Sumário Prefácio Agradecimentos xi xvii 1 EDOs de primeira ordem 1 1.1 Introdução.............................. 1 1.2 Existência e unicidade de soluções................. 6 1.3 A equação linear.......................... 9 1.4 Métodos elementares de integração................ 11 1.5 Exemplos.............................. 18 1.6 Exercícios.............................. 29 1.7 Bibliografia............................. 35 1.8 Respostas e sugestões........................ 36 2 EDOs lineares de segunda ordem 39 2.1 Introdução.............................. 39 2.2 Equação homogênea........................ 41 2.3 Equação homogênea com coeficientes constantes......... 47 2.4 Equação não homogênea...................... 49 2.5 Exemplos.............................. 54 2.6 Exercícios.............................. 59 2.7 Bibliografia............................. 66 2.8 Respostas e sugestões........................ 66 3 Soluções por séries de potências 69 3.1 Introdução.............................. 69 3.2 Propriedades básicas das séries de potências........... 70 3.3 Classificação de pontos singulares de equações lineares homogêneas 75 v
vi SUMÁRIO 3.4 Soluções na vizinhça de um ponto ordinário........... 80 3.5 Soluções na vizinhança de um ponto singular regular I: primeira solução................................ 83 3.6 Soluções na vizinhança de um ponto singular regular II: segunda solução................................ 90 3.7 Demonstração dos resultados.................... 104 3.8 Exercícios.............................. 113 3.9 Bibliografia............................. 118 3.10 Respostas e sugestões........................ 118 4 Funções especiais 119 4.1 Introdução.............................. 119 4.2 A função gama........................... 120 4.3 Funções de Bessel.......................... 123 4.3.1 Funções de Bessel de primeira espécie........... 123 4.3.2 Solução geral da equação de Bessel. Funções de Bessel de segunda espécie..................... 128 4.3.3 Comportamento das funções de Bessel.......... 130 4.3.4 Ortogonalidade das funções J p (λx)........... 132 4.3.5 Funções de Bessel com argumento imaginário...... 136 4.3.6 Equações redutíveis à equação de Bessel......... 140 4.4 As funções de Legendre....................... 143 4.4.1 Ortogonalidade dos polinômios de Legendre....... 147 4.4.2 Funções de Legendre associadas.............. 148 4.4.3 Função geratriz para P n (x)................ 151 4.5 Exercícios.............................. 153 4.6 Bibliografia............................. 159 4.7 Respostas e sugestões........................ 160 5 Séries de funções ortogonais 161 5.1 Introdução............................. 161 5.2 Convergência............................ 162 5.3 Ortogonalidade e distância média quadrática........... 165 5.4 Série de Fourier generalizada.................... 168 5.5 Aproximação em média quadrática................ 169 5.6 Distância de um ponto a um plano................ 172
SUMÁRIO vii 5.7 A equação de Sturm-Liouville................... 173 5.8 Construção de sistemas ortogonais: problema regular...... 175 5.9 Classes de funções.......................... 176 5.10 Exemplo: o operador L = d2.................. 178 dx 2 5.11 Condições periódicas........................ 181 5.12 Sistemas de Sturm-Liouville singulares.............. 182 5.13 Séries de Fourier-Bessel....................... 183 5.14 Séries de Fourier-Legendre..................... 186 5.15 Exercícios.............................. 188 5.16 Bibliografia............................. 191 5.17 Respostas e sugestões........................ 192 6 Séries de Fourier 193 6.1 Introdução.............................. 193 6.2 Séries de Fourier.......................... 193 6.3 Exemplos I............................. 194 6.4 Convergência............................ 196 6.5 Exemplos II............................. 198 6.6 Formas alternativas das séries de Fourier............. 200 6.7 Séries em cossenos e séries em senos................ 204 6.7.1 Funções pares e ímpares.................. 204 6.7.2 Extensões pares e ímpares................. 207 6.8 Estimativa dos coeficientes..................... 209 6.9 O fenômeno de Gibbs........................ 212 6.10 Exercícios.............................. 215 6.11 Bibliografia............................. 219 6.12 Respostas e sugestões........................ 219 7 Separação de variáveis 221 7.1 Introdução.............................. 221 7.2 Os três problemas de contorno fundamentais........... 224 7.3 O método de separação de variáveis................ 228 7.3.1 O PVC do potencial.................... 228 7.3.2 O PVC do calor....................... 235 7.3.3 O PVC da onda....................... 239
viii SUMÁRIO 7.3.4 Convergência na fronteira................. 241 7.4 Redução ao caso homogêneo.................... 242 7.5 Generalização dos resultados.................... 247 7.6 Exercícios.............................. 252 7.7 Bibliografia............................. 258 7.8 Respostas e sugestões........................ 259 8 Geometrias cilíndricas e esféricas 261 8.1 Introdução.............................. 261 8.2 Fluxo de calor em uma esfera................... 263 8.3 Oscilações de uma membrana circular com simetria radial.... 270 8.4 Propagação de ondas periódicas em um cilindro......... 276 8.5 Exercícios.............................. 280 8.6 Bibliografia............................. 282 8.7 Respostas e sugestões........................ 283 9 Transformadas integrais 285 9.1 Introdução.............................. 285 9.2 Transformadas finitas........................ 287 9.3 A transformada de Laplace..................... 291 9.3.1 O problema da inversão.................. 298 9.4 Transformadas de Fourier..................... 303 9.5 Transformadas de Fourier em senos e cossenos.......... 307 9.6 Transformada de Fourier bidimensional.............. 309 9.7 Aplicações.............................. 311 9.8 Exercícios.............................. 318 9.9 Bibliografia............................. 323 9.10 Respostas e sugestões........................ 323 10 Aplicações 325 10.1 Introdução.............................. 325 10.2 Oscilações livres........................... 325 10.3 Fluxo de calor em uma esfera................... 329 10.4 Fluxo de calor em um cilindro finito com simetria radial.... 333 10.5 Fluxo de calor em uma placa retangular infinita......... 339 10.6 Fluxo magneto-hidrodinâmico em um meio poroso infinito... 343
SUMÁRIO ix 10.7 Equação do telégrafo não homogênea............... 345 10.8 Equação da onda em coordenadas esféricas com simetria radial. 348 10.9 Temperaturas estacion arias em uma placa em movimento.... 353 10.10Modelagem de campos eletromagn eticos na Terra........ 355 10.11Exercícios.............................. 362 10.12Bibliografia............................. 369 10.13Respostas e sugestões........................ 369 Bibliografia 371 Índice Remissivo 377