Teste Qui-Quadrado Rio de Janeiro, 3 de setembro de 01
Três tipos de testes Teste de aderência: quando desejamos verificar se uma amostra comporta-se de acordo com uma distribuição específica (normal, uniforme, etc.) Teste de homogeneidade: quando desejamos verificar se a distribuição de uma variável categória é a mesma em diferentes populações. Teste de independência entre variáveis: quando desejamos verificar se duas variáveis categóricas são independentes.
Teste de Aderência (segundo a distribuição teórica)
Teste de Aderência H0: Os dados comportam-se de acorodo com uma determinada distribuição de probabilidade H1: Os dados não se comportam de acorodo com uma determinada distribuição de probabilidade
Exemplo 1: Teste de Aderência Deseja-se verificar se o número de acidentes em uma estrada muda conforme o dia da semana. O número de acidentes observado para cada dia de uma semana escolhida aleatoriamente foram:
Exemplo 1: Teste de Aderência H0: O número de acidentes não muda conforme o dia da semana (distribuição uniforme) H1: Pelo menos um dos dias tem número diferente dos demais Seja p i o número de acidetnes no dia i, sendo i =1,,3,4,5,6,7 H0: p i = 1/7 para todo dia i=1,,3,4,5,6,7 H1: p i 1/7 em pelo menos um dia Total de acidentes na semana = 140 Logo, sob H0 esperamos 0 acidentes por dia
Exemplo 1: Teste de Aderência Estatística qui-quadrado O E 0 0 10 0 10 0 15 0 30 0 0 0 35 0 0 7 i1 i E i i 0 0 0 0 7,0 0 0
Exemplo 1: Teste de Aderência Valor calculado = 7, Valor crítico = INV.QUI(0,05;6) = 1,59 Valor P = DIST.QUI(7,;6) = 0,00013 Rejeitamos H0 ao nível de significância de 5% e concluímos que o número de acidents não é o mesmo em todos os dias da semana.
Teste de Homogeneidade
Teste de Homogeneidade
Exemplo : Teste de Homogeneidade A tabela a seguir mostra os resultados de uma avaliação de satisfação com a compra de um novo modelo de automóvel de luxo. Avaliação Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Homens 30 0 15 Mulheres 5 5 5 Teste a hipótese de que o novo modelo está agradando igualmente os homens e as mulheres. H0: Homens e mulheres estão igualmente satisfeitos H1: Homens e mulheres não estão igualmente satisfeitos
Exemplo : Teste de Homogeneidade Totais marginais: Avaliação Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Total Homens 30 0 15 65 Mulheres 5 5 5 35 Total 55 5 0 100 Frequências esperadas sob a hipótese de independência (H0) 65 x 55 /100 65 x 5 /100 65 x 0 /100 35 x 55 /100 35 x 5 /100 35 x 0 /100
Exemplo : Teste de Homogeneidade Cálculo da estatística qui-quadrado Frequências observadas O ij Avaliação Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Homens 30 0 15 Mulheres 5 5 5 Avaliação Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Homens 35.75 16.5 13 Mulheres 19.5 8.75 7 Avaliação Consumidores Muito Pouco Não satisfeito Homens 0.95 0.865 0.308 Mulheres 1.718 1.607 0.571 Frequências estimadas E ij 3 O E ij E i1 j1 ij ij 5,99
Exemplo : Teste de Homogeneidade Conclusão do teste Estatística teste = 5,99401 Valor crítico = INV.QUI(0,05;) = 0,05 5, 9915 Valor P = DIST.QUI(5,99401;) = 0,0499 Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%
Exemplo 3: Teste de Homogeneidade
Exemplo 3: Teste de Homogeneidade Frequências observadas O ij Frequências estimadas E ij 5 O ij E E i1 j1 ij ij 3,186
Exemplo 3: Teste de Homogeneidade Estatística teste = 3,186 linhas e 5 colunas, logo, (-1)x(5 1) = 4 graus de libedade Valor crítico = INV.QUI(0,05;) = 0,05 9, 4877 4 Valor P = DIST.QUI(3,186;) 0 Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5%
Teste de Independência
Teste de Independência
Exemplo 4: Teste de Independência Investigando a fidelidade de consumidores de um produto, obteve-se uma amostra de 00 homens e 00 mulheres. Foram classificados como tendo alto grau de fidelidade 100 homens e 10 mulheres. Os ddos fornecem evidência de possíveis diferenças de grau de fidelidade entre os sexos?
Exemplo 4: Teste de Independência Ho: p ij = p i x p j H1: p ij p i x p j Frequências observadas Frequências esperadas 0 x 00 /400 180 x 00 /400 0 x 00 /400 180 x 00 /400
Exemplo 4: Teste de Independência Cálculo da estatística Qui-Quadrado: Número de graus de liberdade = (-1)x(-1) = 1 Estatística Qui-Quadrado 5 O ij E E i1 j1 ij ij 4,04040 Valor crítico =INV.QUI(0.05;1) = 3,84, logo rejeitamos H0
Exemplo 5: Teste de Independência Na tabela a seguir são apresentadas as reações dos eleitores a um projeto de um novo imposto sobre propriedade, de acordo com a filiação partidária. A partir destes dados, construa uma tabela das frequências esperadas baseadas na premissa de que não há relação entre filiação partidária e reação ao projeto do novo imposto.
Exemplo 5: Teste de Independência Tabela de frequências esperadas sob a premissa de ausência de relação entre filiação partidiária e reação ao projeto. n i j n i n n j Cálculo da estatística qui-quadrado 3 3 O E 10 88 40 30 ij E i1 j1 ij ij 88 30 55,13
Exemplo 5: Teste de Independência Graus de liberdade = (3-1) (3 1) = 4 Valor crítico =INV.QUI(0.05;4) = 9,49 Valor P = DIST.QUI(55.13;4) = 3, 05 E-11 Logo, rejeitamos a hipótese nula e concluímos de que há relação entre filiação partidária e reação ao projeto do novo imposto.