Exame de Ingresso Física Aplicada - Física Computacional Primeiro Semestre de 2018 GABARITO

Transcrição

1 Exame de Ingresso Física Aplicada - Física Computacional Primeiro Semestre de 2018 GABARITO 1

2 QUESTÕES DA ÁREA DE FÍSICA 2

3 Questão 1: Devido à rotação da Terra, há uma aceleração centrípeta em função da latitude,. Essa aceleração modifica a aceleração da gravidade local em diferentes latitudes, ou seja, há uma aceleração da gravidade efetiva sobre a massa dando a um corpo um novo peso aparente. Considere que o raio médio da Terra é de e a aceleração da gravidade na Terra é. a) Determine a equação da aceleração centrípeta na Terra em função de. b) Considerando que a aceleração centrípeta apenas modifica o módulo de aceleração gravitacional (não muda a direção com relação ao centro da Terra), determine a aceleração da gravidade efetiva local na linha do equador, na latitude e no polo. Gabarito a) Dado que a Terra gira em torno de seu eixo, a aceleração centrípeta em sua superfície para qualquer latitude pode ser determinada da seguinte maneira: Substituindo os valores e lembrando que a Terra completa uma volta em 1 dia: b) A aceleração efetiva, considerando que a aceleração centrípeta não muda a direção da aceleração gravitacional com relação ao centro da Terra, é dada pela soma vetorial entre as componentes radiais das duas acelerações. Assim, em módulo, tem se: Na linha do Equador, Na latitude de No polo, 3

4 Questão 2: Os praticantes de artes marciais sabem que um golpe de caratê pode quebrar um bloco de concreto. Imagine que sua mão tenha massa e que você consiga golpear o bloco a uma velocidade de. Nessa situação, sua mão para abaixo do ponto inicial de contato. a) Que impulso o bloco exerce na sua mão? b) Assumindo que o tempo de contato da mão com o bloco seja de, qual a força média que o bloco exerce na sua mão? Gabarito a) O impulso, em módulo, que o bloco exerce sobre a mão é dado pela variação do momento linear. Assim: Assumindo o eixo positivo para cima, temos que a velocidade inicial da mão é velocidade final é. Assim, o impulso exercido é: enquanto a b) A força média exercida pelo bloco na mão é dada por. Assim,. 4

5 Questão 3: Um pêndulo é composto por uma massa presa a um fio, de massa desprezível, de comprimento. A massa é deslocada lateralmente de maneira que o fio forma um ângulo com a vertical e, então, é liberada a partir do repouso. Despreze a resistência do ar. a) Determine a velocidade da massa no ponto mais baixo da trajetória. b) A tensão no fio no ponto mais baixo da trajetória. c) Deduza o período de oscilação do sistema se o ângulo for pequeno. Gabarito a) Utilizando conservação de energia, temos: Adotando a referência da energia potencial na parte mais baixa da trajetória, temos que. Por consequência, é a altura com relação à, que pode ser determinado usando geometria: Lembrando que o pêndulo é posto em movimento a partir do repouso (, tem se: b) No ponto mais baixo da trajetória, a aplicação da segunda Lei de Newton resulta em: Nessa situação, a massa tem aceleração centrípeta dada por. Portanto: c) Da segunda Lei de Newton podemos escrever que Onde o comprimento de arco S está relacionado com o ângulo pela relação. Portanto, pode se escrever que e, assim: Se for pequeno, então pode se dizer que e assim: 5

6 Que pode ser reescrita da seguinte forma: em que é a frequência de oscilação natural desse sistema. Como o período de um sistema oscilatório é dado por., tem se que, no caso do pêndulo, 6

7 Questão 4: Considere a seguinte função de onda de uma corda fixa pelas duas extremidades:, em que e estão em centímetro e é dado em segundos. a) Qual é o comprimento de onda e a frequência dessa onda? b) Qual a velocidade das ondas transversais na corda? c) Considerando que a corda está vibrando no seu quarto harmônico, qual é o seu comprimento? Gabarito a) O comprimento de onda está relacionado à função. Um comprimento de onda ocorre quando o argumento da função seno é 2, ou seja, =2 /0,2=31,4 cm. A frequência está relacionada à função. Um período inteiro ocorre quando o argumento da função cosseno é 2, ou seja, T=2 /300=0,0209 s que equivale a uma frequência. b) A velocidade de uma onda é dada pela seguinte relação:. Assim: c) O comprimento da corda é. Como (quarto harmônico),,, temos:. 7

8 Questão 5: 1) Um estudante pretende realizar um experimento de calorimetria caseiro e, para isso, monta seu próprio calorímetro com isopor e alumínio. O estudante coloca de água no calorímetro. A temperatura de equilíbrio do sistema nessa condição é. Ele, então, deixa uma moeda de massa cair no interior do calorímetro e não percebe que isso aconteceu. O estudante adiciona de água à temperatura de e o equilíbrio térmico ocorre na temperatura de. Considere o calor específico da água como. a) Sem perceber que a moeda estava dentro do calorímetro, qual o valor da capacidade térmica do calorímetro encontrada pelo estudante? b) Sabendo que capacidade térmica real do calorímetro é, encontre a temperatura inicial da moeda. Considere o calor específico da moeda como. Gabarito a) Em um sistema isolado, o calor cedido e o calor absorvido é igual. Desconsiderando a moeda no sistema, as trocas de calor no mesmo são descritas por: Substituindo os valores e isolando a capacidade térmica do calorímetro: b) Considerando a moeda e sabendo o valor da capacidade térmica do calorímetro, pode se calcular a temperatura inicial da moeda da seguinte maneira (assumindo um sistema isolado): Assim: 8

9 QUESTÕES DA ÁREA DE COMPUTAÇÃO 9

10 Questão 1: Dizemos que a mod m = b se b é o resto da divisão de a por m. (Estamos considerando apenas números inteiros não-negativos neste problema.) Escreva um código que, dado dois inteiros positivos m e n (eles podem ser constantes definidas no seu código) encontre e nostre na saída padrão todos os pares (a, b) tais que 0 < a, b < n, a b e a mod m = b mod m. A ordem em que os pares são mostrados não é importante, mas cada par deve ser mostrado apenas uma vez [isto é, se mostramos (i, j), então não devemos mostrar (j, i)]. Gabarito: (Uma possível solução em C++): #include <iostream> int main(int argc, char const *argv[]) { auto m = 7; auto n = 30; for (int a = 0; a < n-1; ++a) { auto i = a % m; for (int b = a+1; b < n; ++b) { auto j = b % m; if (i == j) { std::cout << a << ", " << b << std::endl; return 0; 10

11 Questão 2: Escreva uma função que recebe como parâmetros um vetor (array) de números inteiros v e um número inteiro k e retorna um vetor onde cada elementos de v que seja divisível por k é substituído por k seguido do quociente da divisão do elemento por k; os outros elementos ficam inalterados e em suas posições relativas originais. Por exemplo, se a entrada for v=[1, 4, 5, -6, 7] e k=2, a saída será [1, 2, 2, 5, 2, -3, 7]. Gabarito: (Uma possível solução em C++) std::vector<int> divided(std::vector<int> v, int k) { std::vector<int> w; for (auto x: v) { if (x % k == 0) { w.push_back(k); w.push_back(x / k); else { w.push_back(x); return w; 11

12 Questão 3: No seu computador existe um arquivo denominado pmeasurements.dat que contém informações sobre diversas peças em formato de paralelepípedo feitas de diversos materiais. Cada linha do arquivo tem as seguintes informações sobre uma das peças: identificador da peça (uma cadeia alfanumérica sem espaços), três números de ponto flutuante com os lados em metros do paralelepípedo nas trẽs dimensões e o peso em kilogramas da peça. Os campos são separados entre si por um número arbitrário de espaços em branco. Você deve fazer um código que leias esses dados e mostre na saída padrão o identificador das peças com menor e maior densidade (em caso de empate entre duas ou mais peças não importa qual delas é mostrada). Seu programa não precisa lidar com situações de erro. Gabarito: (Uma possível solução em C++) #include <iostream> #include <fstream> #include <string> #include <sstream> #include <vector> #include <algorithm> struct Peca { std::string id; double x, y, z; double peso; Peca(std::string id, double x, double y, double z, double peso) : id(id), x(x), y(y), z(z), peso(peso) { double densidade() const { return peso / (x * y * z); friend bool operator<(peca const &a, Peca const &b) { return a.densidade() < b.densidade(); ; std::vector<peca> le_dados(std::string nome_arq) { std::ifstream arqdados(nome_arq); std::string s; std::vector<peca> dados; while (std::getline(arqdados, s)) { auto first_space = s.find(' '); std::string id(s, 0, first_space); std::istringstream ss{s.substr(first_space); double x, y, z, p; ss >> x >> y >> z >> p; dados.emplace_back(id, x, y, z, p); return dados; int main(int argc, char const *argv[]) { 12

13 auto dados = le_dados("pmeasurements.dat"); auto result = std::minmax_element(dados.begin(), dados.end()); std::cout << "Menos denso: " << result.first->id << std::endl; std::cout << "Mais denso: " << result.second->id << std::endl; return 0; 13

14 Questão 4: Explique o procedimento de reordenação de um vetor de N posições, conhecido como reversão de bits, que é necessário como parte de algoritmos de FFT (como no método de Cooley e Tukey). Existe alguma condição para o valor N? A explicação deve ser a nível de representação binária da posição dos elementos no vetor, e deve ser incluído um exemplo com a reversão de todos os elementos para N=8. GABARITO: N precisa ser uma potência inteira de 2, ou seja N = 2ˆk. Os elementos do vetor original, digamos X, são transportados para o novo vetor, digamos Y, através da reversão dos bits do índice de cada elemento em X. Por exemplo, se N = 8, o elemento de X representado em binário como [b2, b1, b0], será armazenado na posição [b0, b1, b2] do vetor Y. Desta forma, para N=8, k=3, temos as sequintes mudanças de posições 0 => 0; 1 => 4; 2 => 2; 3 => 6; 4 => 1; 5 => 5; 6 => 3; 7 => 7. 14

15 Questão 5: Percorra o grafo abaixo seguindo o algoritmo de busca em profundidade e o algoritmo de busca em largura. B F E A C H G D Gabarito: Profundidade:ABEGFCHD Largura: ABDGEFCH 15