Teste Qui-Quadrado para Independência Texto criado na data. 7 de novembro de 2018

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1 Teste Qui-Quadrado para Independência Texto criado na data 7 de novembro de 2018

2 Exemplo 1. Um exemplo típico do tema Teste de Independência. Os resultados da classificação de pessoas segundo a cor dos olhos e a cor do cabelo foram os seguintes: Cor do Cor dos olhos cabelo Castanhos Azuis Cinza Claro Escuro Deseja-se verificar, com o nível de significância de 2,5%, se cor de olhos e cor de cabelos são atributos independentes.

3 Exemplo 1; formalismo. O objetivo do exemplo formula-se assim: deseja-se escolher entre as hipóteses H: os atributos cor de olhos e cor de cabelos são independentes ; A: os atributos cor de olhos e cor de cabelos não são independentes (são dependentes, em outras palavras). Os valores 13, 18, 9, 37, 12, 11 chamam-se frequencias observadas. A notação genérica para estes é o 11, o 12, o 13, o 21, o 22, o 23 (a indexação segue a regra usada em matrizes: o primeiro índice corresponde à linha da posição do valor, e o segundo número correpsonde à coluna).

4 Exemplo 1; o primeiro passo da solução. No primeiro passo, calcula-se os Totais por linhas e por colunas e o Total Global que fica no canto direito de baixo: Cor do Cor dos olhos Total por cabelo Castanhos Azuis Cinza linha Claro Escuro Total por coluna

5 Exemplo 1; o segundo passo da solução. No segundo passo, as frequencias observadas são substituidas por frequencias esperadas; a notação genérica para estes é e 11, e 12, e 13, e 21, e 22, e 23. Estas são os valores hipotéticos que seriam observados caso H fosse válida, seriam observados se não hovesse aleatoriedade, dariam os mesmo Totais que as frequencias observadas. Cor do Cor dos olhos Total por cabelo Castanhos Azuis Cinza linha Claro e 11 e 12 e Escuro e 21 e 22 e Total por coluna

6 Exemplo 1; o segundo passo da solução. Eis a idéia central: Se Cor dos Olhos nã dependesse da Cor dos Cabelos, então as 50 pessoas com olhos castanhos seriam dividas em loiras e morenas nas mesmas proprções que as 30 pessoas com olhos azuis seriam dividas em loiras e morenas, e na mesmas proporções que as 20 pessoas com olhos cinza seriam dividas em loiras e morenas. Estas três proporções (iguais) seriam obrigadas a coincidir também com as proporções totais de loiras e morenas. Já que no total, as loiras e as morenas estão em proporções como para, então entre as 50 pessoas com olhos castanhos, deve ter loiras e morenas; entre as 30 pessoas com olhos azuis, deve ter loiras e 30 olhos cinza, deve ter morenas; e entre as 20 pessoas com 60 loiras e 20 morenas.

7 Exemplo 1; o segundo passo da solução. Cor do Cor dos olhos Total por cabelo Castanhos Azuis Cinza linha Claro Escuro Total por coluna Observação: As frequencias esperadas não são obrigadas a serem números interios; na verdade, na maioria dos casos práticos, estes não serão inteiros.

8 Exemplo 1: o terceiro passo da solução. No terceiro passo, calcula-se a distância entre as frequencias observadas e frequencias esperadas via a fórmula No caso do exemplo, ( χ 2 ) obs = (o ij e ij ) 2 i,j e ij ( χ 2 ) obs (13 ) 2 = (18 ) (9 ) (37 ) (12 ) ( ) = 9, 288

9 Exemplo 1: o terceiro passo da solução. O valor ( χ 2) = 9, 288 compara-se com o limiar l que recorta a obs cauda da área α = 2, 5% da distribuição Qui-Quadrado com 2 graus de liberdade. Pela tabela das distribuições Qui-Quadrado, l = 7, 378. Como ( χ 2) = 9, 288 > 7, 378 = l, então a hipótese nula (que obs alega a independência) é rejeitada. Conclusão: O Teste de Independência, sendo aplicado aos dados do Exemplo 1 e com o nível de significância 2,5%, naõ confirmou a independência dos atributos cor de olhos e cor de cabelos.

10 Notações e linguagem. H chama-se hipótese nula, e A hipótese alternativa. O semi-eixo [l, + ) chama-se Região Crítica. (χ 2 ) obs chama-se a observação ou o valor observado da Estatítsica Qui-Quadrado, onde a palavra estatística possui seu sentido exato na Teoria Estatística, mas para nos, essa deve ser interpretada como variável aleatória. A regra de decisão pode ser reformulada assim: se (χ 2 ) obs não pertencer à Região Crítica aceitar H, se (χ 2 ) obs pertencer à Região Crítica rejeitar H. A regra pode errar em dois sentidos: rejeitar H quando esta está válida (chama-se Erro do Tipo I), e rejeitar A quando esta está válida (chama-se Erro do Tipo II). A probabilidade do Erro do Tipo I é exatamente (e pela própria contrução da regra, alias) o nível de significância. A probabilidade do Erro do Tipo II não pode ser expressa por um número só, pois a hipótese A não especifica a forma da dependência: para cada forma de dependência, haveria seu valor da probabilidade do Erro do Tipo II.

11 Teoria geral. Ao denotar por X 11, X 12,..., X 21, X 22,... as frequencias a serem vistas caso H for válida, tem-se que a variável aleatória χ 2 = (X ij e ij ) 2 e ij i,j tem (aproximadamente) a distribuição Qui-Quadrado com o número de Graus de Liberdade igual a (número das linhas da tabela 1) (número das colunas da tabela 1) Isto leva (via o raciocínio parecido com aquele que desenvolvemos no Teste de Aderência) à seguinte Regra de Decisão: para dado α, nível de significância do teste, achar a limiar l que recorta a cauda direita com o peso α da distribuição Qui-Quadrado com o número apropreado de graus de liberdade; em posse de l e ( χ 2) obs, aceitar H caso (χ2 ) obs < l, e aceitar A caso (χ 2 ) obs l.

12 Outros exemplos. Em um estudo para verificar a relação entre asma e incidência de gripe no outono, 150 crianças foram escolhidas ao acaso, dentre aquelas acompanhadas pelo Posto de Saúde de um bairro. Os dados referentes a uma semana são apresentados na tabela a seguir. asma gripe total sim não sim não total Existem evidências, ao nível de significância de 4%, de que a ocorrência de gripe é influenciada pela presença de asma nesta população?

13 Outros exemplos. A tabela abaixo mostra o aproveitamento em Física e Matemática para uma amostra de alunos de uma escola de ensino médio. Matemática Física Notas altas Notas regulares Notas baixas Notas altas Notas regulares Notas baixas Com o objetivo de verificar se os aproveitamentos em Física e Matemática estão relacionados, construa as hipóteses H e A. Calcule o valor observado da estatística χ 2 para o teste de hipóteses em questão. Conclua sobre a presença do relacionamento, usando a nível de significância 2%.

14 Outros exemplos. Oitenta artefatos foram classificados de acordo com o período da provável confecção (A, B e C) e de acordo com o sítio arqueológico (Sítio 1 e 2) em que foram encontrados. Obteve-se a seguinte distribuição: Sítio 1: A B B B C C B A B C C B A A A B B B C C A A A A A B B B A C C B B B A A A A Sítio 2: C C C C A A B B C C A A B C C C C C B B A B A C B C B C C C C B A B C B C C C C B C Verifique se há associação entre o período de confecção de artefatos e o sítio arqueológico em que os mesmos são encontrados usando Teste de Independência com a nível de significânica de 5%.

15 Outros exemplos. Estamos interessados em saber se a preferência por certo tipo de filme está associada com o estado civil ou se a preferência e o estado civil são fatores independentes. Responda aplcando o Teste de Independência aos dados apresentados na tabela abaixo; use o nível de significância 4%. Estado Preferência civil Policial Comédia Romance Solteiro Casado Divorciado Viúvo

16 Outros exemplos. Em um estudo sobre alcoolismo, foram sorteadas 500 pessoas adultas de uma certa população e observadas duas variáveis para cada uma delas: dependência de álcool (sim/não) e número de progenitores com dependência (0, 1 ou 2). Entre os 80 portadores de dependência, 10 não tinham qualquer progenitor dependente e 24 tinham 1 progenitor dependente. Das 500 pessoas pesquisadas, 60 tinham 1 progenitor dependente e 50 tinham 2 progenitores dependentes, Use os dados acima para verificar, via um teste de hipóteses com o nível de significância de 10%, se exista um componente genético que influi no alcoolismo.

17 Outros exemplos. Em um estudo realizado no Hospital Universitário (HU) e analisado no CEA (Centro de Estatística Aplicada) do Departamento de Estatística, estudou-se a ocorrência de bebês macrossômicos (bebês que nascem com mais de 4Kg) entre as parturientes do HU. Para verificar se o ganho do peso da mãe durante a gestação está relacionado com a ocorrência de macrossomia, uma amostra de 171 mães foi selecionada (não foram incluídas na amostra gestações múltiplas nem bebês prematuros). Destas mães, observou-se que 53 bebês eram macrossômicos, que 50 mães tiveram ganho excessivo de peso (> 25% do peso pré-gravídico), e que das 121 mães com ganho inferior a 25% do peso pré-gravídico, 90 tiveram bebês sem macrossomia. Formule o objetivo do estudo como problema de teste de hipóteses e resolva este usando 5% como o nível de significânica.