objeto no sistema, mantivermos uma árvore lógica que mapeie aleatoriamente para os nós (respeitando-se a localidade, espera-se), o conjunto de objetos será uniformemente distribuído entre os nós e teremos um bom equilíbrio de carga. No entanto, continua havendo um problema de escalabilidade, pois cada nó deve conhecer seus vizinhos na árvore para toda árvore de objetos possível. Para resolver isso, apresentamos um esquema de rastreamento básico, que utiliza a incorporação aleatória de árvores lógicas para obter equilíbrio de carga estática apesar de exibir baixo overhead de memória. Para uma classe restrita de funções de custo, também é obtido um custo assintoticamente eficiente. Esse esquema forma o componente de localização de dados do Oceanstore, um sistema de rastreamento de dados desenvolvido em Berkeley. Nesse esquema, IDs exclusivas são atribuídas a nós e objetos. O nó cujos bits correspondem ao maior prefixo da ID de objeto se torna o raiz nessa árvore do objeto e é responsável pelas informações necessárias à localização de pelo menos uma cópia do objeto. O ponto principal disso é rotear fazendo a correspondência sucessiva de um prefixo mais longo da ID de objeto nó a nó, até chegarmos a um que conheça uma cópia do objeto procurado. Observe que IDs de nós aleatórias significam que o esquema de rastreamento é sensível à topologia. Objetos Distribuídos Rastreados - 6

7 Figura 6: Árvore de acesso para o objeto Como mostra a Figura, 6, o pai de um nó u é o nó mais próximo (por alguma métrica de rede; por exemplo, latência) cuja ID corresponde à ID do objeto em um prefixo mais longo que a ID de u. Por exemplo, o nó 011 corresponde a 000 em um prefixo de comprimento 1, melhor que o nó 110, que não corresponde a nenhum prefixo. Como 011 é esse nó mais próximo de 110, ele se torna o pai de 110 na árvore de acesso para 000. Da mesma forma, o nó 000 (raiz para o objeto 000) é o mais próximo de 010, sendo então o pai direto de 010, de modo que 010 poderia chegar ao objeto 000 em um salto (hop). Figura 7: Sobrepondo vizinhos Como mostra a Figura 7, haverá claramente uma sobreposição entre os vizinhos de um dado nó em diferentes árvores de acesso. Na verdade, se raciocinarmos um pouco, poderemos perceber que a manutenção do nó mais próximo cuja ID corresponda à ID do objeto em um prefixo mais longo para todos os objetos é equivalente à simples manutenção do nó mais próximo cuja ID corresponda à ID do nó atual nos primeiros i bits e difere no bit (i + 1)st (considerando-se n uma potência de 2). Assim, o número total de vizinhos distintos que um nó precisa armazenar é somente log n. Uma tabela de vizinhos típica é mostrada na Figura 8. Figura 8: Tabela de vizinhos de nós Objetos Distribuídos Rastreados - 7

8 Além dos vizinhos, um nó também mantém ponteiros de objeto para objetos que conhece. Uma solicitação de objeto é roteada de nó a nó, correspondendo sucessivamente prefixos de ID de nó mais longos, até atingir um que tenha um ponteiro para o objeto. Se o objeto estiver no sistema, o nó raiz desse objeto apontará para ele, de forma que se tenha garantia do término da pesquisa. Os ponteiros que não estão na raiz são como consultas armazenadas em cache: algumas vezes, eles aliviam a necessidade de se fazer todo o caminho até a raiz. Quando um nó u insere uma cópia do objeto no sistema, ele propaga a localização da cópia através do caminho de pesquisa do objeto, deixando um ponteiro de objeto em cada nó com o caminho que não reconhece o objeto. Se ele encontrar um nó w que aponte para uma cópia existente que esteja mais próxima de w que u, nada mudará em w e a propagação chegará ao fim. Caso contrário, se u estiver mais próximo, o ponteiro será atualizado em w e a propagação continuará. Esse esquema de rastreamento básico tem várias vantagens. A atribuição de ID aleatória distribui o conjunto de ponteiros de objetos uniformemente sobre os nós. O esquema de pesquisa mantém as tabelas de vizinhos no tamanho de log n. Assim, o sistema é bem escalável. Em determinados casos de funções de custo de comunicação, o sistema também pode se mostrar eficiente no sentido de que o custo de acesso esperado esteja dentro de um fator constante ótimo. Especificamente, exigimos que, para cada nó x e r 1, a proporção do número de nós dentro da distância (custo) 2r de x para o número de nós dentro da distância r seja limitado de cima e de baixo por constantes. [PRR99] Há também diversas limitações. Como mencionado acima, as provas de eficiência dependem de funções de custo restritas. Não é levada em consideração a carga dinâmica nos nós, e o overhead do encaminhamento das solicitações através de vários nós pode ser significativo. Além disso, o número de nós afetados por uma operação join ou leave pode ser grande, de um ponto de vista prático. 3 O Problema da Atribuição de Carga (Observações específicas à apresentação de Adrian Vetta) ENTRADA: Um conjunto S = {S 1, S 2,...,S n } de fontes. Associada a um depósito S i há uma carga de tamanho l i. Um conjunto T = {t 1, t 2,...,t r } de depósitos. Associada a um depósito t j há uma função de custo c j (). Há uma ponta ij se uma carga de s i pode ser roteada para t j. SAÍDA: uma atribuição de custo mínimo das cargas aos depósitos. Uma solução é uma atribuição x = {x 1, x 2,...x m }, onde x e é a carga na ponta e. AS FUNÇÕES DE CUSTO Dada uma fonte s i, considere como o conjunto de depósitos incidentes em. Dado um depósito t j, digamos que seja o conjunto de fontes incidentes em t j. Digamos que seja a carga total no depósito t j. Para um depósito t j, pressupomos que a função de custo cj(): Seja uma função de X j, isto é, cj(x j ) Objetos Distribuídos Rastreados - 8

9 Figura 9: Problema de atribuição de carga Tenha custos marginais decrescentes. Observe que essa segunda propriedade é apenas concavidade, pois. UMA FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 3.1 Um Resultado Complicado COBERTURA DE CONJUNTOS ENTRADA: Elementos {v 1, v 2,...,v n } e conjuntos {S 1, S 2,...S r }. SAÍDA: Uma coleção S de conjuntos de cardinalidade mínima que cobre todos os elementos. É sabido que o problema da Cobertura de Conjuntos não pode ser aproximado dentro de um fator O(log n). REDUÇÃO PARA A ATRIBUIÇÃO DE CARGA Há uma redução da preservação da aproximação da Cobertura de Conjuntos para o problema da Atribuição de Carga: Há uma fonte s i para cada elemento v i. Há um depósito t j para cada conjunto Sj. Há uma ponta i j se o elemento vi está no conjunto S j. Há uma carga l i para cada fonte. Os custos marginais no depósito j são (1,0,0,...,0). Teorema. O problema da Atribuição de Carga não pode ser aproximado dentro de um fator O(log n). Objetos Distribuídos Rastreados - 9

10 3.2 A Estrutura de uma Solução OBSERVAÇÃO Podemos considerar as soluções como permutações de {1, 2,...,r}. Para ver isso, observe que algumas soluções ótimas de x têm as duas seguintes propriedades: Propriedade I. Para toda fonte s j, toda a sua carga l é atribuída a um único depósito. Prova. Suponha que não. Digamos que um pouco da carga seja atribuída ao depósito t 1 e outro pouco ao depósito t 2. Agora, se, então, por concavidade, o custo total poderá ser reduzido através de novo roteamento da carga de t 2 para t 1. Da mesma forma se. Daqui em diante podemos assumir que há uma carga para cada fonte. 3.3 Depósitos Saturados O depósito t j é saturado se cada fonte em atribuir sua carga a t j. Propriedade II. Pelo menos um depósito está saturado. Prova. Suponha que não. Então, por concavidade: é roteado para é roteado para Imagine um grafo direcionado com um nó para cada depósito e os arcos j, f(j)). Como nenhum depósito fica saturado, cada vértice extrai o grau 1. Assim, o grafo contém um ciclo C. Somando o ciclo, obtemos Digamos que k seja o último nó no ciclo, de forma que f(k) seja o nó pelo qual começamos. O exposto acima leva a o que é uma contradição. WLOG assume que t 1 esteja saturado. Depois, por argumentos semelhantes: que está saturado em relação a que está saturado em relação a etc... Objetos Distribuídos Rastreados - 10

11 3.4 Um Algoritmo Greedy GREEDY Calcule o custo saturado médio de cada depósito, isto é,. Atribua a, o depósito com a média de custo saturado mínima. Repita em até que cada fonte seja coberta. TEMPO DE EXECUÇÃO O tempo de execução do algoritmo greedy é linear no número de pontas. Ele leva O(m) tempo para calcular os custos saturados médios iniciais e O(m) tempo em todas as iterações subseqüentes para atualizar esses custos saturados médios. 3.5 Análise do Algoritmo Greedy A solução ótima tem o custo. A solução greedy cobre n i fontes na etapa i. Teorema. Greedy é um algoritmo de aproximação de O(log n). Prova. Observe que OPT/n é apenas uma média ponderada dos custos médios de depósito. Assim, vemos que: Na etapa 1, algum depósito em T* tem custo médio. Na etapa 2, algum depósito em T* tem custo médio.... Na etapa s, algum depósito em T* tem custo médio. Agora, por concavidade, o custo saturado médio de um depósito é no máximo o custo médio. Assim, o algoritmo greedy tem um custo total onde na segunda desigualdade usamos o fato de que Objetos Distribuídos Rastreados - 11

12 3.6 Alguns Casos Especiais FUNÇÕES DE CUSTOS MARGINAIS CÔNCAVAS A garantia de desempenho real do greedy é, onde Como resultado, por exemplo, se a função de custos marginais for côncava, temos um algoritmo de aproximação de 2. NÚMERO CONSTANTE DE DEPÓSITOS COMPLICADOS Se houver um número fixo de depósitos com funções de custos marginais não constantes, poderemos resolver o problema de forma otimizada. FUNÇÕES DE CUSTO CONVEXAS Se a função de custo for convexa, a solução ótima pode ser encontrada por um algoritmo de fluxo de custo mínimo. 3.7 Problemas em Aberto PROBLEMA I E se houver capacidades nos depósitos? PROBLEMA II E se as funções de custo forem mais complexas? PROBLEMA III E se houver estrutura adicionada em relação aos links do depósito-origem? 4 Um Outro Problema em Aberto: Atribuição On-line Este problema é essencialmente o mesmo problema de atribuição de carga com duas diferenças principais: a atribuição deve ser executada on-line e a atribuição da unidade de carga do cliente i ao servidor j incorre em custo c(i, j). É possível considerar dois modelos de carga de servidor: uma capacidade C j para o servidor j ou uma função f j de carga que gera um custo adicional para cada unidade de carga servida por j. Figura 10: Atribuição de carga on-line Objetos Distribuídos Rastreados - 12

13 Referências [ABCP99] B. Awerbuch, B. Berger, L. Cowen e D. Peleg. Near-linear cost sequential and distributed constructions of sparse neighborhood covers. SIAM Journal of Computing, 28: , [AP90] B. Awerbuch e D. Peleg. Sparse partitions. Em Proceedings of the 31st Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pp , [AP95] B. Awerbuch and D. Peleg. Online tracking of mobile users. Journal of the ACM, 37: , [Bar98] Y. Bartal. Probabilistic approximation of metric spaces and its algorithmic applications. Em Proceedings of the 30th Annual ACM Symposium on Theory of Computing, pp , Maio [BFR95] Y. Bartal, A. Fiat e Y. Rabani. Competitive algorithms for distributed data management. Journal of Computer and Systems Sciences, 51: , [LS93] N. Linial e M. Saks. Low diameter graph decompositions. Combinatorica, 13: , [PRR99] C. G. Plaxton, R. Rajaraman e A. W. Richa. Accessing nearby copies of replicated objects in a distributed environment. Theory of Computing Systems, 32: , Objetos Distribuídos Rastreados - 13