MODELO MATEMÁTICO DA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON

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1 UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES URI CAMPUS DE ERECHIM ANDERSON RIBEIRO MODELO MATEMÁTICO DA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON VERSUS DADOS EXPERIMENTAIS ERECHIM, 2009

2 1 ANDERSON RIBEIRO MODELO MATEMÁTICO DA LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON X DADOS EXPERIMENTAIS Monografia apresentada para obtenção do título de Licenciado em Matemática pelo Departamento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI, Campus de Erechim. Orientador: Prof. Clémerson Alberi Pedroso ERECHIM, 2009

3 2 DEDICATÓRIA Este trabalho é dedicado a todos os que apoiaram e contribuíram no desenvolvimento do mesmo. Em especial, dedico a minha família que esteve presente em todos os momentos com apoio e carinho, também dedico a minha amada Cátia pela compreensão e incentivo em certos momentos de dificuldades e ao orientador, Prof. Clémerson Alberi Pedroso, o qual foi muito importante e me orientou em todo o processo de desenvolvimento do trabalho, sempre disposto a esclarecer as dúvidas.

4 3 AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Newton o criador do modelo em questão, sobre o qual desenvolvo o meu trabalho. Agradeço também ao meu orientador, Prof. Clémerson Alberi Pedroso, aquele que esclareceu as dúvidas que surgiram no decorrer deste trabalho e, em especial, agradeço a minha família que esteve sempre ao meu lado. Por fim, agradeço a todos que contribuíram para a realização desta pesquisa. A todos, o meu muito obrigado!

5 4 Se pude enxergar mais longe,foi

6 5 por me erguer sobre os ombros de gigantes. ( ISAAC NEWTON ) RESUMO O tema deste trabalho é modelagem matemática da variação de temperatura de uma xícara de café, tendo como objetivo modelar, através de uma equação diferencial ordinária, medidas de temperaturas obtidas em laboratório. A equação diferencial utilizada é baseada na Lei de Resfriamento de Newton. Trata-se de uma pesquisa de caráter experimental, realizada no Laboratório de Física da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões URI Campus de Erechim. Constatou-se que, através de gráficos comparativos e dos cálculos dos erros absoluto médio (EAM) e percentual absoluto médio (EPAM), que os dados experimentais e a solução analítica apresentam boa aproximação, o que valida o modelo matemático proposto por Newton. O presente trabalho pode servir como base a futuras atividades a serem desenvolvidas em sala de aula, envolvendo conteúdos relacionados à termodinâmica (física) e equações diferenciais (Matemática), possibilitando aos alunos verificarem na prática a importância da interdisciplinaridade. Palavras-chave: Lei do Resfriamento de Newton. Equação Diferencial.

7 Modelagem Matemática 6

8 7 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Equilíbrio térmico Figura 2 Condução de calor Figura 3 Convecção de calor Figura 4 Curvas de resfriamento Figura 5 Curva de resfriamento e temperatura do ambiente... 17

9 8 SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO MODELAGEM MATEMÁTICA PROPAGAÇÃO DE CALOR COLETA DE DADOS MODELO PARA A LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON E COMPARATIVOS COM DADOS 15 EXPERIMENTAIS CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS ANEXOS ANEXO 1 Dados coletados pelo equipamento Data Logger ANEXO 2 Resolução do modelo ANEXO 3 Comparação entre dados do Data Logger e dados do modelo... 30

10 9 1 INTRODUÇÃO Para os gregos a física foi definida como o estudo da natureza, melhor dizendo, é o entendimento da natureza e de seus fenômenos, porém é composta de fórmulas que, por sua vez, ligadas à matemática, não deixam de ser uma linguagem para ser exposta ao mundo com o objetivo de ser melhor compreendido e analisado (CHERMAN, 2004). A função dos físicos é entender o mundo e para isso eles não podem abrir mão das fórmulas matemáticas. A física se apóia firmemente na matemática; isso pode ser comprovado com as ações de Newton, considerado como um dos inventores do cálculo (BARON, 1985) e o criador de princípios muito importantes para a física. Hoje em dia não é diferente esta relação entre a física e a matemática. Com base nesses comentários serão discutidas idéias da matemática e da física com o intuito de adequar um modelo matemático a dados experimentais que permitam calcular e prever variações de temperatura em relação ao tempo. Acreditase que este trabalho também possa servir como uma proposta de atividade a nível superior, para desenvolver idéias relacionadas à Lei de Resfriamento de Newton e de equações diferenciais ordinárias, conteúdos que fazem parte de vários cursos de graduação. Inicialmente são abordadas algumas idéias relacionadas à modelagem matemática, após algumas discussões sobre propagação de calor. Seguem-se esclarecimentos sobre a realização da coleta de dados, a apresentação e resolução da equação diferencial para a Lei de Resfriamento de Newton, comparativos entre a solução analítica e os dados experimentais e finalmente as considerações finais deste trabalho.

11 10 2 MODELAGEM MATEMÁTICA De acordo com Biembengut e Hein (2003), a modelagem matemática existe já há certo tempo, havendo relatos de modelagem desde os tempos em que surgiu a própria matemática, porém a modelagem na educação é mais recente, passando a ganhar ênfase nas últimas três décadas. Ela começou a ser usada como estratégia de ensino, com o objetivo de unir a matemática formal com situações reais, onde teve muito sucesso e tornou-se um método não só de ensino-aprendizagem, mas também útil para resolver problemas ou acontecimentos do cotidiano. A modelagem matemática é uma forma de converter as informações do dia-a-dia em fórmulas e modelos matemáticos, objetivando despertar nos alunos um interesse maior pela matemática ou também resolver problemas reais de maneira simplificada, pois muitas vezes a matemática perde seu encanto por ser um pouco abstrata, mas ela se apresenta desta forma por não serem mostradas as suas aplicações. Um artigo escrito por Curi (1999) relata propostas de trabalho desenvolvidas por professores de escolas municipais de Salvador, Bahia, que participaram de um projeto que envolvia a modelagem matemática na elaboração de trabalhos sociais. Conforme relatos, os alunos tiveram um grande empenho na elaboração e no desenvolvimento dos mesmos, reforçando a importância da modelagem em sala de aula, além de despertar o interesse dos alunos pelo conteúdo, também desenvolvem a capacidade de compressão de questões sociais. Hoje em dia a modelagem matemática também auxilia no desenvolvimento de indústrias, empresas, comércio, agricultura, pecuária, entre outros setores. Através de equações matemáticas obtidas pela modelagem matemática, há maior facilidade no controle destes setores, possibilitando fazer previsões de produção e até mesmo de quantidades. Já Bassanezi (2004) apresenta a modelagem matemática como ferramenta no ensino-aprendizagem, como forma de cativar a atenção dos alunos, mostrando que a matemática vista em sala de aula pode ser aplicada em situações reais.

12 11 Entretanto, a modelagem exige do professor criatividade, conhecimento matemático, domínio do conteúdo e cautela; criatividade em elaborar algo novo, mas que tenha objetivos traçados, que tenha sentido para sua existência, que não seja algo vago; conhecimento matemático para que sejam usados métodos matemáticos e uma linguagem matemática de forma adequada, sem que haja equívocos; domínio do conteúdo, onde o professor possa explorar o máximo possível para obter melhores resultados na transmissão do seu saber e cautela para que não ocorram exageros nos símbolos, tornando o desenvolvimento destrutivo e não esclarecedor. Libâneo (1994) descreve a modelagem como um fator gerador do processo de desenvolvimento intelectual do aluno, através do qual aprende a desenvolver métodos para encontrar soluções dos problemas do cotidiano, passa a ter uma visão crítica e construtiva da realidade, relacinando o que aprendeu em sala de aula com a realidade em que vive. O mesmo autor também descreve alguns dos requisitos que o professor deve ter para obter melhores resultados na modelagem, primeiro uma compreensão clara do que se deseja utilizar como assunto na modelagem, total conhecimento do conteúdo a ser trabalhado, capacidade de criar formas para solucionar problemas inéditos, facilidade de expressão para os alunos terem um acompanhamento do desenrolar da situação. [...] a modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo, este, sob certa óptica, pode ser considerado um processo artístico, visto como uma arte, ao formular, resolver e elaborar expressões que valem não apenas para uma solução particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para outras aplicações e teorias podendo dizer também que a matemática e a realidade são dois conjuntos distintos e a modelagem é um meio de fazê-los interagir (BIEMBENGUT; HEIN, 2003, p.12). De acordo com esses autores, a modelagem matemática constitui um elo entre o formal e o informal, com o intuito de desenvolver competências para construir abordagens matemáticas para diversas situações.

13 12 3 PROPAGAÇÃO DE CALOR A termodinâmica, segundo Halliday, Resnick e Walker (2001), é uma área da física relacionada à energia térmica e a ações de temperaturas, comportamento de objetos sobre a ação do calor, variações de estado físico de corpos, fenômenos observados que envolvem temperatura, área utilizada como base neste trabalho, onde será colocada em evidência a propagação de calor e o equilíbrio térmico. A noção mais comum de temperatura é a sensação térmica de quente ou frio, porém, cientificamente, temperatura é uma medida do estado de agitação das moléculas que constituem um corpo, isso de acordo com Potter (2007). Tratando-se de temperatura dar-se-á ênfase ao equilíbrio térmico, o qual ocorre quando dois ou mais corpos possuem temperaturas iguais. Para que dois corpos tenham temperatura igual é necessário que ocorra uma troca de calor entre eles, onde calor é energia térmica em trânsito. Devido a uma diferença de temperatura, essa troca de calor também chamada de propagação de calor ocorre de forma espontânea e sempre do corpo de maior temperatura para o de menor temperatura, este conceito, conhecido como enunciado de Clausius, recebeu o nome de seu autor, isso pode ser visto na figura abaixo. Figura 1 Representação do equilíbrio térmico, sendo T A a temperatura do corpo A e T B a temperatura do corpo B.

14 13 Dependendo de o corpo ser sólido, líquido ou gasoso, e mesmo na ausência de um corpo, a propagação do calor se dá basicamente de três maneiras: por condução, por convecção e por irradiação esta também chamada de radiação. Todas essas maneiras são descritas por Potter (2007). A condução, como é representada na figura 2, é um processo de propagação de calor típico de corpos sólidos, em que as moléculas permanecem em seus devidos lugares, porém vão passando o calor e a agitação de uma para outra. Figura 2 Propagação de calor de corpos sólidos através da condução Fonte: Autor do trabalho A convecção, a qual será abordada no processo experimental deste trabalho, é um processo de propagação de calor típico dos corpos fluidos, em que as moléculas se movimentam com facilidade, as moléculas que recebem calor tendem a afastar-se da fonte que está emitindo calor, enquanto isso as outras moléculas que ainda não receberam calor aproximam-se desta fonte. Estas também irão receber calor e consequentemente irão afastar-se também, com isso irá se formar um ciclo entre as moléculas deste líquido em aquecimento, como mostra na figura 3. Figura 3 Propagação de calor dos corpos fluidos através da convecção Fonte: Autor do trabalho

15 14 E a irradiação, que é um processo de propagação de calor que não precisa de matéria para ocorrer, ocorre através de ondas de calor, ou seja, o calor é transmitido de um ponto para outro sem que haja a necessidade de um contato entre os mesmos. Nas trocas de calor dos corpos, podendo receber ou ceder calor, eles podem mudar de temperatura ou de estado físico, o que caracteriza dois tipos distintos de calor, dependendo do efeito provocado. Quando ocorre apenas uma variação de temperatura denomina-se calor sensível; e quando há uma mudança de estado do corpo chama-se então de calor latente (Potter; Scott, (2007); Bonjorno, (2001). Por exemplo, colocando um recipiente com água em um resfriador, a água trocará de temperatura, mas não terá nenhuma mudança de estado físico, calor sensível; caso for colocado este mesmo recipiente em um congelador, a água terá uma variação de temperatura e também sofrerá uma mudança de estado físico, passando do estado líquido para o estado sólido, o que caracteriza o calor latente. A nível de curiosidade, de acordo com a segunda Lei da Termodinâmica, o calor flui espontaneamente do corpo mais quente para o corpo mais frio, conforme relata Anjos (2000). Pode-se aproveitar este fato para obter trabalho, por exemplo, as locomotivas utilizavam caldeiras para aquecer a água, com o aquecimento da água, há uma produção de vapor, o qual vai para um cilindro ligado a um pistão; o vapor gerado pelo aquecimento da água é comprimido neste cilindro, o qual irá mover o pistão para cima. Quando o pistão sobe, o vapor sai por uma válvula de escape, então o pistão desce novamente. Isso forma um ciclo, com este movimento, o pistão é ligado à biela, ou seja, uma espécie de braço, o qual é preso a um eixo que recebe o nome de virabrequim, este por sua vez é o responsável pelo funcionamento do veículo. Tudo isso se dá graças à variação de temperatura entre o líquido e o meio ambiente, porém após o líquido e o meio ambiente atingirem o equilíbrio térmico não é mais possível obter trabalho. A energia térmica é considerada uma forma de energia de segunda classe, porque possui um baixo rendimento, o qual é entorno de 40%; e todas as formas de energia consideradas nobres, como, por exemplo, elétrica e mecânica, tendem a se dissipar na forma de calor.

16 15 4 COLETA DE DADOS Os dados experimentais deste trabalho foram coletados por um equipamento chamado Data Logger, que consiste de termopares acoplados a um computador. O equipamento foi aferido antes do experimento através da medição de temperatura de um determinado líquido, onde foram colocados dois outros termômetros e também os termopares do Data Logger, com o intuito de verificar se o funcionamento do mesmo estava de acordo com outros dois termômetros que havia no laboratório. Utilizaram-se dois termopares para medir a temperatura, um termopar foi utilizado para medir a variação de temperatura do café e outro para medir a variação de temperatura do ambiente. O equipamento é conectado a um computador onde ficaram registradas todas as temperaturas, do ambiente e a do café. A cada minuto o equipamento efetuava a leitura e registro das temperaturas, o equipamento ficou em funcionamento até que a temperatura do café estivesse em equilíbrio com a temperatura do meio ambiente, essa temperatura foi de 18ºC, isso ocorreu em um intervalo de tempo de duas horas e vinte e dois minutos (2h 22 min). Iniciou se o experimento com um copo de café com volume de 180 ml, com temperatura inicial de 68ºC, e a temperatura ambiente estava em 19ºC. Toda a experiência ocorreu em uma sala onde não havia corrente de ar e praticamente nenhuma outra interferência de temperatura. No decorrer do experimento, iniciado às 16h12 min, a temperatura ambiente teve pequenas variações, no final, às 18h 34 min, a temperatura do ambiente baixou 2ºC, isso talvez porque o horário encaminhava-se para o pôr-do-sol. Ao final da coleta dos dados, o computador forneceu um relatório com o registro das temperaturas e o instante de cada registro. (Veja Anexo 1).

17 16 5 MODELO PARA A LEI DE RESFRIAMENTO DE NEWTON E COMPARATIVOS COM OS DADOS EXPERIMENTAIS O modelo matemático para a lei de resfriamento de Newton que trata das trocas de calor de um corpo com o meio ambiente é apresentado pela seguinte equação diferencial ordinária: dt dt ( T Tm) = k. (1) Onde a taxa de variação da temperatura, T, com relação ao tempo, t, é proporcional, k, a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente, Tm. Newton utiliza k como constante que depende do material, neste caso o café, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do ambiente (ZILL, 2001). Neste trabalho considerou-se o valor de Tm igual a 17,13 C, obtida pela média aritmética da variação da temperatura da sala a cada medição feita pelo equipamento Data Logger. Consideraram-se para a resolução do modelo proposto por Newton, condições para as temperaturas inicial e final também medidas pelo equipamento, conforme o sistema abaixo: dt = k dt T(0) = 68 C; ( T 17,13 ) T(142) = 18 C (2) A resolução de (2) se dá por separação de variáveis, obtendo a seguinte solução particular: (Veja Anexo 2). -0, t T (t) = 50,87e + 17,13. (3)

18 17 O gráfico apresentado pela figura 4 ilustra as curvas de resfriamento obtidas experimentalmente e pela resolução analítica do modelo dado pela função (3) Temperatura ( C) Café Modelo Tempo (s) Figura 4 Curvas de resfriamento Fonte: Dados da pesquisa Neste gráfico pode-se observar que a curva de resfriamento obtida pela resolução do modelo e a curva obtida através dos dados fornecidos pelo equipamento são muito semelhantes. Houve no início uma pequena diferença entre os resultados do modelo e do equipamento a qual acredita-se que esteja relacionada à variação da temperatura que o café sofre, quando está com uma temperatura um tanto elevada em relação com à do ambiente, neste momento a temperatura do café baixa de 2ºC em 2ºC. No gráfico a seguir, pode-se observar a curva de resfriamento do café em relação à temperatura do ambiente, isso indica que o ambiente sofreu poucas alterações, foi praticamente constante.

19 Temperatura ( C) Café Ambiente Tempo (s) Figura 5 Curva de resfriamento e temperatura do ambiente Fojnte: Dados da pesquisa Outra forma de comprovar que os dados do modelo estão próximos aos coletados é verificar os valores do erro absoluto médio (EAM) e o erro percentual absoluto médio (EPAM), descrito por Mesquita(2008): n ft Dt t= 1 EAM =, (4) n EPAM n f t D D t= 1 t =. (5) n t Onde f t representa a temperatura do café obtida pela resolução do modelo matemático da lei do resfriamento de Newton; D t a temperatura do café obtida pelo equipamento Data Logger e n o número de medições feitas pelo equipamento, para ambos os erros. n = f D 175, = = 1, t t EAM (6) t= 1 n

20 19 EPAM = n t= 1 f t Dt D n t = 5, = 0, (7) Um tópico que deve ser observado é a composição do líquido. Neste experimento o café tinha uma determinada composição. Caso houver uma alteração nos componentes deste café, por exemplo, mais açúcar ou pó de café, as constantes encontradas não serão as mesmas. Acredita-se que a viscosidade do líquido tenha influência na variação de temperatura.

21 20 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho pode-se constatar que o modelo da Lei de Newton é válido para modelar o resfriamento de líquidos, como, por exemplo, o café, mas provavelmente é válido para outras substâncias. Entretanto, deve ser adequado para cada tipo, pois o valor de k, o qual Newton considera uma constante, depende da substância em questão. Uma dificuldade em adequar um modelo matemático para resfriamento de líquidos é porque há diferenças de temperaturas, havendo momentos em que a temperatura baixa de 2 C em 2 C por minuto, isso qu ando a temperatura está mais alta; em outros momentos, ela baixa a uma taxa de 0,025 C por minuto. Este fato ocorre quando a temperatura tende ser a temperatura do ambiente. Enfim, com este trabalho, não se quer somente adequar a curva de resfriamento de um líquido ao modelo matemático, mas também mostrar a existência de aplicações das equações diferenciais ordinárias, através de uma proposta de atividade para o nível superior. Trabalhos como este podem contribuir para o ensino de conteúdos de cálculo, pois além de mostrar a importância do conteúdo, também pode ser vista a aplicação do mesmo. Acredita-se também que este trabalho possa ser aprofundado tanto na área da modelagem matemática, como na elaboração de atividades de aplicação de determinados conteúdos e também na área da física, no aprimoramento e entendimento de certos assuntos e teorias, isso com o auxílio da matemática. Futuramente, pretende-se dar continuidade a esta pesquisa. Este trabalho que se apóia na modelagem matemática, em práticas didáticas e na interdisciplinaridade contribui para o estudo da termodinâmica, revendo conceitos e teorias.

22 21 REFERÊNCIAS ANJOS, Ivan Gonçalves dos. Física. São Paulo: Ibep, 2000 BARON, Margaret E.; BROS, H. J.; MAIER, Rudolf (Trad.). Curso de história da matemática: origem e desenvolvimento do cálculo: unidade 1. Brasília: Editora Universidade de Brasília, BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia.2. ed. São Paulo: Contexto, p. BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. 3. ed. São Paulo: Contexto,2003. BONJORNO, Regina A. et al. Física completa. São Paulo: FTD, CHERMAN, Alexandre. Sobre os ombros de gigantes: uma história da física. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, CONFORTIN, Helena, et al. Trabalhos acadêmicos da concepção à apresentação. Erechim: Edifapes, CURI, Edda. Mudando as aulas de matemática. Educação matemática em revista, São Paulo, SBEM, ano 6, n. 7, p , jul HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos da física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, LIBÂNEO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortez, MESQUITA, Marco Aurélio. Previsão de Demanda. Disponível em < Acesso em: 17 dez POTTER, Merle C.; Scott, Elaine P. Ciências térmicas: Termodinâmica, Mecânica dos fluidos e Transmissão de calor. São Paulo: Thomson, ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R..Equações Diferencias. São Paulo: Makron Books, 2001.

23 ANEXOS 22

24 23 ANEXO 1 DADOS COLETADOS PELO EQUIPAMENTO DATA LOGGER

25 24 MODELO MATEMÁTICO DE RESFRIAMENTO DE NEWTON X DADOS EXPERIMENTAIS Título: Resfriamento do café Nome do Arquivo: A:\Resfriamento.txt Primeira Aquisição: 09/04/08 16:12:55 Última Aquisição: 09/04/08 18:34:55 Intervalo Base entre Aquisições: 1min00.0seg Número de Série: Versão de Firmware: V1.13 N# Data Hora Canal 1 Canal 2 Canal 3 Canal 4 Canal 5 Canal 6 Canal 7 Canal 8... Canal /04/ :12: /04/ :13: /04/ :14: /04/ :15: /04/ :16: /04/ :17: /04/ :18: /04/ :19: /04/ :20: /04/ :21: /04/ :22: /04/ :23: /04/ :24: /04/ :25: /04/ :26: /04/ :27: /04/ :28: /04/ :29: /04/ :30: /04/ :31: /04/ :32: /04/ :33: /04/ :34: /04/ :35: /04/ :36: /04/ :37: /04/ :38: /04/ :39: /04/ :40: /04/ :41: /04/ :42: /04/ :43: /04/ :44: /04/ :45: /04/ :46: /04/ :47: /04/ :48: /04/ :49: /04/ :50: /04/ :51: /04/ :52: /04/ :53: /04/ :54: /04/ :55: /04/ :56: /04/ :57: /04/ :58: /04/ :59: /04/ :00: /04/ :01: /04/ :02: /04/ :03: /04/ :04: /04/ :05: /04/ :06: /04/ :07: /04/ :08:

26 /04/ :09: /04/ :10: /04/ :11: /04/ :12: /04/ :13: /04/ :14: /04/ :15: /04/ :16: /04/ :17: /04/ :18: /04/ :19: /04/ :20: /04/ :21: /04/ :22: /04/ :23: /04/ :24: /04/ :25: /04/ :26: /04/ :27: /04/ :28: /04/ :29: /04/ :30: /04/ :31: /04/ :32: /04/ :33: /04/ :34: /04/ :35: /04/ :36: /04/ :37: /04/ :38: /04/ :39: /04/ :40: /04/ :41: /04/ :42: /04/ :43: /04/ :44: /04/ :45: /04/ :46: /04/ :47: /04/ :48: /04/ :49: /04/ :50: /04/ :51: /04/ :52: /04/ :53: /04/ :54: /04/ :55: /04/ :56: /04/ :57: /04/ :58: /04/ :59: /04/ :00: /04/ :01: /04/ :02: /04/ :03: /04/ :04: /04/ :05: /04/ :06: /04/ :07: /04/ :08: /04/ :09: /04/ :10: /04/ :11: /04/ :12: /04/ :13: /04/ :14: /04/ :15: /04/ :16: /04/ :17: /04/ :18: /04/ :19: /04/ :20: /04/ :21: /04/ :22:

27 /04/ :23: /04/ :24: /04/ :25: /04/ :26: /04/ :27: /04/ :28: /04/ :29: /04/ :30: /04/ :31: /04/ :32: /04/ :33: /04/ :34:

28 27 ANEXO 2 RESOLUÇÃO DO MODELO

29 28 RESOLUÇÃO DO MODELO Considerando os valores de temperatura obtidos pelo Data Logger, T(0) = 68 C e T(142) = 18 C, o sistema pode ser escrito como dt = k dt T(0) = 68 C; ( T 17,13 ). T(142) = 18 C Separando as variáveis, lembrando que a temperatura 17,13 C do meio ambiente foi obtida considerando a média aritmética das pequenas variações de temperatura da sala de aula e integrando ambos os lados, tem-se: dt T 17,13 = k dt ln T 17,13 + c = kt + ln T 1 c 2 17,13 = kt + c 2 c 1, sendo c 2 c1 = c 3, ln T 17,13 = kt + T 17,13 = c 3 kt e c 3 c e., sendo c 4 T 17,13 = kt e.c 4. e 3 =, Nesta última, fazendo T(0) = 68 C, obtém-se o valo r de c 4 T 17,13 = e 68 17,13 = 50,87 = c 4 kt e.c k.o 4.c 4

30 29 Encontrado o valor de c 4, este valor será uma constante em todo o processo de resfriamento, pois não sofrerá nenhuma mudança de valor, mesmo que a temperatura do líquido entre em equilíbrio com a temperatura do meio. Ainda resta encontrar o valor de K. Agora, substituindo C 4 por 50,87, a função ficará da seguinte forma: T 17,13 = e kt.50,87 Isolando a variável K ter-se-á: T 17,13 = e kt.50,87 Kt 50,87.e = T 17,13 e Kt = T 17,13 50,87 Que aplicando logaritmo natural em ambos os lados da igualdade. ln( e Kt ) = ln T 17,13 50,87 K t = ln K = 1 t ln T 17,13 50,87 T 17,13 50,87 Agora, considerando a condição T(142) = 18 C, obtém -se a constante K K = ,13 ln 50,87 K = -0, Finalmente, a solução do modelo da lei de resfriamento de Newton pode ser escrita como: 0, t T(t) = 50,87.e + 17,13

31 30 ANEXO 3 COMPARAÇÕES ENTRE DADOS DO DATA LOGGER E DADOS DO MODELO

32 31 COMPARAÇÕES ENTRE DADOS DO DATA LOGGER E DADOS DO MODELO Tempo Café Ambiente Modelo Erro Absoluto Erro Relativo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

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34 , , , , , , , , , , , , , , , , ,15584E-07 6,42134E-09 17, , (Média) (Erro Absoluto Médio, EAM) 0, (Erro Percentual Absoluto Médio, EPAM)