UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES URI CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE REGIONAL INEGRADA DO ALO URUGUAI E DAS MISSÕES URI CAMPUS DE ERECHIM DEPARAMENO DE CIÊNCIAS EXAAS E DA ERRA CURSO DE MAEMÁICA MARIANIA ALBERI MODELO MAEMÁICO X DADOS EXPERIMENAIS ERECHIM 200

2 MARIANIA ALBERI MODELO MAEMÁICO X DADOS EXPERIMENAIS rabalho de Conclusão de Curso, apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática pelo Departamento de Ciências Exatas e da erra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI Campus de Erechim. Orientador: Prof. Clémerson Alberi Pedroso ERECHIM 200

3 2 AGRADECIMENOS A Deus por ter iluminado meus dias ao longo dessa caminhada. Aos professores pela oportunidade de aprender, que se constitui no maior bem do ser humano. A todos os colegas pelo tempo em que passamos juntos, momentos de muito estudo, trocas de experiências e novas amizades. Em especial, ao orientador prof. Clémerson Alberi Pedroso pela sua dedicação e disposição. Aos meus familiares, pelo apoio, compreensão e por acreditarem na minha capacidade.

4 3 Se são as circunstâncias que fazem os homens, então façamos as circunstâncias humanamente. (Robert Owen)

5 4 RESUMO O avanço tecnológico possibilita o acesso a uma quantidade inimaginável de informações e faz com que os métodos de ensino atuais sejam questionados pelos educadores, governantes e até mesmo pelos próprios alunos, principalmente se tratando das ciências exatas. ransformar problemas do cotidiano em uma linguagem matemática é uma prática difícil de ser introduzida no ambiente escolar, considerando-se que para isto seria necessária a adoção de novos padrões de ensino. Este trabalho de conclusão de curso apresenta um estudo sobre a modelagem matemática, relacionando a situação que envolve a aplicação do modelo matemático da Lei do Resfriamento de Newton, tendo como principal objetivo relacionar o experimento de aquecimento da água, buscando dados que permitam a modelagem das mudanças de temperatura ao longo do tempo, demonstrando que as equações matemáticas podem ser empregadas para simular ou resolver questões comuns no dia-a-dia das pessoas. O resultado do experimento demonstrou que a equação da Lei de Resfriamento de Newton não é a mais indicada para demonstrar as variáveis ocorridas durante o aquecimento da água, sendo aplicada então a equação logística, mais adequada para a realização do experimento proposto. Palavras-chaves: Modelagem Matemática. Lei do Resfriamento de Newton. Equação logística.

6 5 LISA DE FIGURAS Figura Diagrama da Modelagem Matemática... 0 Figura 2 abela dos mecanismos de transferência de calor... 4 Figura 3 Curva de aquecimento da água com agitação... 6 Figura 4 Curva de aquecimento da água sem agitação... 8 Figura 5 Curva de aquecimento da água com agitação... 8

7 6 SUMÁRIO INRODUÇÃO REFERENCIAL EÓRICO MODELO MAEMÁICO EXPERIMENO MODELOS MAEMÁICOS COMPARAÇÃO DOS DADOS EXPERIMENAIS COM O MODELO DA LEI DE RESFRIAMENO DE NEWON COMPARAÇÃO DOS DADOS EXPERIMENAIS COM O MODELO LOGÍSICO CONCLUSÃO REFERENCIAS... 2 ANEXO A RESOLUÇAO DA LEI DE RESFRIAMENO DE NEWON ANEXO B RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LOGÍSICA SEM E COM AGIAÇÃO ANEXO C DADOS EXPERIMENAIS... 29

8 7 INRODUÇÃO O avanço tecnológico que possibilita o acesso a uma quantidade inimaginável de informações faz com que os métodos de ensino atuais sejam questionados pelos educadores, governantes e até mesmo pelos próprios alunos. Em tempos mais remotos as crianças dependiam quase que exclusivamente das informações que obtinham nas escolas para o seu desenvolvimento intelectual, diferente do que ocorre atualmente. Com o acesso a internet e demais meios de comunicação, os alunos tornam-se a cada dia mais exigentes, seja a nível do ensino fundamental, médio ou superior. Satisfazer suas necessidades e prender sua atenção torna-se a cada dia mais complicado. E, dentro deste contexto, encontra-se o ensino da matemática, que sempre representou um grande desafio para os educadores. Gerações mais antigas já questionavam qual o sentido de certos conteúdos, pela dificuldade de encontrarem aplicações práticas. E, mesmo diante de toda a evolução ocorrida, observa-se que os métodos de ensino e os conteúdos apresentados continuam praticamente os mesmos há décadas. ransformar problemas do cotidiano em uma linguagem matemática é uma prática difícil de ser introduzida no ambiente escolar, considerando-se que para isto seria necessária a adoção de novos padrões de ensino. Enquanto os educadores forem incentivados a cumprirem somente os conteúdos programados, sem preocuparem-se com a aplicação de novos métodos, a educação continuará neste círculo vicioso, onde os alunos demonstram pouco entusiasmo em aprender e os professores em ensinar. A adoção de novas formas de ensino da matemática, como de outras matérias, é uma necessidade que deve ser encarada com maior seriedade. Buscar novas formas de ensino que desenvolvam a capacidade crítica dos alunos, possibilitando aos mesmos que encontrem maneiras de transformar a grande quantidade de informações que recebem em conhecimento. Considerando-se esta realidade, o presente trabalho tem como objetivo demonstrar, por meio de experiência prática, que a matemática pode ser utilizada para resolver questões que fazem parte do dia-a-dia das pessoas.

9 8 O experimento apresentado neste trabalho foi realizado no laboratório do curso de Engenharia de Alimentos da URI, buscando relacionar o aquecimento da água com o modelo matemático da Lei de Resfriamento de Newton. A relação dos dados do experimento com o modelo matemático da Lei de Resfriamento de Newton demonstrou que o mesmo não representa adequadamente os dados obtidos em laboratório, havendo então à necessidade de substituição pelo Modelo Logístico, também conhecido como a equação de Verhulst, onde os dados obtidos pelo experimento e comparados com o modelo matemático foi o mais adequado. Sendo assim, a intenção é relacionar a matematica com a física através de experimentos a nível de ensino de graduação, busacando evidenciar as possibilidades para um novo modo de ensino, analizando os dados obtidos junto com o modelo escolhido.

10 9 2 REFERENCIAL EÓRICO O referencial teórico é parte imprescindível para o desenvolvimento de qualquer estudo acadêmico, portanto a seguir estão apresentados conceitos e considerações sobre o assunto tratado neste trabalho. 2. MODELO MAEMÁICO Conforme Biembengut (2003), a modelagem matemática é um mecanismo, um modelo que integra a matemática com a realidade, sendo essa duplicidade indissociável. E esta relação, segundo Bassanezi (2004), ocorre através da transformação dos problemas do cotidiano do aluno em uma linguagem matemática, interpretando e analisando os dados propostos para resolvê-los. Porém, apesar dos esforços dos educadores, esta prática não é fácil de ser introduzida no ambiente escolar, já que é uma proposta que exige novos padrões de ensino. Para Bassanezi (2004), a dificuldade em fazer com que esta prática seja adotada pelas escolas pode ser relacionada a uma série de fatores, porém, o problema crucial é a cobrança feita às escolas e professores para que cumpram os conteúdos previstos. Biembengut (2003), comenta que o desafio de inovar as formas de ensino da matemática, vem crescendo, gerando uma nova reestruturação dos currículos e ao mesmo tempo nos métodos de ensino, favorecendo o desenvolvimento da capacidade crítica do aluno. Diz ainda que, a resolução de problemas depende de uma formulação matemática detalhada, onde são envolvidos: conjuntos de símbolos, expressões numéricas, fórmulas, diagramas, gráficos ou representação geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais e relações matemáticas que relacionam problemas a situações reais, denominados como modelo matemático. Bassanenzi (988), diz que é possível processar a interação entre a teoria e matemática, e a outras ciências, através de exemplos representativos, estimulando o aluno a desenvolver suas próprias habilidades durante a realização de exercícios e projetos. Apresenta

11 0 três aspectos importantes relacionados a este exemplo: a construção de uma teoria matemática com a concepção de estrutura abstrata, símbolos e regras definidas, seguidas de incentivo e de uma ordem prática; o estudo matemático da teoria, onde se elabora termos abstratos para poder melhor desenvolver e realizar as operações definidas e em último caso, a aplicação da teoria matemática, utilizada em inúmeros problemas, até mesmo os que não tiveram motivação para a concepção da estrutura. Através destes três aspectos pode-se observar que a matemática pode ser considerada um importante instrumento intelectual, pois através da abstração e organização de ideias surgem em diferentes situações, que são consideradas um disfarce em sua essência, sendo que o objetivo desta matemática é justamente extrair essa essência, formalizando-a em um contexto abstrato, onde possa ser aplicada com elevada economia de pensamento. A obtenção do modelo matemático supõe a existência de um dicionário que analisa os símbolos e operações de uma teoria matemática em representação da linguagem abordada na descrição do problema estudado (figura ). Com isto, inverte-se o problema da matemática, obtendo-se o resultado dos estudos na linguagem própria do problema. Figura Diagrama da Modelagem Matemática Fonte: Bassanezi (988) Mesmo que o modelo matemático do problema possa ser organizado dentro de uma teoria matemática conhecida, ainda assim, pode ocorrer uma insuficiência das técnicas e métodos matemáticos, na obtenção dos resultados esperados. Neste caso, a situação, embora

12 não tão dramática, exige do matemático a capacidade e perspicácia indispensavelmente da matemática para aplicar os métodos de certo modo, essenciais. Existem casos em que o modelo dá origem a um problema matemático que não apresenta possibilidade de estudo devido a sua complexidade. Dessa forma, deve-se voltar ao problema original e tentar limitar as informações, resultando em um problema matemático com plenas condições de ser resolvido. Seguindo este raciocínio, chega-se a conclusão, que mesmo no tratamento matemático do modelo é indispensável que os métodos e técnicas matemáticas sejam interpretadas segundo a linguagem do problema original. Este desenvolvimento na discussão talvez seja o fato que provoque maior impacto entre os matemáticos. Considerando-se tal argumento, é possível afirmar que, apesar de seu valor científico, não deve ser considerado unicamente matemático. Neste caso, o problema original e o modelo matemático, exigem um processo de intermediação, o qual trata de uma atividade supostamente classificada como típica da matemática aplicada, determinando uma avaliação minuciosa da questão sob os dois pontos de vista. Dessa maneira torna-se importante tal atitude, tendo em vista o trabalho com a modelagem, pois proporciona a validade ou não do modelo, conforme etapas apresentadas a seguir: Experimentação: obtenção de dados experimentais que auxiliam na percepção do problema, na alteração do modelo e na descrição de sua validade. Abstração: processo de escolhas das variáveis essenciais e articulação em linguagem natural de um problema ou da real situação. Resolução: o modelo matemático é feito quando se troca a linguagem natural por uma linguagem matemática. Quando os argumentos conhecidos são eficazes, novos métodos podem ser criados, ou o modelo deve ser alterado. Validação: é um processo de aceitação ou não do modelo inicial, que ocorre através do confronto entre a solução obtida e os dados reais. Modificação: usada quando o grau de aproximação entre os dados reais e a solução do modelo, não seja aceita. Deve-se então modificar as variáveis e conseqüentemente o modelo original, iniciando-se o processo novamente. Aplicação: através da modelagem eficaz é possível fazer previsões, adotar decisões, esclarecer e compreender a linguagem adotada pelas equações diferenciais, indispensáveis na substituição e compreensão da linguagem própria.

13 2 Os modelos estudados neste trabalho visam descrever o comportamento de resfriamento da água, com e sem agitação, conforme os dados obtidos em laboratório. O detalhamento dos modelos e das experiências serão descritos nos próximos capítulos.

14 3 3 EXPERIMENO As experiências apresentadas neste capítulo foram realizadas no laboratório do curso de Engenharia de Alimentos da URI, tendo como objetivo relacionar o aquecimento da água com a Lei de Resfriamento de Newton através do modelo matemático, conceituando modelagem, e caracterizando o processo de modelagem da situação que envolve a aplicação em questão, neste caso a água. Na coleta dos dados foram utilizados os seguintes itens: programa FieldChart; uma proveta de 500ml; um becker de 500ml; um sensor termopar tipo K; um agitador magnético com aquecedor; uma barra magnética; um suporte universal e o termômetro com menor divisão (0,ºC). A proveta foi utilizada para medir 350ml de água, que foi colocada no becker após o acionamento do aquecedor magnético na sua temperatura máxima (350ºC). Após quatro minutos colocou-se o becker no centro do aquecedor, e o termopar foi posto no suporte com garras tipo mufa, deixando-o centralizado no becker, tanto na altura como no diâmetro. O sensor termopar foi conectado no dataloger, que é um aparelho utilizado para aquisição de dados e este conectado ao computador, registrando a temperatura a cada 5 segundos, ocorrendo isto em duas situações: uma com o agitador ligado e a outra com o agitador desligado. As janelas e a porta do ambiente da experiência permaneceram fechadas durante o experimento, pois a corrente de ar poderia interferir na medida da temperatura que manteve-se constante durante todo o processo (26 C). Observando-se os resultados da experiência, pode-se descrever o processo de transferência de calor da seguinte forma: para aumentar a temperatura de um frasco com água é necessário expor o mesmo ao calor, ocorrendo desta forma a transferência de energia entre os corpos, devido a desigualdade de temperatura entre a água e a fonte de calor (KELLER, 997). Esta transferência de calor, conforme Halliday (2002), pode ocorrer por meio de três mecanismos: condução térmica; convecção e radiação. A tabela seguinte, apresenta os três mecanismos.

15 4 Condução Convecção Radiação É uma mudança de transmissão de calor na qual a energia passa de molécula a molécula sem que haja deslocamento das mesmas. Um exemplo disto é o aquecimento das extremidades de um ferro, onde as molécula passam a vibrar com maior intensidade, transmitindo essa energia para as moléculas próximas, que também passam a vibrar mais intensamente e assim sucessivamente, até alcançar a outra extremidade. É a propagação de calor que ocorre com os líquidos e gases. Por exemplo, quando um recipiente com água é aquecido, a parte inferior deste, que encontra-se perto da fonte de calor, torna-se menos densa, fazendo com que a parte superior que está fria e mais densa desça, repetindo-se este processo durante todo o tempo em que a água esteja sendo aquecida. São ondas eletromagnéticas que podem ser geradas por fontes naturais, como a de um objeto em seu ambiente. Se uma pessoa ficar próxima ao fogo, absorverá radiação térmica do fogo, ficando aquecida. A energia do corpo aquecido aumenta enquanto a energia térmica do fogo diminui. Outro exemplo é o aquecimento da erra pela radiação emanada pelo Sol. Figura 2 abela dos mecanismos de transferência de calor Fonte: Halliday (2002) Gonçalves (970), relata que a convenção, transferência de calor, ocorre por meio da movimentação das moléculas, onde as moléculas mais frias deslocam-se para regiões mais quentes, enquanto que as moléculas mais quentes deslocam-se para as regiões mais frias, ocorrendo desta forma o aquecimento da água sem agitação. A água que esta sendo aquecida no fundo do frasco torna-se mais quente e menos densa, ocorrendo a troca de lugar com a água que está na parte superior que é mais fria e mais densa. Já, segundo Bonjorno (992), a água aquecida com agitação é uma convecção forçada, pois aquece em menos tempo pelo fato da agitação, que causar a uniformidade do líquido dentro do recipiente. Diz que a convecção é aplicada em diversas situações, como por exemplo: os aparelhos de ar condicionado e o congelador da geladeira geralmente são colocados na parte superior, pois isto facilita a circulação do ar.

16 5 4 MODELOS MAEMÁICOS 4. COMPARAÇÃO DOS DADOS EXPERIMENAIS COM O MODELO DA LEI DE RESFRIAMENO DE NEWON Conforme Zill (2003), o modelo da Lei de Resfriamento de Newton do esfriamento/resfriamento, considera que a taxa de variação da temperatura é diretamente proporcional a diferença de temperatura do objeto e do meio ambiente, sendo representado pela seguinte equação diferencial: d dt K( m) () Onde: representa a temperatura do objeto K é uma constante de proporcionalidade t variável temporal m temperatura do meio ambiente (sala). O problema de valor inicial (PVI) estabelecido considera: temperatura inicial 30 C; temperatura final, após 2065 segundos de 96 C e temperatura da sal de 26 C. d K( 26) dt (0) 30C, (2065) 96C (2) A resolução da equação diferencial ocorre por separação de variáveis, veja detalhamentos em ANEXO A, página 22, sendo dada por uma função, a qual é chamada de solução particular:

17 emperatura (ºC) 6.t (t) 4e 0, (3) Nota-se pelo gráfico apresentado a seguir (figura 2), de acordo com o modelo matemático da Lei de Resfriamento de Newton, que o mesmo não representa adequadamente os dados obtidos em laboratório, como nos disse Biembengut (2003), no capitulo anterior, muitas vezes o modelo matemático pode ser organizado dentro da teoria matemática, mas podendo ocorrer insuficiência com o método matemático escolhido com os resultados esperado. Sendo assim havendo a necessidade de outro modelo que melhor satisfaça-o, junto ao da experiência, que neste caso é a equação logística,que será discutida na seqüência deste trabalho. Aquecimento com agitação Experimento Modelo empo (s) Figura 3 Curva de aquecimento da água com agitação 4.2 COMPARAÇÃO DOS DADOS EXPERIMENAIS COM O MODELO LOGÍSICO Considerando que o modelo da Lei de Resfriamento de Newton não descreveu o comportamento físico de forma adequada, houve a necessidade de aplicação da equação logística, que possibilitou o alcance da solução do problema apresentado, o qual conforme Bassanizi (988), o crescimento de uma determinada planta estabiliza-se depois de algum tempo. Algo semelhante ocorre com a temperatura da água após um determinado tempo. O

18 7 modelo logístico, que conforme Boyce (999), é também conhecido como a equação de Verhulst, considera que a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo ( d dt ) é diretamente proporcional ao produto da temperatura ( ) pela diferença, sendo K a K temperatura máxima atingida pela água, o modelo escrito na forma de equaçao diferencial é: d dt.. (4) K Sendo uma constante. O problema com valor inicialmente estabelecido considera: temperatura inicial de 30 C, e temperatura ápos 20 segundos de 39 C. d dt 96 (0 ) 30C,(20 ) 39C (5) A resolução da equação logística, que ocorre pela separação de variáveis, também detalhada no ANEXO B, página 24, é representada pela seguinte solução particular: 5 0,0035t 96 e. 5 0,0035t e

19 emperatura (ºC) emoeratura (ºC) 8 Aquecimento sem agitação Experimento Modelo empo (s) Figura 4 Curva de aquecimento da água sem agitação Aquecimento com agitação Experiência Modelo empo (s) Figura 5 Curva de aquecimento da água com agitação É possível observar nos dois gráficos apresentados (figuras 4 e 5) que as curvas de aquecimento referente aos dados experimentais e comparados com as obtidas analiticamente pelo modelo de Verhulst apresentam diferenças entre si, sendo que em determinados pontos ficam sobrepostas, indicando semelhança entre o modelo matemático e os dados da

20 9 experiência prática realizada. Observa-se, também, que na ausência de movimentação da água, ou seja, quando o aquecedor magnético com agitador está desligado a dissipação do calor é um pouco mais lenta.

21 20 5 CONCLUSÃO Segundo a opinião dos autores consultados no decorrer deste estudo, a transferência de calor ocorre por meio da movimentação das moléculas, onde as mais frias deslocam-se automaticamente para regiões mais quentes, e as mais quentes deslocam-se para as regiões mais frias. No caso do aquecimento da água, em condições normais, ou seja, sem agitação, a que está no fundo do frasco torna-se mais quente e menos densa, ocorrendo a troca de lugar com a água que está na parte superior que é mais fria e mais densa. Já, no aquecimento da água com agitação ocorre o que se chama de convecção forçada. Neste caso, a água aquece em menos tempo tendo em vista que a agitação causa a uma distribuição mais rápida da energia aplicada pela fonte de calor, o que deixa a temperatura do líquido mais uniforme dentro do recipiente, não dependendo somente da agitação natural das moléculas. A comprovação desta, e de outras ocorrências, dependem da aplicação de um determinado modelo matemático, que possibilita a observação do que realmente ocorre durante o processo de aquecimento, sendo que neste estudo optou-se, inicialmente, pela aplicação da Lei de Resfriamento de Newton, que considera que a taxa de variação da temperatura é diretamente proporcional a diferença de tempo do objeto e do meio ambiente, concluindo-se que a mesma não é a equação diferencial ideal para modelar o resfriamento de líquidos como no caso em estudo, a água. O modelo logístico, também conhecido como a equação de Verhulst, neste caso, mostrou-se mais adequado, pois os dados obtidos pelo experimento e comparados com o modelo matemático, foi o mais adequado para represetação dos resultados da experiência realizada, possibilitando resultados mais fidedignos. O presente trabalho demonstra também que fórmulas complexas podem ser utilizadas para simular ou resolver questões que fazem parte do dia-a-dia das pessoas, e que se realmente houver empenho de todas as partes envolvidas no processo educativo, pode-se encontrar uma forma de satisfazer as necessidades dos alunos e então prender a sua atenção nas aulas de matemática.

22 2 REFERÊNCIAS BASSANEZI, Rodney C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática uma nova estratégia.são Paulo: Contexto, BASSANEZI, Rodney C; JR, Wilson C. F. Equações Difereenciais com aplicações. São Paulo: Harbra Ltda, 988. BIEMBENGU, Maria S; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 3.ed. São Paulo: Contexto, BONJORNO, José R; BONJORNO, Regina A; BONJORNO, Valter; RAMOS, Clinton M. Física 2: ermologia, Óptica geométrica, Ondulatória Resolução dos problemas de fixação. São Paulo: FD, 992. BOYCE, William E; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6. ed. Rio de janeiro: LC, 99. GONÇALVES,Dalton. Física: do científico e do vestibular. 5.ed.Rio de Janeiro, 970.2v. HALLIDAY, David. Fundamentos de Física V.2- Gravitaçao, ondas e ermodinâmica. Rio de Janeiro: LC, KELLER, Frederick J. Física V.. São Paulo: Makron Books, 997. ZILL, Dennis G; PAARRA, Cyro C (rad.). Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. São Paulo: Pioneira homson Learning, 2003.

23 ANEXOS 22

24 23 ANEXO A RESOLUÇAO DA LEI DE RESFRIAMENO DE NEWON endo os valores obtidos pelo programa computacional, onde, (0) = 27 C e (985) = 96 C, podemos descrever da seguinte forma: d dt K( 26 ) (0) = 27 C, (985) = 96 C Separando as variáveis e aplicando integral, d 26 K 26 e Ktc dt ln( 26 ) Kt c e C 26 e Kt. e c c sendo 26 C. e Kt Kt C.e 26 Chega-se a solução geral. Considerando (0) = 27ºC, encontraremos o valor para C: K 0 (0) C. e C 26 C = kt e 26 Essa é a solução particular Considerando (985) = 96ºC, encontra-se o valor da constante K: (985 ) e K

25 24 96 e 70 e 985K 985K 26 ln70 985K ln70 k 985 K 0, A solução do modelo do resfriamento da Lei de Newton pode ser representada da seguinte forma: = e 0, t + 26

26 25 ANEXO B RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO LOGÍSICA SEM E COM AGIAÇÃO Para conseguirmos resolver esta equação logística, primeiramente vamos fazer a separação de variáveis: K dt d K d = dt K d ² = dt dt d K k dt d K K dt K K d ² ² Agora vamos usar a propriedade de separações de variáveis: soma de frações parciais. * ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B A AK K B K A K K B A K K B B A K A 0

27 26 endo os valores obtidos pelo programa computacional, onde, (0) = 27 C e (20) = 36 C, podemos descrever da seguinte forma: 96. dt d t t e c e 96c Usaremos para (0) =27ºC, (20) = 36ºC, para encontrar o valor de c. t t c t e c e Kc e Kc ) e c ( e Kc e c e c e Kc K e c e c k e K c t K ln c t ln K ln c t d K d dt d K dt d ) K(K K K dt d K K² K K K K² K K K K

28 27 0 ( 0) 0 ce 96. c. 27 c. 96. c 27 c 27( c ) 96c 27 27c 69c c c 96c e 27 96c 27 96c , c Encontrado o valor de c, que seu valor será constante em, todo o processo de resfriamento, vamos substituir (20) =36ºC, para encontramos o valor de forma: 9 96 e 23 (20 ) 9 e 23 9 e , e 36 23, e 36 23, , e, ln 20 3, x0 0, , e e , e 20 E finalmente a solução do modelo do logistico pode ser representada da seguinte

29 28 5 0,0035t 96 e. 5 0,0035t e

30 29 ANEXO C DADOS EXPERIMENAIS FieldChart Novus (c) - Arquivo Histórico ítulo: Cam Climática Nome do Arquivo: C:\WINDOWS\Desktop\Aquecimento sem Agitação Primeira Aquisição: 0/0/00 00:42:07 Última Aquisição: 0/0/00 0:26:07 Intervalo Base entre Aquisições: 5.0seg Número de Série: Versão de Firmware: V.2 N# Data Hora Canal Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 Canal 7 Canal 8 Canal 9 Canal 0 Canal Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :44: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :45: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :46: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :47: /0/ :48: /0/ :48:

31 0073 0/0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :48: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :49: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :50: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :5: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :52: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53:

32 039 0/0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :53: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :54: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :55: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :56: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :57: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :58: /0/ :59: /0/ :59:

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38 37 DADOS EXPERIMENAIS FieldChart Novus (c) - Arquivo Histórico ítulo: Cam Climatica Nome do Arquivo: C:\WINDOWS\Desktop\Aquecimento com Agitação Primeira Aquisição: 0/0/00 0:57:44 Última Aquisição: 0/0/00 02:3:59 Intervalo Base entre Aquisições: 5.0seg Número de Série: Versão de Firmware: V.2 N# Data Hora Canal Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 Canal 7 Canal 8 Canal 9 Canal 0 Canal Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal /0/2000 0:59: /0/2000 0:59: /0/2000 0:59: /0/2000 0:59: /0/2000 0:59: /0/2000 0:59: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :00: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :0: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :02: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03: /0/ :03:

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