MODELAMENTO MATEMÁTICO DE UM PROTÓTIPO DE BRITADOR DE MINÉRIOS UTILIZANDO IDENTIFICAÇÃO POR SUBESPAÇOS COM O MÉTODO MOESP

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1 MODELAMENTO MATEMÁTICO DE UM PROTÓTIPO DE BRITADOR DE MINÉRIOS UTILIZANDO IDENTIFICAÇÃO POR SUBESPAÇOS COM O MÉTODO MOESP JOSE LEONARDO BENAVIDES M., SILVIA LOAIZA, ADEMAR G. COSTA JUNIOR * Universidad Nacional de Loja, Loja, Ecuador * Laboratório de Instrumentação, Sistemas de Controle e Automação (LINSCA) IFPB, campus João Pessoa, Brasil s: {josephle2004, scloayza}@yahoo.es, ademar.costa@ifpb.edu.br Abstract The present paper describes the use of subspace identification techniques, in particular, MOESP method in its deterministic case, applied to a prototype of a mineral crushing, that is part of the mineral processing chain. A mathematical model linear time-invariant discrete-time state space is obtained and the result indicates that the estimated model is satisfactory and it can be used in future projects of controllers to improve performance and efficiency in plants involving the use of this unit operation. Keywords Crushing process, jaw crusher, mathematical modelling, MOESP method, subspace identification, system identification Resumo Este artigo descreve o uso de técnicas de identificação por subespaço, em particular, o método MOESP em seu caso determinístico, aplicado a um protótipo desenvolvido de um britador de minerais, que faz parte da cadeia de processamento do minério. Um modelo matemático em espaço de estados discreto, linear e invariante no tempo é obtido e o resultado apresentado indica que o modelo estimado é satisfatório, podendo ser utilizado em projetos futuros de controladores visando o aprimoramento de desempenho e de eficiência em plantas que envolvem o uso dessa operação unitária. Palavras-chave Britador de mandíbulas, identificação de sistemas, identificação por subespaços, modelamento matemático, método MOESP, processo de britagem 1 Introdução A atividade da mineração, em linhas gerais, consiste na extração de substâncias minerais em depósitos na terra que devem ser preparadas para o processamento. Essa atividade industrial, indispensável para a manutenção do nível de vida, inclui a mineração de petróleo, de metais, além de outros possíveis minerais a serem explorados. O primeiro passo do processo produtivo da extração mineral é a redução gradual do material bruto extraído dos depósitos, em um pó fino, com a ajuda do processo de britagem que requer uma grande quantidade de energia para seu funcionamento. Um dos objetivos do sistema de controle e de automação utilizado na mineração é aumentar a eficiência e a produtividade, cujos britadores têm o papel importante em esmagar os minerais, onde o controle das diversas variáveis pode conduzir a um aumento de desempenho e da eficiência da planta (Sbárbaro, 2005; Sbárbaro e Villar, 2009). Com a crescente complexidade dos processos industriais, o desenvolvimento de modelos matemáticos dinâmicos fenomenológicos, muitas vezes, se torna difícil, e uma alternativa é o uso de técnicas baseadas em identificação de sistemas que utilizam um conjunto de dados de entrada e de saída (Ljung, 1999; Coelho e Coelho, 2004; Aguirre, 2007). Trabalhos recentes indicam o uso de técnicas de identificação de sistemas, por meio do uso de técnicas de predição do erro (PEM Prediction Error Methods) baseada em funções de transferência, com o objetivo de modelar matematicamente a dinâmica de funcionamento dos britadores, para a posterior utilização no desenvolvimento de técnicas de controle (Acuña, Curilem e Cubillos, 2014; Maldonado, Quintero e Nalvay, 2016). Na área de identificação de sistemas, a literatura apresenta um vasto acervo de publicações, com concentração nas técnicas PEM (Ljung, 1999; Coelho e Coelho, 2004; Aguirre, 2007). Em meados da década de 90 do século passado, começam as primeiras publicações de artigos explorando um conjunto de técnicas denominadas de identificação por subespaços (Verhaegen e Dewilde, 1992; Verhaegen, 1993; Van Overschee e De Moor, 1994, 1995; Favoreel, De Moor e Van Overschee, 2000; Verdult and Verhaegen, 2002; Viberg, 2002, Katayama, 2005; Qin, 2006), cujas aplicações com identificação por subespaço vêm sendo apresentadas na literatura (Sotomayor, Park e Garcia, 2003; Castaño, Patiño e Espinosa, 2011; Costa Junior, Riul e Montenegro, 2016). Comparado com a PEM, os métodos de identificação por subespaços evitam o problema de selecionar a estrutura do modelo disponível, combinando múltiplos sistemas, como também evitam a parametrização do modelo de forma explícita, sendo notória a dificuldade para sistemas multivariáveis. E ao contrário das diversas técnicas PEM, as técnicas de identificação por subespaços são não iterativos e não são baseados em procedimentos de otimização não lineares, evitando diversos problemas computacionais, tais como mínimos locais, convergência e condições iniciais (Verhaegen e Dewilde, 1992; Van Overschee e De Moor, 1996; Katayama, 2005; Qin, 2006). O objetivo deste artigo é apresentar os resultados obtidos para o modelamento matemático de um pro- ISSN

2 tótipo de britador desenvolvido na Universidade Nacional de Loja no Equador, utilizando técnicas de identificação por subespaços offline, em específico, o uso do método MOESP em seu caso determinístico. Apesar de que o sistema dinâmico estudado seja SISO (Single Input, Single Output), os resultados indicam que a aplicabilidade dessas técnicas de identificação, tradicionalmente utilizadas em sistemas multivariáveis, também é possível para sistemas monovariáveis, com o objetivo de desenvolver projetos de sistemas de controle, posteriormente. Este artigo é organizado da seguinte maneira: na seção 2 é descrito de forma breve, o processo de britagem de minérios e o protótipo desenvolvido para tal; na seção 3 são apresentados os principais fundamentos teóricos da identificação por subespaço utilizando o método MOESP; na seção 4 são apresentados os resultados experimentais obtidos e por fim, na seção 5, as considerações finais do artigo. 2 Descrição do Processo de Britagem No processo de mineração para a obtenção de um determinado produto, em geral, têm-se as seguintes fases no processo que são: a mineração, a redução de tamanho, a classificação, a concentração e a liberação do produto. Nas etapas de redução do tamanho e de classificação, o material é selecionado e recolhido das minas por meio de caminhões, sendo em seguida, enviado a um britador. As rochas são fragmentadas em até 80 mm de diâmetro, e correias transportadoras conduzem o material ao moinho de bolas semi autógeno (SAG), que é um moinho rotativo do tipo tambor (Sbárbaro e Villar, 2009). Nesse moinho, o material resultante do processo possui um tamanho máximo de, aproximadamente, 27 mm, sendo, posteriormente, enviado a um moinho de bolas, cujas partículas não superam o tamanho de 0,15 mm, equivalente a uma areia fina (Weiss, 1985). Após o processo de moagem, as partículas são enviadas a uma célula mecânica de flotação, permanecendo suspensas em um meio aquoso. O processo seguinte é o espessador, onde o material é centrifugado e filtrado, com paletas mecânicas que extraem o excesso de água, obtendo, dessa maneira, o concentrado do minério (Weiss, 1985). 2.1 Tipos de Britadores Primários Alguns dos equipamentos associados em um típico britador são os alimentadores, as correias transportadoras e as telas, que podem afetar o processo de redução de tamanho do material, por meio da tremonha de trituração (Duthoit, 2000; Sbárbaro e Villar, 2009). Esse processo é ilustrado na Figura 1. Os britadores podem ser classificados em giratórios, cônicos e de mandíbulas, no qual o último se distingue dos demais, pela presença de duas placas, sendo uma fixa e outra móvel, abrindo e fechando para a trituração do material. Entre os britadores de mandíbulas, esses podem ser classificados, de acordo com a localização do ponto de articulação da mandíbula, em: Blake, que é o mais utilizado; Dodge; e Universal (Weiss, 1985). Figura 1. Um britador e seus equipamentos associados. Fonte: Sbávaro, Para a seleção do britador do tipo mandíbula, alguns aspectos devem ser levados em conta como: o caráter petrográfico da rocha; o índice de abrasão do agregado; a resistência mecânica da rocha; o índice de trabalho, ou a britabilidade da rocha; a fragilidade da rocha; a escala da rocha; o tamanho da alimentação; o tamanho do produto desejado; o desempenho de moagem (toneladas por hora); o custo de capital; e os custos operacionais em longo prazo (Weiss, 1985). Os britadores de mandíbulas são máquinas grandes e fortes, capazes de esmagar grandes quantidades de materiais duros e abrasivos, os quais são usados, geralmente, como britadores primários dentro de plantas de beneficiamento de minérios. As placas dos britadores desse tipo são usadas para aplicar forças de compressão que induzem tensões de tração no interior das partículas, ocorrendo sua fratura. Essas partículas são moídas até que elas passem através da câmara de moagem. O processo de ruptura ocorre entre as placas das mandíbulas do britador, simultaneamente com o processo de classificação das partículas, que é determinado pelo ajuste do tamanho da mandíbula no britador (Weiss, 1985) Seleção e Projeto do Protótipo de Britador No caso ilustrado nesse artigo, para o desenvolvimento do protótipo de britador, foi escolhido o britador de mandíbula, baseado no modelo original utilizado como benchmarking, da marca alemã Retsch, que utiliza um único cilindro e um parafuso de regulação do movimento, com placas totalmente planas e de tungstênio, obtendo uma maior trituração do material, já que aproveita toda a sua superfície, sendo ilustrado na Figura 2b. O protótipo de britador desenvolvido no software SolidWorks e desenhado em AutoCad, possui algumas modificações em relação ao original, o qual foi desenvolvido com dentes de serra em aço temperado, servindo para a britagem das rochas de minas utilizadas para os testes, ilustrado na Figura 2a (Maldonado, Quintero e Nalvay, 2016). ISSN

3 de Hankel de entrada e de saída, por meio do conjunto de dados de entrada e de saídas adquiridos. As matrizes de bloco de Hankel de entrada passado e futuro são definidas, respectivamente, como (Van Overschee e De Moor, 1996): # )% * ) # % '. (6) % - )%* Figura 2. Protótipo desenvolvido de um britador (a) e o britador original como benchmarking (b). Fonte: Maldonado, Quintero e Nalvay, A Identificação por Subespaço Método MOESP Considerando uma representação em modelo de espaço de estados discreto, determinístico, linear e invariante no tempo, na forma: = + (1) = + (2) os quais: R é o vetor de saída; R é o vetor de entrada; e R, o vetor de estados. As matrizes do sistema possuem dimensões, R, R, R e R, denominadas de matrizes de estado, de entrada, de saída e de transmissão direta, respectivamente. O parâmetro é o número de saídas de um sistema dinâmico, é o número de entradas, e é o número de estados do sistema, ou a ordem do sistema. Os parâmetros desconhecidos no modelo de espaço de estados estão contidos nessas matrizes do sistema de espaço de estados. A ideia básica dos métodos de identificação por subespaços é estimar a ordem do sistema dinâmico, e as matrizes,, e de um modelo de espaço de estados discreto determinístico (Equações 1 e 2), a partir da disponibilidade do conjunto de dados adquiridos, de entrada e de saída de um sistema. As Equações 1 e 2 podem ser rearranjadas e, a- pós algumas manipulações algébricas, ficam estabelecidas as equações matriciais de subespaço (Van Overschee e De Moor, 1996; Katayama, 2005): =Γ + (3) =Γ + (4) = +Δ (5) sendo: e, vetores de saídas do passado e do futuro, respectivamente; e, vetores de entradas do passado e do futuro, respectivamente. O índice! indica o uso de técnicas de subespaço para sistemas determinísticos. Os vetores de entrada ( e ) e de saída ( e ) formam, respectivamente, as matrizes do bloco )% 1 * ) *% 0 * 2 5 ) 4 / *% * *)%*3 (7) sendo,, R ), no qual o subscrito 6 6 * indica que a primeira coluna da matriz/vetor de subespaço começa no tempo discreto 6 e termina em 6 *. As matrizes de saída do bloco de Hankel do passado e do futuro,, R ) são definidas de forma semelhante às matrizes das Equações (6) e (7). As matrizes Γ, Δ e contidas nas Equações (3)-(5) são denominadas, respectivamente, como a matriz de observabilidade estendida, a matriz de contralabilidade estendida e matriz Toeplitz, sendo escritas como (Van Overschee e De Moor, 1996): Γ 7 * % 9 : R (8) Δ =; % %* < R (9) = 0 04 %* %2 %> / 3 R (10) Usando ferramentas de álgebra linear, a partir do uso da projeção oblíqua ao longo do espaço linha de, no espaço linha de? (matriz de dados passados de entrada e de saída) na Equação (4), pode-se calcular a matriz de observabilidade estendida Γ, que é utilizada pelo método MOESP (Multivariable Output Error State Space), utilizado nesse artigo para estimar as matrizes de espaço de estados, por meio de (Van Overschee e De Moor, 1996; Katayama, 2005): Ο = Γ A (11) os quais: Ο é a projeção oblíqua; e A, a sequência de estados futuro estimada, utilizada para o método N4SID (Numerical algorithms for Subspace State Space System Identification), não abordado nesse artigo. Para que a projeção oblíqua Ο seja separada em Γ e A, o posto de Ο deverá ser igual à ordem do sistema e, Γ e A podem ser recuperados de forma precisa, pela decomposição SVD, indicada por Van Overschee e De Moor (1996), como: ISSN

4 B = C D E =; * <F C : GHD : D I (12) * os quais: C é uma submatriz de C contendo os valores singulares não-nulos de B ; e D : são as partes correspondentes de e D :. A ordem do sistema dinâmico é igual ao número de valores singulares da Equação 12, diferentes de zero. A matriz de observabilidade estendida Γ compartilha o mesmo espaço coluna da projeção o- qua B, sendo obtida por: Γ = C /* (13) No método MOESP, as matrizes do sistema,, e são obtidas em dois passos: primeiramente, e são determinadas a partir de Γ ; No segundo passo, as matrizes e são calculadas através de mínimos quadrados, com o procedimento detalhado em Van Overschee e De Moor (1996), Katayama (2005) e Qin (2006). Para que fosse realizada a identificação de um modelo matemático do britador, foram aplicados sinais do tipo degrau no parafuso de ajuste das mandíbulas do britador, sendo adquiridas 1024 amostras, com o tempo de amostragem de aproximadamente 1 ms. Os dados de entrada (posição angular do parafuso de ajuste da mandíbula do britador) e de saída (tensão no motor de corrente contínua), são denominados, e. Antes dos procedimentos para a identificação dos modelos, foi aplicado um filtro passa-baixa ajustado para a frequência de corte de 1,5 rad, por meio do uso da função idfilt do Matlab, após a análise da resposta em frequência dos dados obtidos. Na etapa de pré-tratamento dos dados foram descartadas as 40 primeiras amostras, cujas primeiras 750 amostras foram utilizadas para a identificação, e as demais para a etapa de validação. Os sinais de entrada e de saída, após o pré-tratamento, podem ser visualizados na Figura 4. 4 Resultados Experimentais O modelo matemático do protótipo desenvolvido possui uma entrada que é a posição angular do ajuste de um parafuso das mandíbulas do britador, dado em graus, e uma saída, que é a tensão elétrica no motor de corrente contínua (cc), dado em volts, acionando o parafuso de ajuste da mandíbula. Esse ajuste da posição angular nos ângulos de 0º, 180º, 360º e 540º, é realizado por meio do envio de um sinal de PWM ao motor cc, afetando no tamanho do material triturado resultante no britador, sendo o ajuste da posição angular monitorada por um encoder absoluto de 6 bits. Os dados de entrada e de saída do protótipo do britador são coletados por meio de uma placa de prototipagem eletrônica Arduino, para a realização da identificação offline. A Figura 3 ilustra a estrutura do britador com o sistema de aquisição de dados baseado no Arduino. Figura 4. Sinais para a identificação e validação do protótipo do britador, após a etapa de pré-processamento dos dados. (a) sinal de entrada, em graus, (b) sinal de saída, em volts. 4.1 Estimação da Ordem Um método para a determinação da ordem do sistema () é a utilização do número de valores singulares (SVD Singular Value Decomposition) diferentes de zero, da projeção oblíqua da matriz em bloco de Hankel dos dados de entrada e de saída do sistema, como já mencionado (Eq. 6). Na Figura 5 são ilustrados os valores singulares para a escolha da ordem que, baseada nesses valores, foi escolhida de ordem 4 para o modelo de espaço de estados discreto linear invariante no tempo. Figura 3. Estrutura do britador com o sistema de aquisição de dados. Figura 5. Valores singulares para a escolha da ordem do modelo de espaço de estados para o protótipo do britador. 4.2 Identificação e Validação do Modelo Obtido As matrizes do modelo identificado de espaço de estados discreto, linear e invariante no tempo, ISSN

5 ,, e, estimadas por meio do uso do método MOESP para o britador são: 0,9844 0,2077 0, ,1858 0,0324 0,9274 0, ,0065 = K V (10) 0,0057 0,0348 0,8902 0,5689 0,0036 0,0027 0,2226 0,8822 = W0,0158 0,0176 0,0004 0,0003X : (11) =W 0,2552 0,4453 0,3735 0,3215X (12) sendo, 0,9529±0,0802Z e 0,8891±0,3718Z, os autovalores da matriz, com a matriz de transmissão direta, nula. O resultado da saída do modelo de espaço de estados identificado comparado com a saída experimental do britador, ilustrados na Figura 6, sugere que o modelo estimado é satisfatório. sistema dinâmico real, e as saídas estimadas pelo modelo, sendo definido como (Bakke et al, 2010): - [D\ = ]^H1 _`azâbz`; 1 c < I _`azâbz`; < d (14) os quais: é a iésima saída medida; ] é a quantidade de dados utilizadas para a validação; e c é iésima saída estimada pelo modelo obtido. Se a razão efghâjkhf;l m %lc m < efghâjkhf;l m < é pequena, o índice MVAF fica próximo a unidade. O modelo foi avaliado para a ordem 4, o qual o índice MVAF é de 86,04%, indicando que o modelo matemático teve um desempenho satisfatório, em termos de validação. Figura 6. Desempenho do modelo em espaço de estados identificado pelo método MOESP. Em preto, a saída identificada, e em azul, o sinal de saída experimental após o pré-tratamento. Uma das formas para validar os modelos obtidos é a comparação entre as saídas estimadas e as experimentais, denominada na literatura como validação dinâmica. A Figura 7 ilustra a saída gerada pelo modelo de espaço de estados identificado pelo método MOESP, com os dados separados para a validação, para o protótipo de britador. Por observação dos modelos, as saídas estimadas acompanham a saída medida, utilizando esses dados para a validação. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho foram apresentados os resultados da identificação de um modelo matemático a um britador de minérios, utilizando o método MOESP. Baseado no uso de conceitos da teoria da álgebra linear, as técnicas envolvem conceitos que tornam a modelagem matemática mais simples, em comparação com outros métodos de identificação. A partir da aplicação do método por subespaço, em especial neste trabalho, o método MOESP, verifica-se que há espaço para que seja explorado, como uma alternativa às técnicas por PEM, baseadas em funções polinomiais, porém não triviais de resolução, em problemas de sistemas multivariáveis. Trabalhos futuros serão realizados para o projeto de sistemas de controle, utilizando diversas técnicas, utilizando os modelos matemáticos obtidos por identificação por subespaços, além do uso de outros métodos de identificação por subespaços. Agradecimentos Os autores agradecem à UNL (Universidad Nacional de Loja), no Equador, e ao IFPB campus João Pessoa (Brasil) pelo apoio financeiro do presente trabalho. Referências Bibliográficas Figura 7. Validação dinâmica da resposta do sistema utilizando o método MOESP. Em preto, a saída validada, e em azul, o sinal de saída experimental após o pré-tratamento. Para que a avaliação não seja subjetiva, como se observa com o uso da validação dinâmica, foi utilizado o índice MVAF (Mean Variance Accounted For) para a avaliação quantitativa do modelo matemático estimado. Esse índice é utilizado na medição do erro quadrático relativo médio entre as saídas do Acuña, G., Curilem, M., and Cubillos, F. (2014). Desarrollo de un sensor virtual basado en modelo NARMAX y máquina de vectores de soporte para molienda semiautógena. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial (RIAI). Vol. 11, No. 01, pp Aguirre, L. A. (2007), Introdução à Identificação de Sistemas Técnicas Lineares e Não-lineares Aplicadas a Sistemas Reais, 3ª edição, Belo Horizonte (Brasil): UFMG. Bakke, M. et al. (2010). Effect of varying controller parameters in closed-loop subspace identification. In: 9th International Symposium ISSN

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