P01. 1 [5] Considere o escoamento de ar e água em tubos do mesmo diâmetro, à mesma temperatura e à mesma velocidade

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1 TEA01 - Mecânica dos Fluidos Ambiental II Curso de Graduação em Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P01, 17 Setembro 018 Prof. Michael Mannich NOME: GABARITO Assinatura: P01 1 5] Considere o escoamento de ar e água em tubos do mesmo diâmetro, à mesma temperatura e à mesma velocidade média. Qual escoamento possui mais chances de ser turbulento? Por quê? SOLUÇÃO DA QUESTÃO: A viscosidade cinemática da água a 0 é ν aдua = 1, m s 1 e para o ar é ν ar = 1, m s 1. Desta forma ν ar > ν aдua, de modo que Re aдua > Re ar. Portanto, o escoamento com água possui mais chances de ser turbulento considerando o mesmo diâmetro e velocidade média do escoamento.

2 5] A vazão de água na tubulação de ferro fundido com 100m de comprimento e diâmetro de 150 mm é de 0,1m 3 s 1. A diferença de elevação entre a superfície livre do reservatório à montante e a saída da tubulação é de 10m. Despreze todas as perdas de carga localizadas. a) 0] O dispositivo instalado no prédio é uma bomba ou uma turbina? Explique e determine a sua potência. b) 10] Esboce a linha de energia (com a pressão manométrica) no sistema considerando a perda de carga e a presença da bomba ou turbina conforme a), respeitando pelo menos a escala da energia de montante. c) 15] Há alguma preocupação com a localização do prédio (com bomba ou turbina)? 5] Apresente a razão e explique conceitualmente. 10] Caso haja alguma preocupação determine qual a distância máxima do reservatório que a bomba/turbina poderá ser instalada. SOLUÇÃO DA QUESTÃO: a) Aplicamos a equação da energia entre um ponto a montante na superfície do reservatório (1) e a jusante na saída da tubulação (). Patm 0 P 1 Patm γ + α V1 1 д + z P 1 + H bomba = γ + α V д + z + H turbina + h perdas H bomba H turbina = z z 1 + V 1 + f L ] д D V = Q π D = 0,1 = 5,6588m s 1 π 0,1 Re = V D 5,658 0,150 = ν 0, ϵ D = 0,0006 0,150 = 0, = 8, Para determinar f fazemos iterações na forma: 1 =,0 log f ϵ/d 3,7 +,51 Re f f i+1 = log,0 ϵ/d 3,7 +,51 Re f i A tabela apresenta as iterações tomando como aproximação inicial f 1 = 0, 00

3 Tabela 1: Iterações para determinação do fator de atrito i f i 1 0,0 0, , , , , Voltando e calculando H bomba H turbina = z z 1 + V д H bomba H turbina = ,658 9,81 H bomba H turbina = 16,3757m 1 + f L ] D 1 + 0, ] 0,150 Repare que o resultado de H bomba H turbina > 0, como só temos ou uma bomba ou uma turbina isso implica que há uma bomba para possibilitar esta vazão. A carga disponível é de 10 m e a perda de carga somada da carga cinética para esta vazão é de 6, m. Então H bomba = 16,3757m e P = γqh = , 16, = 16,15kW b) Veja a figura com a linha de energia. c) A preocupação possível é que a pressão a montante da bomba fique inferior à pressão de vapor da água. Para verificar a distância máxima da entrada da tubulação que a bomba deveria ser instalada calculamos o ângulo de inclinação da tubulação. θ = arcsin( ) =,86598 Avaliamos então a equação da energia entre o ponto (1) e um ponto antes da bomba (3). Escrevemos o problema em função desta distância L da tubulação.

4 Patm 0 Pv =,3kPa P 1 γ + α V1 1 0 д + z P 1 + H bomba = 3 γ + α V3 3 д + z 3 + H turbina + h perdas Patm Pv H bomba + = z 3 z 1 + V 1 + f L ] = ((5 L sin(5/100)) 10) + V γ д D д H bomba + Patm Pv γ + 5 V д = L sin(,866 ) + f L V D д = L sin(,866 ) + f D L = H bomba + Patm Pv γ + 5 V д sin(,866 ) + f V D д 16, , ,63135 L = 0,05 + 0,805 L = 79, 8881m V д 1 + f L ] D

5 3 50] A figura apresenta um reservatório que promove a sedimentação de materiais oriundos de um processo industrial. O reservatório deve ser conectado a um lago por meio de uma tubulação horizontal de concreto (ϵ = 1 mm) de seção circular e com 500 m de comprimento. As entradas e saídas da tubulação são localizadas afastadas da base dos taludes e sustentadas por pilares de modo prevenir erosão nestas regiões. O reservatório recebe uma vazão de 0,5 m 3 s 1 e se deseja manter o nível do reservatório 1 m acima do nível do lado. a) 10] Apresente as equações necessárias e hipóteses simplificadoras para determinar o diâmetro D da tubulação de concreto necessária para atender aos critérios de projeto apresentados. b) 10] Determine o diâmetro D da tubulação necessária para atender a vazão e diferença de nível especificados. Apresente os resultados dos passos iterativos. Para determinação do fator de atrito f pode-se utilizar o diagrama de Moody. c) 10] Esboce a linha de energia e a linha piezométrica (com a pressão manométrica) no sistema. d) 10] Caso a tubulação seja instalada com uma inclinação na direção do lago ao invés de ser horizontal é possível reduzir o diâmetro necessário? 5] Explique. 5] Há alguma alternativa que poderia ser adotada para reduzir o diâmetro necessário? e) 10] 5] Caso você não encontre uma tubulação no diâmetro determinado em b) você adotaria um diâmetro comercial, neste caso qual? Considerando o diâmetro comercial que você adotou, a perda de carga seria maior ou menor? 5] Qual estratégia você adotaria para continuar mantendo o mesmo desnível entre o reservatório e o lago (ou seja, a mesma perda de carga)? SOLUÇÃO DA QUESTÃO: a) Aplicamos a equação da energia entre um ponto a montante na superfície do reservatório (1) e na superfície do lago (). Patm 0 P Patm 1 γ + α V д + z P 1 + H bomba = γ + α V 0 д + z + H turbina + h perdas z 1 z = z = V f L ] д D + K entr ada + K saida z = 8Q π дd f L ] D + K entr ada + K saida Reorganizando para isolar o diâmetro D. D = f 8Q L ] π д z D + K entr ada + K saida ( 8Q D = f L 1 ]) π д z D + K entr ada + K saida

6 Reescrevendo agora a equação para estabelecer um potencial procedimento iterativo. ( 8Q D i+1 = π д z f L D i + K entr ada + K saida ]) 1 b) Agora devemos resolver o problema e determinar D. Não sabemos qual o diâmetro D e f também é função de D. Tomamos como uma aproximação um valor intermediário de f = 0,00 que sempre é um bom palpite. Podemos então fazer algumas iterações para esta equação. Precisamos então de um valor inicial de D. Vamos arbitrar D 1. ( D i+1 = 0, ,00 L ) 1 + 0,5 + 1 D i Tabela : Iterações para determinação do diâmetro i D i 1 0, ,6599 0, , Mas esta não seria ainda a solução final, uma vezes que fixamos e arbitramos f. Então agora devemos iterar para determinar D. Um procedimento possível é aproximar D, calcular todos os parâmetros e determinar z depois comparar com o valor estabelecido. Deve-se aumentar ou diminuir D de acordo e realizar os novos cálculos. Uma forma de obter uma nova estimativa do diâmetro (i + 1) é utilizar a mesma equação para a iteração com os dados passados (i). ( 8Q D i+1 = π f L ]) 1 ( + K entr ada + K saida = Di+1 = 0,68071 f L ) 1 + 0,5 + 1 д z D i D i A tabela resume os resultados de cada iteração. Os valores do fator de atrito foram determinados com o diagrama de Moody. A primeira aproximação para o diâmetro D 1 = 0,56m obtivemos da aproximação anterior. Nada impede, é claro, você ter omitido a primeira etapa e arbitrado um diâmetro qualquer como primeira aproximação. O que fizemos apenas nos poupou algumas iterações e agilizou a convergência. Tabela 3: Iterações para determinação do diâmetro D V Re ϵ/d f z 0,56 1, , , ,030 1, , , , ,0017 0,09 0, , , , , ,09 1, , Não fizemos muitas iterações pois alcançamos na terceira tentativa já um erro razoável de 8,87mm no desnível z. Desta forma temos um diâmetro aproximado de 575 mm. Apenas como curiosidade, caso tivéssemos a oportunidade de resolver com o auxílio de um computador e também fizéssemos iterações para determinar f a cada iteração necessária em D, obteríamos

7 Tabela : Iterações para determinação do diâmetro D V Re ϵ/d f z 0, , , , , , , ,9019 5, , ,0885 0, , , , , ,091 1,0185 0, , , , ,095 0, , , , , ,0930 1, , , , , ,098 0, , , , , ,099 1, , , , , ,099 0, ,5768 0, , , ,099 1, ,5768 0, , , ,099 0, ,5768 0, , , ,099 1,000001

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9 c) Linhas de energia e piezométrica. d) A afirmação de que caso a tubulação seja instalada com uma inclinação na direção do lago ao invés de ser horizontal é possível reduzir o diâmetro necessário é falsa. Se o comprimento da tubulação for o mesmo e a saída da tubulação permanecer abaixo da superfície do lago a perda de carga independe da inclinação da tubulação. Isso é bastante evidente pela equação da energia aplicada ao escoamento em tubos. Uma alternativa para reduzir o diâmetro seria adotar um material com menor rugosidade. e) Deveríamos adotar uma tubulação com diâmetro comercial superior, provavelmente de 600 mm. Neste caso a perda de carga seria inferior e, portanto, o desnível entre o reservatório e o lago seria também inferior. Uma forma de contornar a diminuição da perda com aumento do diâmetro seria instalar algum acessório que implique em uma perda de carga localizada ou elementos de rugosidade ao longo da tubulação para aumentar a perda de carga.