Escola Secundária Poeta António Aleixo 4.º Teste de Matemática A 11.º Ano 17 Março 010 1.ª Parte Para cada uma das cinco questões desta primeira parte, seleccione a resposta correcta de entre as quatro alternativas que são apresentadas e escreva na sua folha de teste a letra que lhe corresponde. Não apresente cálculos. Se indicar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a resposta for ambígua ou se a letra transcrita for ilegível. 1. Na figura ao lado, está o quadrado ABEF inserido no rectângulo ACDF. Seja a amplitude do ângulo BDE. Sabendo que o quadrado tem área igual a 9, qual das expressões seguintes dá o perímetro do rectângulo, em função de? (C) 9 sen cos (B) 1 (D) tg 1 sen cos 9 tg. Um navio encontra-se atracado num porto. A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré. Admita que h é dada, em função do tempo x, por h x 10 cos x. A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré-alta, é: 4 (B) 7 (C) 1 (D) 1. Na figura, T é o ponto médio de AB. O lugar geométrico dos pontos P do plano que satisfazem a condição PA. TB 0 é: a mediatriz de AB (B) uma recta perpendicular a AB e que passa por A (C) uma recta perpendicular a AB e que passa por B (D) uma circunferência de diâmetro AB Grupo de Matemática Cód 500-1 -
4. Na figura estão representados: o gráfico de uma função f A recta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa A recta s, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa Sabendo que f e que as rectas r e s são perpendiculares, indique o valor de h 0 f lim h f h (B) (C) (D) 5. Em 1990, havia 8 mil habitantes numa aldeia mas esse número tem diminuído. No entanto, o número de habitantes tem se aproximado dos 5 mil (nunca chegando a esse valor). Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função N que dá o número aproximado de habitantes (em milhares) da aldeia, t anos após o início de 1990. 15t 1 t (B) 15t 1 t (C) 5t 1 t 8 (D) 5t 1 t.ª Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Sempre que não se indicar a precisão pretendida no resultado, deve indicar o valor exacto. 1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido formado por um paralelepípedo ABCDEFGH e uma pirâmide ABCDV. A base EFGH do paralelepípedo está contida no plano xoy e a base da pirâmide coincide com a face superior do paralelepípedo. Grupo de Matemática Cód 500 - -
Sabe-se que: A aresta GF está contida no eixo Oy. O ponto V pertence ao plano z. O ponto A tem coordenadas 1,1,1. O plano CDE é definido pela equação y+ z = 1. As equações cartesianas x 1 y z definem a recta BV. 1.1. Mostre que as coordenadas do ponto D são 1,,1 e que as coordenadas do ponto V são 1,0,. 1.. Seja o plano perpendicular à recta BV e que contém o ponto D. Verifique se o ponto V pertence ao plano. 1.. Determine a área da secção definida no sólido pelo plano coordenado xoy.. O impressionante Parque Nacional dos Lagos de Plitvice (situado na Croácia) é património universal da Unesco. Este parque é composto por 1 lagos que se comunicam e por 9 cataratas e quedas de água. Os lagos estendem-se entre Mala Kapela e Pijesevica, ao longo de 87 km. O lago mais alto Prosec, é o mais extenso e o mais profundo é o lago Kozjak. Nas águas dos Lagos de Plitvice habitam poucas espécies de peixe. Não se sabe se os peixes habitam estas águas desde os tempos primórdios ou apenas nos últimos séculos. Foram efectuados estudos sobre a Ichtyofauna em 199 (por Rossler) e 1958 (por Taler)..1. Admita que o número de peixes, em milhares, existentes no Lago Prosec varia de acordo com o modelo 9t 9,4 P( t), em que a variável t designa o tempo, medido em décadas, desde o t 1, inicio de 1950. Resolva as questões seguintes utilizando métodos exclusivamente analíticos. Grupo de Matemática Cód 500 - -
.1.1. No início de 1950, quantos peixes habitavam o Lago Prosec?.1.. Resolva a condição P( t) 8. Interprete a equação e a sua solução no contexto do problema..1.. Ao fim de muitos, muitos anos, quantos peixes haverá no Lago Prosec? Justifique a sua resposta... O número de peixes, em milhares, existentes no Lago Kozjak varia de acordo com o 50t modelo K( t) 5, em que a variável t designa o tempo, medido em t 0 décadas, desde o inicio de 1950. Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da condição que lhe permite resolver o seguinte problema: Durante quantos anos o número de peixes existentes no Lago Kozak será superior ao número de peixes existentes no Lago Prosec? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como as coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente as coordenadas dos pontos na forma de dízima, arredondados às décimas.. Considere as funções f e g, definidas por f x x e 1 x.1. Calcule o domínio de cada uma das funções. g x x x 1... Indique as assimptotas do gráfico da função h x f x.. Resolva a condição f x 1 g x de intervalo ou reunião de intervalos de números reais. 1., apresentando o conjunto solução sob a forma FIM. Cotações 1.ª parte 45 pontos (9 pontos cada resposta certa. 0 pontos cada resposta errada ou não respondida).ª parte 155 pontos (A cada uma das questões 1..,.1..,..,. e.., corresponde um máximo de 1 pontos, sendo que a cada uma das restantes questões corresponde um máximo de 15 pontos) Grupo de Matemática Cód 500-4 -
SOLUÇÕES: 1.ª Parte 1... 4. 5. C C B A B.ª Parte 1.. V não pertence ao plano 1...1.1. 5875 peixes.1..,4 décadas. Decorridos 4 anos existirão no lago 8000 peixes.1.. 9000 peixes.. 115 anos.1. D IR \ 1 ; D IR \ 1,1 f.. x 4 e y 1.. C. S., 1,1 g Grupo de Matemática Cód 500-5 -