SIMULAÇÃO DE RISCO NA AVALIAÇÃO DE EMPREENDIMENTOS PELO MÉTODO DE MONTE CARLO Prof. Dr. Gabriel A. Costa Lima Gerente da AREMAS (Smart Business Solutions) Contatos: gabriel.costa.lima@aremas.com.br

Quem somos AREMAS Consultoria, Treinamento & Software (CNPJ: 08.648.864/0001-26; I.E.: 389.101.383.118) é uma empresa que atua em treinamento, consultoria e venda de software. A equipe é formada por profissionais de diferentes áreas tais como engenharia, estatística, matemática e informática. Uma vez que muitos dos trabalhos de consultoria envolvem diferentes áreas de conhecimento tais como engenharia, estatística, economia, computação, dentre outras. A coordenação técnica de treinamentos e consultorias é de responsabilidade do Prof. Dr. Gabriel A. Costa Lima, ver currículo Lattes: (http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=k4769114t3); www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 2

Sumário 1) Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo 2) Exemplo de avaliação de risco de um plano de telefonia celular 3) Exemplo de otimização por meio de simulação 4) Exemplo de avaliação de risco de um grande empreendimento imobiliário 5) Considerações finais 6) Espaço para perguntas www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 3

Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo

1) Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo Exemplos de problema onde há riscos: O fundo de investimento composto por ações de empresas de siderurgia vem apresentando bons resultados nos últimos 2 anos. Devo aplicar R$ 50 mil neste fundo? Qual a probabilidade de não obter um retorno superior ao da caderneta de poupança? O planejamento de operações de uma mineradora (transporte, reserva, etc) foi realizado considerando-se o preço do minério de ferro igual a US$ 45/ton. Qual o risco de que a empresa possa perder dinheiro? Nas atividades do agronegócio a falta ou excesso de chuvas pode causar prejuízos. Qual a probabilidade que ocorra excesso de chuvas em SP e escassez em MT? Qual a melhor seleção de projetos de seis sigma de modo a maximizar a média do VPL e ao mesmo tempo garantir que haja uma probabilidade de 95% de que a empresa não perderá dinheiro? Ao selecionar um plano de telefone celular, qual a probabilidade de que sua escolha seja a melhor no longo prazo? Em todos estes problema há apenas um certeza: a presença da incerteza. Você poderia pensar em 3 problemas do seu dia-a-dia onde há incerteza? www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 5

1) Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo Incerteza: Uma variável é incerta quando não se pode garantir quais serão os seus valores futuros. Exemplos: O valor exato do preço do petróleo daqui a 3 anos; O número total de acidentes nas estradas do Brasil entre hoje até daqui a 2 anos; A vida de uma broca usada em perfuração de rocha; O resultado do lançamento de um dado; Risco: não há um consenso sobre o conceito de risco, mas alguns autores e tomadores de decisão empregam o seguinte: é a probabilidade de que no futuro possa ocorrer um evento desfavorável. Exemplos: Há um risco de 85% de que a empresa petroleira não encontre óleo no furo BS-670; Há um risco de 99,99% de perder pelo menos US$ 200 num cassino; Há uma chance de 87% de que as chuvas sejam em nível insuficiente para a plantação de soja e acumular água numa barragem para evitar racionamento no próximo semestre. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 6

1) Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo Há outros autores que entendem que no conceito de risco devemos considerar conjuntamente: probabilidade de perda e magnitude do valor de tal perda. Assim, vejamos os dois casos: Jogo na loteria: probabilidade de perda é 99,999% e valor do investimento é R$ 1,5; Perfuração de poço exploratório: probabilidade de perda é 95% e o valor do investimento é US$ 150 milhões; há, por outro lado, 5% de chance de sucesso e neste caso o ganho será US$ 3 bilhões. Nos dois exemplos, qual dos dois é o mais arriscado? Podemos pensar no valor esperado da perda isoladamente? Importante: Não se pode eliminar completamente a incerteza, mas podemos usarasimulaçãodemontecarloparaquantificaroriscoqueéderivadodetal incerteza em variáveis importantes como o VPL, tempo para terminar um projeto, o nível de estoques, etc. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 7

1) Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo Exemplo 1.1) Um analista da divisão financeira da Leirbag Corp estuda o risco do fluxo trimestral de um pequeno projeto. Foram consideradas somente duas variáveis: Receita: os analistas concluíram que esta pode ser modelada por meio de uma distribuição triangular com valor pessimista igual a $ 113.220, valor mais provável igual a $ 125.800 e valor otimista igual a $ 138.380; Custo: os analistas concluíram que esta pode ser modelada por meio de uma distribuição uniforme com valor inferior igual a $ 80.605,80 e valor superior igual a $ 98.518,20. Pede-se: Realizar a modelagem em planilha Estimar a média do lucro Estimar a probabilidade do lucro ser inferior à média www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 8

1) Conceitos gerais de risco, incerteza e simulação de Monte Carlo Modelagem do problema e resultados empregando-se o Crystal Ball Há 79,62% de que o lucro esteja acima de $ 30 mil. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 9

Exemplo de avaliação de risco de um plano de telefonia celular

2.1) Elementos de uma análise de risco Passo 1) Identificar as variáveis mais importantes e que causam impacto na variável resposta Passo 2) Modelagem das relações entre as variáveis tanto incertas como determinísticas Passo 3) Modelagem da incerteza das variáveis incertas e que sejam importantes Passo 4) Realizar a simulação de Monte Carlo das variáveis incertas e obter a distribuição de probabilidade da variável resposta Passo 5) Analisar as estatísticas de interesse: média, desvio padrão, probabilidade de sucesso, probabilidade de fracasso (risco), etc Passo 6) Tomar a decisão a partir dos resultados da simulação de Monte Carlo (estatísticas obtidas) www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 11

2.1) Elementos de uma análise de risco A principal ferramenta para análise de risco é simulação de Monte Carlo. Por que? Esta permite realizar experimentos (empregando-se número aleatórios) que sejam semelhantes àqueles que ocorrem na realidade, mas com diversas vantagens: menor custo, menor tempo, maior segurança, permite ganhar mais informações, etc. Por exemplo: qual o número ótimo de caixas num supermercado para que o gerente tenha 90% de certeza de que não mais que 25 pessoas estarão na fila esperando? Problemas assim tão complexos são, na prática, solucionados empregando-se simulação de Monte Carlo. Os interessados em encontrar aplicações de simulação para resolver problemas que envolver risco podem consultar o site da Operations Resources and Management Science (www.informs.org) www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 12

2.1) Elementos de uma análise de risco Exemplo 2.1) As empresas do segmento de telecomunicações oferecem diferentes planos de serviços para os mais variados clientes. Suponhamos que você esteja estudando o melhor plano de telefonia para as suas necessidades de uso pessoal e que haja dois planos candidatos: World celular e Freedom celular. O plano World Cellular possui um custo fixo de $ 39,90 e o cliente possui 400 minutos para ligações locais e não há limite para ligações de longa distância. A partir de 400 minutos em ligações locais a tarifa será $ 0,4 / minuto. O plano Freedom Cellular possui uma tarifa fixa de $ 35 e o cliente pode fazer ligações locais ilimitadas. No entanto, para as ligações de longa distância há uma tarifa de $ 0,13 / minuto. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 13

2.1) Elementos de uma análise de risco Modelo para escolha do plano de telefonia www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 14

2.2) Identificação das variáveis incertas A primeira fase para solucionar este problema consiste na identificação das variáveis incertas: Se o cliente empregar o telefone somente para ligações locais a escolha é óbvia em favor do Freedom Cellular; Se o cliente somente usar o telefone somente para ligações de longa distância a escolha é imediata pelo World Cellular. O problema é você realizará ligações locais e também de longa distância. Para complicar, não se sabe ao certo o número de minutos que será gastos nas ligações locais e urbanas. Portanto, há duas fontes de incerteza: o total de minutos e a fração do tempo total que será gasto em ligações de longa distância e locais. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 15

2.2) Modelagem da incerteza das variáveis incertas A modelagem das variáveis incertas consiste em assumir que seus os valores serão geradas de acordo com alguma distribuição de probabilidade Galeria com diversas distribuições de probabilidade que existem no Crystal Ball www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 16

2.2) Modelagem da incerteza das variáveis incertas A partir de dados históricos (vários meses) das suas contas de telefone, nota-se que a média do número total de minutos gastos foi 400 e o desvio padrão foi 20 minutos. Portanto, você pode assumir como uma primeira aproximação que os número de minutos totais gastos no mês seguinte pode ser modelado por meio de uma distribuição normal. A fração dos minutos totais que foram usados para ligações de longa distância também pode ser estimada a partir de dados históricos. Foi verificado que na maior parte dos meses cerca de 30% dos minutos totais foram usados na forma de ligações de longa distância, 40% num caso extremo e 10% no outro caso extremo. Logo, podemos modelar a fração dos minutos gastos em ligação de longa distância por meio de distribuição de probabilidade do tipo triangular. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 17

2.3) Modelagem das relações entre as variáveis A modelagem da relação entre as variáveis se faz por meio de recursos matemáticos (equações). Por exemplo, a relação entre demanda de alimentos (D) e preço (P) podem ser modeladas por meio de: D(P) = a b*p, Ondeaebsão constantes. No entanto, P é incerta e deve ser modelada por meio de distribuição de probabilidade. Na modelagem da relação entre as variáveis podemos usar as funções existentes no excel (estatísticas, trigonométricas, lógicas, etc). As funções lógicas do excel (SE, OU, MIN, MAX, etc) são muito úteis na modelagem de problemas reais envolvendo tributos, demanda, estoques, etc. Por exemplo, no caso do plano de telefone World cell, o cliente paga além da tarifa básica somente o número de minutos T exceder 400 minutos, ou seja, o custo total será 39,99 + (T-400)*0,4, se T > 400. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 18

2.3) Modelagem das relações entre as variáveis Modelagem das relações entre as variáveis Modelagem entre as variáveis www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 19

2.3) Modelagem das relações entre as variáveis O seu problema consiste em: Desenvolver um modelo para analisar qual dos 2 planos é o melhor em termos de custo; Estimar a média e o desvio padrão do custo dos dois possíveis planos de telefonia; Uma vez que a escolha é mutuamente excludente, estimar a probabilidade que sua escolha realmente seja a melhor; Discussão & solução www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 20

2.4) Realizar a simulação dos valores das variáveis incertas e obter a distribuição de probabilidade da variável resposta Veja que a média da economia de custo ao escolher o Word Cell é $ 0,35. No entanto, há uma probabilidade de 26,55% de que o custo seja superior a $45. Por meio das estatísticas geradas pela simulação o analista pode obter mais informações que sejam importantes para a tomada de decisões. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 21

2.5) Estimar as estatísticas de interesse A simulação permite obter a distribuição de freqüências da variável resposta. Importante: veja que com a simulação de Monte Carlo realizada pelo Crystal Ball você obtém mais informações a respeito da variável aleatória custo de plano de telefone (mostradas à direita do histograma). www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 22

2.6) Tomar a decisão a partir dos resultados da simulação de Monte Carlo A escolha depende da aversão ao risco do tomador de decisão Há 13,09% de chance de que o plano world celular seja melhor. É importante observar não somente o valor da média da simulação, mas também os de mínimo e máximo, muito embora eles tenham baixa probabilidade de ocorrerem na prática. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 23

2.6) Tomar a decisão a partir dos resultados da simulação de Monte Carlo A escolha depende da aversão ao risco do tomador de decisão Overlay Chart 1 Statistic Freedom Cell World celular Trials 1.000 1.000 Base Case $48,87 $39,99 Mean $48,87 $43,18 Median $49,11 $39,99 Mode '--- $39,99 Standard Deviation $3,33 $4,65 Variance $11,12 $21,60 Skewness -0,2071 1,60 Kurtosis 2,44 5,08 Coeff. of Variability 0,0682 0,1076 Minimum $40,58 $39,99 Maximum $56,74 $63,98 Mean Std. Error $0,11 $0,15 Podemos comparar as duas distribuições para tomar a decisão que seja coerente com o nível de risco do tomador de decisão. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 24

3) Exemplo de otimização por meio de simulação Otimização determinística e estocástica: O que é? Quais as diferenças? Quando devem ser empregadas?

3.1) Otimização determinística Exemplo 3.1) O gerente de uma pizzaria deseja estimar o preço (P) que maximiza as suas receitas. Depois de pesquisas de mercado, a função demanda (D) encontrada foi: D(P) = 60 1,6*P. Se ele quiser maximizar a receita da empresa, qual deve ser o preço de venda? 800 600 Receita 400 200 0-200 -400 0 10 20 30 40 50 Preço O preço ótimo é R$18,75. Este é um problema de otimização determinística por que estamos assumindo que a relação linear entre D e P não oscila ao longo do tempo. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 26

3.1) Otimização determinística As ferramentas de otimização determinística são bem conhecidas na literatura: cálculo diferencial, programação linear, programação inteira, etc; Uma solução ótima é aquela que permite a maneira mais eficiente de empregar recursos limitados e maximizar os retornos; Os modelos de otimização são empregados em áreas como finanças, logística, engenharia, manufatura, logística, etc. Neste modelos há geralmente duas características importantes: restrições de algum tipo de recurso e necessidade de maximizar/minimizar alguma variável; Na prática, poucos são os problemas determinísticos. Por isso, os modelos de otimização estocástica são tão importantes. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 27

3.2) Idéia geral de otimização de uma função Entende-se por otimização o processo de encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função (locais e globais). Para encontrar os pontos de máximo e mínimo devemos empregar, na maioria das vezes, métodos numéricos como os que são oferecidos pelo Oracle Crystal Ball. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 28

3.2) Idéia geral de otimização de uma função Problemas típicos: Engenharia econômica: minimização de custos de estoques, maximização de produtividade, etc; Análises em meio ambiente: escolha da remediação mais eficiente e com menor custo; Planejamento de logística: escolha do caminho que gera o custo mínimo; Gerenciamento de operações: alocação de equipamentos de modo a maximizar a probabilidade de sucesso de que a produção seja suficiente para atender aos termos do contrato de exportação? Gestão de marketing: estimativa do investimento ótimo em diferentes mídias; Recursos Humanos: alocação ótima de mão-de-obra para desenvolver um projeto; Mercado financeiro: estratégia ótima de alocação de recursos de portfólios para maximizar a média do retorno Muitos outros, tais como os casos que são estudados ao final deste curso; www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 29

3.3) Otimização determinística X estocástica Na otimização determinística o maximização ou minimização da função pode ser realizada por meio de modelos analíticos já bem conhecidos na literatura de pesquisa operacional. Y 14 12 10 8 6 Na otimização determinística envolve variáveis que possuem comportamento previsível 4 2 0 0 10 20 30 40 50 Na otimização estocástica as funções objetivo e restrições são associadas às estatísticas (média, desvio padrão, curtose, etc) das variáveis incertas. X Na otimização estocástica a maximização ou minimização envolve variáveis com comportamento imprevisível www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 30

3.4) Um exemplo de modelagem, simulação e otimização Exemplo 3.2) O gerente de produção da divisão autos da Leirbag estuda qual deve ser o nível ótimo de produção de um determinado produto sabendo-se que a demanda é estocástica. As variáveis incertas são: Demanda: é uma variável incerta e deve ser modelada por meio de uma distribuição triangular (500; 1200; 1400); O custo fixo é constante e igual a $ 5500; Custo variável: é uma variável incerta e deve ser modelada por meio de uma distribuição uniforme com parâmetros $2,7 e $ 3,3 por unidade; Preço: é uma variável incerta e deve ser modelada por meio de uma distribuição triangular (10,8; 12; 13,2); A produção deve se encontrar entre 800 unidades (já há contrato firme de venda) e 1500 unidades (restrição de capacidade); O problema do gerente consiste em: Analisar o risco do lucro se a produção for 1200 unidades; Estimar a produção ótima para maximizar a média do lucro; www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 31

3.4) Um exemplo de modelagem, simulação e otimização Limitações do Solver o Excel para realizar otimização: Somente realiza otimização envolvendo variáveis determinísticas As restrições devem ser lineares A função objetivo deve ser linear O número de variáveis é limitado Vantagens da otimização com o OptQues da Oracle Crystal Ball: Realiza simultaneamente otimização usando-se simulação (otimização estocástica) Alta flexibilidade para solucionar problemas complexos Permite não-linearidades nas restrições e função objetivo Usa todas as facilidades das funções existentes no Excel www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 32

3.4) Um exemplo de modelagem, simulação e otimização Análise de risco do lucro para a produção de 1200 unidades Veja que a simulação permite conhecer qual a amplitude da variabilidade, quantificar as probabilidades em diversos cenários, mas não diz qual deve ser a produção ótima. Já a otimização diz a você o que deve ser feito para obter os seus objetivos. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 33

3.4) Um exemplo de modelagem, simulação e otimização Resultado da otimização estocástica com o Crystal Ball www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 34

3.4) Um exemplo de modelagem, simulação e otimização Veja que o nível ótimo de produção para maximizar a média do lucro deste exemplo simples é 1.188 unidades e a média do lucro será $ 3.623,34 (valor encontrado com poucas simulações). Note que o valor ótimo da produção é ligeiramente inferior ao valor mais provável da demanda que é 1200 unidades. Este exemplo mostra que uma estimativa empregando somente as ferramentas do Microsoft Excel podem superavaliar o resultado final. Isto porque a média de uma variável de saída em função das médias das variáveis de entrada somente pode ser calculada corretamente empregando simulação na grande maioria dos casos reais nos quais ocorrem não-linearidades no modelo. O que podemos dizer das demais estatísticas geradas pela simulação e otimização? www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 35

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Referências bibliográficas Ragsdale, Cliff T. (2001), Spreadsheet modeling and decision analysis a practical introduction to management science, South-Western College Publishing. Evans, James E., Olson, David L. (2000), Statistics, data analysis and decision modeling, Prentice-Hall Inc. Winston, Wayne L., Albright, S. Christian (1997), Management Science a practical approach, Wadsworth Publishing Company. Pindyck, Robert S., Rubinfeld, D. (1997), Econometric models and economic forecasts, 4 th edition, McGraw-Hill. Makridakis, S., Wheelwright, S. (1997), Forecasting: methods and applications, 3 th edition, New York Wiley. Eppen, G. P, Gould, F. J., Schmidt, C. P., Weatherford, L. R. (1998), Introductory Management Science Decision Modeling with Spreadsheets, Prentice Hall Inc. Bodie, Zvi Kane, Alex Marcus, Alan J. (2002), Investments, Mcgraw Hill, Edition 5/E, 2002. www.aremas.com.br 19 3308 2032 suporte@aremas.com.br 2009-2011@ Todos os direitos reservados 38