Projeto de Qualificação

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1 Universidade Federal da Bahia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil Projeto de Qualificação Título do Projeto Nome do Orientador/ Co-Orientador Implementação em elementos finitos de um modelo constitutivo para comportamento mecânico de resíduos sólidos urbanos Sandro Lemos Machado Paulo Gustavo Cavalcanti Lins Grande Área/área de concentração Palavras Chave Engenharias I/ Engenharia Civil Resíduos sólidos urbanos Resistência mecânica Modelo Constitutivo Modelagem Numérica Salvador,

2 Sumário Sumário 2 Lista de Figuras 5 Lista de Tabelas 8 Lista de Quadros 9 Lista de Símbolos 10 1 Resumo 11 2 Introdução 12 3 Justificativa e relevância 15 4 Problema de Pesquisa 17 5 Hipóteses do trabalho (geral e específicas) Hipótese geral Hipóteses específicas 18 6 Objetivo (Geral e Específicos) Objetivo Geral Objetivos Específicos 19 7 Delimitação do tema 19 8 Revisão Bibliográfica Comportamento mecânico dos materiais Comportamento elástico Elasticidade nos solos Introdução à Elastoplasticidade 28 2

3 814 Introdução à Mecânica dos Estados Críticos Cam Clay e Cam Clay modificado Comportamento mecânico dos RSU e modelos constitutivos Aterros Sanitários para RSU Compressibilidade do RSU Resistência ao Cisalhamento do RSU e sua particularidade Modelos constitutivos do RSU Modelo constitutivo proposto por Machado et al (2002) Implementação Numérica - Método dos Elementos Finitos (MEF) CRISP (Critical State Program) Relação incremental de tensão-deformação para o CRISP Desenvolvimento dos termos da matriz elastoplástica para Cam Clay Modificado Matriz de rigidez elastoplástica no CRISP 96 9 Metodologia Revisão Bibliográfica Simulação do Cam Clay modificado em planilha Simulação do modelo de Machado et al (2002) em planilha Estudo do Fluxograma do CRISP Simulação de ensaio triaxial em amostras de solos Validação dos resultados obtidos no CRISP no ensaio triaxial em amostras de solos 105 3

4 97 Desenvolvimento analítico dos elementos da matriz de rigidez elastoplástica para o modelo Implementação numérica dos termos desenvolvidos para o modelo Pós-Processamento no GiD Validação dos resultados para o modelo Resultados e Discussão Conclusões Viabilidade e financiamento Resultados e Impactos esperados Cronograma Equipe técnica Referências 119 Anexo A 127 4

5 Lista de Figuras Figura 1 Delimitação do tema (Cone Invertido) Fonte: Autor 20 Figura 2 Relação Tensão-Deformação: (a) linear, (b) não-linear Fonte: LODI (1998) 21 Figura 3 Esquema de ensaio de compressão triaxial Fonte: MACHADO & CARVALHO (2013) 23 Figura 4 Resultados típicos de ensaios triaxiais drenados (a) qxεs, (b) qxεa e (c) εvxεa Fonte: WOOD (1992) 24 Figura 5 Comportamento elastoplástico de um metal Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 29 Figura 6 Comportamento elastoplástico de uma argila num ensaio de compressão isotrópica Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 30 Figura 7 Direção das deformações plásticas observadas em confronto com a superfície de escoamento obtida Fonte: Machado & Vilar (1996) 32 Figura 8 Critério de escoamento de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager Fonte: Valliappan (1981) 33 Figura 9 Superfície de plastificação sugerida por Drucker et al (1957) (Apud Nader,1993) 34 Figura 10 Resultados típicos de ensaios triaxiais não drenados Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 36 5

6 Figura 11 Resultados típicos de ensaios triaxiais normalizados pela tensão de confinamento Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 37 Figura 12 Trajetórias de tensões típicas obtidas em ensaios triaxiais convencionais não drenados Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 37 Figura 13 Comparação entre resultados obtidos para compressões isotrópica e confinada Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 38 Figura 14 Plano p x v em escala semi-log Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 40 Figura 15 Linha de estados críticos no espaço (p, q, v) Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 41 Figura 16 A superfície de Roscoe e as trajetória de tensões normalmente seguidas em ensaios triaxiais drenados e não drenados Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 42 Figura 17 Resultados de amostras levemente pré-adensadas em eixos normalizados (q /p e x p /p e) Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 43 Figura 18 Resultados típicos de ensaios triaxiais convencionais drenados realizados em amostras pré-adensadas Fonte: Machado & Vilar (1996) 44 Figura 19 Resultados, em termos de trajetórias de tensões de um ensaio triaxial convencional drenado Fonte: Machado & Vilar (1996) 45 Figura 20 Valores de q e p na ruptura, plotados em eixos normalizados 46 Figura 21 Superfície de Hvorslev (reta AB) e de Roscoe (Linha BC) em conjunto com a linha de estados críticos (ponto B) e a linha de compressão isotrópica (ponto C) Fonte: Machado & Vilar (1996) 47 Figura 22 Superfície limitante completa de estados do solo, composta da junção das superfícies de Roscoe e Hvorslev Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 48 Figura 23 Trajetórias de tensões esperadas para ensaios não-drenados em amostras pré-adensadas Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 49 Figura 24 Superfície de escoamento para o Cam - clay modificado Fonte: (Ortigão, 2007) 51 Figura 25 Lei de Fluxo associada Fonte: (Pedroso, 2002) 53 6

7 Figura 26 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras normalmente adensadas Fonte: Machado (2016) 55 Figura 27 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras préadensadas Fonte: Machado (2016) 56 Figura 28 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras normalmente adensadas Fonte: Machado (2016) 56 Figura 29 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras préadensadas Fonte: Machado (2016) 57 Figura 30 Mecanismo de adensamento do Resíduo Sólido Urbano - Grisolia & Napoleoni (1996) 61 Figura 31 Resumo de parâmetros de resistência ao cisalhamento encontrados na literatura Fonte Zhan et al (2008) 63 Figura 32 RSU: Resultados típicos de ensaio triaxial CD (a) RSU: Resultados típicos de ensaio triaxial CU (b) Fonte: Machado & FARD (2011) 65 Figura 33 Resultados de ensaios CD para RSU Fonte: Carvalho (1999) 66 Figura 34 Relações de tensão-deformação obtidas de quatro amostras com idades diferentes entre 63 e 9 anos Fonte Zhan et al (2008) 67 Figura 35 Relação da função de mobilização e deformação axial Fonte: Machado et al (2002) 72 Figura 36 Resultados experimentais e preditos para curva de ensaios de compressão triaxial para tensão confinante de 100kPa Fonte: Machado et al (2002) 77 Figura 37 Resposta do modelo para variação do parâmetro Pf Fonte: Machado et al (2002) 78 Figura 38 Fluxograma da Metodologia de pesquisa Fonte Autor 101 Figura 39 Hierarquia CRISP Fonte: Britto & Gunn (1987) 103 7

8 Lista de Tabelas Tabela 1 Evolução dos parâmetros de resistência ao cisalhamento nas deformações axiais para diferentes quantidades de fibras Teste CD Fonte: Machado & FARD (2011) 64 Tabela 2 Parâmetros de entrada para simulação do triaxial Fonte: Autor 104 Tabela 3 Parâmetros de entrada para simulação do triaxial do modelo Fonte: Autor 113 8

9 Lista de Quadros Quadro 1 Comparação entre modelos constitutivos (Vantagens e Limitações) - AUTOR 69 9

10 Lista de Símbolos 10

11 1 Resumo O presente trabalho propõe a incorporação de um modelo constitutivo proposto por Machado et al (2002), para a simulação do comportamento mecânico dos resíduos sólidos urbanos (RSU) através de um código em elementos finitos, o CRISP O modelo propõe o RSU como sendo um material compósito composto por material fibroso e pasta Tais leis constitutivas descrevem as fibras, composto basicamente por materiais plásticos e têxteis, como comportamento elástico e a pasta, composto por madeira, compostos orgânicos, borracha, vidro, água, fases líquidas geradas durante o processo de decomposição, como comportamento elastoplástico com endurecimento, baseado no CamClay modificado O modelo apresenta resultados razoáveis na predição do comportamento mecânico imediato do RSU Para a reprodução do comportamento do RSU em campo, é necessária uma técnica de resolução do sistema de equações diferenciais, tal solução é obtida através da implementação numérica, que será realizada através do CRISP (Critical State Program), programa escrito em elementos finitos Após a implementação, serão realizados testes de validação em que os resultados obtidos com o CRISP serão comparados aos resultados de planilha Após esta fase, o CRISP será utilizado para a simulação do comportamento do resíduo em campo 11

12 Para uma melhor visualização dos resultados de uma análise de elementos finitos, se faz necessário o uso de pós-processamento gráfico O GiD é um pré e pós processador universal, adaptável para simulações numéricas em ciência e engenharia Modificações foram realizadas no código CRISP para geração de arquivos de pós-processamento para o GiD Além de tais modificações para arquivos de pós-processamento, relações constitutivas de sub-rotinas do CRISP foram adaptadas para a formulação do modelo de Machado et al (2002), a fim de reproduzir o comportamento do resíduo sólido urbano (RSU) Nesta fase do trabalho, para simulação dos resultados, foram realizadas duas simplificações: desprezou-se o efeito das fibras e adotou-se uma lei associada para a pasta Os resultados foram satisfatórios quando comparados com planilha de ensaios triaxiais 2 Introdução Toda atividade humana, seja industrial, domiciliar, comercial e de lazer, gera resíduos, que se não forem dispostos adequadamente podem contaminar o solo, as águas e o ar gerando riscos à saúde pública e ao meio ambiente Face ao desenvolvimento tecnológico e sociocultural decorrente da revolução industrial, a quantidade de resíduo gerado vem aumentando exponencialmente com o tempo, o que acaba resultando em impactos ambientais (CARVALHO, 1999) Atualmente o cenário mundial, no que diz respeito a produção de resíduo sólido urbano, têm se apresentado similar ao descrito por CARVALHO, 1999, ou até mesmo pior Segundo MACHADO et al (2014), o impacto ambiental da eliminação de todos os tipos de resíduos sólidos tem sido reconhecido Apesar do fato de que muitas estratégias, tais como "3Rs" (reduzir a produção, reciclar e reutilização de resíduos), terem sido introduzidas nos últimos anos, grandes 12

13 quantidades de resíduos ainda devem ser eliminadas, e a deposição em aterro é o método mais comum de destinação final de resíduos sólidos urbanos Tal prática é bastante utilizada em países em desenvolvimento como no caso de Brasil e Índia, ainda sendo bastante empregada em países desenvolvidos como os Estados Unidos Segundo a Pesquisa Nacional de Saneamento Básico (PNSB), publicada pelo IBGE (2010) com dados de 2008, 81,3% de todo lixo coletado no Brasil é depositado em aterros sanitários (64,6%) ou controlados (15,7%), e o restante (18,7%) vai para os lixões Isto demonstra uma melhora expressiva da situação da destinação final do lixo coletado no país nos últimos anos Dezoito anos antes, 1992, a PNSB mostrava que o percentual de municípios que depositavam seus resíduos de forma adequada era de apenas 23% (IBGE, 1990) Dez anos mais tarde, o percentual passou para 73% (IBGE, 2000) Segundo outros autores como ZEIDABADI et al (2016) com o aumento da população e do estilo de vida, as táticas de gestão de resíduos também variam, assim políticas públicas são criadas pelos governos para incentivo da diminuição da produção e conscientização da população Por outro lado, a geração de resíduos pode ser reduzida através das políticas de reciclagem, conforme dito anteriormente, ainda assim, sempre será necessário um local para realização da disposição final Por ser o principal material de construção dos aterros, os resíduos sólidos urbanos vêm sendo estudados e analisados desde a década de 70 Um dos trabalhos pioneiros que classificam os RSUs e suas propriedades de engenharia é de SOWERS (1973) Já na década de 90, vários pesquisadores ampliaram a literatura destas propriedades e comportamento deste material, como será abordado nos capítulos posteriores do presente trabalho Apesar de uma vasta literatura existente atualmente, os aterros sanitários ainda possuem uma certa dificuldade em seu gerenciamento Além disto, CALDAS 13

14 (2011), BOSCOV (2006), dentre outros autores, descrevem que as propriedades de engenharia do RSU mudam completamente de acordo com a região, cultura e economia no qual este é gerado Problemas envolvendo operação, funcionamento, estabilidade e deformabilidade de aterros sanitários são constantes, de forma que diversas rupturas de aterros sanitários têm ocorrido ao longo dos anos Exemplo recente foi a ruptura, em 2005, do aterro Leuwigajah, na Indonésia, envolvendo m³ de RSU, que causou 147 mortes Outro caso, este em 2007, envolveu o aterro Sítio São João, na cidade de São Paulo, mobilizando uma massa de m³ de RSU, sem causar vítimas Além destes, em 2011 houve a ruptura do aterro de Itaquaquecetuba causou consequências como o deslocamento de massa de resíduos, lançamento de resíduos e chorume no Córrego Taboãozinho e deixou incertezas sobre eventuais perdas de vidas (BOSCOV & FUTAI, 2011) Por outro lado, é importante frisar, que os projetos e construção de aterros sanitários no Brasil têm sido caracterizados pela adoção de critérios e de parâmetros de projetos baseados na experiência de países de primeiro mundo sem que haja uma confirmação ou validação para as condições de nosso país Os nossos resíduos têm composição, em termos de matéria orgânica e umidade, bastante diferente dos daqueles países e a simples adoção de parâmetros geotécnicos importados para nossos aterros sanitários pode gerar situações críticas de estabilidade, a médio e longo prazo, que poderão criar problemas e zonas de riscos para populações e benfeitorias próximas (CARVALHO, 1999) ZEIDABADI et al (2016) afirma que fracassos desastrosos de aterros têm sido relatados resultando em morte de pessoas e impactos ambientais horríveis (BLIGHT, 2008; KOERNER & SOONG, 2000) Tais relatos mostram conhecimento inadequado de análise de estabilidade do aterro Assim, para a simulação e análise de qualquer estrutura, independentemente do tamanho que 14

15 seja ela, é necessário a compreensão do comportamento mecânico de seu material de construção e, em seguida, com base na modelagem do seu comportamento físico, propor um modelo constitutivo adequado Atualmente existem alguns modelos constitutivos propostos os quais serão discutidos nos capítulos posteriores, sendo que podemos destacar os trabalhos de EBERS-ERNST (2001), MCDOUGALL & PYRAH (2001), MACHADO et al (2002), LUKE (2002), FINNO et al (2007), MACHADO et al (2008), BABU et al (2010), KRASE et al (2011) e ZEIDABADI et al (2016) Todos a partir de resultados de ensaios triaxiais ou compressão edométrica estimam as curvas de tensão-deformação do material Entretanto, a necessidade da implementação numérica destes modelos é fundamental uma vez que a simulação ou reprodução do maciço como um todo só é possível a partir de técnicas de integração numérica Logo, o presente trabalho se propõe, a partir do modelo proposto por Machado et al (2002), e com base numa técnica de integração numérica, neste caso, o método dos elementos finitos, reproduzir o comportamento mecânico de um aterro sanitário Ambos, modelo constitutivo e método adotado serão discutidos e justificados nos capítulos posteriores 3 Justificativa e relevância O estudo dos resíduos sólidos urbanos vêm sendo foco de atenção crescente no cenário mundial contemporâneo, tanto pelo número crescente que estes resíduos são gerados, devido à expansão urbana, quanto pela necessidade de otimizar a disposição destes resíduos Além disto, um dos indicadores do aumento de consumo e da produção econômica de uma região qualquer está associado também a sua produção de resíduo, portanto, cada vez mais se fará 15

16 necessário a utilização de aterros sanitários, a não ser que com o uso de tecnologia mais limpas, redução de insumos, reuso e reciclagem, além da adoção de técnicas outras de destinação de resíduos, como a compostagem, o uso dos aterros seja dispensado A problemática dos RSU levou o Brasil a aprovar no ano de 2010 a lei nº para estabelecer a política nacional de resíduos sólidos com vista a solucionar os agravos ambientais ligados à geração incontrolada, disposição final e tratamento inadequado etc desses materiais (CALDAS, 2011) Segundo Carvalho (1999) a industrialização e o crescimento demográfico das cidades têm aumentado a produção de resíduos sólidos urbanos (RSU) e agravando o desafio de dispor de maneira segura e adequada a crescente produção destes resíduos Segundo a ABRELPE (2011), o aterro sanitário é a forma de destinação final mais utilizada no Brasil, atingindo em 2011 o índice de 58,1% Portanto, estudar o comportamento frente a deformabilidade e resistência desses materiais, tornou-se cada vez mais imprescindível, conforme elementos citados anteriormente neste trabalho Segundo Machado et al (2002), as dificuldades no estudo e modelagem de resíduos sólidos urbanos (RSU) estão associadas à heterogeneidade do material, o qual apresenta diferentes tipos e dimensões dos seus constituintes e tem componentes que se degradam com o tempo Além disto, processos biológicos e químicos contribuem significativamente para modificar o comportamento dos resíduos ao longo do tempo Devido a esta dificuldade, técnicas de implementação numérica para o estudo deste comportamento vêm sendo bastante utilizadas Dentre elas, o método dos elementos finitos tem apresentado resultados satisfatórios no âmbito da geotecnia 16

17 Assim, além da contextualização abordada no capítulo anterior acerca da problemática de gerenciamento dos resíduos sólidos urbanos, e consequentemente seus locais de destinação, os aterros sanitários, o presente trabalho se justifica pela necessidade de simular o comportamento mecânico dos resíduos sólidos urbanos em campo, através de implementação numérica, tomando como base o modelo apresentado por Machado et al (2002) 4 Problema de Pesquisa Com base no discutido nos capítulos anteriores, a necessidade do estudo e da previsão do comportamento mecânico dos aterros sanitários para resíduos sólidos urbanos é evidente Assim, este projeto tem como problema de pesquisa: Os modelos existentes reproduzem o comportamento mecânico dos RSUs no contexto dos ensaios triaxiais, isto é, em apenas um ponto do maciço do aterro Logo, para reprodução do comportamento mecânico dos maciços de RSU é necessária uma técnica que resolva os sistemas de equações diferenciais de seu modelo constitutivo 5 Hipóteses do trabalho (geral e específicas) Para possível solução do problema proposto temos como hipóteses geral e específicas: 51 Hipótese geral 17

18 Para solução dos sistemas de equações diferenciais e predição do comportamento mecânico do maciço é necessária a utilização de um método numérico que seja capaz de discretizar o corpo em vários elementos, para a partir de conhecido cada elemento ou nó, possa reproduzir o comportamento do todo 52 Hipóteses específicas O modelo constitutivo para RSUs de Machado et al (2002) apresenta uma boa previsão do comportamento mecânico dos RSUs nos ensaios triaxiais e deve reproduzir de forma equivalente o comportamento do maciço, desde que uma técnica de integração numérica seja utilizada Um método numérico que pode resolver a integração do conjunto de equações é o método dos elementos finitos pela forma com que seu processo de solução dos problemas é estabelecido Pelo fato do modelo constitutivo estar fundamentado na teoria da mecânica dos solos dos estados críticos e o método numérico suposto para resolução ser elementos finitos, um dos algoritmos que podem solucionar tal integração é o CRISP (Critical State Program) A simulação de uma seção de aterro com suas dimensões reais poderá ser feita e comparada com um aterro existente 6 Objetivo (Geral e Específicos) 61 Objetivo Geral 18

19 Implementar através do algoritmo CRISP um modelo constitutivo para reprodução ou simulação do comportamento mecânico de Resíduos Sólidos Urbanos 62 Objetivos Específicos Utilizar o modelo constitutivo de Machado et al(2002) para ser a o modelo constitutivo a ser implementado no programa Adotar o método dos elementos finitos para solucionar o sistema de integração de equações diferenciais que regem o problema Adaptar o CRISP (Critical State Program) para o âmbito de resíduos sólidos urbanos Simular uma seção expedita de aterro sanitário e realizar sua validação 7 Delimitação do tema O tema ou problema aqui proposto está situado na grande área Engenharias I Por ser um problema multidisciplinar, abrange dois grandes grupos, Engenharia Civil, devido a discussão geotécnica, e Engenharia Sanitária e Ambiental, pois tem como objeto de estudo os resíduos sólidos urbanos Dentro deste grupo, está definido na Geotecnia, que por sua vez, associado à Geotecnia Ambiental, particularizando a esta área de estudo aos Aterros Sanitários de Resíduos Sólidos Urbanos, ou seja, Aterros Classe II-A Não-Inertes, conforme definição da norma NBR 10004/2004 Dentro dos aterros sanitários, o tema encontra-se no estudo do comportamento mecânico, mais precisamente dos fenômenos de compressibilidade e cisalhamento do maciço e por fim, dentro deste contexto, na modelagem deste fenômeno para predizer suas deformações e deslocamentos A figura 1 descreve de forma sucinta a delimitação do tema proposto 19

20 ENGENHARIA CIVIL ENGENHARIA AMBIENTAL GEOTECNIA GEOTECNIA AMBIENTAL ATERROS SANITÁRIOS - RSU COMPORTAMENTO MECÂNICO MODELAGEM Figura 1 Delimitação do tema (Cone Invertido) Fonte: Autor 8 Revisão Bibliográfica Aqui neste capítulo serão discutidos aspectos relacionados a fundamentação teórica do problema proposto, discussão do modelo constitutivo a ser implementado e conceitos básicos do comportamento mecânico dos materiais Para isto este capítulo será dividido em três blocos, num primeiro momento serão discutidos todos os conceitos do comportamento mecânico dos materiais, elasticidade e plasticidade, estados críticos e suas aplicações aos solos, no segundo bloco uma abordagem do comportamento do RSU e sua modelagem constitutiva, e, por fim, uma breve discussão acerca da implementação numérica, o algoritmo a ser utilizado e método numérico adotado 81 Comportamento mecânico dos materiais É sabido que o comportamento mecânico imediato dos materiais pode ser descrito ou predito através dos conceitos da teoria da elasticidade, elastoplasticidade e plasticidade, e, desde que se se conheça seus parâmetros, é possível descrevê-los por meio de relações de tensão-deformação, sendo que 20

21 cada uma destas teorias descrevem uma fase do comportamento dos materiais quando solicitados por esforços mecânicos 811 Comportamento elástico Um material é dito como comportamento elástico, quando o mesmo possui a capacidade de recuperar toda sua energia empregada na deformação do sólido durante o descarregamento A lei constitutiva mais básica do comportamento de um material linear elástico é a Lei de Hooke, onde as tensões são determinadas pelas deformações, isto é, existe uma relação única entre tensões e deformações, sendo que através de uma equação linear, conhecendo as deformações, pode-se determinar as tensões Figura 2 Relação Tensão-Deformação: (a) linear, (b) não-linear Fonte: LODI (1998) Em ambos os gráficos da figura acima o material apresenta um comportamento elástico, isto é, havendo descarregamento do material, os valores de deformação retornam ao seu estágio inicial, logo não há histerese ou qualquer plastificação no corpo O coeficiente angular destas curvas é definido como E (módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young ) Algebricamente, um material elástico-linear, segundo a Teoria da Elasticidade, é descrito através das seguintes relações constitutivas de tensão-deformação: ε x = σ x v σ y v σ z E E E (1) 21

22 ε y = v σ x σ y v σ z E E E ε z = v σ x v σ y σ z E E E γ xz = τ xz G γ xy = τ xy G γ yz = τ yz G (2) (3) (4) (5) (6) Onde, ε x é a deformação específica longitudinal na direção x; ε y é a deformação específica longitudinal na direção y; ε z é a deformação específica longitudinal na direção z; σ x é a tensão normal na direção x; σ y é a tensão normal na direção y; σ z é a tensão normal na direção y; γ xz é a deformação distorcional no plano xz; γ xy é a deformação distorcional no plano xy; γ yz é a deformação distorcional no plano yz; τ xz é a tensão cisalhante no plano xz; τ xy é a tensão cisalhante no plano xy; τ yz é a tensão cisalhante no plano yz; E é o módulo de elasticidade longitudinal; G é o módulo de elasticidade transversal 812 Elasticidade nos solos 22

23 A resposta elástica dos solos ao acréscimo de tensões pode ser interpretada através de gráficos tensão x deformação, podendo-se obter os valores das constantes elásticas destes materiais Tais gráficos são resultados típicos de ensaios triaxiais convencionais, que resumidamente podem ser descritos como ensaios em que um corpo de prova cilíndrico é colocado numa câmara hidrostática e submetido a pressões confinantes equivalentes em toda sua superfície, através do líquido contido na câmara, e outra pressão no topo, através de um pistão, conforme a figura 3: Figura 3 Esquema de ensaio de compressão triaxial Fonte: MACHADO & CARVALHO (2013) 23

24 A figura 4, a seguir, apresenta alguns resultados típicos de ensaio triaxial drenado em solos Figura 4 Resultados típicos de ensaios triaxiais drenados (a) qxε s, (b) qxε a e (c) ε v xε a Fonte: WOOD (1992) Onde os módulos de deformação elásticos são descritos conforme abaixo: K = E 3 (1 2v ) é o módulo de deformação elástica volumétrica; G = E 2 (1 + 2v ) é o módulo de deformação elástica cisalhante Para o estudo dos modelos a seguir, se faz necessário a definição dos parâmetros p e q, antes de realizar a discussão do comportamento elástico nos solos, uma vez que a própria figura (4) anterior o invariante de tensão q, definido como tensão desviadora, é mostrado A abordagem acerca deste assunto, seguirá a forma apresentada por Valliappan (1981) Onde, 24

25 p = 1 3 (I 1) (7) q = 3J 2 (8) Sendo, I 1 e J 2 invariantes de tensão dados por: I 1 = σ x + σ y + σ z (9) I 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ z σ y τ 2 xy τ 2 2 xz τ yz (9) I 3 = σ x σ y σ z σ x τ 2 yz σ y τ 2 xz σ z τ 2 xy + 2τ xz τ yz τ xz (10) J 2 = I 1² 3 I 2 (11) Para o caso particular, onde as direções dos eixos coordenados coincidem com a direção dos eixos das tensões principais, logo as tensões cisalhantes serão nulas, os invariantes de tensão são reduzidos para: I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 (12) I 2 = σ 1 σ 2 + σ 1 σ 3 + σ 2 σ 3 (13) I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 (14) De modo que, para o caso triaxial de tensões, σ 1 = σ 2 = σ r, portanto temos: p = 1 3 (σ a + 2σ r ) (15) q = (σ a σ r ) (16) Sendo análogo para os invariantes de deformações, 25

26 ε v = (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) (17) ε s = 2 3 ((ε 1 ε 2 ) 2 + (ε 1 ε 3 ) 2 + (ε 2 ε 3 )²) (18) E, para o caso triaxial, analogamente temos, ε v = 1 3 (ε a + 2ε r ) (19) ε s = 2 3 (ε a ε r ) (20) Onde, ε a é a deformação axial do corpo de prova; ε r é a deformação radial do corpo de prova Segundo Wood (1992), as equações que descrevem a resposta elástica do solo aplicados a uma tensão efetiva são: δε a = ( 1 E ) [δσ a 2v δσ r ] (21) δε r = ( 1 E ) [δσ r(1 v ) v δσ a ] (22) Onde, E é o módulo de Young; v é o Coeficiente de Poisson; δε a é o incremento de deformações axiais; 26

27 δε r é o incremento de deformações radiais; δσ a é o incremento de tensões normais axiais; δσ r é o incremento de tensões normais radiais; Os incrementos de deformação volumétrica (δε v ) e cisalhante (δε s ) são: δε v = (δε a + 2δε r ) (23) δε s = 2/3(δε a δε r ) (24) Baseando-se nos conceitos da teoria da elasticidade, os incrementos de deformação volumétrica e cisalhantes, para o ensaio triaxial, segundo Atkinson & Bransby (1978) são: δε v = [(1 2v )/E ] (δσ a + 2δσ r ) (25) Substituindo (22) em (25) temos: δε v = [3 (1 2v ) E ] δp (26) Analogamente, δε s = [2 (1 2v ) 3 E ] δq (27) Atkinson & Bransby (1978) resume as equações (26) e (27) para: 27

28 δε v = δ p K (28) δε s = δq 3 G (29) O gradiente inicial da curva tensão-deformação da figura 4a é 3G e o gradiente inicial da curva de variação volumétrica da figura 4b é dado por: (δε v δε s ) = (3G δp ) (K δq) (30) Tais relações serão também utilizadas posteriormente nos modelos elastoplásticos abordados no presente trabalho 813 Introdução à Elastoplasticidade Denomina-se Elastoplasticidade à teoria que considera tanto deformações recuperáveis quanto permanentes Todo modelo elastoplástico baseia-se em três conceitos básicos: um critério de escoamento ou de plastificação, uma lei de fluxo e uma lei de endurecimento ou de encruamento, que serão discutidos de forma sucinta no presente capítulo De forma geral a característica da Elastoplasticidade é a presença de deformações plásticas, ou seja, irreversíveis É importante neste momento fazer uma distinção entre deformações elásticas (reversíveis) e deformações plásticas (irreversíveis) Tomando como exemplo um metal com trecho de escoamento definido, conforme a figura (5) abaixo 28

29 Figura 5 Comportamento elastoplástico de um metal Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Observando a figura acima, é possível verificar que caso o material seja submetido a uma tensão axial até o ponto Y e sofra o descarregamento, todo valor de deformação axial é anulado, isto é, a curva retorna à origem Pode-se dizer então que nestre trecho o material se comporta como elástifco À medida que o valor de tensão supera o ponto Y e chega até o ponto G, já ocorre a plastificação, ou seja, caso haja descarregamento, parte da energia de deformação não é recuperada, logo, havendo um descarregamento no ponto G, a curva retornará para o ponto B, ou seja, dar-se-á o surgimento de deformações irreversíveis Assim, no trecho entre Y e G, diz-se que ocorreu escoamento ou plastificação, e um efeito do escoamento é o encruamento ou strain hardening, ou seja, antes da plastificação a tensão de escoamento do material era no ponto Y, após o escoamento, passou a ser em G, valor superior ao anterior As tentativas de aplicação de conceitos de elastoplasticidade a solos vieram a se intensificar após 1950, quando os conceitos de normalidade e estabilidade de um sistema começaram a aparecer na literatura Pode-se dizer que, até então, os esforços direcionados à modelagem do comportamento tensão/deformação dos solos ainda não haviam sido iniciados (Jain, 1980) Talvez a maior contribuição no sentido de um desenvolvimento racional da teoria da plasticidade para uso em mecânica dos solos tenha sido dada por Drucker et al (1957) O artigo publicado por estes autores introduziu a ideia de que a curva obtida em um ensaio de compressão confinada denota uma relação tensão/deformação do 29

30 tipo work-hardening e que em consequência disto os sucessivos pontos de escoamento desta curva deveriam estar associados à superfícies de plastificação do solo (MACHADO, 1999) Ainda segundo Machado (1999) apesar dos conceitos de elastoplasticidade serem perfeitamente aplicados ao comportamento dos solos, tais materiais possuem características específicas como sua natureza dilatante, apresentam deformações volumétricas quando submetidas a tensões cisalhantes, sua natureza friccional, refletindo a influência da tensão octaédrica média (p ) nos valores de ruptura e/ou escoamento e a ausência de um limite bem definido separando a zona de deformações elásticas das plásticas Esta distinção de deformações recuperáveis e irrecuperáveis é melhor ilustrada pelo comportamento observado durante uma compressão isotrópica ou confinada do solo, conforme ilustrado na figura (6) a seguir Figura 6 Comportamento elastoplástico de uma argila num ensaio de compressão isotrópica Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Na figura (6) acima, a linha ABC corresponde à linha normal de consolidação (LNC), conceito que abordaremos a seguir Supõe-se que o solo seja carregado monotonicamente até o ponto B Se o material é descarregado em no ponto B, e o valor de tensão neste ponto corresponde ao máximo de tensão já sofrido pelo solo, haverá deformações plásticas, e o solo atingirá o ponto D, através da linha 30

31 de descarregamento BD Após novo carregamento partindo de D, o solo se comportará como elástico até que o valor de tensão atinja novamente o ponto B A partir deste ponto, o solo passará novamente a apresentar um comportamento elastoplástico, caminhando novamente sobre a LNC até chegar ao ponto C, que passará a ser o novo limites de plastificação Similarmente, caso seja novamente descarregado, este atingirá o ponto E, através da nova linha de descarregamento CE Assim, pode-se notar que o material apresenta um volume específico cada vez menor à medida que é carregado e descarregado, apresentado na figura pela diferença da posição dos pontos D e E Ito se dá pelo fato de que nesta trajetória DBCE já ocorreram deformações irreversíveis no material, caracterizando um regime elastoplástico A abordagem desta figura faz alusão a um dos princípios básicos da Elastoplasticidade que é a Lei de encruamento ou endurecimento, a qual, segundo Atkinson & Bransby (1978) relaciona o surgimento deformações plásticas com o movimento da superfície de plastificação, ou seja, se a superfície de plastificação não se mover, todas as deformações presentes são elásticas Caso haja movimento da superfície de plastificação, parte das deformações são elásticas e parte são plásticas A superfície de escoamento ou plastificação, é a superfície que separa a zona elástica (dentro dela) da zona elastoplástica (no seu exterior) Caso um novo estado de tensão se apresente fora da superfície, ela se move até que este estado esteja sobre ela, o que provocará o aparecimento de deformações plásticas Caso não seja possível, tal estado de tensão é tido como impossível de ser obtido A lei de encruamento correlaciona o montante de deformações plásticas necessário para deslocar a superfície de plastificação de um determinado valor A lei de fluxo é encarregada de distribuir o montante de deformações plásticas dado pela lei de encruamento em suas respectivas parcelas de deformações Em outras palavras, a lei de fluxo fornece a inclinação dos vetores da figura 8, permitindo calcular os diferentes incrementos de deformação plástica Quando a lei de fluxo do material é tal que estes vetores de plastificação são ortogonais à superfície de plastificação, dizemos que se trata de uma lei de fluxo normal ou associada, caso contrário, que se trata de uma lei de fluxo não associada 31

32 Figura 7 Direção das deformações plásticas observadas em confronto com a superfície de escoamento obtida Fonte: Machado & Vilar (1996) Drucker - Prager (1952) foram os primeiros a propor uma função de plastificação para os solos (idealizados como material elastoplástico perfeito) Sendo derivado do critério de Mohr-Coulomb, expressada por: f(σ 1, σ 2, σ 3 ) = α I 1 + J 2 k = 0 (31) Onde α e k são constantes características do solo e guardam semelhança com o ângulo de atrito do solo e com a coesão, respectivamente Tal modelo, é do tipo elastoplástico perfeito, não levando em conta o encruamento sofrido pelo solo, fenômeno este responsável por deslocar eventuais superfícies de escoamento elevando-as até a ruptura Portanto, pode- 32

33 se dizer, segundo Lodi (1998), que esta constitui apenas uma superfície de escoamento obtida para uma condição última Ainda assim a ocorrência de cantos na representação do critério de Mohr- Coulomb dificulta a sua aplicação em elastoplasticidade, pois não há como se definir, de forma precisa, a direção do vetor de deformações plásticas Nestes casos o critério de Drucker-Prager (1952) leva vantagens, já que a sua superfície apresenta uma transição suave, conforme pode-se observar a figura (8) Figura 8 Critério de escoamento de Mohr-Coulomb e Drucker-Prager Fonte: Valliappan (1981) Um trabalho de grande importância, relacionado com a plasticidade e dirigido à Mecânica dos Solos, foi o de Drucker et al (1957) Esses autores relatam, principalmente a diferença existente entre plastificação e ruptura, o comportamento similar do solo com materiais elastoplásticos, com endurecimento ou amolecimento; e, o fato da superfície de plastificação dos solos obrigatoriamente interceptar a diagonal do espaço das tensões (plastificação por compressão isotrópica) (LODI, 1998) A figura 9 ilustra a superfície de plastificação sugerida por Drucker et al (1957) 33

34 Figura 9 Superfície de plastificação sugerida por Drucker et al (1957) (Apud Nader,1993) Os modelos denominados como Cap Models, possuem a vantagem em relação aos demais critérios de superfície de plastificação aberta, de que a plastificação do material devido somente o aumento da tensão octaédrica passa a ser possível Ao fim da década de 60, Roscoe e sua equipe da Universidade de Cambridge, incorporam conceitos da mecânica dos solos do estado crítico aos conceitos desenvolvidos por Drucker et al (1957) e desenvolvem o modelo Cam-Clay, que é a base para o modelo constitutivo do problema de pesquisa do presente trabalho 814 Introdução à Mecânica dos Estados Críticos Diz-se que um solo está em uma condição de estados críticos quando o mesmo passa a sofrer deformações cisalhantes de grande monta sem variações na sua tensão desviadora (q) ou na sua deformação volumétrica Segundo Roscoe et al 34

35 (1958), os estados de tensão assim definidos tendem a se situar sobre uma mesma reta no espaço (q, p, e) (Britto & Gunn, 1987) Ainda, segundo Britto & Gunn, (1987), quando um solo tende a uma condição na qual o cisalhamento pode continuar ocorrendo sem que apresente variações de volume ou de seu estado efetivo de tensões, diz-se que este atingiu sua condição de estado crítico Pode-se dizer também que o estado crítico ocorre quando numa amostra, é possível continuar o esforço cisalhante com nenhuma variação de seu estado de tensões ou volume Algebricamente, a condição de estado crítico é dada por: δν = δq = δp = 0 (32) δεs δεs δεs Onde, δεsé a variação de deformação cisalhante; δν é variação volumétrica; δq é a variação da tensão desviadora; δp é a variação da tensão octaédrica efetiva média Sendo que, devido aos conceitos já abordados e a utilização dos parâmetros p e q no modelo constitutivo do presente trabalho, podemos descrevê-los como sendo: p = 1 3 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (33) q = 1 [(σ 2 1 σ 2 ) 2 + (σ 1 σ 3 ) 2 + (σ 2 σ 3 )²] 1 2 (34) 35

36 A figura (10) mostra resultados de uma família de testes triaxiais consolidados não drenados realizados em uma argila normalmente adensada Na figura (11) estes mesmos resultados estão apresentados normalizados pela tensão de confinamento da amostra (p 0 ), que neste caso é igual à tensão equivalente (p e ) A tensão equivalente, p e, corresponde ao valor de p na reta virgem de compressão isotrópica do solo, para o qual o solo apresenta um volume específico v, independente da história de tensões a que foi submetido Para amostras normalmente adensadas,p 0 = p e, enquanto que para amostras pré-adensadas p 0 < p e Na figura 12 estão apresentadas trajetórias de tensões típicas obtidas a partir da realização de ensaios consolidados não drenados em solos normalmente adensados Vemos que este solo alcança esta condição para valores de deformação axial de aproximadamente 10 % Figura 10 Resultados típicos de ensaios triaxiais não drenados Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 36

37 Figura 11 Resultados típicos de ensaios triaxiais normalizados pela tensão de confinamento Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Figura 12 Trajetórias de tensões típicas obtidas em ensaios triaxiais convencionais não drenados Fonte: Atkinson & Bransby (1978) 37

38 O valor da relação (q/p ) para o qual o solo atinge o estado crítico é denominado de M, que representa a inclinação da projeção da linha de estados críticos no espaço p x q A expressão que correlaciona M com o ângulo de atrito interno do solo ( ) pode ser expressa, para ensaios triaxiais de compressão pela equação (35) dada por: M = 6sin(φ) (3 sin(φ)) (35) Conforme ilustra a figura (13), seguinte, os resultados de ensaios de compressão confinada, no espaço (p x v), resultam em retas aproximadamente paralelas, deslocadas para a esquerda daquelas obtidas a partir de ensaios de compressão isotrópica Isso pode ser justificado pelo fato de existirem tensões desviadoras não nulas durante a realização dos ensaios de compressão confinada Figura 13 Comparação entre resultados obtidos para compressões isotrópica e confinada Fonte: Atkinson & Bransby (1978) A equação da reta virgem de compressão é dada pela seguinte expressão: 38

39 v = N λ ln(p ) (36) Onde, N é o volume específico do solo para um valor de p unitário (no sistema de medidas utilizado); é o coeficiente de compressão do solo, o qual, por ser adimensional, é o mesmo qualquer que seja o sistema dimensional utilizado O valor de é calculado pela seguinte expressão: λ = dv ln (p ) (37) A reta de descompressão-recompressão do solo pode ser fixada no espaço (v x lnp ) pela expressão abaixo: v = v k + κ ln (p ) (38) Onde, v k é o valor do volume específico do solo para p unitário; κ é o coeficiente de recompressão do solo Nota-se que enquanto N, λ e κ são valores característicos, v k está associado à condição de pré-adensamento Na figura a seguir, são apresentados resultados no plano p x v para a condição de estado crítico (em escala semi-logarítimica) Nota-se que, para o caso das amostras normalmente adensadas, a linha para a condição de estado crítico é 39

40 paralela à reta de compressão virgem do solo, independente do ensaio ser drenado ou não-drenado Figura 14 Plano p x v em escala semi-log Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Pode-se dizer que a linha de compressão isotrópica ou Normal Consolidation Line (NCL) é a linha limite entre os estados de tensões possíveis e impossíveis para o solo, isto é, qualquer estado de tensão que o solo esteja submetido, no plano (p x v) deve está situado à esquerda da linha de compressão isotrópica Portanto, trazendo para o espaço (p, q, v), conforme figura (15), conclui-se que existe uma única relação entre essas variáveis, para o qual o solo encontra-se numa condição crítica Tal linha é denominada linha dos estados críticos (LEC) ou da forma original proposta: Critical State Line (CSL) 40

41 Figura 15 Linha de estados críticos no espaço (p, q, v) Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Logo, a projeção da linha da CSL no plano p x q é dada por: q = Mp (39) Como também, a projeção da CSL no plano p x v é dada por: v = Γ λln(p ) (40) 8141 Superfície de Roscoe Conforme discorrido até aqui, existe, no espaço (p, q,v) uma linha denominada CSL, a qual estabelece uma relação única entre estas variáveis para o caso de 41

42 argilas normalmente adensadas Henkel (1960), realizou uma série de ensaios triaxiais drenados e não drenados, com medida de pressão neutra, após os resultados, traçou num plano ( σ a, σ r 2 ), contornos de igual umidade e os comparou com a trajetória de tensões seguidas durante a realização de ensaios triaxiais não-drenados Observou então que há uma concordância bastante acentuada entre as isolinhas de umidade e as trajetórias de tensões obtidas de ensaios triaxiais não- drenados Segundo Lodi (1998) diversos outros dados de ensaios publicados, confirmam as conclusões de Henkel (1960) Dessa forma, pode-se supor que existe, para o caso de solos normalmente adensados, uma superfície que une a linha de compressão isotrópica à linha de estados críticos, a qual contém, com unicidade, as ordenadas p, q e v, de modo independente da trajetória de tensões adotada Esta superfície é denominada de Superfície de Roscoe e é ilustrada pela figura (16) seguinte Figura 16 A superfície de Roscoe e as trajetória de tensões normalmente seguidas em ensaios triaxiais drenados e não drenados Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Já a figura 17, mostra resultados de ensaios em termos de (q /p e x p /p e) para amostras normalmente adensadas e levemente pré-adensadas 42

43 Figura 17 Resultados de amostras levemente pré-adensadas em eixos normalizados (q /p e x p /p e) Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Logo, nota-se que a Superfície de Roscoe e a NCL podem ser vistas como limitantes dos estados possíveis de serem alcançados pelo solo, sendo a NCL, apenas um ponto da projeção da Superfície de Roscoe, obtida em q/p e = 0 e p /p e = A superfície de Hvorslev A superfície de Roscoe, descrita anteriormente, é abordada para o comportamento de solos saturados normalmente adensados, que é representada por uma linha no plano p x q que está entre os estados de tensão compreendidos na NCL e CSL Para o caso de solos pré-adensados, conforme o comportamento pode ser visto na figura (18) a seguir: 43

44 Figura 18 Resultados típicos de ensaios triaxiais convencionais drenados realizados em amostras pré-adensadas Fonte: Machado & Vilar (1996) Na figura (19) está plotada a trajetória de tensões do solo em confronto com a projeção da linha de estados críticos do mesmo no espaço (p, q) Nota-se que o corpo de prova ao ser cisalhado alcança pontos no espaço (p, q), cujas projeções no espaço (p,q), se situam acima da linha de estados críticos Estes resultados apresentam discrepâncias daqueles apresentados na figura 17 Naquela figura, todas as trajetórias de tensões dos ensaios realizados tocam a superfície de Roscoe em um ponto cuja projeção se situa abaixo da linha de estados críticos, caminhando então em direção a esta 44

45 Figura 19 Resultados, em termos de trajetórias de tensões de um ensaio triaxial convencional drenado Fonte: Machado & Vilar (1996) Pode-se considerar uma família de testes triaxiais drenados para obter maiores informações acerca da forma da superfície de estado limitante para solos fortemente pré-adensados, contudo, a dificuldade com tal família de testes é que o volume específico das amostras está mudando durante a realização dos mesmos A projeção das trajetórias de tensões no espaço q, p, v deste modo se referem a diferentes seções de volume específico constante Como uma analogia com a superfície de Roscoe, espera-se que somente o tamanho de tal superfície limite mude com mudanças em v, não sua forma Deste modo, novamente aqui se adota o conceito de tensão equivalente para escalar tensões de modo a permitir mudanças em v Segundo Machado & Vilar (1996), este método de escalar tensões foi adotado pela primeira vez por Hvorslev Pode-se agora considerar estados de ruptura de espécimes em ensaios triaxiais e plotar estes dados em eixos normalizados, conforme mostrado na figura (20) 45

46 Figura 20 Valores de q e p na ruptura, plotados em eixos normalizados (q/pe p /pe) obtidos para amostras pré-adensadas Fonte: Machado & Vilar (1996) Ainda, segundo Machado & Vilar (1996), Estes dados foram obtidos de uma série de ensaios triaxiais realizados por Parry (1956) em argilas pré-adensadas Está claro que os dados de testes drenados e não drenados se situam em uma única linha no espaço q/pe, p /pe Esta linha é limitada em seu lado direito pela interseção pelo ponto representando a linha de estados críticos, situado no topo da superfície de Roscoe Se o solo não pode suportar estados de tração, o maior valor de q/p que poderá ser observado deverá corresponder a σ 3 = 0 Então, para um teste triaxial convencional (em que q/p = 3) a localização dos pontos de ruptura pode ser idealizada como aquela correspondente à linha AB da figura (21) 46

47 Figura 21 Superfície de Hvorslev (reta AB) e de Roscoe (Linha BC) em conjunto com a linha de estados críticos (ponto B) e a linha de compressão isotrópica (ponto C) Fonte: Machado & Vilar (1996) Através da junção das superfícies de Roscoe e Hvorslev, obtêm-se uma completa superfície limitante de estados possíveis para solos normalmente adensados e pré-adensados A figura (22) ilustra tal superfície onde pode-se perceber que as superfícies de Roscoe e Hvorslev unidas pela linha de estados críticos, formam uma espécie de invólucro, dentro do qual se situam todos os estados possíveis de serem atingidos pelo solo no espaço (p, q, v) 47

48 Figura 22 Superfície limitante completa de estados do solo, composta da junção das superfícies de Roscoe e Hvorslev Fonte: Atkinson & Bransby (1978) Diante de tal superfície, é sabido que para um estado qualquer de tensão do solo que esteja abaixo ou dentro da superfície, as deformações serão apenas elásticas Deformações do tipo elastoplásticas ocorrerão para situações em que o solo venha a se deslocar sobre a superfície limitante 48

49 Figura 23 Trajetórias de tensões esperadas para ensaios não-drenados em amostras pré-adensadas Fonte: Atkinson & Bransby (1978) As trajetórias de tensões obtidas para solos pré-adensados, se situam abaixo da superfície de Roscoe ou de Hvorslev, a depender da sua razão de préadensamento Estas trajetórias se encontram contidas em um muro elástico associado àquela curva de descompressão do solo, correspondente ao valor da tensão de pré-adensamento do mesmo Com o continuado cisalhamento da amostra estas trajetórias podem tocar a superfície de Roscoe ou de Hvorslev, deslocando a partir deste ponto, contidas sobre uma destas superfícies, em direção à linha de estados críticos (Machado & Vilar, 1996) 815 Cam Clay e Cam Clay modificado Cam-Clay é o nome dado para o modelo elastoplástico de solos, e suas equações podem ser utilizadas para descrever muitos tipos de solos (Britto & Gunn, 1987) Segundo Lodi (1998), tal modelo é resultado de investigações laboratoriais minuciosas feitas pelo grupo de Mecânica dos Solos da Universidade de Cambridge (Roscoe et al, 1963; Roscoe e Burland, 1968 e Scofield e Wroth, 1968) utilizando também resultados de outros pesquisadores, tais como Hvorslev (1937), Rendulic (1937), Parry (1956) e Henkel (1960) 49

50 O primeiro modelo (Roscoe & Schofield, 1963), pormenorizadamente justificado e descrito por Schofield & Wroth (1968), foi então chamado de Cam Clay Posteriormente foi apresentada uma modificação deste modelo (Roscoe & Burland, 1968) Este foi apelidado de Cam Clay modificado Acontece que este último acabou por ter uma utilização muito mais generalizada, sobretudo devido à sua utilização em previsões numéricas, pelo que se prefere designá-lo por Cam-Clay, reservando a denominação Cam Clay original para o modelo concebido por Roscoe & Schofield (Neves, 2016) Este modelo é descrito e analisado apenas em termos de q e p, as quais possuem grande relevância para a discussão do comportamento dos solos quando submetidos a ensaios triaxiais Sendo que as características mais comuns deste modelo, segundo Neves (2016) são: A superfície limite dos estados é considerada não só uma superfície de escoamento, mas também uma superfície de potencial plástico (comportamento associado); O endurecimento resulta das deformações volumétricas plásticas; Admite-se que o solo é um material de natureza friccional com comportamento elástico não linear interiormente à superfície de escoamento Segundo Roscoe et al (1958), suas relações de tensão-deformação envolvem quatro parâmetros característicos do material: λ, κ,m e G Os dois primeiros, definidos anteriormente, correspondem respectivamente às inclinações do trecho virgem de compressão e da curva de recuperação elástica de descarregamento/re-carregamento A constante de fricção (M) define a inclinação da linha de estado crítico no plano (p x q) 8151 A superfície limite dos estados no Cam Clay Para o Cam-Clay modificado a superfície de plastificação do solo é dada pela seguinte expressão: 50

51 q = M [p (p 0 p )] 1 2 (41) Figura 24 Superfície de escoamento para o Cam - clay modificado Fonte: (Ortigão, 2007) Comparando a figura acima com a anterior, figura (23), nota-se que a superfície de plastificação assemelha-se com as superfícies de Hvorslev (reta AB) e de Roscoe 8152 Vetores de deformação no Cam Clay De acordo com as equações (28) e (29), apresentadas anteriormente, no modelo do Cam Clay modificado as expressões para incrementos de deformações elásticas volumétricas e cisalhantes são dadas por: δε e s = δq 3 G (42) 51

52 δε v e = κδp vp (43) Considerando a lei do endurecimento do Cam Clay dada pela equação (44), podemos escrever as relações dos incrementos de deformações volumétricas plásticas e elásticas, com os incrementos no valor da tensão isotrópica de escoamento, p 0 δε v p = δv v = (λ κ)dp 0 vp 0 (44) Onde, δε v p é o incremento de deformação volumétrica plástica; Sendo a variação de p 0 em função de dp e dq, temos: dp 0 p 0 = 1 p [2ηdq + (M2 η 2 )dp ] (45) E, aplicando esta expressão na lei de endurecimento descrita em (44), obtemos: dε v p = (λ κ)[2ηdq+(m2 η 2 )dp ] p v(m 2 +η 2 ) (46) Por outro lado, baseado na Lei de fluxo associada, conforme discutido na seção anterior, e observando a figura (25) a seguir dq = (η2 M 2 ) dp 2η (47) 52

53 Figura 25 Lei de Fluxo associada Fonte: (Pedroso, 2002) Aplicando-se a Lei de fluxo associada, onde nota-se que o vetor de incrementos de deformação é perpendicular à superfície de plastificação, temos que: dε v p dε s p = dq dp = 2η (M 2 η 2 ) (48) Portanto utilizando a expressão (48) podemos escrever de forma matricial as deformações elásticas e plásticas [ v e κ δεe] = [ vp 0 s G ] [δp δq ] (49) [ δε p p p δε ] = s (λ κ) η 2 ) vp (M 2 +η 2 ) [(M2 2η 2η 4 η 2 (M 2 η 2 ] [ δp ) δq ] (50) 53

54 Onde, δε s p é o incremento de deformação cisalhante plástica; δε v p é o incremento de deformação volumétrica plástica; Uma análise das equações mostra que a magnitude das deformações é controlada fundamentalmente pelo termo (λ κ) Como também pode-se notar que quando η se aproxima de M, o solo se aproxima do estado crítico e quando se igualam o solo atinge a condição de estado crítico As deformações volumétricas plásticas, quando η tende para M, praticamente se anulam, tendendo o material para apenas rigidez elástica Já as deformações cisalhantes plásticas, quando η = M, ou seja, atingido o estado crítico, tendem para o infinito Logo a rigidez distorcional tende para zero Segundo Neves (2016) tal condição é dita como plasticidade perfeita em que, continuando a processar deformações distorcionais ou cisalhante, não há qualquer alteração na dimensão da curva de plastificação, nas tensões e nas deformações volumétricas, logo, é o estado crítico 8153 Perfomance do Cam Clay em ensaios triaxiais A seguir, serão apresentadas algumas imagens da performance da simulação do modelo Cam-Clay frente a ensaios triaxiais consolidados, drenados (CD) e não-drenados (CU), para amostras normalmente adensadas e pré-adensadas 54

55 Figura 26 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras normalmente adensadas Fonte: Machado (2016) 55

56 Figura 27 Performance do Cam-Clay para ensaios CD em amostras pré-adensadas Fonte: Machado (2016) Figura 28 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras normalmente adensadas Fonte: Machado (2016) 56

57 Figura 29 Performance do Cam-Clay para ensaios CU em amostras pré-adensadas Fonte: Machado (2016) Como pode-se notar, para o modelo Cam-Clay, tanto para os ensaios CD quanto CU, as curvas de tensão, deformação e variação volumétrica podem ser compreendidas apenas no espaço p, q, v Isto implica que o modelo consegue reproduzir de forma razoável as curvas com uma quantidade resumida de variáveis, o que o torna uma boa ferramenta para a modelagem destes materiais Já que, sua lei de plastificação ou escoamento, é baseada em inúmeras investigações e muito próxima das superfícies de estado limite de Roscoe e Hvorslev, conforme já foi destacado na figura 23 Fazendo uma breve análise da figura 26, podendo-se expandir tal raciocínio para as demais, analisando o plano p x q, o ensaio triaxial se dá a partir de uma tensão octaédrica confinante, ponto A, à medida que ocorre um incremento de tensão desviadora, q, a trajetória de tensões caminha em direção a linha dos estados críticos, observa-se que até o ponto B, não há deformações plásticas, haja visto que a trajetória encontra-se dentro da superfície de escoamento, podendo-se validar tal conceito no gráfico q x ε,onde nota-se uma linearidade 57

58 na reta AB A medida que a trajetória de tensões ultrapassa a superfície de escoamento, ocorre a plastificação, e consequentemente um endurecimento, ou seja, a superfície inicial cresce Tal crescimento se dá até o ponto H, já que existe um fator limitante a este movimento que representa o endurecimento do material A partir do trecho HC, a trajetória de tensões caminha para a linha de estados críticos, CSL, de forma que em C, ocorre este encontro, que para o modelo é caracterizado como ruptura, ou seja, no plano q x ε, a curva começa a horizontalizar, ou seja, o material deforma sem incrementos de tensão desviadora Tal fenômeno é denominado por strain hardenning Já no plano e x ε, ocorre uma diminuição no volume do material até atingir o ponto C, onde a partir daí ocorre a ruptura Apesar do mesmo raciocínio, pra amostras pré-adensadas, figuras 27 e 29, o que ocorre é que após tocar a superfície em B, ao invés da superfície de plastificação crescer, caracterizando um endurecimento, a superfície não se move, e o material sofre um amolecimento, ou seja, uma perda de rigidez, denominando-se strain softening, assim, o ponto B é o que a literatura define como estado de pico, e a ruptura ocorre também em C, entretanto para uma taxa de carregamento menor Para este fenômeno, no trecho AB, ao invés do material sofrer uma diminuição no seu volume, como para amostras normalmente adensadas, ocorre um inchaço, e somente, à medida que a trajetória de tensões retorna no trecho BC é que se dá a diminuição, conforme nota-se no plano v x ε, na figura Comportamento mecânico dos RSU e modelos constitutivos Neste segundo bloco serão abordados propriedades e características dos RSU, frente a ensaios de compressão triaxial, seus parâmetros de Engenharia, modelos constitutivos atuais na literatura e a formulação teórica do modelo constitutivo proposto por Machado et al (2002) 821 Aterros Sanitários para RSU 58

59 Toda atividade humana, seja industrial, domiciliar, comercial ou lazer, gera sempre resíduos, que se não forem dispostos adequadamente podem contaminar o solo, as águas e o ar, gerando riscos à saúde pública e ao meio ambiente (Carvalho, 1999) Segundo LEITE (1995), o aterro sanitário é o método de disposição mais difundido em todo o mundo visto que é a solução mais econômica quando comparada com os processos de compostagem e de incineração O aterro sanitário é o principal sistema de destino final dos resíduos sólidos domésticos hoje no Brasil A norma NBR 8419 define aterros sanitários como: Aterro Sanitário é um método de disposição de resíduos sólidos no solo, sem provocar prejuízos ou ameaças à saúde e à segurança, utilizando-se princípios de engenharia, de tal modo, a confinar o lixo no menor volume possível, cobrindo-o com uma camada de terra, ao fim do trabalho de cada dia, ou mais frequentemente, conforme o necessário Dentro do contexto do estudo de RSU e seus parâmetros de Engenharia, ou seja, suas propriedades, vários trabalhos são consolidados e alguns podem ser considerados como principais como podemos destacar JESSBERGER (1992), TCHOBANOGLOUS et al (1993), JESSBERGER et al (1995) e MANASSERO et al (1996) 822 Compressibilidade do RSU A compressibilidade dos RSU é importante na previsão da capacidade de armazenamento das células e avaliação da necessidade de ocupação de novas áreas para a disposição de resíduos A integridade das camadas de cobertura e do sistema de drenagem superficial dos aterros também depende, dentre outros fatores, dos recalques apresentados pelo maciço em decorrência da compressibilidade do RSU (MATEUS, 2008) Os recalques em aterros de RSU ocorrem devido às cargas atuantes (peso próprio dos resíduos e camadas de cobertura, tráfego de veículos e equipamentos sobre o aterro) e, também, devido à decomposição da matéria 59

60 orgânica Durante este processo, ocorre a dissipação das poro-pressões de líquidos e gases e, com a expulsão de água dos resíduos, o nível de lixiviados dentro dos aterros tende a se elevar caso estes líquidos não sejam completamente drenados (JUCÁ et al, 1997; JUCÁ, 2003) Segundo JUCÁ et al (1997), a idade e a composição do aterro são de fundamental importância para a avaliação de seu potencial de recalque, sendo possível afirmar que aterros mais antigos possuem um menor potencial de recalque quando comparados aos aterros mais recentes, porque já o tiveram antes Os recalques sob peso próprio ou sob carregamento são influenciados pelos seguintes fatores (EDIL et al, 1990 apud MANASSERO et al, 1996): peso específico inicial do resíduo ou índice de vazios (estrutura inicial) porcentagem de materiais degradáveis histórico de tensões (pré-tratamento, tipo de compactação, sobrecarga) nível e flutuação dos lixiviados fatores ambientais (umidade, temperatura e gases presentes ou produzidos no aterro) Para RSU novos, o índice de vazios é bastante alto e, como os constituintes são muito diversificados, sendo alguns muito frágeis e deformáveis, a elevada compressibilidade volumétrica é diferente daquela ocorrida em solos, em que os grãos minerais são considerados incompressíveis (MANASSERO et al, 1996) Um dos esquemas clássicos que é adotado até hoje como etapas do mecanismo de compressibilidade dos resíduos sólidos foi apresentado por Grisolia & Napoleoni (1996) Nele, o fenômeno de compressibilidade é discretizado em 5 etapas, conforme mostra a figura abaixo 60

61 Figura 30 Mecanismo de adensamento do Resíduo Sólido Urbano - Grisolia & Napoleoni (1996) Segundo Grisolia & Napoleoni (1996), no estágio I, ocorre o adensamento inicial através de uma grande redução dos macroporos dos vazios presentes No estágio II, ocorre o adensamento primário, processo devido à ocorrência das deformações viscosas e deformação das partículas, fator fundamental que difere da teoria dos solos na qual suas partículas são incompressíveis No estágio III ocorre o adensamento secundário através do fenômeno de creep e, no estágio IV, ocorre o a compressão do solo pela perda de massa sólida advinda da biodegração Observe que este estágio representa uma grande parte do mecanismo de compressibilidade do material Por fim, no estágio V, ocorre o adensamento residual ou fluência, que com base no esquema proposto ocorre num tempo que tende ao infinito 61

62 823 Resistência ao Cisalhamento do RSU e sua particularidade A resistência ao cisalhamento dos RSUs vem ganhando uma ampla discussão nas últimas duas décadas, uma vez que tal propriedade está intrinsecamente associada a estabilidade de aterros e suas possíveis falhas Numerosos dados sobre resistência ao cisalhamento do RSU foram obtidos tanto em ensaios laboratoriais quanto em retro-análises em situações de campo nas últimas duas décadas, (Landva e Clark, 1990, Singh e Murphy, 1990; Jessberger e Kockel, 1993; Kavazanjian et al, 1995; Gabr e Valero, 1995; Grisolia e Napoleoni, 1996; GeoSyntec, 1996; Manassero et al, 1996; Jones et al, 1997; Van Impe e Bouazza, 1998; Machado et al, 2002) Contudo, os valores de resistência ao cisalhamento obtidos variam amplamente, destacando-se as faixas de valores obtidas para o ângulo de atrito interno, de 10º à 53º, e para a coesão, de 0 à 67 kpa (Machado et al, 2002) A variabilidade nos parâmetros de resistência ao cisalhamento deve-se a mudança da composição do RSU, bem como na escolha das amostras representativas e no método de ensaio Outro fator adcional que afeta tal propriedade, é a mudança dos resíduos ao longo do tempo devido a biodegradação de seus componentes orgânicos (Dixon e Jones,2005) A figura (31) a seguir mostra alguns valores encontrados na literatura por diversos autores para coesão e ângulo de atrito, além de apresentar suas variações em idades diferentes e com incrementos de tensão cisalhante 62

63 Figura 31 Resumo de parâmetros de resistência ao cisalhamento encontrados na literatura Fonte Zhan et al (2008) Verifica-se, observando ainda a figura (31), que a medida que há incrementos na tensão de cisalhamento, apesar dos autores obterem valores distintos para os parâmetros, ocorre um acréscimo considerável na coesão e ângulo de atrito, isto é, ocorre um endurecimento, assim como também, à medida que os processos de biodegradação se desenvolvem ao longo do tempo, há uma tendência de redução da coesão e estabilização do ângulo de atrito Segundo Machado et al (2017), Reddy et al (2009), Zhan et al (2008), tal comportamento peculiar de ganho de resistência para elevados valores de deformação, está associado ao efeito do reforço dos materiais fibrosos que compõem o RSU, tais como os plásticos e os têxteis A tabela 1 abaixo foi obtida através de ensaios realizados para vários percentuais de material fibroso e variando também as taxas de deformação É notório que à medida que os percentuais de fibra e a taxa de deformação aumentam, ocorrem um ganho razoável de resistência ao cisalhamento, representado pelo aumento da coesão e ângulo de atrito 63

64 Tabela 1 Evolução dos parâmetros de resistência ao cisalhamento nas deformações axiais para diferentes quantidades de fibras Teste CD Fonte: Machado & FARD (2011) Logo, devido a este ganho, as curvas de tensão-deformação do RSU apresentam uma particularidade que é a concavidade voltada para cima Podese observar os diferentes comportamentos obtidos entre solos e RSU comparando, por exemplo, as curvas tensão-deformação apresentadas no item 815 do presente trabalho Para os solos, à medida em que se aproximam do estado crítico, estas curvas sofrem uma horizontalização, isto é, passar a apresentar valores assintóticos Já para o caso do RSU não se observa uma tendência de aproximação de uma condição de estado crítico, pois à medida que os valores de deformação ultrapassam valores elevados, como por exemplo 20%, ocorre um ganho elevado em sua resistência Isto é ilustrado nas figuras a seguir 64

65 Figura 32 RSU: Resultados típicos de ensaio triaxial CD (a) RSU: Resultados típicos de ensaio triaxial CU (b) Fonte: Machado & FARD (2011) 65

66 Figura 33 Resultados de ensaios CD para RSU Fonte: Carvalho (1999) 66

67 Figura 34 Relações de tensão-deformação obtidas de quatro amostras com idades diferentes entre 63 e 9 anos Fonte Zhan et al (2008) A figura 34 apresenta resultado de ensaios triaxiais típicos, CD e CU, as curvas representam um ensaio realizado numa amostra de 20x40 cm, testadas com o teor de umidade natural (com grau de saturação de aproximadamente 65%) e 67

68 saturada, com pesos específicos de 10, 12 e 14 kn/m³ Logo nota-se que a influência do grau de saturação no material é relativamente pequena Além disto, nota-se claramente que, comparando as curvas para solos, é a presença da concavidade voltada para cima, isto é, a um nível de deformação, entre 15% a 20%, como mostrado nas figuras 32, 33 e 34, o material apresenta um ganho de rigidez, para Machado et al (2002), isto se dá devido a mobilização das fibras que, a uma dada taxa de carga, ocorre este ganho 824 Modelos constitutivos do RSU O quadro (1) apresenta uma síntese dos principais modelos constitutivos propostos na literatura para a reprodução do comportamento mecânico do RSU, com base nas características dos resíduos locais Para composição do quadro a seguir, foi analisado os modelos a partir dos trabalhos apresentados por cada autor e uma síntese das informações podem ser obtidas nos trabalhos de KRASE et al (2011) e ZEIDABADI et al (2016) Levando em consideração os aspectos apresentados no quadro, o modelo constitutivo a ser adotado na implementação numérica é o de Machado et al (2002) Apesar do modelo de Machado et al (2008) incorporar em sua formulação a influência dos processos de biodecomposição e da mudança nas propriedades mecânicas dos materiais fibrosos, seu número de parâmetros totais e empíricos dificulta a implementação numérica, sendo que mesmo possuindo a limitação do fator associado à biodegradabilidade, o modelo Machado et al (2002) é adequado para simulações de curto prazo, onde a influência da perda de massa é menos evidente 68

69 MODELOS CONSTITUTIVOS (Autores/Ano) MCDOUGALL & PYRAH (2001) VANTAGENS Utilizam a teoria de deformação finita e apresentam bons resutlados em simulações 3D KRASE et al (2011) LIMITAÇÕES A compreensão dos mecanismos e parâmetros do modelo não estão totalmente claras e sua fundamentação teórica não está bem explicitada KRASE et al (2011) MACHADO et al (2002) FINNO et al (2007) MACHADO et al (2008) BABU et al (2010) KRASE et al (2011) Reproduz resultados praticamente idênticos aos resultados experimentais e possui um embasamento teórico bem explicitado e justificado, através da Teoria dos Estados Críticos Utilizam a teoria de deformação finita e apresentam bons resutlados em simulações 3D Descrevem bons resultados da deformação volumétrica KRASE et al (2011) Além de possuir o tempo como uma de suas variáveis, considera efeitos de biodegradação, variação volumétrica dos materiais fibrosos e reproduz bem os estágios IV e V ZEIDABADI et al (2016) Reproduz o comportamento ao longo do tempo, bem fundamentado na Teoria dos Estados Críticos O modelo é adaptado de Machado et al (2002), considerando também a função de mobilização da relação pasta/fibra ZEIDABADI et al (2016) Foi implementado numericamente pelo autor e apresentou resultados razoáveis para simulação do maciço Fundamenta bem os critérios de ruptura e escoamento ZEIDABADI et al (2016) O estágio IV e V são reproduzidos de forma indireta alterando a relação pasta/fibra do RSU, e não possui a variável tempo em sua modelagem Utiliza a descrição geotécnica para o comportamento, considerando a imcompressibilidade das partículas KRASE et al (2011) O modelo necessita de 21 variáveis, sendo que destas 8 são correlacionadas à biodegradabilidade e são valores empíricos ZEIDABADI et al (2016) No que concerne o intervalo de escoamento até a ruptura, o modelo não apresenta bons resultados quando o material atinge um estágio de encruamento (concavidade da curva desviadora-def axial para cima) ZEIDABADI et al (2016) Parâmetros de entrada pouco explicitados, reproduz apenas as fases I e II, não consegue reproduzir o efeito creep Despreza o escoamento das fibras no processo de carregamento ZEIDABADI et al (2016) ZEIDABADI et al (2016) Possui poucas variáveis de entrada, e reproduz o comportamento em faixas pequenas de deformação Por está fundamentado no modelo hiperbólico, o modelo apresenta resultados destoantes quando se trata de grandes deformações, além de, devido a faixa de estudo, não conseguir reproduzir o aumento de rigidez Quadro 1 Comparação entre modelos constitutivos (Vantagens e Limitações) - AUTOR 825 Modelo constitutivo proposto por Machado et al (2002) 69

70 Segundo Machado et al (2002), as principais características e hipóteses do modelo constitutivo proposto para o comportamento mecânico dos resíduos sólidos são: Todo o comportamento do RSU é regido pela composição de materiais fibrosos (compostos basicamente de materiais plásticos e têxteis), e uma pasta, composta de qualquer outro material não fibroso (madeira, compostos orgânicos, borracha, vidro, água, líquidos em fase de decomposição, etc), assim o modelo é essencialmente duplo, com cada fase possuindo seu modelo constitutivo particular O comportamento da pasta do RSU é previsto dentro do modelo de estado crítico com a uma lei de fluxo não associado As fibras são modeladas utilizando um modelo elasto-plástico perfeito que obedece ao critério de ruptura de Von-Mises A tensão desviadora, q, que o RSU é submetido é parcialmente suportada pelas fibras e pela pasta Já a tensão octaédrica média, p, é a mesma para a fibra e a pasta A deformação está relacionada a fibra e a pasta A deformação volumétrica do material fibroso pode ser desprezada Em outras palavras, a deformação volumétrica do RSU é adotada como sendo decorrente apenas da pasta Todas as variações do índice de vazios do RSU ocorrem na pasta 7251 Material Fibroso Segundo Machado et al (2002), o material fibroso se comporta conforme um material elástico/perfeitamente plástico, tendo como critério de plastificaçã o critério de Von Mises (máxima tensão octaédrica), de acordo com os parâmetros descritos a seguir O incremento da tensão desviatória na fibra, dq f, é dado por: 70

71 e dq f = 3G f dε sf (51) Onde, e dε sf corresponde ao incremento da deformação cisalhante do material fibroso, G f é o módulo de elasticidade cisalhante do material fibroso e é dado por: G f = E 2(1+v f ) (52) Onde, E é o módulo de Young da fibra e v f é o seu coeficiente de Poisson Sua função de escoamento é dada pelo critério de Von Mises, expressado pela seguinte equação, onde q max é a tensão última de tração na fibra: f f = q f q max = 0 (53) Sendo que a melhor forma de simular o efeito da tensão confinante média na eficiência do reforço das fibras no interior do RSU, o seu módulo de elasticidade é feito dependente da tensão radial, σ r Tal como no caso de solos reforçados, a tensão última de arrancamento das fibras do RSU está associado à tensão de confinamento Para levar este fato em consideração,, o módulo de Young é feito dependente de σ r Na equação (4) σ r corresponde a tensão radial, que é um componente da tensão normal média (p ), como descrito na equação (5) para o caso de simetria axial E u corresponde ao valor de E para um teste nãoconfinado e a f é um parâmetro que reflete a taxa de incremento de E com a tensão radial E = E u + a f σ r (54) p = σ a+2σ r 3 (55) 71

72 Como mencionado anteriormente, assume-se que a deformação volumétrica das fibras pode ser desprezada A deformação elástica cisalhante das fibras é calculada como uma função da deformação elástica cisalhante da pasta, através de uma função de mobilização do material fibroso: dε e sf e = f m dε sp (56) Onde, dε p sf corresponde a incrementos de deformação elástica cisalhante da pasta A função de mobilização das fibras f m é inteiramente descrita por: f m = 2 π tan 1 [( q )²] (57) p E seu valor tende a 1 para valores elevados de η = q A figura (35) a seguir, p apresenta o comportamento típico da função f m, obtido como uma função da tensão de cisalhamento do RSU Figura 35 Relação da função de mobilização e deformação axial Fonte: Machado et al (2002) 72

73 7251 A pasta A pasta é modelada considerando a Mecânica dos Solos dos Estados Críticos (Schofield & Wroth, 1968) O incremento nos valores de q na pasta, dq p, são obtidos através: e dq p = 3G p ε sp (58) Nesta equação, G p corresponde ao módulo de cisalhamento da pasta, que é dado por: G p = 3(1 2v p)p 2(1+v p )κ (59) Onde v p é o coeficiente de Poisson da pasta e κ o índice de recompressão A deformação volumétrica elástica da pasta, dε e vp, é determinada usando: dε e vp = κ dp p (60) Enquanto que a deformação volumétrica plástica da pasta, dε p vp, é dada por: dε vp p = (λ κ) dp 0 p 0 (61) 73

74 Onde λ é o índice de compressão da pasta do RSU e p 0 corresponde a tensão octaédrica hidrostática da superfície de plastificação Uma relação hiperbólica entre o índice de vazios da pasta e a tensão normal média é assumida pela expressão: e p = N pλ 1 (62) Esta equação é utilizada por Balmaceda et al (1992), para solos altamente compressíveis N representa o volume específico da pasta para um valor unitário de tensão A superfície de escoamento ou plastificação adotada é dada por: f p = q p M[p n (p 0 p)] (1 1 +n) n (1 1 +n) = 0 (63) Onde M corresponde a inclinação da linha do estado crítico (CSL), cujo valor é dado por: M = 6sinφ 3 sinφ (64) Onde ϕ é o ângulo de atrito interno da pasta na condição de estado crítico Observa-se que, a superfície de escoamento do Cam-Clay Modificado pode ser obtida fazendo-se n = 1 Uma lei de fluxo não-associada foi adotada para a pasta do lixo: 74

75 dεe vp dε sp e = ( 1 ) 1+n M[pn (p 0 p)] ( 1 1 +n) 1 [p n 1 n(p 0 p) p n ] {1 + sin[ π ( p ) β ] 2n} 1 2ψ β p 0 (65) 7251 Modelagem do comportamento do RSU (pasta + fibra) As variações nos valores da tensão desviadora em relação a totalidade da amostra do RSU, dq, será o resultado (soma ponderada) da alteração individual dos valores de q que atuam tanto na pasta quanto nas fibras As equações seguintes respaldam matematicamente esta afirmação Na equação a seguir, V p é a razão entre o volume da pasta e o volume total e V f é análogo a V p, considerando agora o volume do material fibroso: dq = dq p V p + dq f V f (66) dq = 3V p G p dε e sp e + 3V f f m G f dε sp (67) O valor de V f pode ser obtido usando: γ V f = P d γ f = P s γ f (68) sf υγ sf Onde P f é a razão entre o peso seco das fibras e o peso seco do RSU, γ sf representa o peso específico médio dos componentes da fibra e γ d o peso específico seco do RSU γ s = peso específico seco das partículas do RSU, e υ = seu volume específico (υ = 1 + e), sendo e o índice de vazios do RSU É importante notar que V f irá mudar em função da deformação volumétrica 75

76 aparente do RSU, V f vai aumentando durante a compressão, já que as fibras são supostas não apresentar deformações volumétricas O índice de vazios (e) do RSU e o índice de vazios (e p ) da pasta são relacionados através de: e = ( P p γsp ) [( P p γsp )+( P f γ sf )] e p = V e e p (69) P p é análogo a P f,considerando agora a pasta γ sp é análogo a γ sf (note também que P p + P f = 1) V e corresponde a relação de índice de vazios do RSU e do índice de vazios da pasta A deformação volumétrica total é calculada usando: dε v = V e ( 1+e p 1+V e e p ) dε vp (70) Enquanto que a deformação cisalhante é calculada usando: dε s = dε sp V p + dε sf V f (71) A seguir serão apresentados os resultados obtidos por Machado et al (2002) através da simulação do comportamento do RSU em comparação com resultados experimentais obtidos por Carvalho (1999) 76

77 Figura 36 Resultados experimentais e preditos para curva de ensaios de compressão triaxial para tensão confinante de 100kPa Fonte: Machado et al (2002) Como pode-se notar o modelo apresenta resultados satisfatórios na previsão do comportamento mecânico do RSU, da mesma forma que, analisando os resultados, o modelo é capaz de reproduzir o decréscimo de deformações volumétricas a medida que as tensões confinantes são incrementadas Além disto, para valores de tensão confinante elevados, ocorre uma super-estimativa dos valores das deformações volumétricas quando comparados com os resultados experimentais 77

78 Outro fator de fundamental importância para o modelo é P f A figura (37) a seguir mostra o ganho de resistência do material devido o incremento deste parâmetro, conforme discutido na sessão 823 do presente trabalho Figura 37 Resposta do modelo para variação do parâmetro P f Fonte: Machado et al (2002) 78

79 83 Implementação Numérica - Método dos Elementos Finitos (MEF) A solução de problemas em ciência em engenharia passa por diversas etapas de simplificação Entre elas está a proposição do modelo matemático aproximado, utilizando-se equações diferenciais, a escolha do método de solução destas equações diferenciais e a simplificação numérica através da discretização do problema (ALVES, 2006) Os métodos numéricos surgem da necessidade de solução de equações diferenciais que possuem um grande número de variáveis, possuindo assim, uma certa complexidade para solução analítica, isto é, o método numérico realiza aproximações simplificadas para os problemas representados por este tipo de equações Todos os métodos computacionais partem do princípio de discretização do problema para que sejam solucionadas partes menores do todo e a partir daí se construa a solução numérica de todo o domínio Segundo, BIEZUNER (2006), A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos acima descritos, ou seja, particiona-se o domínio - o sistema - em componentes cujas soluções são mais simples e, depois, unem-se as soluções parciais para obter a solução do problema Em alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só pode ser definido fazendo-se uso da definição matemática de infinitésimo Isto conduz a equações diferenciais, ou expressões equivalentes, com um número infinito de elementos Algumas contribuições de vários pesquisadores foram importantes para fundamentação do método de elementos finitos Seu nome, MEF, foi adotado em 1960 por Clough e, no ano de 1963 o método já possuia uma vasta aplicação em todos os setores da Engenharia, que segundo BIEZUNER (2006) totalizavam um pouco mais de sete mil trabalhos Deste período para cá o método ainda consiste com a mesma formulação, baseando-se na montagem de matrizes de rigidez para cada elemento e solução dos deslocamentos, posteriormente, tensões-deformações ou outros fenômenos correlacionados O método monta todas as matrizes de rigidez dos elementos para construir o todo, assim, existe a iteração entre os fenômenos ocorridos em cada elemento O método modela problemas da mecânica do contínuo com análises elásticas, estado de tensões e deformações planas, análise axissimétrica de tensões, 79

80 análise tridimensional de tensões, elementos curvos como cascas, flexão em placas e cascas, tanto para problemas no plano quanto para o espaço, análises não-lineares, assim como plastificação, problemas ainda associados a ações dinâmicas, fluxo de fluidos viscosos, dentre outros Devido a vasta capacidade do método, e da sua vasta bibliografia, neste capítulo, serão abordadas, de forma sucinta, somente as análises associadas ao problema de pesquisa do presente trabalho, sendo assim, âmbito do contínuo com análise não-linear elástica, axissimétrica, e trecho plástico Para um problema do contínuo o método adota os seguintes parâmetros: O contínuo é separado por linhas imaginárias ou superfícies em um número finito de elementos; Os elementos são conectados por um número discreto de nós situados no contorno destes Os deslocamentos destes nós são basicamente os parâmetros a serem determinados na solução do problema; Um conjunto de funções é escolhido para definir o estado de deslocamento em cada elemento finito em termo dos deslocamentos nodais; As funções dos deslocamentos definem o estado de deformação, logo, seus resultados estão associados às relações constitutivas do material, e consequentemente, o estado de tensões é também definido em cada elemento; Um sistema de forças concentradas nos nós, o equilíbrio das tensões no contorno dos elementos e cargas distribuídas resultam numa relação entre rigidez do material e solicitações que o mesmo sofre A função de deslocamentos em um elemento finito típico é definida por nós i, j, m, etc, e linhas limite Pode-se adotar uma função qualquer de deslocamentos como u em um ponto de um elemento, sendo possível a aproximação desta função para um vetor coluna u : a i a j u u = N i a e i = [N i, N j, ] { } e = Na e (XX) 80

81 Como visto na figura XX a seguir, onde a componente de N é função prescrita da posição e a e representa uma lista de deslocamentos nodais para cada elemento Para um problema plano, u(x, y) u = { v(x, y) } (XX) Onde representam movimentos horizontais e verticais de um ponto típico no elemento, e a i = { u i v i } (XX) Corresponde os deslocamentos do nó i COLOCAR IMAGEM XX As funções N i, N j, N m são chamadas função de forma A partir dos deslocamentos conhecidos em todos os nós, o estado de deformação pode ser determinado Portanto, a matriz de deformações é dada conforme expressão abaixo: ε = Lu (XX) Onde L é um operador linear adequado, a matriz de deformação também pode ser reescrita como: ε = Ba (XX) 81

82 Onde, B = LN (XX) Para o caso plano de deformações planas, a matriz de deformações pode ser definida por: ε x ε = { ε y } = γ xy { u x v y u + v y x} = [ x, 0 0, y y, x] { u v } (XX) Conhecida a matriz de deformações, para uma condição elástica, a matriz de deformações é definida por: σ = D(ε ε 0 ) + σ 0 (XX) Sendo D a matriz que contém as propriedades do material, assim como para as deformações, para um caso plano a matriz de tensão pode ser definida como: σ x σ = { σ y } τ xy (XX) Utilizando a expressão para deformação pode-se reescrever D como sendo: 1 ν 0 D = E [ ν 1 0 ] (XX) 1 ν² 0 0 (1 ν) 2 82

83 Partindo-se do princípio dos trabalhos virtuais, PTV, o trabalho realizado pelas forças equivalentes nos nós é igual ao somatório dos produtos das componentes individuais de forças e deslocamentos respectivos, em linguagem matricial, δa et q e (XX) Onde, q e é a foça equivalente no nó; δa et é o deslocamento correspondente De forma análoga, ainda baseado no PTV, o trabalho interno, por unidade de volume, realizado é dado pelas tensões e forças distribuídas no elemento, dada por: δε T σ δu T b (XX) Ou, δa T (B T σ N T b) (XX) Assumindo que o somatório do trabalho externo é igual a soma do trabalho interno, temos que: δa et q e = δa et [ B T σd(vol) V e N T bd(vol) ] (XX) V e 83

84 Assim, a relação entre carregamento nodal para um valor de deslocamento virtual implica em: q e = [ B T σd(vol) V e N T bd(vol) ] (XX) V e Tal regra é válida para a formulação linear e pode ser simplificada para: q e = K e a e + f e (XX) Sendo, K e = B T DBd(vol) (XX) V e f e = N T bd(vol) B T Dε 0 (vol) + B T σ V e 0 d(vol) (XX) V e V e De modo que o termo K e é denominada para o método como matriz de rigidez Como citado no início desta seção, neste momento, serão abordados, de forma sucinta, as relações para análise axissimétrica Para a função de deslocamentos tem-se que: N i = (a i + b i r + c i z)/2δ (XX) a i = r j z m r m z j b i = z j z m = z jm c i = r m r j = r mj (XX) 84

85 Sendo, r e z raio e altura do modelo a ser analisado, e Δ a área do elemento triangular A matriz de deformações é dada por: ε z ε r ε = { ε θ } = γ rz { v z u r u r u + v z r} = Lu (XX) Para as tensões implica que: σ z σ r σ = { σ θ } = D(ε ε 0 ) + σ 0 τ rz (XX) Para a matriz das propriedades elásticas D temos que: D = E(1 υ) (1+υ)(1 2υ) [ υ (1 υ) 1 υ (1 υ) 0 υ (1 υ) υ (1 υ) υ 2(1 υ) ] (XX) E para a matriz de rigidez temos: K ij e = 2π B i T DB j r V e drdz (XX) 85

86 Tal análise é bastante utilizada para modelagem de ensaios triaxiais, uma vez que a amostra possui um raio definido e aproximadamente constante A figura XX a seguir, mostra de forma didática o comportamento de um material em fase de plastificação Onde em (a) tem-se um comportamento não-linear elástico e plástico, em (b) elástico perfeitamente plástico e (c) plástico com endurecimento Os solos possuem um comportamento similar aos materiais apresentados em (c), conforme a teoria dos estados críticos apresentadas anteriormente neste capítulo Para a teoria da elastoplasticidade, como já foi discutido, é necessário a presença de três elementos: uma superfície de plastificação, uma lei de endurecimento e uma lei de fluxo Assim, para o método dos elementos finitos, o que muda quando passamos de uma análise elástica para análise plástica é a matriz de rigidez do material, de modo que, esta nova matriz é definida como: D ep = D [1 { Q σ }{ F σ }T D ] H+{ F σ }T D{ Q σ } (XX) Sendo, D ep é a matriz de rigidez elástoplástica; D a matriz de rigidez elástica; { Q } a derivada da função de potencial plástico em relação ao tensor de tensões; σ { F } a derivada da função de plastificação em relação ao tensor de tensões; σ H é o termo que promove o endurecimento do material, é uma matriz que relaciona variações no parâmetro de encruamento com incrementos de deformações plásticas Sendo que para o caso de um material elástico perfeitamente plástico, o termo H é nulo Como serão discutidas as leis de fundamentação do problema a ser modelado, estes termos serão desenvolvidos nas próximas seções, assim como 86

87 a implicação da lei de fluxo adotada para o material, o que traz algumas implicações nesta definição de D ep Assim como para a formulação elástica, após determinação de D ep os incrementos de tensão e deformação são relacionados por: σ = D ep ε (XX) Do ponto de vista do tipo de elemento, será adotado o método de elementos isoparamétrico, uma vez que tal mecanismo possibilita que as tensõesdeformações sejam suavizadas em cada elemento, dando uma melhor aproximação e homogeinização do problema Tal fato se dá pela ordem dos polinômios de deslocamento, que é a forma como a solução do problema é obtida, serem superiores aos das equações lineares Toda a definição abordada nesta seção está baseada em Zienkiewicz, 1977 Baseando-se no método de escolha, o MEF, o algoritmo que será utilizado na modelagem é o CRISP (Critical State Program), desenvolvido na Universidade de Cambridge por A M Britto e M J Gunn, com sua primeira versão publicada em 1975 Segundo, BRUGGER (1990), este algoritmo possui formulação para resolução de problemas governados pelas seguintes teorias: Comportamento Elástico Linear; Comportamento Elástico Linear com variação linear do módulo de elasticidade com a profundidade; Cam-Clay; Cam-Clay modificado 831 CRISP (Critical State Program) Segundo POTTS & ZDRAVKOVIC (1999), quando se analisa um problema de valor de contorno quatro requisitos de solução básicos são necessários para 87

88 serem satisfeitos: equilíbrio, compatibilidade, comportamento constitutivo e condições de contorno A não linearidade introduzida pelo comportamento constitutivo implica que as equações governantes em elementos finitos sejam reduzidas para a seguinte forma incremental: [KG]i {Δd}i ={ΔR}i (72) Onde [KG]i é a matriz de rigidez incremental global do sistema, {Δd}i é o vetor de deslocamentos nodais incremental, {ΔR}i é o vetor de forças nodais incremental, e i é o número do incremento Para obter a solução para o problema de valor de contorno, a mudança na condição de contorno é aplicada em uma série de incrementos e para cada incremento a equação (72) deve ser resolvida A solução final é obtida pelo somatório de cada incremento Devido ao comportamento constitutivo não linear, a matriz de rigidez incremental global do sistema [KG]i é dependente do estado de tensão e deformação corrente e, portanto não é constante, mas varia de um incremento para outro A menos que um grande número de pequenos incrementos seja usado esta variação deve ser contabilizada Consequentemente, a solução da equação (72) não é direta e diferentes estratégias de solução existem O objetivo de todas as estratégias é a solução da equação que rege o problema, garantindo a satisfação dos quatro requisitos listados anteriormente O método da rigidez tangente, por vezes chamado de método da rigidez variável é a estratégia de solução mais simples Este método é implementado no programa CRISP de BRITTO & GUNN (1987), que é largamente utilizada na prática da engenharia (POTTS & ZDRAVKOVIC, 1999) Nesta abordagem, a matriz de rigidez incremental na equação (72) é assumida constante dentro de cada incremento e é calculada utilizando o estado de tensão 88

89 corrente no início de cada incremento Isto é equivalente a fazer uma aproximação linear por partes para o comportamento constitutivo não linear (POTTS & ZDRAVKOVIC, 1999) O programa CRISP descrito em BRITTO & GUNN (1987) permite análises não drenadas, drenadas ou análises de consolidação acopladas As análises podem ser em estado plano de deformação, axissimétricas ou tridimensionais Os modelos constitutivos podem ser elásticos anisotrópicos, elásticos não homogêneos ou de estados críticos (Cam-clay, Cam-clay modificado) Os elementos finitos implementados na versão padrão são o triângulo de deformação linear e o triângulo de deformação cúbica O programa possui facilidade de representação de sequências de construção geotécnica de aterro ou escavação Para o presente trabalho, as rotinas a serem analisadas, são correlacionadas ao modelo Cam-Clay Modificado, assim para estas rotinas, o CRISP realiza uma análise matricial e não-linear para determinação dos incrementos de tensão-deformação, conforme serão discutidas na próxima seção 832 Relação incremental de tensão-deformação para o CRISP Segundo Britto & Gunn, 1987, a análise não-linear em elementos finitos utilizando modelos elastoplásticos para o comportamento em solos, é realizado através da determinação da matriz de rigidez elástoplástica, D ep, a qual relaciona incrementos de deformação com incrementos de tensão, conforme a expressão abaixo: σ = D ep ε (73) 89

90 Partindo das funções de superfície de escoamento, f(σ, h) = 0, e de potencial plástico, g(σ, h) = 0, Zienkiewicz, 1977, define D ep, como sendo: D ep = [1 D Eαα T α T D E α c T Hα ] D E (74) Onde para o caso de uma lei de fluxo associada, α = f {σ } = g {σ } (75) c = f h (76) Onde, H é a matriz que relaciona variações no parâmetro de encruamento com incrementos de deformações plásticas, dh = Hdε P ; D E é a matriz de rigidez elástica A seguir serão apresentados os termos descritos acima para a formulação do CRISP, conforme discorre Naylor, Desenvolvimento dos termos da matriz elastoplástica para Cam Clay Modificado 90

91 Seja a função de superfície de escoamento do Cam Clay Modificado, conforme expressão descrita anteriormente: f = q² M 2 [p (P 0 p)] = 0 (77) Adotando as relações, p = p P c (78) q = q MP c (79) P 0 = 2P c (80) A função da superfície pode ser reescrita por: f = q 2 p (2 p ) = 0 (81) O parâmetro P c, além de ser o local onde ocorre o encontro da CSL com a superfície de plastificação, conforme discutido nas seções anteriores, é também uma medida do tamanho da superfície e está relacionada com o parâmetro h 1 A relação entre P c e h 1 está associada a mudanças da variação volumétrica quando ocorre movimentação na superfície de plastificação, e é dada por COLOCAR FIGURA AQUI 91

92 h 1 (1 + e 0 ) = (λ κ) ln P c P c0 (82) Onde χ = (λ κ) e é uma constante empírica (1+e 0 ) Como por definido por Zienkiewicz, 1977, os termos α e c são obtidos através das derivadas da função de plastificação, pode-se obter para o Cam-Clay modificado: α = f = f {σ } p p + f q {σ } q {σ } (83) f = f p = 2(1 p ) 1 (841) p p p P c f p = 2 P c (1 p ) (85) f = f q q q q = 2q 1 MP c (86) f = 2q (87) q MP c De forma análoga, 92

93 f = f p + f q h 1 p h 1 q h 1 (88) Utilizando eq10 e substituindo o termo P c pelas expressões em eq6 e eq7, obtém-se: p = p P c (89) h 1 P c h 1 q = q P c (90) h 1 P c h 1 Sendo, P c = P c h 1 χ (91) Termo este obtido a partir de eq10 Portanto, eq17 pode ser rescrita como: f = [ 2(1 p )] [ p P c ] + [2q ] [ q h 1 P c h 1 P c P c h 1 ] (92) f = 2 [p (1 p ) q ²] (93) h 1 χ Reintroduzindo eq9, 93

94 f = 2 p (94) h 1 χ Para definição de α, além da derivada da superfície de plastificação, é necessário obter também as derivadas de p e q em relação aos componentes de tensão, descritas em Zienkiewicz & Naylor, 1971, reproduzidas abaixo p {σ } = 1 3 {δ k} (95) q = 3 {S} (96) {σ } 2q Em que, {δ k } = [1, 1, 1, 0, 0, 0] T, definido como delta de Kronecker, utilizado em representações de tensores; {S} = [σ x p, σ y p, σ z p, 2τ xy, 2τ yz, 2τ zx ] T, obtido por diferenciação do termo de tensão desviadora Portanto α é um vetor coluna chamado {a f }, e que, devido ao fato da lei de fluxo ser associada, α = {a f } = {a q }, de forma que substituindo os termos eq14, eq16, eq24 e eq25, tem-se: {a f } = 2 (1 p ){δ 3P k } + 3 {S} (97) c M²P c ² 94

95 De modo que aplicando as definições de {δ k } e {S}, pode-se escrever {a f } em sua forma matricial {a f } = 2 3P c (1 p ) (1) + 3 M 2 P c ² (σ x p) 2 3P c (1 p ) (1) + 3 M 2 P c ² (σ y p) 2 3P c (1 p ) (1) + 3 M 2 P c ² (σ z p) (2τ M 2 P c ² xy) 3 (2τ M 2 P c ² yz) 3 [ 0 + (2τ M 2 P c ² zx) ] (98) Por outro lado, Naylor, 1975, define a expressão c T Hα, componente da matriz de rigidez elastoplástica, como sendo A, descrito abaixo A = c T Hα = { f h 1 g p } (99) Substituindo eq23 e eq14, temos: A = [ 2 χ p ] [ 2 (1 p )] = 4 p (1 p ) P c χ P c A = 4 χ p P c (1 p ) (100) 95

96 O termo eq14 só foi substituído em g devido a lei de fluxo associada, caso não p seja, não é possível Já a matriz elástica, D E, é obtida em função do módulo de elasticidade transversal, G, e do módulo volumétrico, K, ou módulo de Bulk D E = [ (3K+4G)(3K 2G)(3K 2G) (3K 2G)(3K+4G)(3K 2G) (3K 2G) (3K 2G)(3K+4G) G ] (101) Sendo, K = (1+e)p κ (102) G = 1,5K (1 2ν) (1+ν) (103) A próxima seção irá mostrar a implementação dos termos analíticos, apresentados até o presente momento, na subrotina DMCAM do código CRISP 834 Matriz de rigidez elastoplástica no CRISP 96

97 O primeiro bloco da subrotina DMCAM determina os componentes de tensão, os parâmetros do modelo: p, q e P 0 através dos comandos: KM=MAT(I) SX=VARINT(1,IP,I) SY=VARINT(2,IP,I) SZ=VARINT(3,IP,I) TXY=VARINT(4,IP,I) E=VARINT(NS+2,IP,I) PC=ABS(VARINT(NS+3,IP,I)) P=(SX+SY+SZ)/3 Q2=SX*(SX-SY)+SY*(SY-SZ)+SZ*(SZ-SX)+3*TXY*TXY IF(NDIMEQ2)GOTO 10 TYZ=VARINT(5,IP,I) TZX=VARINT(6,IP,I) Q2=Q2+3*TYZ*TYZ+3*TZX*TZX 10 Q=SQRT(Q2) A variável KM, é função do tipo de material, MAT(I), como o CRISP aceita até 10 materiais distintos, o índice I da função MAT define qual o índice do material na análise corrente As variáveis SX, SY, SZ, TXY, TYZ e TZX são respectivamente σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz e τ zx As variáveis E, PC, P e Q são respectivamente módulo de elasticidade longitudinal, P 0, p: tensão octaédrica e q: tensão desviadora Ainda no primeiro bloco, a subrotina determina o K, modulo volumétrico, e o P 0, do passo atual chamando a variável PY, tal expressão vem da equação da superfície de plastificação apresentada em eq5 Conforme apresentado abaixo PY=P+Q*Q/(P*PR(4,KM)*PR(4,KM)) BK=(1+E)*P/PR(1,KM) No segundo bloco da subrotina, é determinada a matriz de rigidez elástica, D E, além de verificar o critério de plastificação comparando o P 0 calculado no passo atual de carregamento com o P 0 anterior 97

98 G=PR(5,KM) IF(GLT1) G=BK*15*(1 2*PR(5,KM))/(1+PR(5,KM)) AL=(3*BK+4*G)/3 DL=(3*BK-2*G)/3 CALL ZEROR2(D,NS,NS) D(1,1)=AL D(2,1)=DL D(3,1)=DL D(1,2)=DL D(2,2)=AL D(3,2)=DL D(1,3)=DL D(2,3)=DL D(3,3)=AL D(4,4)=G IF(NDIMEQ2)GOTO 12 D(5,5)=G D(6,6)=G 12 IF(PYLT099*PC) GO TO 50 O comando em 12 controla o crescimento ou não da superfície de plastificação, ou seja, a medida que p 0 calculado é menor que o p 0 inicial, a superfície não se move, e consequentemente, as deformações são somente elásticas, por outro lado, se este valor superar o p 0 inicial, ocorrerão deformações plásticas No terceiro e último bloco da subrotina, é determinado a matriz elastoplástica, D ep, a partir do incremento do P 0 Primeiro é calculado P c e p, depois o vetor {S} VARINT(NS+3,IP,I)=-ABS(VARINT(NS+3,IP,I)) PCS=5*PC PB=P/PCS S(1)=SX-P S(2)=SY-P S(3)=SZ-P S(4)=2*TXY IF(NDIMEQ2)GOTO 16 S(5)=2*TYZ S(6)=2*TZX Sendo PCS e PB, P c e p respectivamente Após isto, é calculado a matriz {a f }, conforme eq27 98

99 16 BB=-2*(1-PB)/(3*PCS) C=3/(PCS*PCS*PR(4,KM)*PR(4,KM)) A(1)=BB+C*S(1) A(2)=BB+C*S(2) A(3)=BB+C*S(3) A(4)=C*S(4) IF(NDIMEQ2)GOTO 18 A(5)=C*S(5) A(6)=C*S(6) Depois de montar a matriz {a f }, é determinado o primeiro termo da matriz D ep, D E αα T, conforme explicitado abaixo: 18 DO 20 J=1,3 B(J)=0 DO 20 JJ=1,3 20 B(J)=B(J)+D(J,JJ)*A(JJ) B(4)=D(4,4)*A(4) IF(NDIMEQ2)GOTO 25 B(5)=D(5,5)*A(5) B(6)=D(6,6)*A(6) Na sequência é determinado o parâmetro A, conforme eq29 25 XI=(PR(2,KM)-PR(1,KM))/(1+E) AA=-4*PB*(1-PB)/(PCS*XI) AB=0 Após isto são somados os termos presentes no denominador da matriz de rigidez elástoplástica: α T D E α c T Hα DO 30 J=1,NS 30 AB=AB+A(J)*B(J) BETA=AA+AB DO 40 J=1,NS DO 40 JJ=1,NS E por fim, monta-se a eq2 para determinação de D ep C 40 D(JJ,J)=D(JJ,J)-B(JJ)*B(J)/BETA 50 IF(IETEQ0) GOTO 80 DO 60 J=1,3 DO 60 JJ=1,3 60 D(JJ,J)=D(JJ,J)+PR(7,KM)*BK 80 CONTINUE 99

100 RETURN END Sendo que o comando descrito em 60 é aplicável para a análise não-drenada 9 Metodologia Para alcançar os objetivos estabelecidos neste projeto de pesquisa, é necessária a sistematização do trabalho a ser realizado, que contemplará as etapas de revisão bibliográfica e bibliometria, sendo que esta será realizada utilizando a base de dados do SCOPUS, baseando-se em palavras chave, estudo do código numérico do aplicativo CRISP, implementação no código numérico do CRISP do modelo proposto por Machado et al (2002), análise dos resultados, comparação dos resultados previstos pelo CRISP com modelo implementado em planilha, simulação de resultados de ensaios de laboratório, simulação expedita de resultados de campo, recomendações e conclusões, não sendo as mesmas executadas necessariamente, nesta ordem, podendo inclusive, serem realizadas de forma simultânea A seguir é demonstrado um fluxograma da metodologia adotada, assim como a discussão de cada etapa pertencente ao quadro 100

101 Figura 38 Fluxograma da Metodologia de pesquisa Fonte Autor 91 Revisão Bibliográfica Inicialmente será realizada uma revisão bibliográfica com o uso de pesquisas em diversas fontes de informações nacionais e internacionais, tais como: artigos técnicos, relatórios, livros, monografias, dissertações, teses e consultas à especialistas da área, como já discorrido no capítulo anterior, compreendendo bibliografia e bibliometria Além do material descrito no capítulo anterior, também foi realizada uma revisão das ferramentas necessárias para implementação, 101

102 como linguagem de programação em FORTRAN 90, desenvolvimento de planilhas em excel e utilização do GiD como pós processador Após tais levantamentos e estudo do Cam Clay Modificado, se deu início às primeiras simulações 92 Simulação do Cam Clay modificado em planilha Nesta etapa do projeto foi desenvolvido planilha em EXCEL para reprodução das curvas tensão-deformação, deformação volumétrica e axial e o espaço p x q x v para solos, na condição drenada Após desenvolvimento, seus resultados foram validados através de comparação dos resultados de ensaios triaxiais existentes Partindo-se, portanto para o estudo e implementação do modelo em planilha 93 Simulação do modelo de Machado et al (2002) em planilha Para simulação do modelo foi fornecida planilha pelo orientador para melhor entendimento e análise do modelo, de forma que, como discutido no capítulo anterior, seção 825, que a superfície de plastificação do modelo é obtida através de uma adaptação da superfície do Cam Clay Modificado, e que, consequentemente, para a condição de n=1, ela retorna a formulação original Assim, nesta planilha foi criada a condição para n=1 e n=2, sendo simulada respectivamente, Cam Clay Modificado e Machado et al (2002) 94 Estudo do Fluxograma do CRISP Para esta etapa foi estudada a hierarquia e fluxograma de todas as rotinas do programa CRISP a fim de identificar as etapas do algoritmo, sendo que para solução de problemas o CRISP é dividido em três grupos: montagem da 102

103 geometria, análise e resolução A seguir é mostrado um fluxograma geral do algoritmo Figura 39 Hierarquia CRISP Fonte: Britto & Gunn (1987) Como o CRISP é um programa criado e pensado para ser acrescentado novos modelos elastoplásticos, poder-se-ia introduzir este novo modelo sem alterar as rotinas existentes, entretanto, como método de pesquisa para o presente trabalho, foi alterar a rotina existente, haja visto que neste caso, é necessário a mudança da subrotina DMCAM, e caso contrário, seria necessário introduzir novas sub-rotinas Entretanto, após simulações e análises de resultados para o modelo, percebeuse que no arquivo de saída, o valor de P0 plotado era equivalente ao Cam Clay 103

104 Modificado, assim, foi realizada uma investigação minuciosa em todas as rotinas a fim de identificar onde o algoritmo utilizava o P0, logo as rotinas XXXXX também foram adaptadas para a determinação de P0 do modelo 95 Simulação de ensaio triaxial em amostras de solos Para esta etapa foi criado um arquivo de entrada txt, nomeado como CRISPDAT, conforme ANEXO A Analisando algumas informações do anexo referido, para modelagem do ensaio triaxial, a amostra adotada foi de 10x20 cm, sendo utilizada uma malha com 54 nós de aresta e 80 elementos finitos tipo LST (Linear Strain Triangle), com uma tensão confinante de 100 kpa e P0 = 100 kpa, reproduzindo a trajetória de tensões que constava em planilha, 1:3, a fim de comparar os resultados posteriormente, foram incrementados 5 blocos de tensão desviadora, sendo 18 kpa a cada bloco, totalizando 90 kpa, o tipo de ensaio foi CD, a análise do tipo axissimétrica e os parâmetros do material conforme Tabela 2 à seguir Tabela 2 Parâmetros de entrada para simulação do triaxial Fonte: Autor - 1 M Lembrando, que tanto o tamanho da amostra, quanto os parâmetros característicos do material foram adotados do RSU, para que a análise no comportamento das curvas não sofresse interferência, e uma comparação pudesse ser realizada A figura XX abaixo apresenta a malha do problema simulado 104

105 Figura 40 Malha simulada 10cm x 20 cm Fonte: Autor 96 Validação dos resultados obtidos no CRISP no ensaio triaxial em amostras de solos Para a validação, foi utilizado o arquivo de saída em txt E o GiD como pós processador, assim, foram plotados resultados das curvas de tensão vs deformação, em termos de q x ε a, deformação volumétrica vs deformação axial, em termos de ε v x ε a, e o plano p x q para trajetória de tensões, assim como seus respectivos valores de P0 105