Application of the Subspace Identification Method using the N4SID Technique for a Robotic Manipulator

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1 1588 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 14, NO. 4, APRIL 2016 Application of the Subspace Identification Method using the N4SID Technique for a Robotic Manipulator A. G. Costa Junior, J. A. Riul and P. H. M. Montenegro Abstract This paper presents results for the application of the Subspace Identification Method using N4SID technique in its deterministic case. The goal is to obtain a state-space mathematical model for a robotic manipulator with five degrees of freedom. This study aims to present alternatives to the Prediction Error identification techniques in multivariable systems with high complexity and elevated computational efforts. Results indicate that the applied subspace identification leads to a successful statespace mathematical model which makes it an efficient alternative method to mathematical modeling in future projects. Keywords N4SID Method, Robotic Manipulator, State-space Model, Subspace Identification, System Identification. U I. INTRODUÇÃO MA das atividades da engenharia consiste em obter modelos matemáticos que possam representar sistemas físicos. Para isto, existem duas áreas de estudo para que possam ser obtidos tais modelos que são: a modelagem pela física do sistema dinâmico modelagem caixa branca [1], [2]; e a identificação de sistemas modelagem caixa preta e caixa cinza [3] [5]. Na primeira técnica, a modelagem consiste no equacionamento dos fenômenos envolvidos nos sistemas dinâmicos, usando as leis da física, onde nem sempre há viabilidade no procedimento de modelagem, por falta de conhecimento e de tempo necessário para a realização. Na segunda técnica, a identificação de sistemas estuda alternativas de modelagem matemática, no qual pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário. Na área de identificação de sistemas, a literatura apresenta um vasto acervo de publicações, no qual uma das categorias para obter um modelo matemático é através do método de predição do erro (PEM Prediction Error Methods). Outra categoria seria a utilização do método por variáveis instrumentais (IVM Instrumental Variable Methods) [3] [6]. Em meados da década de 90 do século passado, começam as primeiras publicações de artigos explorando a técnica por subespaço (SIM Subspace Identification Methods), surgindo então, o primeiro livro abordando a técnica [7], o qual A. G. Costa Junior, Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Paraíba (IFPB), Laboratório de Instrumentação, Sistemas de Controle e Automação (LINSCA), João Pessoa, Paraíba, Brasil, ademar.costa@ifpb.edu.br J. A. Riul, Universidade Federal da Paraíba (UFPB), Programa de Pós- Graduação em Engenharia Mecânica, João Pessoa, Paraíba, Brasil, riul@ct.ufpb.br P. H. M. Montenegro, Universidade Federal da Paraíba (UFPB), Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, João Pessoa, Paraíba, Brasil, paulo@ct.ufpb.br apresenta a teoria e sua aplicação em sistemas físicos. Desta publicação, a teoria se difunde, fazendo com que inúmeros livros e artigos sejam publicados pela comunidade científica [8] [16]. Em publicações mais recentes, pesquisas utilizando o SIM são realizadas nas áreas de identificação em malha fechada [17], e a utilização de modelos não-lineares [18]. Diversas aplicações com identificação por subespaço vêm sendo apresentadas na literatura [19] [21], e na área de manipuladores robóticos, [22] e [23] apresentam propostas do uso do SIM, utilizando o método MOESP (Multivariable Output Error State Space), como alternativa à modelagem dinâmica analítica através das equações de Euler-Lagrange [24]. Para sistemas multivariáveis, a obtenção de modelos através do PEM e do IVM é um tanto complexa, e sua confiabilidade numérica pode ser inaceitável em problemas que tenham um grande número de entradas e de saídas [14]. O método SIM é uma alternativa ao PEM e ao IVM para obter modelos através dos dados de entrada e de saída, já que utiliza uma parametrização simples e generalista, para sistemas multivariáveis. Métodos por subespaço são baseados em ferramentas numéricas robustas, tais como, a fatoração QR e a decomposição em valores singulares (SVD Singular Value Decompostion), onde sua teoria é derivada da álgebra linear, estimando matrizes de estado de forma rápida. Segundo [14], os algoritmos por subespaço são atraentes devido ao uso da representação em espaço de estados, sendo conveniente para a estimação, a filtragem, a predição e o controle. O objetivo deste artigo é apresentar um modelo matemático, em espaço de estados, da posição angular de dois elos (base e braço) de um manipulador robótico eletromecânico de cinco graus de liberdade, utilizando técnicas de identificação por subespaço através do método N4SID (Numerical algorithms for Subspace State Space System Identification) para o caso puramente determinístico. Este artigo é organizado da seguinte maneira: na Seção II são apresentados os principais fundamentos teóricos da identificação por subespaço; na Seção III é apresentada uma breve descrição da bancada de testes e os sinais de testes para identificação do sistema, utilizando a modelagem caixa preta; na Seção IV são apresentados os resultados experimentais obtidos. A Seção V apresenta as considerações finais do trabalho.

2 GONÇALVES COSTA JUNIOR et al.: APPLICATION OF 1589 II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS Nesta seção, uma visão geral sobre os fundamentos teóricos sobre o método de identificação por subespaço (SIM) é apresentada. Considere o modelo linear, discreto e invariante no tempo, em espaço de estados, descrito por: = + + (1) = + + (2) com: = 0 (3) os quais,, R, R, R, R, R e R. Os vetores R e R são as medidas no intervalo de tempo discreto, das respectivas entradas e saídas do sistema. O vetor R é o vetor de espaço de estados do sistema, no intervalo de tempo discreto, contendo os valores numéricos dos estados. Os vetores R e R são vetores de sinais não medidos, denominados de ruído de medição e de ruído do sistema, respectivamente, assumindo que esses ruídos sejam brancos, estacionários e com média zero. O denota a esperança matemática e, o delta de Kronecker [7]. As matrizes, e são as matrizes de covariância da sequência de ruídos e. O par de matrizes, é assumido ser observável, implicando que todos os modos no sistema podem ser observados na saída, portanto, ser identificável. O par de matrizes, / é assumido ser controlável, implicando que todos os modos do sistema são excitados pela entrada determinística, e/ou pela entrada estocástica. A ideia básica dos algoritmos de subespaços é estimar as matrizes,,,,, e de um modelo de espaço de estados discreto determinístico-estocástico (equações 1 e 2), dado que seja disponibilizado o conjunto de dados de entrada e de saída de um sistema. Existem três casos distintos, na teoria de SIM [7]: O caso puramente determinístico ( e =0); O caso puramente estocástico ( =0); O caso determinístico/estocástico, como apresentado nas equações (1) e (2). Neste artigo serão apresentados resultados do caso puramente determinístico. Todos os métodos de identificação por subespaços consistem em duas etapas. Na primeira etapa, o algoritmo calcula uma determinada característica do subespaço de um conjunto de dados de entrada e de saída, o qual coincide com o subespaço gerado pelas colunas da matriz de observabilidade estendida (Γ ). A dimensão deste subespaço é igual à ordem do sistema a ser identificado. Na segunda etapa, os algoritmos de identificação por subespaços mencionados aplicam uma das seguintes estratégias: O MOESP (Multivariable Output Error State Space) determina duas matrizes ( e ) diretamente do subespaço da observabilidade estendida. Depois da determinação das matrizes e, essas são utilizadas para a determinação das demais matrizes do sistema (,); O N4SID utiliza a matriz de observabilidade estendida para, implicitamente, determinar duas sequências de estado. A partir das sequências de estado, combinadas com os dados originais de entrada e de saída, todas as matrizes do sistema podem ser determinadas diretamente pela resolução de um conjunto de equações pelo método dos mínimos quadrados. Este será o método utilizado como estudo de caso, neste artigo. Pode ser observado que, a segunda estratégia utiliza um único passo, enquanto a primeira utiliza dois passos na determinação de todas as matrizes do sistema. Em ambos os grupos, antes da identificação das matrizes do sistema, para o cálculo da sequência de vetor de estados utiliza-se apenas os dados de entrada e de saída. No procedimento de identificação, o principal passo é calcular a SVD de uma matriz de um bloco de Hankel, construída a partir dos dados de entrada e de saída. A. O Problema de Identificação por Subespaços O problema de identificação requer que, por meio de dados de entrada e de saída aplicados a um sistema, encontrem-se as matrizes,, e, do modelo de espaço de estados discreto determinístico. As equações (1) e (2) podem ser rearranjadas e, após algumas manipulações algébricas, fica estabelecido que [7], [15]: =Γ + (4) =Γ + (5) = +Δ (6) os quais: e são vetores de saídas passadas e futuras, respectivamente; e são vetores de entradas passadas e futuras, respectivamente. Estes vetores formam o bloco de Hankel de entrada ( e ) e de saída ( e ). O índice indica o uso de técnicas de subespaço para sistemas determinísticos, e o índice denota o número de blocos linha (para Γ ) e coluna (para Δ ), maiores que a ordem do sistema. As equações de saídas (4) e (5), são definidas como uma combinação linear de estados passados e futuros, multiplicados pela matriz de observabilidade estendida Γ, e a combinação linear das entradas passadas e futuras, multiplicadas por sua resposta ao impulso, também denominada matriz Toeplitz. A equação (6) relaciona os estados futuros ( ) com os estados passados ( ) sob a influência das entradas, em que é a inversa da matriz de controlabilidade [7].

3 1590 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 14, NO. 4, APRIL 2016 A interpretação geométrica da equação matricial (5) é apresentada na Fig. 1. Os vetores no espaço linha da matriz bloco de Hankel,, podem ser obtidos com a soma das combinações lineares dos vetores no espaço linha da sequência de estado, e as combinações lineares dos vetores no espaço linha da matriz bloco de Hankel. C. Determinação das Matrizes do Sistema Com a projeção oblíqua obtida pela decomposição SVD (equação 8), a qual é particionada nos subespaços coluna (Γ ) ou linha ( ), as matrizes do sistema podem são estimadas a partir de qualquer dos dois subespaços indicados (equações 9 e 10). No método N4SID, as matrizes do sistema,, e são obtidas em único passo, resolvendo o problema apresentado na equação (11), através dos mínimos quadrados [7], [15], [16]. Figura 1. Interpretação geométrica da equação (6). B. Estimando os Subespaços Para que os subespaços da matriz de observabilidade estendida Γ e da sequência de estados da matriz sejam estimados, por meio dos dados de entrada-saída, é necessária a determinação da ordem do sistema. A estimação Γ (equação 5) pode ser obtida por meio da projeção oblíqua de dados de entrada-saída do sistema, através de: = (11) O fluxograma do algoritmo N4SID é ilustrado na Fig. 2. = (7) Para que a projeção oblíqua seja separada em Γ e em, para sistemas puramente determinísticos, o posto de deverá ser igual à ordem do sistema e, Γ e podem ser recuperados de forma precisa pela decomposição SVD [7], [15], [16]: = = ) (8) os quais: é uma submatriz de contendo os valores singulares não-nulos de e, e são as partes correspondentes de e. A ordem do sistema das equações (1) e (2) é igual ao número de valores singulares da equação (8), diferentes de zero. A matriz de observabilidade estendida Γ compartilha o mesmo espaço coluna da projeção oblíqua, sendo obtida através da equação (9). Γ = / Como a sequência de estado fica no espaço linha da projeção oblíqua, esta sequência pode ser obtida através de: = / (10) (9) Figura 2. Algoritmo N4SID. III. O MANIPULADOR ROBÓTICO DE CINCO GRAUS DE LIBERDADE O manipulador robótico em estudo é o modelo RD5NT, da empresa Didacta Itália, instalado no Laboratório de Dinâmica, do Departamento de Engenharia Mecânica, da Universidade Federal da Paraíba (UFPB). Os elementos que compõem a bancada de testes são: Manipulador robótico eletromecânico de cinco graus de liberdade; Fonte de alimentação; Computador de mesa; Sistema de aquisição de dados; Circuito amplificador de potência. O manipulador robótico RD5NT, é um robô didático pesando aproximadamente 16 kg, composto por cinco juntas rotativas, quatro elos e uma garra. A transmissão de cada movimento é feita através do bloco moto-redutor, com dois estágios de redução, sendo utilizados os motores de corrente

4 GONÇALVES COSTA JUNIOR et al.: APPLICATION OF 1591 de contínua, fabricados pela Maxon Motor, com potência de 2,5 watts e com capacitor de longa vida. A tensão elétrica nominal dos motores CC é de 12 V, e a rotação máxima sem carga é de 6480 rpm. Os potenciômetros rotativos lineares, modelo 78CSB502, fabricados pela Sfernice, com resistência de 5 kω, asseguram a reprodução dos deslocamentos angulares das juntas e do movimento da garra. O diagrama de blocos da bancada de testes é ilustrado na Fig. 3. Figura 3. Diagrama de blocos da bancada de testes. A. Testes para a Identificação Para que fosse realizada a identificação em malha aberta, identificando um modelo de espaço de estados, para dois elos do manipulador robótico (base elo 1, e braço elo 2), foram gerados sinais do tipo degrau de 1,5 V de pico, acrescidos de ruído branco de amplitude 0,2 V pico a pico, aplicados de forma independente em cada entrada, evitando possíveis correlações entre os sinais utilizados para excitação do sistema dinâmico. Os dados de entrada são as tensões elétricas aplicadas ao motor de cada elo, denominados de e, e os dados de saída são as tensões elétricas nos potenciômetros de cada elo, denominados de e, em que os subíndices 1 e 2, estão relacionados aos elos 1 e 2 do manipulador robótico, respectivamente. Estas tensões elétricas representam valores proporcionais de posições angulares desses elos, dados em graus. Na bancada de testes, os dados das entradas e das saídas são coletados por meio de uma placa de aquisição National Instruments, modelo NI USB6009. Foram colhidas 2000 amostras em cada saída, com o tempo de amostragem de 30 ms, sendo realizada posteriormente a decimação dos dados amostrados, utilizando um fator de três, evitando a subamostragem [3], [5]. Para a identificação dos modelos, as 3500 primeiras amostras dos dados decimados foram separadas e as demais, utilizadas na validação dos modelos. Figura 4. Sinais para a identificação dos elos 1 e 2 do robô manipulador. (a) sinal de entrada, em volts; (b) sinal de entrada, em volts; (c) sinal de saída, em graus; (d) sinal de saída, em graus. B. Estimação da Ordem Para a estimação da ordem de sistemas lineares em modelo de espaço de estados existem poucas referências, utilizando a identificação por subespaço. Um método para a determinação da ordem do sistema () é a utilização do número de valores singulares (SVD Singular Value Decomposition) diferentes de zero, da projeção ortogonal ou oblíqua da matriz em bloco de Hankel dos dados de entrada e de saída do sistema. Em geral, a determinação da ordem é obtida detectando uma lacuna entre os valores singulares, o que muitas vezes, torna-se uma avaliação subjetiva. Na Fig. 5 são ilustrados os valores singulares do sistema utilizando a identificação por subespaço pelo método N4SID, em que foi escolhida a ordem 2, para que o modelo matemático em espaço de estados fosse de ordem reduzida, evitando esforços computacionais. IV. RESULTADOS EXPERIMENTAIS Com os dados do ensaio de excitação, o próximo passo é a realização da identificação por subespaço (SIM), usando o método N4SID, para os elos 1 e 2 do robô manipulador. Antes dos procedimentos para a identificação dos modelos, foram realizados pré-tratamentos nos sinais adquiridos de entrada e de saída obtidos: a remoção da média dos sinais; e a remoção de tendências. O conjunto de dados de entrada e de saída, após o pré-tratamento é ilustrado na Fig. 4. Figura 5. Valores singulares para o sistema identificado por subespaço, através do método N4SID.

5 1592 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 14, NO. 4, APRIL 2016 C. Validação dos Modelos Obtidos Uma das formas para validar os modelos obtidos é a comparação entre as saídas estimadas e as reais dos elos, denominada na literatura como validação dinâmica. A Fig. 6 ilustra a saída gerada pelos modelos obtidos pelo SIM-N4SID, de ordem 2, para os elos 1 e 2 do manipulador robótico. Por observação dos modelos, as saídas estimadas acompanham a saída medida, utilizando os dados de validação. modelo obtido. Se a razão â ) é pequena, o índice â ) MVAF fica próximo a unidade [25]. O modelo foi avaliado para a ordem 2, o qual o índice MVAF é de 89,91% e 92,93%, para os elos 1 e 2, respectivamente, indicando que o modelo matemático teve um desempenho satisfatório, em termos de validação. As matrizes do modelo de espaço de estados discreto,, e, geradas pelo SIM-N4SID para o manipulador robótico eletromecânico são: = (13) = (14) = (15) em que e são os autovalores da matriz, com a matriz de transmissão direta, nula, com os estados iniciais estimados = e = Figura 6. Validação dinâmica da resposta do sistema utilizando o método N4SID: (a) saída do elo 1. (b) saída do elo 2 (em vermelho, saída validada usando o N4SID, e em azul, sinal de saída). Na Fig. 7, são ilustrados os resíduos entre os sinais obtidos com a validação e o sinal adquirido dos dois elos. Observa-se um erro próximo à zero para o elo 1 e em torno da faixa de 10º para o elo 2. Figura 7. Erro de validação dinâmica utilizando o método N4SID: (a) saída do elo 1. (b) saída do elo 2. Para que a avaliação não seja subjetiva quando se utiliza a validação dinâmica, foi utilizado o índice MVAF (Mean Variance Accounted For), indicado na equação (12), para avaliação da qualidade do modelo matemático produzido pelo método N4SID, sendo definido como: %) = â ) â ) (12) os quais: y é a saída medida, N é a quantidade de dados utilizadas para a validação, e y é a saída estimada pelo V. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho foram apresentados as técnicas e procedimentos para a identificação de sistemas utilizando métodos por subespaços. Baseado no uso de conceitos da teoria da álgebra linear, as técnicas envolvem conceitos que tornam a modelagem multivariável mais simples, em comparação com outros métodos de identificação. A partir da aplicação do método por subespaço, em especial neste trabalho, o método N4SID, verifica-se que há espaço para que seja explorado, como uma alternativa às técnicas por PEM, baseadas em funções polinomiais, e também como alternativa a técnica baseada na modelagem caixa branca, não triviais de resolução em problemas multivariáveis aplicados em manipuladores robóticos. Em trabalhos futuros, os modelos obtidos em espaço de estado determinísticos serão utilizados para o projeto de controladores, para rastrear a trajetória dos elos. Também será avaliado o caso determinístico/estocástico para a identificação, já que as medições contêm ruídos. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Universidade Federal da Paraíba (UFPB) e ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba (IFPB), localizadas no Brasil, pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho. REFERÊNCIAS [1] L. Ljung and T. Glad, Modeling of Dynamic Systems, Prentice Hall, [2] C. Garcia, Modelagem e Simulação de Processos Industriais e de Sistemas Eletromecânicos, São Paulo: USP, [3] L. Ljung, System Identification: Theory for the User, Prentice-Hall, 1987.

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Atualmente é professor associado III do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal da Paraíba. Tem experiência na área de Engenharia Mecânica, com ênfase em controle de sistemas Mecânicos e de processos, atuando principalmente nos seguintes temas: robótica, identificação de sistemas e de processos e controle adaptativo. Paulo Henrique de Miranda Montenegro possui graduação em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal da Paraíba (1997), mestrado em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal da Paraíba (2003) e doutorado em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal da Paraíba (2007). Atualmente é professor adjunto IV (DE) do Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade Federal da Paraíba. Tem experiência na área de Engenharia Mecânica, com ênfase em controle de sistemas, atuando principalmente nos seguintes temas: controle ativo de sistemas, identificação de sistemas e controle adaptativo Ademar Gonçalves da Costa Junior é graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), Campina Grande, Paraíba, Brasil, em Obteve o título de mestre em Engenharia Elétrica pela mesma universidade, em 2005, sendo aluno de Doutorado em Engenharia Mecânica pela Universidade Federal da Paraíba (UFPB), João Pessoa, Paraíba, Brasil, com previsão de defesa em Atualmente é professor do Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia da Paraíba (IFPB), campus João Pessoa, sendo