1 Resumo do plano inicial:

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1 1 Resumo do plano inicial: Este trabalho de doutoramento tem por objetivo analisar reações fotonucleares na região do quase-dêuteron via métodos de Monte Carlo de processos de cascata intranuclear e evaporação do núcleo composto. Emissões diretas, emissões de pré-equilíbrio e características do núcleo composto são analisadas a partir da versão reformulada do modelo de cascata intranuclear multi-colisional (MCMC). A fase de evaporação é descrita por um so sticado algoritmo de Monte Carlo que calcula a competição entre evaporação de partículas e ssão nuclear. O efeito do quase-dêuteron é incorporado sorteando-se pares neutron-próton cuja distribuição de momento relativo obedece à previsão do consagrado modelo do quase-dêuteron. Correlações nucleon-nucleon na interação inicial com o fóton e nas múltiplas colisões binárias são incluídas elegantemente via análise rigorosa da evolução temporal das complexas con gurações partícula-buraco durante a cascata. Tal abordagem trata o mecanismo de bloqueio de Pauli de forma não-estocástica, eliminando, por completo, antigos e recorrentes problemas nos modelos de cascata atuais relacionados à evasões espúrias da esfera de Fermi. Dados experimentais de seções de choque de fotoabsorção nuclear e multiplicidades médias de nêutrons para o Sn, Ce, Ta e Pb no intervalo E 14 MeV são descritos satisfatoriamente pelo presente cálculo. As seções de choque das reações (;xnyp) e (; f) do 3 Th serão também obtidas re nando-se o cálculo da fase de evaporação, sendo os resultados comparados com previsão do modelo híbrido de excitação. 1

2 Resumo das atividades no período:.1 ATIVIDADES ACADÊMICAS:.1.1 Primeiro Semestre (AGO-DEZ/3): Disciplinas: Mecanismos de Excitação do Núcleo pela Radiação Eletromagnética - aprovado - total de 8 créditos Atividades em geral: Eventos: Participação na XXVI Reunião de Trabalho sobre Física Nuclear no Brasil, realizada de 1 a 5 de setembro de 3, em Santos, SP. Autoria do trabalho: Monte Carlo multi-collisional intranuclear cascade approach in the quasideuteron photoabsorption regime in actinide nuclei. Publicações: Autoria no artigo: Statistical and direct aspects of 64 Zn (; n) and (; np) decay channels in the giant dipole resonance and quasideuteron energy regions. T. E. Rodrigues et al:, Phys. Rev C 68, (3). Cópia em anexo..1. Segundo Semestre (JAN-JUL/4) Atividades em geral: Publicações: Autoria no artigo: Photonuclear reactions at intermediate energies investigated via the Monte Carlo multicollisional intranuclear cascade model, T. E. Rodrigues et al:, Phys. Rev C 69, (4). Cópia em anexo Colaborações: Colaboração internacional no experimento PrimEx no JLab (Thomas Je erson National Laboratory). O experimento tem por objetivo a realização de uma medida de alta precisão da meia-vida do, sendo que nosso grupo (bolsista e orientador) fornecerá suporte teórico para o cálculo de amplitudes de fotoprodução incoerente de pions via simulações de Monte Carlo. (vide anexo)

3 . ATIVIDADES RELACIONADAS AO PROJETO JÁ IMPLEMENTADAS:..1 Introdução: Nas últimas quatro décadas, diferentes modelos baseados em simulação de Monte Carlo têm sido explorados a m de descrever reações nucleares via processos de cascata. Embora tais modelos tenham características próprias, todos possuem uma abordagem estocástica na incorporação de aspectos quânticos de suma importância para a dinâmica da cascata, tais como o Princípio da Exclusão de Pauli. A descrição semi-clássica de um mecanismo de reação via múltiplas colisões binárias no espaço de con guração torna delicado o tratamento de efeitos quânticos causados por correlações nucleon-nucleon, uma vez que a distribuição de energia e momento angular não obedece regras de seleção, nem tão pouco à discretização dos níveis de energia previstos pela mecânica quântica. Tal violação leva a ocupações espúrias de estados quânticos sicamente inacessíveis ao sistema. Nos modelos de cascata intranuclear propostos até o presente momento, o estado nuclear fundamental é gerado distribuíndo-se os momentos dos nucleons na esfera de Fermi, sendo que os graus de liberdade de spin e isospin são levados em conta introduzindo-se de maneira arti cial parâmetros estatísticos de bloqueio de colisões, com o objetivo de se reproduzir, em média, os efeitos do meio nuclear. Para altas energias, entretanto, tais efeitos são importantes apenas nos estágios nais da cascata, quando as energias cinéticas envolvidas nas colisões são baixas e o bloqueio de Pauli tem um papel essencial para descrever a evolução dinâmica do sistema. Logo, o estudo de efeitos quânticos em processos de energia intermediária indicará possíveis discrepâncias nos modelos atuais causadas por imprecisões inerentes ao tratamento estatístico utilizado. Reações nucleares induzidas por nucleons a altas energias foram largamente estudadas pelo modelo pioneiro de cascata de Bertini [1] e também pelo código ISABEL [, 3]. No modelo de Bertini, a cascata é tratada sem estrutura temporal, enquanto que no ISABEL colisões entre partículas com momento inferior ao momento de Fermi são desprezadas. Tais modelos têm a desvantagem de não fornecer informação em tempo real de observáveis físicos, uma vez que o destino das partículas não é seguido a medida que a cascata evolui. Já o código do grupo de Liège (Liège-INC) possui estrutura tempo- 3

4 ral, sendo inicialmente proposto para descrever colisões de íons pesados em altas energias [4]. Uma nova versão foi então proposta para tratar de reações induzidas por nucleon [5]. Sucessivas versões (INCL [6], INCL4 [7]) foram então desenvolvidas a m de se descrever mais realisticamente os processos de cascata. Na versão INCL4 foi usada uma superfície nuclear difusa, sendo empregado um critério de bloqueio nas colisões sempre que a energia de excitação dentro da esfera de Fermi se tornasse negativa. Tal vínculo descarta interações entre partículas com momento menor do que o momento de Fermi e, consequentemente, não reproduz com precisão a evolução temporal do número de ocupação. Adicionalmente, a versão INCL4 é baseada na classi cação dos nucleons entre participantes (partículas que já colidiram com algum outro participante, sendo o primeiro participante a partícula incidente) e espectadores (as demais partículas). Tais restrições são impostas a m de se prevenir a famosa ebulição nuclear ( spontaneous boiling [7]), onde nucleons próximos à superfície de Fermi eram emitidos do núcleo após terem colidido com nucleons espectadores, mesmo quando o núcleo não havia sido excitado. É evidente que tal mecanismo de emissão espúria é resultado da vilolação do Princípio da Exclusão, necessitando de correção. Cálculos de cascata para reações fotonucleares foram também realizados através de diferentes abordagens: i) interações de partículas isoladas [1, 8, 9, 1], ii) superposição de diversas interações independentes de um corpo [11, 1, 13] e iii) simulações com dependência explícita do tempo e interações binárias a N-corpos (MCMC) [14, 15]. Na abordagem de interações de partículas isoladas, interações entre partículas re-espalhadas não são consideradas, enquanto que no critério de superposição, as fases de emissão direta e pré-equilíbrio não são tratadas de maneira apropriada, uma vez que emissões de nucleons rápidos são desprezadas. No modelo de cascata multi-colisional [14, 15], a evolução semi-clássica de todas as partículas é levada em conta e a fase de pré-equilíbrio é incluída naturalmente. A análise de reações fotonucleares em energias intermediárias proposta no presente trabalho de doutoramento fornece grande contribuição para o desenvolvimento de uma versão aprimorada do modelo MCMC. As modi cações introduzidas nessa nova versão, assim como a descrição detalhada do modelo multi-colisional, podem ser encontradas na ref. [16]. Essa nova versão do código estende a faixa de utilização do modelo, bem como elimina antigos e resistentes problemas relativos a ocupações espúrias nos níveis de energia das partículas. Resumidamente, as diferenças básicas em relação às versões anteriores [14, 15] são: i) o estado fundamental é de nido a partir de uma 4

5 distribuição uniforme dos momentos dos nucleons na esfera de Fermi, sendo que o poço de prótons e o de nêutrons cam em níveis energéticos distintos (no caso em que N 6= Z), a m de que todos os nucleons de valência tenham energia cinética igual a energia de Fermi; ii) o modelo do quase-dêuteron é incorporado de maneira consistente, levando-se em conta correlações de momento relativo dos pares n-p, conforme previsto pelo modelo de Levinger [17] e impondo conservação de momento e energia numa cinemática relativística; iii) o espaço de momentos dos nucleons no estado fundamental é dividido em volumes esféricos concêntricos 4p dp, a m de incorporar o mecanismo de bloqueio de Pauli na interação inicial e nas múltiplas interações binárias durante a cascata; iv) o processo de emissão de partículas leva em conta conservação de momento e energia e, v) uma condição enegética deve ser satisfeita para o término da cascata. As atividades relacionadas ao projeto já implementadas, reportadas no presente relatório, estão organizadas em dez seções: Na seção.. descrevemos o processo de fotodesintegração do dêuteron, supondo um caráter dominante para a transição E1. Na seção..3 comentamos resumidamente o formalismo de cascata a N-corpos. Na seçã..4 de nimos o estado nuclear fundamental e o efeito do potencial nuclear. O mecanismo de interação inicial (modelo do quase-dêuteron [17, 18]) é incorporado à cascata na seção..5, sendo a função de Pauli-blocking calculada e comparada com outros resultados [18]. Na seção..6 enfatizamos a evolução da cascata e o bloqueio de Pauli dinâmico. A distribuição do número de ocupação ao nal da cascata em função da energia cinética dos nucleons é calculada e comparada com resultado prévio obtido pelo grupo de Liège [6]. Na seção..7 descrevemos o critério energético adotado para interromper a cascata. A distribuição da energia de excitação é calculada e comparada com outras previsões teóricas [19]. Na seção..8 reportamos sucintamente os passos para descrever o decaimento do núcleo composto via algoritmo de Monte Carlo que leva em conta a competição entre canal e ssão e emissão de partículas. Na seção..9 e..1 apresentamos alguns resultados interessantes de seção de choque total e multiplicidade de nêutrons para os núcleos de Sn, Ce, Ta e Pb entre e 14 MeV. Finalmente, na seção..11 são apresentados alguns resultados preliminares para o 3 Th. 5

6 .. A fotodesintegração do dêuteron Estamos interessados em calcular a seção de choque para o processo: + d! n + p; (1) sendo d o dêuteron livre e o fóton incidente com energia ~!, paridade, momento angular l e projeção no eixo z m l : O estado inicial j; di contém um fóton representado por uma onda plana e o estado fundamental do dêuteron, sendo que o estado nal jn; pi corresponde a um estado excitado do dêuteron no contínuo. O estado fundamental do dêuteron pode ser escrito em termos da função de onda radial u (r) e da componente de spin js; mi. Esse estado deve ser obtido a partir do acoplamento de dois estados js 1 ; m 1 i e js ; m i ; representando o spin e projeções para as partículas 1 e, sendo s 1 = s = 1=: Por simplicidade, introduzimos a seguinte notação: ji 1; = 1 ; 1 () 1; ji 1; = 1 ; 1 ; (3) 1; onde ji e ji são estados das partículas 1 ou cujas projeções de spin no eixo z têm sinal + e -, respectivamente. Seja o operador de spin total S: onde S = S x + S y + S z; (4) S x = S x (1) + S x () = ~ ( x(1) + x ()) (5) S y = S y (1) + S y () = ~ ( y(1) + y ()) (6) S z = S z (1) + S z () = ~ ( z(1) + z ()); (7) sendo que nas últimas passagens introduzimos as matrizes de Pauli: 6

7 1 x = 1 Os autovalores de S serão: i ; y = i e z = 1 1 : (8) S js; mi = ~ (3 + (1) ()) js; mi! S (S ~ ) js; mi = ; (9) onde usamos o fato de que ((1) ()) = 3 auto-valores (9) nos fornece: ((1) ()): A equação de S js; mi = ~ s(s + 1) js; mi =! s = (singleto), (1) (S ~ ) js; mi = = ~ s(s + 1) js; mi ~ js; mi =! s = 1 (tripleto). (11) O singleto de spin corresponde ao estado anti-simétrico dado por: visto que j; i = 1 p [ji 1 ji ji ji 1 ] ; ; (1) S j; i = ~ (3 + (1) ()) j; i = = ~ p [(3 + (1) ()) (ji 1 ji ji ji 1 )] = ; (13) uma vez que cada componente de S = ~ ((1) + ()) é separadamente nula. O Tripleto de spin possui três projessões, m = 1; ; 1: j1; 1i = ji 1 ji 1; 1 (14) j1; i = 1 p [ji 1 ji + ji ji 1 ] 1; (15) 7

8 j1; 1i = ji 1 ji 1;1 (16) Entretanto, experimentalmente, veri ca-se que o estado fundamental do dêuteron tem spin total s = 1 com projeção m =, ou seja, corresponde ao estado 1; = j1; i ; que iremos denotar por 3 S. As transições eletromagnéticas (l; m l ; ) entre estados jj i ; m i i j i i ' a e jj f ; m f i j f i ' b devem satisfazer as seguintes regras de seleção: jj i j f j l j i + j f ; (17) sendo: m i m f = m l ; (18) i = f (transição com paridade par), (19) i = f (transição com paridade ímpar). () As probabilidades de transição podem ser escritas por []: Z T i;f / ' bj A' a d; (1) sendo j o operador de corrente nuclear e A o potencial vetor que representa o fóton incidente. A paridade da radiação é a mesma do produto j A. O potencial vetor tem a mesma paridade do campo elétrico E, enquanto que j possui paridade negativa, visto que é um vetor polar e muda de sinal ao trocarmos suas coordenadas. Logo, a paridade tem o sinal igual à paridade do campo elétrico e oposta ao campo magnético. As probabilidades de transição elétrica T E (l; m) e magnética T M (l; m) podem ser escritas por []: T E (l; m) = T M (l; m) = com =!, sendo que: c 8(l + 1) l [(l + 1)!!] l+1 ~ jq lm + Q lmj ; () 8(l + 1) l [(l + 1)!!] l+1 ~ jm lm + M lmj ; (3) 8

9 Q lm(a; b) = M lm (a; b) = M lm(a; b) = Z Q lm (a; b) = e i e~ l + 1 Mc Z 1 e~ l + 1 Mc X Z k k=1 e~ Mc X Z k k=1 r l Y lm(; ')' b' a d (4) r l Y lm(; ')r (' bl' a )d (5) r l ky lm( k ; ' k )r (' br k k ' a )d (6) r l ky lm( k ; ' k )r (' b k ' a )d; (7) onde L = ir r é o operador de momento angular do próton, M é a massa dos nucleons (supondo massa igual para próton e nêutron), k é o momento magnético do nucleon k (nêutron ou próton) e k o respectivo operador de spin na representação de Pauli. Os índices 1 e se referem a prótons e nêutrons, respectivamente. A partir das equações () e (3), veri camos que as probabilidades de transição diminuem à medida que o momento angular da radiação aumenta. Por essa razão, somente as transições E1 e M1 contribuem signi cativamente na fotodesintegração do dêuteron. A transição M1, por ter paridade par ( = 1 l+1 = 1), deve acoplar dois estados de mesma paridade, sendo que o estado inicial deve ter componente de spin 1; : Logo, a transição possível é 1 S! 3 S. A seção de choque para esse processo tem seu valor máximo para E :34 MeV, sendo praticamente nula para energias acima de 5 MeV. Como estamos interessados em processos de fotodesintegração nuclear em energias intermediárias, podemos desprezar a componente M1 na fotodesintegração do dêuteron. A transição de dipolo elétrico (E1) acopla os estados 3 S e 3 P, visto que a paridade da transição é ímpar. Entretanto, para calcular os elementos de matriz relevantes, é interessante calcular a seção de choque do processo inverso de captura radioativa: p + n! d + ~!: (8) Caso o próton incidente e o nêutron não interajam antes do processo de captura, a função de onda do estado inicial, no sistema de coordenadas relativas, pode ser escrita para r grande: 9

10 ' a = e ikr + f() eikr r ; (9) sendo f() a amplitude de espalhamento. A seção de choque para o processo de captura elétrica multipolar pode ser obtida dividindo-se a referida probabilidade de transição eq. () pelo uxo incidente = ~k, ou seja: M E cap(l; m) = 8(l + 1) l [(l + 1)!!] l+1 ~ jq lm + Q lmj : (3) Seja T 1! a probabilidade de transição correspondente ao processo inverso de desintegração do dêuteron. Logo, a probabilidade de transição do processo de captura T!1 pode ser escrita como: T!1 1 = T 1! ; (31) onde usamos o teorema do balanço detalhado [] para relacionar probabilidades de transição entre processos com simetria por inversão temporal, sendo 1 e as densidades dos estados nais do sistema. A relação entre as seções de choque ca: d!1 1 1 = d 1! : (3) Após um pouco de álgebra, obtemos a seguinte relação: des (l; m) = k cap(l; m): (33) Portanto, para que possamos calcular a seção de choque de fotodesintegração elétrica dipolar, basta calcular os elementos de matriz Q lm e Q lm para o processo inverso de captura eq. (3) e usar eq. (33). A contribuição de Q lm leva em conta a fotoabsorção causada pelo spin do próton, sendo consideravelmente menor do que a fotoabsorção da corrente convectiva, ou seja: Q lm Q lm ~! Q Mc : Por exemplo, para ~! = 14 MeV, lm Q lm :: Portanto, nos limitaremos a analisar apenas o elemento de matriz Q lm. A função de onda incidente é dada por (9), enquanto que a função de onda do estado nal ' b corresponde ao estado fundamental do dêuteron: 1

11 ' b = p 1 u t (r) 4 r 1; ; (34) onde u t (r) é a função de onda radial com comportamento assintótico p e r para r grande ( = R 1, onde R = 4:31 fm é o raio do dêuteron). A baixas energias, a interação entre o próton e o nêutron pode ser desprezada (f()! ), de maneira que, escolhendo o eixo z para a direção de k, teremos 1 : = p Z 3 Q 1; = 8 e ze ikz u t(r) d = r p Z Z 3 4 e r cos() sin()e ikr cos() u t (r)drd: (35) Integrando em por partes, ca: = i kr cos(kr) Z i kr Z cos() sin()e ikr cos() d = sin()e ikr cos() d = i kr cos(kr) sin(kr) : (36) kr Substituindo (36) em (35), teremos: p 3e Q 1; = i k Z 1 u t (r)u 1t (r)rdr; (37) onde u 1t (r) é a função de onda radial da onda P, sendo dada por: u 1t (r) = sin(kr) cos(kr): (38) kr Logo, substituindo-se (37) em (3) e usando (33), escrevemos ;3 : 1 Essa escolha para o eixo z é apropriada pois Q 1; 1 = Q 1;1 =, visto que a integral no ângulo ' se anula: R e i' d' = : O fator de correção 1 leva em conta a não polarização do fóton. 3 A relação entre o número de onda e o raio do dêuteron R é obtida a partir da conservação de energia ~c B = ~ k ~ M e usando o fato de que R = p MB ; sendo B = ; 4 MeV a energia de ligação do dêuteron. 11

12 E1 dis = e 3 ~c k + R Z 1 1 u t (r)u 1t (r)rdr : (39) k Portanto, para que possamos determinar E1 dis, basta calcularmos a integral R 1 u t (r)u 1t (r)rdr: A função de onda exata do dêuteron depende do potencial nuclear que descreve a interação nêutron-próton. Entretanto, uma abordagem alternativa para se calcular a referida integral consiste na aproximação de alcance zero, ou seja, fora do alcance do potencial, a função de onda do dêuteron tende assintoticamente para u t (r)! p e r (r grande). Logo, usando este resultado, escrevemos: sendo: Z 1 Z 1 u t (r)u 1t (r)rdr = p = p k I 1 sin(kr) e r cos(kr) rdr = kr p I ; (4) A intergal I 1 ca: I 1 = I = Z 1 Z 1 e r sin(kr)dr; (41) r cos(kr)e r dr: (4) I 1 = Z 1 = Z 1 e r r sin(kr)e sin(kr)dr = j 1 + k cos(kr)e r dr = r k cos(kr)e j 1 k Z 1 e r sin(kr)dr = k k I 1: k ) I 1 = (43) k + A integral I pode ser escrita como: I = d Z 1 cos(kr)e r dr = d h 1i d d k I = k ( + k ) : (44) Logo, substituindo (43) e (44) em (4), escrevemos: 1

13 Z 1 u t (r)u 1t (r)rdr = p k ( + k ) : (45) O resultado (45) foi obtido tomando-se a forma assintótica da função de onda do estado fundamental do dêuteron (aproximação zero range ). A correção para alcance efetivo deve ser aplicada à constante de normalização, que não vale mais p : Essa correção pode ser obtida por teoria de alcance efetivo [1, ], fornecendo: Z s 1 k u t (r)u 1t (r)rdr = (1 r eff ) ( + k ) ; (46) onde r eff é o alcance efetivo da força nuclear (r eff 1:761 fm). Logo, substituindo (46) em (39), nalmente escrevemos: E1 dis = e 3 ~c p (E 3 k 1 k + (1 r eff ) : (47) B)M Fazendo k = e usando os valores de ; B; M e r ~ eff, podemos re-escrever (47) em unidades de mb: d (E ) E1 dis(e ) = 61; (E B) 3 ; (48) sendo que iremos denominar d (E ) a seção de choque de fotodesintegração do dêuteron livre com B = ; 4 MeV. E 3 13

14 ..3 O formalismo de cascata intranuclear a N-corpos: A grande vantagem do modelo multi-colisional MCMC em relação aos modelos convencionais, consiste no fato de que todas as partículas são livres para interagir e o destino do sistema a N-corpos é acompanhado passo a passo. Em energias intermediárias, entretanto, somente espalhamento elástico nucleon-nucleon e processos de emissão de partículas são sicamente possíveis. Esse fato torna a análise dos observáveis menos dependente de processos elementares, cujo conhecimento ainda é muitas vezes limitado, e mais dependente da in uência da matéria nuclear propriamente dita. Logo, os efeitos do meio nuclear devido Interações de Estado Final nucleon-núcleo podem ser análisados com mais detalhe. As modi cações propostas no código MCMC eliminam parâmetros livres, tais como parâmetros de bloqueio de Pauli estocástico e parâmetros de tempo de parada usados para interromper a cascata. Essas contribuições possibilitam a descrição do processo de cascata sem parâmetros livres, fornecendo uma nova metodologia em comparação com códigos similares. As emissões diretas e de pré-equilíbrio são naturalmente incorporadas, visto que cada evento completo de cascata tem seu próprio tempo de equilíbrio determinado de forma consistente a partir de considerações energéticas. Após a interação inicial do fóton com um par n-p (modelo do quasedêuteron [17]), o próton e o nêutron se separam e iniciam duas rami cações de cascata correlacionadas. A cinemática para o processo de fotoabsorção e os efeitos do bloqueio de Pauli serão discutidos adiante. Tais rami cações são correlacionadas uma vez que todas as partículas podem interagir, que é a vantagem do modelo MCMC. A correlação entre as rami cações é tão maior quanto menor for o ângulo, no referencial do laboratório, de abertura entre o próton e o nêutron sendo este, por sua vez, dependente da dinâmica do mecanismo de interação + d. Dessa forma, a evolução do processo de cascata estará intimamente ligada ao mecanismo de fotoabsorção. As re exões e emissões de partíclas através do potencial nuclear são levadas em conta conservando-se momento e energia. (O balanço energético nas emissões é descrito no Apêndice) 14

15 ..4 O estado nuclear fundamental: No modelo do gás de Fermi, as energias de Fermi para prótons (EF ) e nêutrons (EF ); podem ser escritas por: EF = Z ~ 3 e (49) m E F = 1 m 3 3 A Z ~ 3 ; (5) sendo = 4 3 r3 A o volume nuclear supostamente esférico e m = 938 MeV, a massa de repouso do nucleon. Através da expressão relativística E = p + m ; sendo E e p, respectivamente, a energia e o momento do nucleon (~ = c = 1), escrevemos os momentos de Fermi on-shell (k F ) na forma: q kf = EF (E F + m ); (51) k F = q E F (E F + m ): (5) Os momentos dos nucleons são então uniformemente distribuídos no volume esférico p dp sin( p )d p d' p. Para os nêutrons, os estados sicamente acessíveis são distribuídos uniformemente no espaço de momentos entre k min = e k max = kf, enquanto que para os prótons, teremos k min = kf kf e k max = kf : As posições das partículas são distribuídas uniformemente dentro do volume nuclear d = r dr sin dd' com r max = r A 1 3, sendo r = 1:18 fm. O Potencial nuclear utlizado é o poço quadrado, de nido como: V = V = E F + B; (53) sendo B 7 MeV. A energia de ligação (B) e o raio (r ) são os únicos parâmetros (mantidos xos) do reformulado MCMC. A situação é representada esquematicamente na gura 1. 15

16 B = 7 MeV Barreira Coulombiana π E F ν E F V Prótons Nêutrons Figura 1: Representação esquemática dos poços de prótons e nêutrons. O Efeito de ligação causado pela introdução do potencial V pode ser incluído usando o conceito de massa efetiva [3], ou seja: q p + m V p p + m ; (54) onde m tem o papel da massa efetiva do nucleon ligado. A solução imediata para a Eq.(54) ca: r m (p) = m + V V qp + m ; (55) indicando que m é na verdade uma função do momento do nucleon. Sabemos, entretanto, que a solução exata para a referida equação possui pouca relevância prática, uma vez que a aproximação de poço quadrado para V não condiz com uma descrição mais realística, do tipo Wood-Saxon, para o estado nuclear fundamental. A inclusão de potenciais realísticos já foi ventilada, sendo posteriormente descartada visto que impossibilita a propagação em linha reta dos nucleons, uma vez que seus referidos momentos mudam a medida que o potencial muda (V = V (r)). Felizmente, toda descrição baseada em técnicas de Monte Carlo em processos de cascata possui 16

17 um caráter estatístico, uma vez que deve fornecer valores médios aos observáveis de interesse. A inclusão de efeitos nos, tais como o acoplamento spin-órbita, não têm um papel relevante para se determinar, por exemplo, a energia média de exctitação e multiplicidades médias de partículas emitidas, principalmente nessa faixa de energia. Logo, podemos calcular um valor médio para m levando-se em conta a distribuição dos momentos F (p) no estado fundamental: hm i = Z k F m (p)f (p)dp; (56) sendo F (p)dp = 3 p dp a probabilidade de se encontrar um nucleon com (kf) 3 momento entre p e p+dp. Para o alvo de Pb, por exemplo, essa aproximação nos fornece hm i = :95m : Tal valor está em bom acordo com a parametrização da ref. [4], onde um valor m = (:953 :)m é reportado. 17

18 ..5 O Mecanismo de Fotoabsorção - Modelo do quase-dêuteron: O mecanismo majoritário de fotoabsorção nuclear em energias intermediárias é descrito pelo famoso modelo do quase-dêuteron de Levinger [17, 5, 6]. Tal modelo tem sido de grande utilidade para se descrever dados de seção de choque de fotoabsorção em núcleos pesados [7, 8, 9, 3] e baseia-se na hipótese de que o fóton incidente é absorvido por um par n-p correlacionado dentro do núcleo, deixando os demais nucleons como espectadores. Tal hipótese é fundamentada a partir da comparação do comprimento de onda relativamente pequeno do fóton (s 4 fm) com as dimensões características nucleares. No modelo proposto por Levinger, a seção de choque de fotoabsorção nuclear QD (E ) pode ser escrita em termos da seção de choque de fotodesintegração do dêuteron livre d (E ) na forma: QD (E ) = L NZ A d(e )f(e ); (57) onde L é o parâmetro de Levinger e f(e ) é uma função adimensional que leva em conta a diminuição do espaço de fase do par n-p devido ao princípio da exclusão de Pauli. O fator NZ é o número total de pares n-p dentro do núcleo, L representa a fração dos pares n-p que podem estar correlacionados A [31, 3], enquanto que seção de choque de fotoabsorção do dêuteron livre foi calculada na seção.. Eq.(48). Chadwick et al: [18] calcularam teoricamente a função de Pauli-blocking f(e ), usando o modelo do gás de Fermi para calcular as densidades de níveis, e impondo conservação de energia e momento nos estados nais do próton e do nêutron. Essa abordagem permitiu uma correspondência direta da função de Pauli-blocking com a redução do espaço de fase dos estados nais, uma vez que a fotoabsorção é proporcional ao volume nuclear. O parâmetro L = 6; 5 foi obtido diretamente do modelo, onde foi usada uma energia de Fermi de 35 MeV e um alcance efetivo de 1,761 fm [17]. Para energias entre e 14 MeV, a função f(e ) pode ser expandida na forma [18]: f(e ) = 8; ; E + 4; E (58) 3; E 3 + 9; E 4 : Levinger mostrou que a seção de choque de fotoabsorção nuclear depende da função de onda do quase-dêuteron [17]: 18

19 k(r) = 1= 4 sin(kr + ) sin r 1 ( + k ) 1= ; (59) onde r e k representam as posições e momentos relativos do par, é a defazagem de fase, 1 é a amplitude de espalhamento e depende do potencial nuclear em questão, sendo relevante apenas dentro do alcance da força nuclear. O modelo também parte do princípio de que o par n-p deve estar próximo o su ciente para que a função de onda dos A nucleons que inalterada após a interação. Da teoria de alcance efetivo [1, ], temos: Expandindo k(r) para kr 1, escrevemos: k(r) cot k : (6) 1= 4 (1 r ) r 1 ( + k ) 1= ; (61) onde usamos a eq.(6). A função de onda do dêuteron no estado fundamental, na região de r pequeno, pode ser escrita como: 1= d(r) = e r 1= r 1 (1 1 r eff 1 r eff r ) r 1 ; (6) Logo, a seção de choque de fotoabsorção do quase-dêuteron qd (k; E ) ca proporcional à seção de choque de fotodesintegração do dêuteron, visto que os fatores (1 r ) r 1 se cancelam e escrevemos: qd (k; E ) d (E ) = j k(r)j j d(r)j = (1 r eff) 1 + k : (63) A relação (63) foi inicialmente obtida por Levinger [17] e indica que a 1 probabilidade de fotoabsorção é proporcional a, conforme também discutido em outros trabalhos [18]. Por essa razão, adotamos o seguinte critério +k de sorteio dos pares n-p: sorteamos uniformemente qualquer par dentro do volume nuclear e, posteriormente, rejeitamos aqueles cujo momento relativo 19

20 k não esteja de acordo com a distribuição normalizada de momentos relativos M qd (k): M qd (k) = tan 1 K F 1 + k = tan 1 K F m qd (k): (64) Tal procedimento é equivalente a distribuir os pares n-p cujo momento relativo satisfaça a probabilidade conjunta de fotoabsorção ;abs (k; k F ): ;abs (k; k F ) = N(k F )M(k)m qd (k); (65) sendo M(k) a distribuição de momento relativo de dois nucleons no modelo de gás de Fermi [3]: " M(k) = 4 k 3k # 3 k (66) (k F )3 k F e a constante de normalização N(kF ) dada por: N(kF ) = f 3 (k [ F (k )6 F ) + 3 (kf ) (kf ) ln( + (kf ) ) k + 4 ln( + (kf ) ) 8 (kf ) 3 tan 1 F 4 ( + 3 (k F ) ) ln ]g 1 : (67) A cinemática relativística do mecanismo de fotoabsorção ca: P Lab = P Lab qd + P Lab = P Lab k F + P Lab ; (68) onde P Lab qd e P Lab são os quadri-vetores momento-energia do candidato à quase-dêuteron (qd) e fóton (), respectivamente. P Lab = (E Lab ; p Lab ) é o quadri-vetor do sistema (qd+ ); todos no referencial do laboratório. As linhas se referem aos quadri-vetores do próton e nêutron após a interação. Como é usual, escolhemos o eixo z para a direção de propagação do fóton incidente no referencial do laboratório. Através da transformação de Lorentz L() que leva os quadri-vetores do referencial do laboratório ao referencial do Centro de Massa, escrevemos: P C:M: = L()P Lab = P C:M: qd + P C:M: = (E C:M: ; ) = P C:M: + P C:M: ; (69)

21 sendo = plab E Lab, e E C:M: a energia total do sistema no C.M. A partir da eq.(69), teremos: P C:M: = P C:M: = E C:M: ; q e (7) E C:M: ; q ; (71) sendo q =qu o tri-momento do próton emitido no C.M., com s E C:M: q= hm i : (7) A direção do versor u é dada pelas coordenadas angulares ( ; ' ) geradas uniformemente num ângulo sólido d = sin d d' : Os quadri-vetores das partículas emitidas são então transformados ao referencial do Laboratório fazendo: P Lab: = L( )P C:M: (73) P Lab: = L( )P C:M: : (74) Após a fotoabsorção, caso ambos os nucleons (próton e nêutron) tenham momento maior do que o momento de Fermi, o candidato a quase-dêuteron é selecionado e o processo de cascata iniciado. Caso contrário, o referido processo de absorção é bloqueado e devemos escolher novos candidatos a quase-dêuteron. A competição entre eventos permitidos e bloqueados está diretamente relacionada à reducão do espaço de fase do par n-p devido a correlações nucleon-nucleon. Logo, o fator de bloqueio de Pauli f(e ) pode ser facilmente calculado, para uma dada energia do fóton, através da relação: f(e ) = N(E ) N (E ) ; (75) sendo N(E ) o número de eventos não bloqueados para um fóton de energia E e N (E ) o número total de tentativas. A m de se veri car essa metodologia para o cálculo de f(e ), realizamos simulações para os núcleos de Sn, Ce, Ta e Pb no intervalo E 14 1

22 MeV. Os resultados são apresentados na gura, em comparação com a solução proposta na eq.(58) [18]. F(E γ ) MCMC (Sn) Chadwick et al. MCMC (Ce) Chadwick et al.. F(E γ ) MCMC (Pb) Chadwick et al. MCMC (Ta) Chadwick et al E γ (MeV) E γ (MeV) Figura : Fator de bloqueio de Pauli obtido no MCMC (linha sólida), em comparação com o resultado da ref. [18]. Os valores absolutos para a grandeza f(e)mcmc f(e ) [18] f(e ) são plotados MCMC na gura 3, onde veri camos que o fator de bloqueio é tão mais signi cativo quanto maior for o número de massa A, fato este compatível com análises fenomenológicas. Os resultados do MCMC fornecem fatores de bloqueio sistematicamente mais intensos que aqueles obtidos na ref. [18] em toda a faixa de energia, sendo que para energias acima de 8 MeV, ambas as abordagens estão em um acordo melhor do que 1%. As diferenças relativas são mais signi cativas para baixas energias, justamente onde o mecanismo de bloqueio de Pauli tem um papel principal dentre os possíveis efeitos da matéria nuclear. Tal fato indica que o MCMC fornece um método mais rigoroso para se determinar os efeitos do bloqueio de Pauli, uma vez que os níveis de energia,

23 ao invés das densidades de nível usadas na ref. [18], são exaustivamente mapeados durante as simulações. Adicionalmente, essa nova abordagem aqui proposta nos fornece, naturalmente, um resultado para f(e ) que depende do número atômico e núnero de massa do núcleo, assim como da distribuição de momentos no estado fundamental. Diferença Relativa Sn Ce Ta Pb Figura 3: Diferença relativa E γ (MeV) f(e)mcmc f(e ) [18] f(e ) MCMC, detalhes no texto. 3

24 ..6 A evolução da cascata e o bloqueio de Pauli dinâmico: uma abordagem não-estocástica. O próton e o nêutron, resultantes da interação inicial com o fóton, irão desencadear duas cascatas intranucleares correlacionadas, sendo que tal correlação depende da dinâmica do processo elementar e da con guração inicial do sistema ( +dq): Inicialmente, é calculado o instante de ocorrência t fm c c para as colisões secundárias de todos os pares i j de partículas ligadas: t c t = r ij v ij ; (76) vij onde t é o instante inicial, sendo r ij e v ij os vetores posição e velocidade relativas das partículas em colisão, respectivamente. A partir de uma abordagem semi-clássica, podemos estabelecer se haverá ou não interação entre as partículas i e j caso: b ij (s); (77) sendo b ij o parâmetro de impacto e (s) a seção de choque total de espalhamento elástico em função da energia total no C.M. p s: p s = q (E i + E j ) (p i + p j ) : (78) As posições das partículas são então calculadas até o instante t c, onde os respectivos quadri-momentos são atualizados, conservando-se energia e momento do sistema nuclear. Os estados nais das partículas envolvidas na colisão são obtidos de forma usual, passando-se para o referencial de repouso de uma das partículas e calculando as distribuições angulares a partir de dados experimentais de seções de choque diferenciais. O Princípio da Exclusão de Pauli é incorporado de forma rigorosa dividindose o espaço de momentos dos nucleons, no estado fundamental, em células concêntricas esfericamente simétricas 4p p, sendo p a magnitude do trimomento dos nucleons e p um intervalo de momento. Tal abordagem introduz uma estrutura de camadas no espaço de momentos. Ou seja, para o estado fundamental, teremos ; () (p ) estados de nêutrons e prótons ocupando o nível de energia E (E E E + ), sendo E = p + hm i q q e E + = (p + p) + hm i. Dessa forma, o Princípio da Exclusão é satisfeito restringindo-se colisões sempre que o número de ocupação efetivo 4

25 ; (n) (p ) para um dado passo n da cascata exceder ; () (p ). Para o caso de uma colisão não-bloqueada, os números de ocupação são atualizados e a cascata continua. O intervalo de momento p representa uma incerteza no momento dos nucleons inerente ao modelo, sendo obtido pela relação pr ~, onde tomamos r = r max; visto que no modelo não há qualquer restrição, do ponto de vista quântico, nas posições dos nucleons durante a cascata. Para um núcleo pesado, como o núcleo de Pb, temos: r = 6:99 fm e p = 14 MeV/c. Esse vínculo físico aqui proposto elimina, naturalmente, todos aqueles eventos espúrios relacionados à imprecisões no tratamento do mecanismo de bloqueio de Pauli, tais como a famosa ebulição espontânea reportada por Boudard et al: [7]. Adicionalmente, nosso modelo multi-colisional fornece uma descrição realística do processo de cascata, uma vez que todas as partículas podem interagir, sendo a esfera de Fermi re-populada por qualquer nucleon. Em modelos de transporte similares [6, 7, 33, 34, 35, 36, 37] empregados até o presente momento, tal mecanismo de re-população é somente realizado pelos nucleons participantes, que é o mesmo que desprezar o movimento fermiônico dos espectadores. A con abilidade do mecanismo de bloqueio do código MCMC é veri cada na gura 4, onde apresentamos a distribuição do número de ocupação dos nucleons remanescentes (histograma) após o término da cascata (1 MeV)+ Pb, em função da energia cinética, em comparação com os resultados obtidos na ref. [6] para a cascata p(8 MeV)+ Pb: O resultado do MCMC é normalizado ao número de ocupação do estado fundamental, ou seja, (T ) = ; (N) (T ), ; () (T ) sendo N o passo nal da cascata. A linha pontilhada é o cálculo de uma típica distribuição de Fermi para um gás de Fermi completamente degenerado a uma dada temperatura (T = :4 MeV) que equivale à energia média de excitação fornecida pelo MCMC. O potencial químico utilizado para o cálculo é compatível com a con guração do núcleo composto. O acordo entre o resultado do MCMC e a previsão teórica indica o grau de re namento do modelo. No modelo de Liège, entretanto, veri camos uma forte evasão de partículas abaixo da energia de Fermi e também um número de ocupação sicamente inconsistente (> 1) para baixas energias. Obviamente que essa comparação deve ser criteriosa, uma vez que as reações estudadas são completamente diferentes. Entretanto, a ocorrência de eventos espúrios durante a evolução dinâmica da cascata não deve depender do projétil ou regime de energia e sim da metodologia usada para tratar os efeitos da matéria nuclear. 5

26 Enfatizamos, adicionalmente, que todos os modelos de transporte utilizados até o momento possuem as mesmas discrepâncias, conforme reportado na ref. [6], as quais foram sicamente removidas no MCMC γ (1 MeV) + Pb (MCMC) T =.4 MeV p(8 MeV) + Pb (Liège-INC) ρ(t) T (MeV) Figura 4: Distribuição do número de ocupação em função da energia cinética dos nucleons. Detalhes no texto. 6

27 ..7 O critério energético de parada: A dependência temporal do MCMC possibilita o contínuo acompanhamento dos observáveis de interesse. Alguns modelos de transporte similares introduzem parâmetros de tempo a m de interromper o processo de cascata [6, 7, 33, 34, 35, 36, 37]. Tal parâmetro é independente da energia incidente, representando um valor médio no qual há variação no comportamento de alguns observáveis, como por exemplo a energia de excitação, e o sistema está presumivelmente em equilíbrio térmico. A fase rápida de um mecanismo de reação deve corresponder a um período de tempo no qual ao menos uma partícula tenha energia cinética su ciente para ser emitida. Ou seja, quando todas as partículas têm energia cinética menor que o potencial, o sistema atingiu seu equilíbrio e a fase de cascata dá lugar ao processo de evaporação. Tal critério de parada signi ca que cada evento de cascata tem seu próprio tempo de equilíbrio (t e ), eliminando, consequentemente, a necessidade da inclusão de parâmetros extras para o cálculo. A energia de excitação em MeV pode ser calculada, como usual, pela expressão: E = E X (Tj + B); (79) onde Tj é a energia cinética assintótica (V! ) do nucleon j e B = 7 MeV corresponde à energia média de ligação dos nucleons de valência. Apresentamos na gura 5 a distribuição normalizada da energia de excitação para a cascata (14 MeV)+Bi obtida pelo MCMC (histograma sólido), em comparação com os resultados da ref. [19] (histograma tracejado). A distribuição obtida em [19] é mais alargada com uma energia média de excitação he i 78 MeV (seta tracejada) consideravelmente maior do que aquela obtida no MCMC he i 46 MeV (seta sólida). Tal fato é devido, muito provavelmente, à metodologia usada para implementar o mecanismo de bloqueio de Pauli, indicando, inclusive, que no modelo MCMC a re-população dos níveis de energia é mais criteriosa, restringindo processos espúrios e levando a uma distribuição mais estreita com um valor médio menor e mais preciso. Vale ressaltar ainda que a distribuição obtida no MCMC pode ser caracterizada por dois processos bem distintos: i) eventos com baixa Interação de Estado Final do próton e do nêutron até aproximadamente 5 MeV, regime no qual aparecem estruturas provavelmente as- j 7

28 sociadas à con guração da excitação inicial, e ii) eventos com alta Interação de Estado Final para o regime de energias maiores correspondendo à descida tipicamente Maxwelliana inerente a processos de emissões estatísticas γ (14 MeV) + 9 Bi (MCMC) γ (14 MeV) + 9 Bi (Guaraldo et al.) Probability (%) Excitation energy (MeV) Figura 5: Distribuição normalizada da energia de excitação. Detalhes no texto. As distribuições do tempo de equilíbrio (t e ) e da massa do núcleo composto para a cascata (1 MeV)+ Pb são apresentadas na gura 6, onde também veri camos um comportamento Maxwelliano para o regime de longos tempos de equilíbrio t e & 5 fm/c. 8

29 Probabilidade (%) γ (1MeV) +Pb γ (1MeV) +Pb 1 t e (fm/c) Massa do núcleo composto Figura 6: Distribuição normalizada do tempo de equilíbrio t e e da massa do núcleo composto. Detalhes no texto. A di culdade encontrada em modelos de transporte similares [6, 7, 33, 34, 35, 36, 37] para obter um critério de parada baseado em considerações energéticas pode estar associada às emissões espúrias observadas na gura 4, visto que o sistema aparentemente nunca atinge o estado de equilíbrio. Veri camos, portanto, que a abordagem adotada no MCMC sintetiza as mais importantes propriedades dos modelos atuais numa versão mais re - nada, ou seja, acopla um rigoroso mecanismo de bloqueio de Pauli, que leva em conta a dinâmica de estados de excitação complexos de partícula-buraco, a um critério consistente de parada da cascata livre de parâmetros adicionais. 9

30 ..8 O decaimento do núcleo composto: A fase de evaporação do núcleo composto é descrita por um algorítmo de Monte Carlo que leva em conta a competição entre o canal de ssão e emissão de partículas. Tal modelo representa uma versão otimizada do código MCEF [38, 39] e é parte integrante de projetos de pós-graduação de outros membros do grupo. Por essa razão, nos limitaremos a descrever abaixo apenas algumas das principais características desse código, visto que a ênfase do presente doutoramento é justamente a fase de cascata. O modelo de evaporação proposto leva em conta emissão de nêutron (), próton (), alfa (), dêuteron (d), trition (t) e 3 He. A probabilidade de emissão da partícula em relação à probabilidade de emissão de nêutron é calculada de acordo com o modelo estatístico de Weisskopf [4]: E = a n h io exp (a E) 1 (a E) 1 ; (8) E a onde = 1(); (); 1(d); 3(t) e ( 3 He) [41]: E k = E (B k + V k ) é a energia de excitação após a emissão da partícula : As energias de ligação B k e o potencial Coulombiano V k são os mesmos empregados na ref. [39]. O parâmetro de densidade de nível para emissão de nêutron é dado por [4]: a = :134A 1:1 1 4 A 1 + [1 exp( :61E ] M ; (81) E sendo M (MeV) a correção de camada para as massas nucleares [43]. Para as demais partículas, adotamos a k = a [41]. A razão entre a probabilidade de ssão e a probabilidade de emissão de nêutron é calculada usando o modelo da gota líquida (LDM) de Bohr e Wheeler [44] e o modelol estatístico de Weisskopf [4] e Vandenbosch e Huizenga [45]: i 15a h a f E 1 f f 1 n h io = exp a 4A f E 1 3 a f E f (a E) 1 ; (8) com Ef = E B f. As barreiras de ssão B f são as mesmas usadas na ref. [39], enquanto que para a f usamos [4]: 3

31 Z a f = 1 + :5917 A Z a f = 1 + :833 A 34:34 a ; Z A 34:9 (83) 3:3 a ; 31: < Z 34:9 (84) A a f = a ; Z 31:: (85) A Durante a evaporação, as grandezas A; Z e M são atualizadas sempre que uma partícula é emitida, sendo as larguras relativas re-calculadas. O processo termina quando o núcleo ssiona ou quando a energia de excitação disponível não é su ciente para que uma partícula seja emitida. 31

32 ..9 A seção de choque total de fotoabsorção nuclear: O modelo MCMC pode ser utilizado como poderosa ferramenta para se calcular a seção de choque total de fotoabsorção nuclear T no intervalo -14 MeV. Nesse intervalo, T é a soma da contibuição da resonância gigante de dipolo (GDR) e do quase-dêuteron (QD), ou seja: T (E ) = QD (E ) + GDR (E ): (86) A contribuição do QD pode ser calculada a partir da eq.(57) com L = 6:5 [18], e usando os fatores de bloqueio de Pauli f(e ) calculados no MCMC (linhas sólidas da g.). A contribuição da GDR é normalmente parametrizada por uma Lorentziana, cujos parâmetros foram determinados por ajuste aos dados experimentais [46]. Os resultados para T (E ) são apresentados na gura 7 (linhas sólidas), em comparação com os resultados da ref. [18] (linhas tracejadas). Os dados experimentais são do grupo de Saclay [7]. A quantidade red ( dividido pelo número de pontos experimentais) é calculada para E 5 MeV, a m de se comparar estatísticamente as duas abordagens. Veri camos que, para o Sn e o Ta, ambos os cálculos são estatísticamente inconsistentes com os dados, enquanto que para o Ce e o Pb, o modelo MCMC fornece um descrição mais precisa. O resultado do MCMC também reproduz mais satisfatoriamente o comportamento de queda acentuada para as seções de choque do Sn, Ce e Pb até aproximadamente 5 MeV, sugerindo um mecanismo de bloqueio mais restritivo do que aquele obtido na ref. [18]. 3

33 Seção de choque (mb) 3 1 MCMC para Sn (χ red = 4.9) Chadwick et at. (χ red = 4.7) MCMC para Ce (χ red = 1.) Chadwick et at. (χ red = 1.3) Seção de choque (mb) MCMC para Pb (χ red = 1.1) Chadwick et at. (χ red =.3) MCMC para Ta (χ red = 3.7) Chadwick et at. (χ red =.3) Energia do fóton (MeV) Energia do fóton (MeV) Figura 7: Seção de choque total de fotoabsorção nuclear, detalhes no texto. 33

34 ..1 Multiplicidade média de nêutrons emitidos: A multiplicidade média de nêutrons hi emitidos durante as fases de cascata e evaporação é calculada levando-se em conta os dois mecanismos majoritários de fotoabsorção na faixa E 14 MeV: hi = QD(E ) T (E ) h hi f + hi CN s i + GDR(E ) T (E ) hi T s ; (87) sendo hi f e hi s, respectivamente, a multiplicidade média de nêutrons rápidos e lentos. CN (A CN ; Z CN ; ECN ) e T (A T; Z T ; E ) representam as con gurações do núcleo composto e núcleo alvo, respectivamente, enquanto que ECN é a energia média de excitação de todos os processos de cascata resultando no mesmo núcleo composto (A CN ; Z CN ). A energia de excitação média he i, como função do fóton incidente, é dada por: he i = X CN E CN CN; (88) onde CN é a respectiva razão de rami cação para o canal CN: As grandezas hi f, ECN e CN são calculadas diretamente no MCMC. Os resultados para he i e hi f para Sn, Ce, Ta e Pb no intervalo -14 MeV são apresentados nas guras 8 e 9, respectivamente. 34

35 <E*> (MeV) Sn Ce Ta Pb Energia do fóton (MeV) Figura 8: Energia média de excitação em função da energia do fóton incidente. 35

36 Sn Ce Ta Pb <ν> f Energia do fóton (MeV) Figura 9: Multiplicidade média de nêutrons rápidos em função da energia do fóton. A multiplicidade média de nêutrons lentos é calculada usando: hi CN s = X " # 1 NX CN i N CN i=1 CN e (89) hi T s = 1 NX T i ; N (9) sendo que CN=T i é o número total de nêutrons emitidos para uma dada con guração de Núcleo composto/núcleo Alvo após o término do i-ésimo processo de evaporação com N representando o número de repetições da simulação. Emissões diretas no decaimento da ressonância são improváveis para núcleos pesados e foram desprezadas na análise onde supusemos E = E. Os resultados são mostrados na gura 1, em comparação com os dados experimentais do grupo de Saclay [47]. O acordo entre teoria e experimento é evidente, incluindo os dois regimes distintos que aparecem entre e 8 MeV e de 8 a 14 MeV. Tal fato indica que alguns parâmetros de suma importância para a fase de evaporação, tais como hi f, ECN e CN foram precisamente determinados pelo MCMC. 36 i=1

37 Sn 1 1 Ce <ν> Pb 8 Ta <ν> Energia do fóton (MeV) Energia do fóton (MeV) Figura 1: Multiplicidade média de nêutrons emitidos levando-se em conta emissões diretas, emissões de pré-equilíbrio e evaporacão nuclear em função da energia do fóton incidente. Vale ressaltar que o mecanismo de bloqueio de Pauli tem um papel fundamental na determinação dos observáveis de interesse, visto que determina como o uxo de energia incidente será distribuído entre as partículas, tendo in uência no número de partículas emitidas no pré-equlíbrio e na energia de excitação do núcleo composto. Um mecanismo de bloqueio mais restritivo, como aquele adotado no código de Bertini [1] onde só há interação caso ambas as partículas tenham momento maior que o momento de Fermi, leva a um decréscimo na energia de excitação, uma vez que a maioria das colisões é bloqueada e a evasão da esfera de Fermi não é levada em conta. Por outro lado, um bloqueio de Pauli estocástico, como aquele usado no modelo de Liège [6, 7, 33, 34, 35, 36, 37] e também na ref. [19] tende a sobre-estimar a energia de excitação (ver g.5), visto que processos espúrios podem ocorrer, com o uxo de energia incidente cando praticamente todo dentro do núcleo. 37

38 Ou seja, podemos sintetizar dizendo: enquanto o mecanismo estocástico de Liège é muito e ciente para distribuir a energia entre as partículas da cascata, o modelo de Bertini é pouco e ciente, sendo o código MCMC realisticamente e ciente. 38

39 ..11 Resultados preliminares para o 3 Th: Reportamos nessa seção alguns resultados preliminares para o 3 Th que correspondem à fase de cascata apenas. A parte de evaporação será analisada no decorrer do penúltimo semestre da bolsa. Os observáveis de interesse para a fase rápida de cascata são as distribuições dos núcleos compostos e respectivas energias médias de excitação. Dessa forma, foram realizadas 5 repetições em passos de 5 em 5 MeV no intervalo E 14 MeV (total aproximado de 3 hs de CPU), a m de se obter as con gurações dos núcleos compostos. Os resultados são apresentados abaixo, onde usamos a notação (; ) (N N; Z Z), sendo N e Z, respectivamente, o número de nêutrons e prótons no estado fundamental e N e Z as mesmas grandezas após a cascata. Em virtude do grande número de con gurações resultantes da cascata, nos limitamos a apresentar nos grá cos que seguem apenas aquelas que têm maior relevância para o cálculo de observáveis físicos, ou seja, nos limitamos aos intervalos N N 8 e Z Z 6: Nas guras de 11 a 19 apresentamos as distribuições dos núcleos compostos (N N; Z Z), sendo que, para cada grá co, xamos N N entre a 8, varrendo o intervalo Z Z 6. Nas guras de a 8 apresentamos a distribuição da energia média de excitação correspondente à con guração do núcleo composto. O critério de apresentação é o mesmo exposto anteriormente. As descontinuidades que aparecem em alguns grá cos, tanto nas distribuições dos núcleos compostos, quanto nas distribuições da energia média de excitação, são devidas a eventos com probabilidade inferior a.% (1/5). 39