ANA LISE DE DOMI NIO DE VALIDADE E SENSITIVIDADE DE MODELOS MECANICISTAS DE ESCOAMENTO EM GOLFADAS. Gabriel Farah Noro es Gonc alves

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1 ANA LISE DE DOMI NIO DE VALIDADE E SENSITIVIDADE DE MODELOS MECANICISTAS DE ESCOAMENTO EM GOLFADAS Gabriel Farah Noro es Gonc alves Projeto de Graduac a o apresentado ao Curso de Engenharia Meca nica da Escola Polite cnica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessa rios a obtenc a o do tı tulo de Engenheiro. Orientador: A tila Pantalea o Silva Freire Rio de Janeiro Fevereiro de 2015

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3 Farah Norões Gonçalves, Gabriel Análise de domínio de validade e sensitividade de modelos mecanicistas de escoamento em golfadas/gabriel Farah Norões Gonçalves. Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, XII, 36 p.: il.; 29, 7cm. Orientador: Átila Pantaleão Silva Freire Projeto de Graduação UFRJ/Escola Politécnica/Curso de Engenharia Mecânica, Referências Bibliográficas: p escoamento em golfadas. 2. modelo de célula unitária. 3. domínio físico. 4. sensibilidade. I. Pantaleão Silva Freire, Átila. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III. Título. iii

4 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. ANÁLISE DE DOMÍNIO DE VALIDADE E SENSITIVIDADE DE MODELOS MECANICISTAS DE ESCOAMENTO EM GOLFADAS Gabriel Farah Norões Gonçalves Fevereiro/2015 Orientador: Átila Pantaleão Silva Freire Curso: Engenharia Mecânica Nesse trabalho são avaliados dois modelos mecanicistas de escoamentos em golfadas. Os modelos de DUKLER e HUBBARD (1975) e COOK e BEHNIA (2000b) têm seus resultados comparados com os dados experimentais de UJANG et al. (2006). Também são analisados o domínio físico-matemático e sensitividade de parâmetros do modelo de célula unitária. iv

5 Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer. ANALYSIS OF FEASIBLE DOMAIN AND SENSITIVITY OF MECHANISTIC MODELS FOR SLUG FLOW Gabriel Farah Norões Gonçalves February/2015 Advisor: Átila Pantaleão Silva Freire Department: Mechanical Engineering In this work two mechanistic models of slug flow are evaluated. The models of DUKLER e HUBBARD (1975) and COOK e BEHNIA (2000b) have their results compared to the experimental data ofujang et al. (2006). The physical-mathematical domain and parameter sensitivity of the unit cell model are also analysed. v

6 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas viii x 1 Introdução Objetivo Motivação Revisão bibliográfica Conceitos de escoamento multifásico Padrões de escoamento bifásico Mapas de padrões de escoamento Modelos de célula unitária Modelos de slug tracking Modelos de slug capturing Distribuições de comprimento de pistão e intervalo de chegada Modelos para frequência de golfadas Modelagem teórica Modelo de escoamento em golfadas de Dukler e Hubbard Modelo de comprimento de pistão de Cook e Behnia Formulação da perda de carga Resultados e discussões Domínio físico do modelo Comparação dos modelos Modelo evolutivo Evolução dos parâmetros estatísticos Análise das distribuições Modelo de célula unitária Análise das distribuições Ajustes de distribuições vi

7 4.6 Sensitividade das distribuições Considerações finais Conclusões Trabalhos futuros Referências Bibliográficas 34 vii

8 Lista de Figuras 2.1 Padrão de escoamento de bolhas dispersas Padrão de escoamento estratificado liso Padrão de escoamento estratificado ondulado Padrão de escoamento pistonado Padrão de escoamento de golfadas Padrão de escoamento anular Comparação de mapas de padrões de escoamento horizontal para ar e água, com D=0.05m Esquema da célula unitária e perfil de pressão. Retirado de DUKLER e HUBBARD (1975) Definição do ângulo θ Modelo cinemático para o avanço dos pistões. Retirado de BARNEA e TAITEL (1993) Comparação do domínio físico do modelo com mapa de padrões de escoamento para a correlação de Heywood e Richardson Comparação do domínio físico do modelo com mapa de padrões de escoamento para a correlação de Manolis et al Comparação do domínio físico do modelo com mapa de padrões de escoamento para a correlação de Zabaras Região de invalidade do modelo para a correlação de Zabaras, de acordo com as categorias citadas. +: Não é possível achar raiz da equação : l s 0. : l m > l s Comportamento da função F(θ fe ) nos casos onde há raiz (a) ou não (b, c, d) Evolução dos parâmetros estatísticos ao longo da tubulação. : experimental. +: numérico viii

9 4.7 Resultados de l s /D e T do modelo de COOK e BEHNIA (2000b). A linha tracejada representa um parâmetro de entrada baseado nos dados experimentais e a linha contínua, o resultado experimental de referência. Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m Resultados de P e P/l u do modelo de COOK e BEHNIA (2000b). Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m Resultados de l s /D e T do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975). A linha tracejada representa um parâmetro de entrada baseado nos dados experimentais e a linha contínua, o resultado experimental de referência. Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m Resultados de P e P/l u do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975). Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m Coeficiente de variação da perda de carga em função do coeficiente de variação da frequência Coeficiente de variação do comprimento de pistão em função do coeficiente de variação da frequência ix

10 Lista de Tabelas 2.1 Distribuições utilizadas para comprimento de pistão Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de DUKLER e HUBBARD (1975),para x=30.1m Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=30.1m. 30 x

11 Nomenclatura P A C DH D F f F r g h l R Re T V V d V S V t W x Y Perda de carga Área transversal Razão entre vazão de líquido do filme para o pistão e vazão no pistão Diâmetro Posição da frente do pistão Fator de atrito Número de Froude do pistão Aceleração da gravidadea Altura do filme Comprimento Fração de líquido na seção Número de Reynolds Intervalo de tempo entre pistões Velocidade Velocidade de drift Velocidade superficial Velocidade de translação Vazão mássica Vazão de líquido do filme para o pistão Posição da cauda do pistão xi

12 Letras gregas α β Fração volumétrica Inclinação da tubulação µ Viscosidade dinâmica ν s ρ θ Frequência de passagem de pistões Massa específica Ângulo entre o centro da tubulação e a interface Subscritos a B f fe G L m s u Aceleração Bolha Filme Final do filme Gás Líquido Mistura Pistão Célula unitária xii

13 Capítulo 1 Introdução O escoamento em golfadas está presente em diversas situações de interesse prático, como na produção e transporte de hidrocarbonetos, na produção de vapor e água em plantas geotérmicas, nos processos de ebulição e condensação em usinas termelétricas, resfriamento emergencial de reatores nucleares e transferência de calor e massa em reatores químicos (FABRE e LINÉ, 1992). Ele é caracterizado pela sua natureza intermitente e pseudo-aleatória, o que dificulta sua modelagem. A determinação precisa de características como perda de carga, fração de vazio, frequência e comprimento de pistões é muito importante no projeto de especificação de bombas, tubulações, separadores e medidores. A perda de carga no escoamento multifásico intermitente pode ser muitas vezes superior à do monofásico e as flutuações do campo de pressão podem gerar vibração e dano a equipamentos. Os modelos físicos disponíveis na literatura se baseiam em uma série de suposições e correlações para as quais os intervalos de validade nem sempre são bem definidos. Fora da região de validade, as equações podem se comportar de maneira inesperada, apresentando resultados múltiplos ou não-existentes ou fora dos domínios matemático e físico supostos pelo modelo. Esse trabalho será dividido em duas partes: em um primeiro momento, será avaliado o domínio físico-matemático de um modelo clássico de escoamento em golfadas. Serão avaliados e comparados com dados experimentais um modelo de célula unitária e um modelo evolutivo, adaptado para fornecer resultados de pressão. 1.1 Objetivo Como resultado final desse trabalho, pretende-se fornecer um simulador completo de escoamento em golfadas, combinando um modelo evolutivo para geração de distribuições de frequência e comprimento de pistões e um modelo mecanicista para cálculo da perda de carga. 1

14 1.2 Motivação Os escoamentos multifásicos, ainda que sejam objeto de estudo da comunidade científica há muitos anos, ainda apresentam diversos problemas complexos em aberto. É possível que nunca se alcance uma resposta definitiva, uma teoria geral capaz de descrever completamente todos os fenômenos. A despeito disso, os problemas de engenharia precisam ser resolvidos da melhor maneira possível. A existência de ferramentas capazes de gerar bons resultados de forma robusta e rápida é essencial para a realização de projetos eficientes e seguros. 2

15 Capítulo 2 Revisão bibliográfica 2.1 Conceitos de escoamento multifásico Fração volumétrica A fração volumétrica de uma fase I pode ser definida por: α I = δv I lim δv V 0 δv (2.1) onde δv I é o volume ocupado pela fase no volume total δv. O volume V 0 é o volume limite para obter um valor representativo do ponto. No caso do escoamento bifásico gás-líquido, obtemos por definição a seguinte identidade: α G + α L = 1 (2.2) Para escoamento em tubulação, pode-se definir uma fração volumétrica média de líquido na seção transversal: R = A L A onde A L é a área transversal ocupada pela fase líquida. (2.3) Velocidade superficial A velocidade superficial de uma fase I é a velocidade média que a fase teria caso ocupasse toda a seção transversal da tubulação. V IS = W I ρ I A (2.4) 3

16 Velocidade de mistura A velocidade de mistura é a velocidade média de toda a mistura multifásica. V m = V GS + V LS = 1 A ( WL ρ L + W ) G ρ G (2.5) 2.2 Padrões de escoamento bifásico Não existe teoria ou correlação única capaz de prever com precisão adequada as propriedades - perda de carga, fração de vazio - de qualquer escoamento bifásico. A configuração geométrica das fases na tubulação sofre mudanças significativas de acordo com vazão mássica e propriedades físicas das fases e diâmetro e inclinação da tubulação. É necessário modelar cada regime de forma específica, levando em conta os fenômenos relevantes em cada caso. As classificações de padrão de escoamento variam muito de autor para autor. De forma geral, para escoamento horizontal, os principais regimes identificados na literatura são: Bolhas dispersas A fase líquida ocupa toda a tubulação, e pequenas bolhas de gás de tamanho variado se encontram dispersas em toda a seção transversal (figura 2.1). Figura 2.1: Padrão de escoamento de bolhas dispersas. Estratificado liso A fase líquida ocupa a parte inferior da tubulação e a fase gasosa a superior. A interface se mantém lisa (figura 2.2). Figura 2.2: Padrão de escoamento estratificado liso. Estratificado ondulado Semelhante ao padrão estratificado liso, porém a interface apresenta perturbações. Também ocorre maior entranhamento de gás na interface (figura 2.3). 4

17 Figura 2.3: Padrão de escoamento estratificado ondulado. Pistonado Caracterizado pela alternância entre pistões de líquido não aerados e bolhas longas ocupando a parte superior da tubulação (figura 2.4). Figura 2.4: Padrão de escoamento pistonado. Golfadas Semelhante ao padrão pistonado, apresenta bolhas dispersas no pistão, especialmente na região próxima à cauda na bolha longa (figura 2.5). Figura 2.5: Padrão de escoamento de golfadas. Anular A fase gasosa ocupa a região central da tubulação, enquanto o líquido forma um filme fino junto à parede. O núcleo de gás pode conter gotículas dispersas. Ocorre para altas vazões da fase gasosa (figura 2.6). Figura 2.6: Padrão de escoamento anular. 2.3 Mapas de padrões de escoamento As transições entre padrões normalmente são descritas por mapas de padrões de escoamento. Estes podem ser construídos puramente através de correlações com 5

18 dados experimentais ou podem utilizar modelos mecânicos para a formação das estruturas características a partir de instabilidades. Os parâmetros escolhidos para os eixos do mapa variam de autor para autor. Além disso, algumas formulações incluem correções para efeitos de diâmetro ou propriedades dos fluidos. O primeiro mapa de padrões para escoamento horizontal foi proposto por BAKER (1954). Ele utilizava dois parâmetros para correção das propriedades dos fluidos. O mapa de padrões de escoamento gás-líquido horizontal mais aceito na literatura é o de MANDHANE et al. (1974). Ele foi desenvolvido a partir de um banco de dados com 5935 pontos experimentais, sendo 1178 para sistema ar-água. Como ordenadas, são utilizadas as velocidades superficiais de cada fase. As fronteiras são corrigidas pelas propriedades físicas dos fluidos através de dois parâmetros empíricos. TAITEL e DUKLER (1976) propuseram um modelo teórico para criação de mapas de padrões para escoamentos horizontais ou quase horizontais. Eles utilizaram a teoria de estabilidade de Kelvin-Helmholtz para analizar a evolução das ondas geradas na interface. SPEDDING e NGUYEN (1980) utilizaram dados de escoamento ar-água para desenvolver mapas de padrões para diversas inclinações. Eles escolheram como parâmetros a razão entre vazões volumétricas do líquido e do gás e o número de Froude. Figura 2.7: Comparação de mapas de padrões de escoamento horizontal para ar e água, com D=0.05m. 6

19 É importante destacar que as fronteiras delimitadas pelos mapas são difusas, e não linhas bem definidas. Existe uma faixa de transição, na qual o escoamento apresenta características não bem definidas. 2.4 Modelos de célula unitária Nos modelos de célula unitária, considera-se que o escoamento é composto de células idênticas, compostas por pistão e bolha, que se repetem de maneira periódica. Escolhe-se um sistema de referência que acompanha o movimento das células, o que permite uma modelagem de estado permanente. O conceito de célula unitária foi idealizado pela primeira vez por WALLIS (1968). DUKLER e HUBBARD (1975) desenvolveram um modelo de escoamento em golfadas que permite calcular diversas propriedades das células unitárias. A perda de carga é dividida em um termo de atrito na região do pistão líquido e um termo de mistura ligado à aceleração do líquido no filme para o pistão. A perda na própria região da bolha é desprezada. NICHOLSON et al. (1978) fizeram modificações no modelo, adicionando correlações empíricas para a fração volumétrica de líquido e comprimento de pistão. TAITEL e BARNEA (1990) propuseram um modelo baseado no balanço de forças global na célula unitária, dividindo a perda de carga em um termo de atrito e um termo gravitacional. Foram comparadas diversas possíveis simplificações para a perda na região do filme. O modelo de ORELL (2005) é baseado em um dos submodelos apresentados por esses autores. Além disso, o autor acrescenta um termo de perda de carga devido ao aumento da viscosidade do pistão devido às bolhas, conforme COOK e BEHNIA (2000a). 2.5 Modelos de slug tracking Nos modelos de slug tracking, equações de balanço de massa e quantidade de movimento são formuladas para a frente e a cauda do pistão. Com isso, é possível acompanhar o deslocamento e evolução de cada célula ao longo de seu percurso, de forma lagrangeana. Equações empíricas são usadas para obter fechamento do modelo. O simulador comercial OLGA utiliza esse método para cálculo do escoamento (BENDIKSEN e MAINES, 1991). 7

20 2.6 Modelos de slug capturing Nesse tipo de modelo, os escoamentos em golfadas, estratificado e transicional são modelados com o mesmo conjunto de equações e leis de fechamento. Desse modo, se torna dispensável o uso de mapas de padrões de escoamento. Os únicos dados empíricos necessários são as relações para forças cisalhantes entre cada fluido e a parede, e na interface. A altura de líquido pode atingir o diâmetro completo da tubulação, formando um pistão naturalmente a partir da solução das equações. ISSA e KEMPF (2003) utilizou essa formulação com sucesso para predição da evolução das instabilidades no escoamento estratificado e características do escoamento pistonado. NIECKELE et al. (2013) compararam resultados de perda de carga e fração de vazio com dados experimentais, obtendo boa concordância. Além disso, o modelo pôde prever a forma das distribuições de comprimento de bolha e pistão. 2.7 Distribuições de comprimento de pistão e intervalo de chegada Dados experimentais indicam que o comprimento médio de pistão é pouco sensível às velocidades superficiais de líquido e gás (TAITEL e BARNEA, 1990). No escoamento horizontal o comprimento médio de pistão é de 12-40D (FABRE e LINÉ, 1992). NICHOLSON et al. (1978) sugere um valor de 30D. No escoamento vertical ele varia de 8 a 25D. A distribuição de comprimentos de pistão é assimétrica, apresentando uma cauda longa. Na literatura, normalmente é considerada log-normal (ALSAFRAN et al., 2005; HOUT et al., 2001; NYDAL et al., 1992). No entanto, alguns autores também consideram a distribuição gama ou gaussiana inversa. A distribuição de intervalo de tempo entre células tem forma semelhante à de comprimento, podendo ser descrita pelas mesmas distribuições. Considerando que pistões não sejam correlacionados, o número de células por unidade de tempo pode ser modelado como uma variável aleatória de um processo de Poisson (AL-SAFRAN, 2012). Dessa forma, o intervalo de tempo entre células seguiria uma distribuição exponencial. UJANG et al. (2006) verificou que esse comportamento realmente pode ser observado próximo à entrada da tubulação, mas não uma vez que o escoamento se encontre desenvolvido. 8

21 Tabela 2.1: Distribuições utilizadas para comprimento de pistão. Referências Log-normal BRILL et al. (1981); HOUT et al. (2003); NYDAL et al. (1992) Gama NIECKELE et al. (2013) Gaussiana inv. ALSAFRAN et al. (2005); DHULESIA et al. (1991) 2.8 Modelos para frequência de golfadas A previsão correta da frequência de passagem de golfadas é extremamente importante no projeto de tubulações e equipamentos para escoamento multifásico. Esse parâmetro tem grande influência no fenômeno de corrosão, na integridade estrutural da instalação e em flutuações de pressão (AL-SAFRAN, 2009). Além disso, frequentemente é utilizado como dado de entrada em modelos mecanicistas. Os valores previstos pelas correlações disponíveis na literatura apresentam grande dispersão entre si e entre dados experimentais, quando diferentes daqueles usados para o próprio ajuste. AL-SAFRAN (2009) testou várias correlações clássicas, bem como sua própria, contra uma base de dados independente, encontrando erros absolutos médios de 31 a 190%. RODRIGUES e MORALES (2007), em análise similar, observaram erros de a % Gregory e Scott (1969) GREGORY e SCOTT (1969) realizaram experimentos com tubulação de 19mm de diâmetro interno. Os fluidos utilizados foram dióxido de carbono e água. Observou-se que a frequência poderia ser correlacionada com o número de Froude baseado na velocidade superficial do líquido. Taitel e Dukler (1977) ν t = ( ) 1.2 VSL (2.6) gd TAITEL e DUKLER (1977) desenvolveram um modelo teórico para predição da frequência de golfadas com base no mecanismo hidrodinâmico de formação e crescimento de ondas. Eles consideram que o intervalo de tempo entre golfadas, o inverso da frequência, é o tempo necessário para que a altura de líquido alcance o nível de equilíbrio a partir do nível mais baixo. Heywood e Richardson (1979) HEYWOOD e RICHARDSON (1979) desenvolveram uma correlação baseada nos 9

22 resultados experimentais para escoamento de ar e água, em tubulação de diâmetro 42mm. Manolis et al (1995) ν t = V SL V m ( 2.02 D + V ) m (2.7) gd MANOLIS et al. (1995) modificaram a correlação de Gregory e Scott com base em dados de escoamento em golfadas em alta pressão. Eles observaram diferenças entre os valores previstos e calculados para baixas frequências. A equação resultante, com V m,min = 5m/s, foi: Zabaras (2000) ν t = V L gd ( V 2 m,min + Vm 2 ) 1.8 (2.8) ZABARAS (2000) fez uma modificação na equação de Gregory e Scott para levar em conta o ângulo de inclinação. ν t = V m ( ) 1.2 [ ] 1.2 VSL V m [ sin 0.25 (β)] (2.9) gd V m 10

23 Capítulo 3 Modelagem teórica 3.1 Modelo de escoamento em golfadas de Dukler e Hubbard O modelo de DUKLER e HUBBARD (1975) permite a previsão da perda de carga no escoamento em golfadas. Ele exige como parâmetros as vazões mássicas e propriedades físicas - massa específica e viscosidade - das duas fases, o diâmetro da tubulação, a frequência de passagem de células e a fração volumétrica de líquido no pistão. O modelo da célula unitária é demonstrado na figura 3.1. A célula é dividida em duas regiões principais: a região de filme e a região de pistão. O filme apresenta espessura variável, diminuindo suavemente conforme se afasta do fim do pistão. No final do filme, há uma transição rápida para a fração volumétrica do pistão. Essa mudança de fração volumétrica e, consequentemente, da velocidade da fase líquida gera uma zona de mistura logo após a bolha, contribuindo para aumentar a perda de carga. Figura 3.1: Esquema da célula unitária e perfil de pressão. Retirado de DUKLER e HUBBARD (1975). 11

24 A velocidade do pistão é considerada igual à velocidade média da mistura. V s = V m = 1 A ( WL ρ L + W ) G ρ G (3.1) Dessa maneira, pode-se calcular o número de Reynolds do pistão, considerando as propriedades físicas como médias ponderadas das propriedades dos dois fluidos. Re s = DV s ρ L R s + ρ G (1 R s ) µ L R s + µ G (1 R s ) (3.2) É possível definir um parâmetro C DH como sendo a razão entre a vazão de líquido do filme para o pistão e a vazão no pistão. A partir de uma integração do perfil de velocidade para escoamento turbulento em tubulação, pode-se obter uma relação para C DH em função de Re s. Para < Re s < , pode ser utilizada a seguinte relação aproximada: C DH = ln Re s (3.3) A velocidade de translação da frente do pistão é composta da velocidade média do pistão mais um termo de velocidade aparente devido ao líquido adicionado pelo filme. V t = (1 + C DH )V s (3.4) A hidrodinâmica do filme permite escrever o seguinte sistema de equações: V t ν s l f = Rs R fe W (R f )dr f = l f D [ ] V s WL R fe + C DH (R s R fe ) ν s (R s R fe ) ρ L AV s (3.5) (3.6) onde o autor define (após correção de erro tipográfico registrada por NICHOLSON et al. (1978)): W (R f ) = C 2 DH R2 s R 2 f ( + 1 π ) 2 R f sin θ 2 +sin2 θ 2 cos θ 2 1 cos θ F r 1 cos θ 2 2 f f B 2 θ π + R f B = 1 C DH ( Rs R f R f sin β (3.7) F r ) (3.8) R f = θ sin θ 2π (3.9) 12

25 F r = V s 2 gd (3.10) Re f = 2πBR f θ Re s (3.11) A definição do ângulo θ é mostrada na figura 3.2. f f = Re 0.25 f (3.12) Figura 3.2: Definição do ângulo θ. Os autores sugerem que se utilize como estimativa inicial R fe = R s, e que se subtraia um R até que a equação 3.7 seja satisfeita. As equações podem ser combinadas em uma equação única para θ fe. W (θ) = F(θ fe ) = C 2 DH R2 s ( θ sin θ 2π ) θs F r θ fe W (θ)dθ G(θ fe ) = 0 (3.13) ( B(θ sin θ) θ ( π ) 2 ( θ sin θ 2π ) sin θ 2 +sin2 θ 2 cos θ 2 1 cos θ 1 cos θ 2 2 ) 0.25 Re s B 2 θ + ( θ sin θ π F r 2π ) sin β (3.14) G(θ fe ) = [ ν s D { WL ρ L AV s V ( s θfe sin θ fe 2π )] R s ( θfe sin θ fe 2π ) + C DH [ R s ( )]} θfe sin θ fe 2π V t ν s D (3.15) Conhecido R fe, pode-se determinar V fe por: [ ( )] Rs R fe V fe = V s 1 C DH R fe A taxa de transferência de líquido do filme para o pistão é dada por: (3.16) x = C DH ρ L AR fe (V t V fe ) (3.17) 13

26 l s = V t ν s l f (3.18) l m = 0.3(V s V fe ) 2 2g (3.19) Por fim, a perda de carga total é composta dos termos de aceleração do líquido do filme para o pistão e de atrito com a parede na região do pistão. P s = P a + P f (3.20) P a = x A (V s V fe ) (3.21) P f = f s[ρ L R s + ρ G (1 R s )]V 2 s (l s l m ) 2D (3.22) 3.2 Modelo de comprimento de pistão de Cook e Behnia O modelo de COOK e BEHNIA (2000b) permite acompanhar a evolução da distribuição de comprimentos de pistão líquido ao longo da tubulação. Ele é baseado no trabalho de BARNEA e TAITEL (1993). Figura 3.3: Modelo cinemático para o avanço dos pistões. Retirado de BARNEA e TAITEL (1993). A velocidade de translação do nariz da bolha é correlacionada com o comprimento do pistão à sua frente por: V B V t ( = exp 0.46 l ) s D (3.23) 14

27 A velocidade de translação de uma bolha atrás de um pistão longo, V t, é dada pela expressão sugerida por NICKLIN et al. (1962): V t = CV m + V d (3.24) Onde a velocidade de drift V d, no escoamento horizontal, é dada por: V d = 0.54 gd (3.25) O comprimento aproximado do filme pode ser determinado por um balanço de massa para uma célula unitária completamente desenvolvida, supondo R s 1. l f = Para bolhas longas, observa-se que: V SG l s (1 R f )V t V SG (3.26) V lfe 0 (3.27) De modo que, através de um balanço de massa da fase líquida: Os dados experimentais sugerem que: R fe (V t V m ) V t (3.28) R f 1.4R fe (3.29) A cada passo de tempo, as novas posições da frente e da traseira de cada pistão são calculados com as equações 3.30 e Quando as posições dos dois extremos são as mesmas, aquele pistão é eliminado e a sua respectiva bolha se junta à anterior. Y t+ t i = Y t i + V Bi t (3.30) F t+ t i = F t i + V F i t e V Fi = V B( i 1). (3.31) De acordo com os autores, a distribuição de comprimentos de pistão após uma distância grande o suficiente é insensível à distribuição na entrada Formulação da perda de carga TAITEL e BARNEA (1990) demonstraram por um balanço de quantidade de movimento que a perda de carga na célula unitária é dada por: 15

28 P u = ρ s g sin βl s + τ sπd A + P mix (3.32) Onde o primeiro termo se refere ao componente gravitacional, o segundo, ao atrito no pistão líquido, e o terceiro, à perda na esteira da bolha. A perda na mistura, por sua vez, tem dois componentes, um devido à mudança de velocidade e um devido à variação de altura de líquido entre o início e o fim do filme. P mix = ρ l R s (V t V s )(V fi V fe ) + ρ L g cos β hfe h fi R f dh f (3.33) Supondo escoamento horizontal e R s 1, o termo gravitacional desaparece, e a equação se reduz a: P u = τ sπd A hfe + ρ l(v t V s )(V s V fe ) + ρ L g R f dh f (3.34) D Onde V fe, conforme comentado anteriormente, é aproximadamente zero para bolhas longas. A altura de líquido na seção pode ser relacionada com a fração volumétrica de líquido por geometria. R = 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2h 2h 2h arccos π D 1 + D 1 1 D 1 (3.35) Com as equações 3.28 e 3.35 é possível determinar h fe e calcular o termo de perda por mistura. 16

29 Capítulo 4 Resultados e discussões 4.1 Domínio físico do modelo O modelo mecanicista de golfadas foi avaliado para uma matriz de 20x16 valores de velocidade superficial de gás e líquido, respectivamente. Os fluidos utilizados foram ar e água. Considerou-se o diâmetro da tubulação igual a 19mm e a fração volumétrica de líquido no pistão igual a Foram incorporados ao algoritmo testes para operações ou resultados matematicamente inválidos em vários pontos. Além disso, foram adicionados testes de validade das grandezas físicas: todos os comprimentos, velocidades e perdas de carga encontrados devem ser positivos e as frações volumétricas devem ficar entre 0 e 1. As figura 4.1, 4.2, 4.3 mostram o domínio de validade físico-matemático do modelo para três formulações de frequência. A zona de resultados válidos utilizando as três correlações é muito semelhante. Elas conseguem cobrir a região de bolhas alongadas e a maior parte da região de golfadas. Também observa-se que o modelo gera resultados físicos, ainda que não representativos da realidade, em casos de escoamento em bolhas dispersas ou estratificado. No entanto, o modelo falha para velocidades de gás superiores a aproximadamente 10m/s, independente da correlação utilizada. Observou-se que os casos de resultados inválidos se dividiam em três categorias: 1. Impossibilidade de localizar raiz da equação Comprimento de pistão nulo ou negativo: l s 0 3. Comprimento da zona de mistura maior do que o comprimento total do pistão: l m > l s A figura 4.4 mostra a razão da invalidade dos resultados em cada posição, quando utilizada a correlação de Zabaras. 17

30 Figura 4.1: Comparação do domínio físico do modelo com mapa de padrões de escoamento para a correlação de Heywood e Richardson. Figura 4.2: Comparação do domínio físico do modelo com mapa de padrões de escoamento para a correlação de Manolis et al. Pode-se observar três regiões onde o modelo não pode ser realizado matematicamente: a primeira para baixas vazões de líquido e gás, a segunda para baixas vazões de gás e altas de líquido e a terceira para vazões de líquido baixas e de gás intermediárias. A figura 4.5 mostra como a função da equação 3.13 pode ter 18

31 Figura 4.3: Comparação do domínio físico do modelo com mapa de padrões de escoamento para a correlação de Zabaras. Figura 4.4: Região de invalidade do modelo para a correlação de Zabaras, de acordo com as categorias citadas. +: Não é possível achar raiz da equação : l s 0. : l m > l s. comportamento diferente do esperado nessas regiões. Conforme a velocidade de gás aumenta, o comprimento de pistão diminui, criando primeiro uma estreita faixa onde ele fica menor que o comprimento de mistura e em 19

32 seguida uma região onde a solução do sistema fornece um número negativo. Essa situação cobre a maior parte da região de escoamento anular e os casos de maior velocidade dos escoamentos em bolhas dispersas e golfadas. (a) V SL = 1m/s, V SG = 1m/s (b) V SL = 0.01m/s, V SG = 0.05m/s (c) V SL = 10m/s, V SG = 0.01m/s (d) V SL = 0.001m/s, V SG = 10m/s Figura 4.5: Comportamento da função F(θ fe ) nos casos onde há raiz (a) ou não (b, c, d). 4.2 Comparação dos modelos Para verificação dos modelos de escoamento em golfadas, foram utilizados os dados experimentais de UJANG et al. (2006), para escoamento de ar e água em tubulação horizontal de 0.078m de diâmetro interno. A condição experimental escolhida foi de V SL = 0.61 m/s e V SG = 2.55 m/s. 20

33 4.3 Modelo evolutivo Um ajuste da distribuição log-normal de comprimentos de pistão observada perto da entrada da tubulação foi utilizado como condição de entrada para o modelo de desenvolvimento. Testes preliminares mostraram que a distribuição de intervalos de tempo dos dois primeiros pontos experimentais geraria valores não físicos para o modelo de Dukler e Hubbard. Desse modo, utilizou-se como condição de entrada a distribuição em x = 5.01m. Ainda assim se observou que alguns valores extremos de frequência gerariam resultados não físicos; nesse caso, os valores foram eliminados, sem prejuízo significativo ao resultado final. Foram inseridas células na tubulação. Para a discretização temporal, utilizou-se um passo de tempo de 0.005s. Testes de convergência (não mostrados aqui) demonstraram que o aumento do número de células ou diminuição do passo de tempo produziriam variações inferiores a 1% no comprimento médio de pistão Evolução dos parâmetros estatísticos A média e variância experimentais foram determinadas a partir dos parâmetros da distribuição log-normal. A média e variância podem ser relacionadas com os parâmetros µ LN e σ LN da distribuição log-normal por: σ = ( ) µ = exp µ LN + σ2 LN 2 (4.1) exp (2µ LN + σln 2 )[exp(σ2 LN ) 1] (4.2) Também foram obtidas as médias e desvios padrões das distribuições geradas pelo modelo evolutivo. Podemos definir a média, desvio padrão e coeficiente de variação de uma amostra por: x = 1 N x i (4.3) N i=1 s N = 1 N (x i x) N 2 (4.4) i=1 c v = s N x (4.5) A figura 4.6 mostra a comparação entre o tamanho médio e o desvio padrão do ajuste dos dados experimentais com o modelo teórico. No modelo teórico, o desvio padrão da distribuição de comprimentos aumenta 21

34 até aproximadamente 4.2D, conforme são formados pistões maiores, e depois começa a diminuir, quando os pistões grandes já estão bastante estáveis e os pequenos vão sendo eliminados. A média aumenta de forma assintótica para um valor próximo a 15D. Os resultados experimentais indicam que a média e o desvio padrão seguem aumentando a uma taxa quase constante mesmo próximo do final da tubulação, atingindo cerca de 2 e 3 vezes, respectivamente, os valores calculados. A média do intervalo de tempo apresentou boa concordância qualitativa entre o modelo e o experimento. O desvio padrão foi descrito corretamente no final da tubulação, mas não no início. Figura 4.6: Evolução dos parâmetros estatísticos ao longo da tubulação. : experimental. +: numérico Análise das distribuições As figuras 4.7 e 4.8 apresentam os resultados do modelo. Quando aplicável, também são mostrados os resultados experimentais. As tabelas 4.1 e 4.2 contêm as médias, 22

35 desvios padrões e coeficientes de variação das distribuições em cada posição. Figura 4.7: Resultados de l s /D e T do modelo de COOK e BEHNIA (2000b). A linha tracejada representa um parâmetro de entrada baseado nos dados experimentais e a linha contínua, o resultado experimental de referência. Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m O modelo consegue prever razoavelmente bem as distribuições de frequência nos dois pontos. No entanto, o comprimento de pistão na posição final é muito subestimado, como comentado anteriormente. As distribuições de perda de carga apresentam grande dispersão e valores muito altos quando comparados com o outro modelo. Provavelmente, a suposição de velocidade nula na saída do filme é muito conservadora. 23

36 Figura 4.8: Resultados de P e P/l u do modelo de COOK e BEHNIA (2000b). Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m Tabela 4.1: Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m. Média Desvio padrão Coef. de variação 1/T [s 1 ] % l s /D % P [Pa] % P/l u [Pa/m] % 24

37 Tabela 4.2: Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m. Média Desvio padrão Coef. de variação 1/T [s 1 ] % l s /D % P [Pa] % P/l u [Pa/m] % 25

38 4.4 Modelo de célula unitária O modelo de célula unitária foi avaliado na primeira e última posições. Foram utilizados valores de frequência, obtidos a partir das distribuições experimentais de intervalos de tempo de passagem no início e no final. Foi considerada a seguinte relação para obter os valores de frequência: ν T = 1 T (4.6) Análise das distribuições As simulações que geraram valores não-físicos foram descartadas. Os histogramas resultantes das simulações e os ajustes experimentais são comparados na figura 4.9. O resultado de perda de carga é apresentado na figura 4.10, e as tabelas 4.3 e 4.4 mostram um resumo das estatísticas. Tabela 4.3: Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m. Média Desvio padrão Coef. de variação l s /D % P [Pa] % P/l u [Pa/m] % Tabela 4.4: Características estatísticas das distribuições de propriedades para o modelo de DUKLER e HUBBARD (1975),para x=30.1m. Média Desvio padrão Coef. de variação l s /D % P [Pa] % P/l u [Pa/m] % O modelo não prevê bem o comportamento da distribuição de comprimentos na entrada, superestimando o número de pistões pequenos e o tamanho da cauda da distribuição. Na posição a jusante, a distribuição de comprimentos é prevista bem. A distribuição de perda por comprimento é muito estreita, e varia pouco de um caso para o outro. A média no primeiro ponto é cerca de 10% maior que no segundo. 26

39 Figura 4.9: Resultados de l s /D e T do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975). A linha tracejada representa um parâmetro de entrada baseado nos dados experimentais e a linha contínua, o resultado experimental de referência. Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m 27

40 Figura 4.10: Resultados de P e P/l u do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975). Esquerda: x = 0m. Direita: x = 30.1m 28

41 4.5 Ajustes de distribuições O teste de Kolmogorov-Smirnov pode ser utilizado para comparar uma amostra com uma distribuição de referência. A estatística de teste é dada por sup x F n (x) F 0 (x), onde F n (x) é a distribuição cumulativa de probabilidade das amostras e F 0 (x) a da referência avaliada. A estatística é comparada com um parâmetro padrão D φ dado por C(φ)/ n. Se a estatística de teste é superior a D φ, a hipótese de que a amostra tenha vindo da distribuição escolhida é rejeitada. Quanto maior o valor de φ, mais significativa é a diferença entre as distribuições. Um subconjunto de 500 células foi utilizado na avaliação dos ajustes de distribuições. Considerando φ = 5%, temos que D φ = 1.36/ 500 = As tabelas 4.5,4.6,4.7 e 4.8 apresentam os valores do parâmetro de Kolmogoroc-Smirnov para o melhor ajuste de cada variável com cada distribuição. Em negrito estão destacados os valores que passam no teste. Tabela 4.5: Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=0m. Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversa ν P P/l u Tabela 4.6: Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de COOK e BEHNIA (2000b), para x=30.1m. Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversa l s /D ν P P/l u Tabela 4.7: Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=0m. Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversa l s /D P P/l u No modelo de COOK e BEHNIA (2000b), a distribuição de comprimentos no formato de log-normal gera distribuições de frequência e perda de carga também semelhantes à log-normal. Na posição a jusante, a distribuição de comprimentos já 29

42 Tabela 4.8: Valores do parâmetro de Kolmogorov-Smirnov para fits das distribuições do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), para x=30.1m. Log-normal Normal Gamma Gaussiana Inversa l s /D P P/l u não possui mais a forma original, mas a distribuição de frequências ainda passa no teste. Nos resultados do modelo de DUKLER e HUBBARD (1975), percebe-se que a distribuição log-normal usada para o parâmetro de entrada gera distribuições com o mesmo formato para a perda de carga. Além disso, os comprimentos de pistão são bem descritos pela distribuição Gamma, com a estatística de teste muito inferior às outras. 4.6 Sensitividade das distribuições O modelo de célula unitária foi avaliado em relação à propagação da dispersão da distribuição de entrada. Foram realizadas 1000 simulações para quatro distribuições de intervalo de tempo com a mesma média e desvios padrões diferentes. A figura 4.11 apresenta a relação entre os coeficientes de variação do parâmetro de entrada, a frequência, e o resultado de perda de carga. Também é exibido o resultado de uma regressão linear. Observa-se claramente uma relação linear entre as grandezas analisadas. Além disso, a dispersão da distribuição de saída é muito menor que a de entrada. Para um desvio padrão de 60% da média na frequência, o efeito é um desvio padrão de 11% da média na queda de pressão por comprimento. Na figura 4.12 é exibida a variação da dispersão do comprimento de pistão. O comportamento ainda é descrito razoavelmente bem por uma reta. No entanto, a inclinação nesse caso é bastante superior, de modo que a distribuição de saída pode ter o coeficiente amplificado por mais de duas vezes. O maior desvio padrão da distribuição de comprimentos pode chegar a 130% da média. 30

43 Figura 4.11: Coeficiente de variação da perda de carga em função do coeficiente de variação da frequência. Figura 4.12: Coeficiente de variação do comprimento de pistão em função do coeficiente de variação da frequência. 31

44 Capítulo 5 Considerações finais 5.1 Conclusões Foram analisados dois modelos para escoamento em golfadas, um baseado no conceito de célula unitária e um modelo evolutivo para previsão de distribuições de comprimento de pistão. Foram apresentados mapas de domínio de validade para o modelo de célula unitária, onde verificou-se que o modelo pode fornecer resultados válidos, ainda que equivocados, em uma grande região fora das condições de ocorrência de golfadas. Além disso, o modelo não conseguiu cobrir casos de golfadas com maior velocidade superficial de gás. Ambos os modelos foram comparados aos dados experimentais, apresentando uma concordância razoável. O modelo evolutivo, no entanto, falhou em prever o comprimento dos pistões no final da tubulação, subestimando significativamente a taxa de crescimento. Apesar disso, a evolução da frequência de passagem de pistões foi bem determinada. O teste de Kolmogorov-Smirnov foi aplicado às distribuições estatísticas resultantes dos modelos e observou-se que para uma distribuição do parâmetro de entrada log-normal a distribuição de perda de carga também se assemelha a uma log-normal. No modelo de evolução, a distribuição log-normal de comprimentos no início da tubulação não resultou em distribuição semelhante no final. Por fim, uma análise de sensitividade do modelo de célula unitária mostrou que a dispersão dos resultados de perda de carga é pouco sensível à dispersão da frequência, e possui uma relação aproximadamente linear para os valores testados. Os modelos utilizados podem ser facilmente combinados em um simulador, a fim de gerar resultados completos de características do escoamento. O modelo evolutivo pode prever as distribuições de frequência ao longo da tubulação, e o resultado pode ser passado para o modelo de célula unitária para cálculo da perda de 32

45 carga. O simulador se encontra disponível na página do Laboratório de Escoamentos Multifásicos: Trabalhos futuros Todos os modelos de golfadas existentes atualmente são fortemente dependentes das equações de fechamento, obtidas de dados experimentais. Para um trabalho futuro, devem ser realizados experimentos para levantamento de dados completos e confiáveis de distribuições estatísticas para aprimoramento das correlações presentes nos modelos. 33

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