Sistemas Lineares Matemática - 2º ano - 4º bimestre

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1 FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ COLÉGIO: CIEP DR. ULYSSES GUIMARÃES PROFESSOR: Maiqui B. Lacerda MATRÍCULA: 00/ SÉRIE: º ano TUTOR (A): Susi Cristine Britto Ferreira Sistemas Lineares Matemática - º ano - º bimestre Maiqui B. Lacerda makedoran@msn.com Outubro 0

2 Sumário Introdução... Desenvolvimento... Sistemas Lineares... ATIVIDADE... Representação Gráfica (Sistema )... 6 ATIVIDADE... 6 Eercícios propostos I:... 7 Pelo método de Cramer (Sistema )... 8 Eercícios propostos II:... 8 Representação Gráfica (Sistema )... 0 Pelo método de Cramer (Sistema )... Eercícios propostos III:... 6 Avaliação... 0 Bibliografia:...

3 Introdução Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis. Em matemática, a teoria de sistemas lineares é um ramo da álgebra linear, uma matéria que é fundamental para a matemática moderna. Algoritmos computacionais para achar soluções são uma parte importante da álgebra linear numérica, e tais métodos têm uma grande importância na engenharia, física, química, ciência da computação e economia. Um sistema de equações não lineares frequentemente pode ser aproimado para um sistema linear, uma técnica útil quando se está faendo um modelo matemático ou simulação computadoriada de sistemas compleos..

4 Desenvolvimento Habilidade relacionada: Sistema de Equação Linear Pré-requisitos: Equação do º grau, representação gráfica de uma equação do º grau com duas incógnitas. Tempo de Duração: 00 minutos Recursos Educacionais Utiliados: Projetor, internet, Geogebra, Folha de atividades, lápis, borracha, lápis de cor ou caneta. Organiação da turma: Turma disposta em pequenos grupos ( ou alunos), propiciando trabalho organiado e cooperativo Objetivos: Introduir métodos de resolução das equações lineares. Metodologia adotada: Trabalhar vários métodos de resolver os sistemas lineares, as possíveis situações de suas soluções. Para este trabalho, usar situações problemas.

5 Sistemas Lineares ATIVIDADE. Observe os desenhos a seguir e responda o que se pede. a) Invente um problema para a situação representada abaio b) Escreva um sistema para a situação. Lembre-se de indicar a letra que usou para a pia e para o refrigerante.. Considere o seguinte sistema linear O que você faria para eliminar uma das incógnitas do sistema usando o método da adição? Uma possibilidade é multiplicar a primeira equação por e a segunda equação por e somar as duas para eliminar os termos em. Uma outra possibilidade é multiplicar a primeira equação por e a segunda equação por e somar as duas para eliminar os termos em.

6 . William tentou resolver o sistema. Ele substituiu por 0 na segunda equação e fe 0 =, encontrando = -. Substituindo = na primeira equação encontrou = 0. Mas a resposta não satisfa o sistema. O que William fe de errado?. Usando tentativa e erro, Marcos encontrou a solução do sistema como sendo = e =. Você concorda? Eplique sua resposta.. Voltando ao eercício : a) resolva o sistema, b) Você também pode tentar visualiar as soluções para esse sistema graficamente. No mesmo eio cartesiano trace o gráfico das duas retas que representam o sistema e encontre a solução para o problema. Use papel quadriculado ou milimetrado. Com o Roteiro de Ação, relembrar os métodos de resolução do Sistemas de Equações Lineares. Preferi iniciar com eercício do Roteiro para começar a criar um sistema linear de forma lúdica, demos trabalhar os métodos e voltando a esta atividade para resolução.

7 Representação Gráfica (Sistema ) ATIVIDADE Associe cada sistema com seu o gráfico correspondente e justificando sua resposta depois de resolvê-los: 6

8 7 Eercícios propostos I:. Esboce o gráfico dos sistemas abaio, determinando se o sistema tem solução possível, impossível ou infinita: a) b) 6 6 c) 8 d) 9 Com o Roteiro de Ação, trabalhar com gráfico como prova de soluções das equações. E eercícios proposto para fiar o conteúdo.

9 Pelo método de Cramer (Sistema ) Pelo método de Cramer: Di Consiste em calcular o valor de cada variável i através de i, onde D det A D (determinante principal ) e Di é o determinante da matri obtida quando em A a i-ésima coluna é substituída por B. Classificação de sistema linear: Pelo método de Cramer. D 0 O sistema é compatível determinado. D 0 e D 0 para todo i sistema compatível indeterminado. i D 0 e pelo menos um D 0 sistema incompatível i Eemplo: Eercícios propostos II:. Refaça os eercícios anteriores usando o método de Cramer:. Use a Regra de Cramer para resolver cada sistema a seguir: 8

10 a) c) b) d) Mostra como trabalhar com o método de Cramer, lembrando eles que eles terão a opção na hora da avaliação resolver do método que acham mais práticos para si. 9

11 Representação Gráfica (Sistema ) A Ponte Presidente Costa e Silva, popularmente conhecida como Ponte Rio-Niterói, tem,9 km e liga o município do Rio de Janeiro ao município de Niterói. A Diretoria da Agência Nacional de Transportes Terrestres (ANTT) autoriou recentemente mudanças no preço dos pedágios de várias rodovias importantes do país e também da Ponte Rio-Niterói, para vigorarem a partir de agosto de 0. A tarifa básica de pedágio subirá de R$,60 para R$,90, com um acréscimo de 6,%, para automóveis, caminhonetes e furgões. Veja a tabela com os novos valores do pedágio cobrados na Ponte Rio-Niterói. 0

12 Tabela de Tarifas Ponte Rio Niterói - Disponível em Durante uma blit realiada em um determinado período do dia passaram pela ponte vários tipos de veículos. As seguintes informações são conhecidas: - ao todo, passaram na ponte nesse período 8 veículos, dentre carros, motos e ônibus (rodagem dupla). - o total arrecadado foi de R$ 9,00 - o triplo da quantidade de carros mais a quantidade de motos é igual à quantidade de ônibus mais. a) Escreva uma equação correspondente para a primeira informação ao todo passaram na ponte nesse período 8 veículos : Nota ao DI: deiar linhas para resposta. b) Consulte a tabela com os valores do pedágio e escreva uma equação que tradua a segunda informação que di que o total arrecadado foi de R$ 9,00 : Nota ao DI: deiar linhas para resposta. c) Escreva uma equação para a terceira informação o triplo da quantidade de carros mais a quantidade de motos é igual à quantidade de ônibus mais : Nota ao DI: deiar linhas para resposta. d) Reescreva as equações na forma de um sistema de equações e incógnitas.. Considere o seguinte sistema de equações lineares, vamos visualiar seus gráficos no programa Winplot.

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14 Trabalhar a modelação de situação problemas e mostra pelo gráfico as situações dos sistemas usando o Roteiro de Ação e 7 como pano de fundo.

15 Pelo método de Cramer (Sistema ) Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma: = D D = D D = D... n = Dn D D Veja no eemplo abaio de como aplicar essa regra de Cramer: Dado o sistema linear, para resolvê-lo podemos utiliar da regra de Cramer, pois ele possui equações e incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações. Devemos encontrar a matri incompleta desse sistema linear que será chamada de A. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D. D = D =. Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matri A, formando assim uma segunda matri que será representada por A. Agora calcularmos o seu determinante representado por D.

16 D = D = Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matri incompleta formando a matri A. Agora calcularmos o seu determinante D. D = D = 0 Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matri incompleta formaremos a matri A. Agora calculamos o seu determinante representado por D. D = D = Depois de ter substituído todas as colunas da matri incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer. A incógnita = D = = D A incógnita = D = 0 = D A incógnita = D = = D

17 6 Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(,,)}. Eercícios propostos III: 0. Escalonar e resolver cada sistema linear a seguir: a) b) 7 c) d) e) f) 6 8 g) h) ) Resolva, se possível, cada sistema do eercício anterior usando a Regra de Cramer. 0. (U.F.MG) Determine todos os valores de a e b de modo que o sistema linear a seguir tenha a) solução única ; b) infinitas soluções ; c) nenhuma solução. b a 0. (U.F.MG) Ache os valores de m para os quais o sistema 6 6 m m tenha soluções.

18 0. (U.F.MG) - Em três tipos de alimentos verificou-se que, para cada grama, a) O alimento I tem unidades de vitamina A, unidades de vitamina B e 8 unidades de vitamina C. b) O alimento II tem unidades de vitamina A, unidade de vitamina B e unidades de vitamina C. c) O alimento III tem unidades de vitamina A, não contém vitamina B e tem unidades de vitamina C. Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que forneçam, simultaneamente, unidades de vitamina A, de vitamina B e 0 de vitamina C. 0. (U.F.BA) No sistema 8 0, determine o valor de. 0. (U.F.PA) Qual é o valor de m para que o sistema solução única? m 0 tenha 06. (PUC-SP) Determine a relação entre a e b para que o sistema a b tenha solução determinada. 07. (CESCEM) Determine os valores de a e b que tornam o sistema a indeterminado. 6 b 08. (PUC-RS) Determine a relação entre a e b de modo que o sistema a b seja indeterminado. 7

19 8 09. (PUC-SP) Determine os valores de k de modo que o sistema 0 k k tenha solução única. 0. (U.F.PE) Determine todos os valores de de modo que o sistema tenha solução única.. (PUC-SP) Verifique quantas soluções tem o sistema abaio. 0. (U.F.BA) - Discutir o sistema a em função do parâmetro a.. (CESCEA) Discutir o sistema m em função do parâmetro m.. (F.G.V. SP) Discutir o sistema k k k em função do parâmetro k.. (MACK SP) Discutir o sistema m m em função do parâmetro m

20 9 6. (PUC SP) Para que valores de b o sistema b b 0 tem solução? 7. (ITA SP) - Qual deve ser a relação que a, b e c devem satisfaer para que o sistema abaio tenha pelo menos uma solução? c b a (CESGRANRIO) Se o sistema b a a 0 tem uma infinidade de soluções, determine a e b. 9. (U.F.CE) Se o sistema m não admite solução, calcule o valor de log m. 0. (CESGRANRIO) - Que condição deve satisfaer os parâmetros e para que o sistema não tenha solução? Trabalhar com o método de Cramer no sistema, trabalhando com eercícios de concursos para fia o conteúdo e mostra como é fácil as resoluções.

21 Avaliação Mediarei o aluno entre o sujeito e o objeto do conhecimento, trabalhando de forma que, a partir dos conteúdos, dos conhecimentos apropriados pelos alunos, eles possam compreender a realidade, atuar na sociedade em que vivem e transformá-la. Assim, buscando que o conhecimento sobre o tema para o aluno passe a ter um caráter significativo. Valores: Teste:,0 pontos Prova:,0 pontos Saerjinho:,0 pontos Qualitativo*:,0 pontos *será avaliada a participação do aluno nos trabalhos em grupos e na realiação dos trabalhos propostos para casa, sendo destes dois pontos, um ponto etra.. 0

22 Bibliografia: IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PERIGO, R.; ALMEIDA, N. Matemática ciência e aplicações volume. 6ºed. São Paulo: Saraiva p. SILVA, C.; FILHO, B. Matemática: aula por aula ª série. ªed. São Paulo: FTD. 00.6p. BRASIL. Site Só Matemática. < Acesso em: 0 out 0. BRASIL. Site InfoEscola. < Acesso em: 0 out BRASIL. Site Brasil Escola. < Acesso em: 0 out BRASIL. Formação Continuada - Roteiro de Ação (Sistema Linear), e 7 Material de Estudo, BRASIL. Site Google Imagem. < Acesso em: 0 set BRASIL. Blog Matemática da Mariclei. < >. Acesso em: 0 out 0.