DRENAGEM DE UMA GARRAFA PET ATRAVÉS DE UM ORIFÍCIO

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1 DRENAGEM DE UMA GARRAFA PET ATRAVÉS DE UM ORIFÍCIO B. STAIL 1 ; D. OLIVEIRA 2 ; L. TIEPPO 3 ; R. ZANETTE 4 ; S. STROSCHEIN 5 RESUMO: Este trabalho, desenvolvido na disciplina de Equações Diferencias I, componente da matriz curricular do curso de Licenciatura em Matemática, tem como objetivo validar o modelo construído em sala de aula, a fim de contextualizar o conteúdo visto na disciplina. Tal experimento foi realizado por meio da drenagem, de uma garrafa pet, através de um orifício, este considerado por três dimensões diferentes. O modelo pode ser aplicado na irrigação de hortas caseiras, de modo artesanal, posto que, ao se analisar a construção do mesmo, este atingiu, de forma satisfatória, os objetivos em questão. PALAVRAS-CHAVE: Equações Diferenciais; Ensino de Matemática; Experimento. INTRODUÇÃO As Equações Diferenciais surgem a partir da tentativa de formular, ou descrever, certos sistemas físicos em termos matemáticos, ou seja, fazer uma Modelagem Matemática da situaçãoproblema. Neste processo busca-se compreender e investigar os mais diversos fenômenos, por exemplo, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações e o movimento de fluidos. 1 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, bruna.stail@bento.ifrs.edu.br 2 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, darla.oliveira@bento.ifrs.edu.br 3 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, lysandra.tieppo@bento.ifrs.edu.br 4 Estudante, Curso de Licenciatura em Matemática, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS, rodrigo.zanette@bento.ifrs.edu.br 5 Lic. em Matemática, Prof. Mestre, IFRS Câmpus Bento Gonçalves, Av. Osvaldo Aranha, 540, CEP , Bento Gonçalves, RS. Fone (54) , sandra.stroschein@bento.ifrs.edu.br 1

2 A Modelagem Matemática propõe a criação de modelos matemáticos a partir de uma realidade contextualizada, que possam ser materializados em estruturas matemáticas. Uma vez que, a Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real (BASSANEZI, 2006, p.16). Após formular um modelo matemático nos depararemos com a situação de tentar resolvê-lo. Caso o mesmo seja resolvido e suas soluções são consistentes com os dados experimentais, o modelo será satisfatório; ao contrário, o nível de resolução do modelo deverá ser aumentado e levantado novas hipóteses sobre o mecanismo de mudança no sistema. Sendo assim, considerando o estudo das Equações Diferenciais como um processo de Modelagem Matemática, que resultará em um Modelo Matemático, o presente artigo tem o objetivo de validar o Modelo desenvolvido pelos acadêmicos em sala de aula, a fim de expressar variação do volume em função do tempo de escoamento de um líquido através de um orifício e sua validação experimental. O recipiente que será modelado é uma garrafa PET (Polietileno Tereftalato), uma vez que ela é muitas vezes utilizada na irrigação de hortas caseiras, na qual evita o desperdício de água e não deixa o solo encharcado. MATERIAL E MÉTODOS 1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO A construção do modelo, a fim de melhor compreensão de seu desenvolvimento, está vinculada às Leis Teóricas da Hidrodinâmica, que segundo Carvalho, Mello e Silva: As leis teóricas da Hidrodinâmica são formuladas admitindo-se que os fluidos sejam ideais, isto é, que não possuam viscosidade, coesão, elasticidade, etc. de modo que não haja tensão de cisalhamento em qualquer ponto da massa fluida. Durante a movimentação, as partículas fluidas deslocam-se de um ponto a outro continuamente, sem que a massa do fluido sofra desintegração, permanecendo sempre contínua, sem vazios ou solução de continuidade. (2007, p. 52). Contudo, deve-se levar em consideração um recipiente com a extremidade superior aberta, pois ao momento em que estiver fechada, causaria pressão interior retardando o escoamento do líquido. O modelo da variação do volume em função do tempo do escoamento de um líquido de um recipiente através de um orifício baseia-se no teorema de Torricelli sobre a Hidrodinâmica. Este que 2

3 apresenta a velocidade do fluxo de um líquido ao passar por um pequeno orifício ( A o ) no fundo de um tanque. A equação desenvolvida por ele é descrita da seguinte forma: v= 2 g h (1) 2 na qual, v é a velocidade de fluxo no orifício (m / s ), g é a aceleração gravitacional ( m / s ) e h é a altura do líquido ( m ). Para obter uma equação diferencial que represente este [...] modelo físico basta pensar que o caudal, ou seja, a quantidade de líquido que atravessa o orifício por unidade de tempo é simétrico à variação de volume no tanque por unidade de tempo, [...] (COIMBRA, 2008, p.3) representado na equação: dv A k 2 g h(t ) 0 dt (2) O sinal de subtração indica que o volume desce com o passar do tempo e a constante k é um valor positivo que estar vinculado à viscosidade do líquido, a área do orifício entre outros fatores. Este tipo de equação pode ser utilizado nas mais diversas formas de recipiente, sendo que o diferencial de cada um deles é a área superior do líquido. A seguir apresentam-se dois casos: de um cilindro e de um cone. Na qual se busca encontrar a equação que expressa à variação da altura do líquido em função do tempo. Após obter esta equação, facilmente é encontrada a variação do volume. Visto que, o volume se obtém a partir da multiplicação da altura pela área da secção transversal, no caso do cilindro; e se for um cone ocorre o mesmo procedimento, porém o resultado é dividido por três, pois o cone possui a terça parte do cilindro de mesma altura e raio. 2 MODELO SEMELHANTE A UMA GARRAFA PET A modelagem do problema proposto será desenvolvida pela união de três figuras geométricas dois cilindros e um tronco de cone, na qual apresenta as seguintes variáveis: representa a área da secção do cilindro superior, A i a área da secção do cilindro inferior, As que A o a área do orifício, h a altura do líquido, h 0 a altura do cilindro inferior e h 1 a altura do cone e do cilindro inferior, conforme se apresenta na Figura 1: 3

4 Figura 1: Ilustração do recipiente. Para fazer a união das três equações destes elementos, em que cada uma opera-se no momento adequado, foi implementado um algoritmo no software Scilab. Neste algoritmo utilizou-se o operador de condicionamento para que no instante que a altura do líquido variava-se de uma figura para a outra, alterava-se, também, para o modelo apropriado. Após a construção deste algoritmo, no mesmo software, gerou-se um gráfico que apresentou a variação do volume em função do tempo: Figura 2: Variação do volume no recipiente. A partir da conclusão do modelo, buscou-se avaliar se o mesmo descrevia um problema real ou se estava distante da realidade. Iniciou-se, então, uma série de experimentos para, posteriormente, comparar os dados experimentais com o modelo encontrado. RESULTADOS E DISCUSSÕES Inicialmente buscou-se uma garrafa PET que possuía uma forma semelhante ao modelo descrito, pois grande parte delas apresenta formas irregulares e bem diversas umas das outras. Ao encontrar, abriu-se um orifício no seu fundo para introduzir o líquido e para que entrasse ar no 4

5 momento do escoamento, não causando assim pressão interior. Em seguida, fixou-se externamente uma tira de papel na qual foi marcada uma escala de volumes, conforme era depositado o líquido em seu interior. Este procedimento ocorreu da seguinte forma: despejou-se 25 ml por vez em seu interior e marcou-se o seu nível, ao chegar a 250 ml acrescentou-se 50 ml por vez até atingir o volume máximo de 1600 ml. Em seguida, perfurou-se a tampa da garrafa, produzindo um orifício por onde o líquido seria escoado durante o experimento. A garrafa possuía as seguintes dimensões: r 0 = distintos, r s = 0,048 m, h 0 = 0,289 m e h 1 =0,103m e as constantes g = 9,8 m/s 2 e k = 0,57. Com o auxílio de um cronômetro, registraram-se os tempos em que o nível do líquido ultrapassava cada marca. Em seguida, construiu-se um gráfico a fim de analisar e verificar o comportamento dos mesmos, conforme as figuras abaixo: Modelo Dados Experimentais Figura 3: Modelo versus dados experimentais com raio do orifício 0,9mm. Modelo Dados Experimentais Figura 4: Modelo versus dados experimentais com raio do orifício 0,67mm. 5

6 Modelo Dados Experimentais Figura 5: Modelo versus dados experimentais com raio do orifício 0,47mm. Ao analisar os dados experimentais com seus respectivos gráficos do modelo, percebe-se que o modelo descreve de forma satisfatória o escoamento de líquidos de uma garrafa PET por um orifício previamente determinado. CONCLUSÕES Com essa pesquisa percebe-se que existe a possibilidade de se realizar atividades de ensino que envolva as Equações Diferenciais, pois elas são muito utilizadas no processo de Modelagem de problemas reais, principalmente, por empregarem as taxas de variação que quase sempre estão presentes no decorrer do fenômeno. Durante o desenvolvimento da Modelagem do escoamento de garrafa PET, percebeu-se que alguns aspectos dela podem dificultar na precisão do modelo. Um primeiro aspecto é maleabilidade da garrafa, principalmente na região central (ponto médio em relação à altura da garrafa), na qual o plástico é mais fino. Assim, ocorrendo uma pequena dilatação quando ela esta cheia de líquido. Outra dificuldade está no diâmetro do orifício, pois uma pequena variação do mesmo resulta em uma grande alteração no tempo de escoamento. Talvez o maior empecilho seja fazer um furo na tampa, pois a mesma é de plástico e este é maleável, assim dificultando a precisão do diâmetro. Por exemplo, no experimento perfurou-se com uma broca de 1 mm de diâmetro e o resultado foi de 0,94 mm, como já descrito, sabe-se que está diferença altera, consideravelmente, o tempo de escoamento. Como o intuito deste trabalho era a aplicação na irrigação de hortas caseiras, assim o orifício seria feito também de modo artesanal; consequentemente, com pouca exatidão e tornando-se difícil a predefinição do resultado final. Contudo, analisando o ponto de vista do desenvolvimento de um 6

7 modelo, o mesmo descreve de forma satisfatória o problema proposto; podendo este ser aplicado em outras situações-problema semelhantes na qual os recipientes sejam mais rígidos e que se tenham instrumentos com boa precisão. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI, Rodney C. ENSINO-APRENDIZAGEM COM MODELAGEM MATEMÁTICA: Uma Nova Estratégia. São Paulo: Contexto, CARVALHO, Daniel F.; MELLO, Jorge L. P.; SILVA, Leonardo D. B. da; Hidrologia Disponível em LICA%20Parte%201.pdf. Acesso em: 19 out COIMBRA, Maria do C.; Equações Diferenciais, uma Primeira Abordagem. Porto: Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Disponível em Acesso em: 21 out