Linhas. Integrais de Linha

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Linhas. Integrais de Linha Linhas e Caminhos. Um segmento de recta 3 Consideremos o segmento de recta R, representado na Figura, definido pela equação = + com 3. Este segmento de recta é o contradomínio da função contínua g : [, 3] R 2 definida por g() = (, 3 + ) 2 R 3 Figura : Um segmento de recta em R 2 De facto, R = {(, ) R 2 : = 3 + ; 3} = {(, + ) : 3} = {g() : 3}. 3 Se considerarmos a função contínua h : [, ] R 2 definida por h(t) = ( t)(, ) + t(3, 2) = (3t, + t), facilmente se verifica que R é também a imagem de h em R 2. Em R n, o segmento de recta entre pois pontos quaisquer P e Q, é a imagem da função contínua γ : [, ] R n definido por γ(t) = ( t)p + tq..2 Uma parábola Consideremos o pedaço de parábola P definido pela equação = 2 com e que se apresenta na Figura 2. Seja g : [, ] R 2 a função contínua definida por Então, g() = (, 2 ) P = {(, ) R 2 : = 2 ; } = {(, 2 ) R 2 : } = {g() : } ou seja, a parábola P é a imagem da função contínua g.

P Figura 2: Uma parábola em R 2 C R Figura 3: Uma circunferência de raio R em R 2.3 Uma circunferência Seja C a circunferência de raio R e centro na origem em R 2. Em coordenadas polares (r, θ), a circunferência C é definida pela equação r = R. Consideremos a função contínua g : [, 2π] R 2 definida por g(θ) = (R cosθ, R senθ) A circunferência C é a imagem da função g. De facto, C = {(, ) R 2 : 2 + 2 = R 2 } = {(R cosθ, R senθ) : θ 2π} = {g(θ) : θ 2π}..4 Uma espiral Consideremos a função contínua g : [, 4π] R 2 definida por g(t) = (t cost, t sent) A imagem da função g é a linha ou curva que se representa na Figura 4..5 Uma ciclóide Consideremos a trajectória descrita por um ponto P sobre uma circunferência de raio R que roda em torno do seu eio com velocidade constante v (movimento uniforme) tal como se representa na Figura 5. A esta linha chamamos ciclóide. Suponhamos que o ponto P se encontra na origem de R 2 no instante inicial t =. Seja C = (α, β) o centro da circunferência. Então, sendo o movimento uniforme, o centro da circunferência 2

Figura 4: Uma espiral em R 2 P θ C Figura 5: Uma ciclóide em R 2 move-se de acordo com as equações α(t) = vt ; β(t) = R Por outro lado, seja T o intervalo de tempo necessário para uma volta completa e seja ω o ângulo descrito por unidade de tempo (velocidade angular). Sendo o movimento uniforme, obtemos 2π = ωt ; 2πR = vt donde se conclui que ω = v R Suponhamos também que a circunferência roda no sentido de >. Portanto, em cada instante t >, a posição do ponto P pode ser determinada pelo ângulo θ formado entre o eio < e o vector CP, medido no sentido horário, tal como se representa na Figura 5. Sendo ω a velocidade angular, temos θ(t) = ωt = v R t Assim, o ponto P = (, ) move-se de acordo com as equações { (t) = vt R sen( v R t) (t) = R R cos( v R t) 3

Portanto, o ciclóide é a imagem da função contínua g(t) = (vt R sen( v R t), R cos( v ) R t) em que t T f, sendo T f o instante final de observação do movimento..6 Uma hélice cilíndrica Consideremos a função contínua g : [, 8π] R 3 definida por g(t) = (cost, sen t, t) z Figura 6: Hélice cilíndrica em R 3 A imagem desta função é a linha ou curva em R 3 que se representa na Figura 6. Note-se que, sendo cos 2 t + sen 2 t =, a curva está assente sobre a superfície cilíndrica de raio um..7 Uma circunferência Consideremos a linha em R 3 definida pelas equações ou seja 2 + 2 + z 2 = ; = = {(,, z) R 3 : 2 + z 2 = } e, portanto, é a circunferência no plano = de raio igual a um e centro na origem. Em coordenadas esféricas, temos r = ; θ = ; φ 2π Assim, seja g : [, 2π] R 3 a função contínua definida por g(φ) = (sen φ,, cosφ) Então, a circunferência, apresentada na Figura 7, é a imagem da função g. *** Em cada um destes eemplos foi considerada uma linha ou curva descrita como sendo a imagem de uma função contínua e definida num intervalo limitado de R. 4

z Figura 7: Uma circunferência sobre uma esfera em R 3 Definição A uma função contínua g : [a, b] R n chamamos caminho em R n e à sua imagem chamamos linha ou curva. 2 Integral de linha de um campo escalar 2. Comprimento de uma Linha Sejam A e B dois pontos em R n. Designemos por [A, B] o segmento de recta entre os pontos A e B. É claro que o comprimento de [A, B] é dado pela norma B A. O segmento de recta [A, B] pode ser descrito pelo caminho γ : [, ] R n, definido por Note-se que, sendo γ (t) = B A, temos B A = γ(t) = A + t(b A). B A dt = γ (t) dt e, portanto, o comprimento do segmento de recta [A, B] é dado pelo integral γ (t) dt. Seja uma linha descrita pelo caminho γ : [, ] R n. Definição 2 Seja φ : S R um campo escalar, em que S R n é um aberto e consideremos um caminho g : [a, b] R n de classe C e que representa a linha S. Chama-se (c.f. [2]) Integral de Linha do Campo Escalar φ ao longo do caminho g ao integral b φ = φ(g(t)) g (t) dt a 2.2 Aplicações a) Comprimento de um caminho Seja φ. Então, o integral de linha de φ l() = φ = b a 5 g (t) dt

é o comprimento da linha. b) Massa de um fio Seja φ : S R a densidade de massa por unidade de comprimento do material que constitui um fio descrito por um caminho g : [a, b] R n. Então, o integral de linha de φ b φ = φ(g(t)) g (t) dt = M é a massa M do fio. c) Centro de massa a Seja α : S R a densidade de massa por unidade de comprimento do material que constitui um fio de massa M descrito por um caminho g : [a, b] R n e seja φ() = M iα ; i =, 2,...,n O centro de massa é o ponto de coordenadas (, 2,..., n ) calculadas da forma seguinte i = M b a g i (t)α(g(t)) g (t) dt ; i =, 2,...,n d) Momento de inércia Seja L uma linha recta e designemos por d L () a distância do ponto R n à linha L. O momento de inércia da linha relativo à recta L é o integral de linha da função φ() = α()d 2 L (), ou seja, b IL = α(g(t))d 2 L (g(t)) g (t) dt 2.3 Eemplos a. Seja uma circunferência de raio R e centro na origem de R 2, (ver Figura 3) e descrita pela função g(t) = (R cost, R sen t) ; t 2π Então, o comprimento de é dado por l() = g (t) dt = 2π Rdt = 2πR 2. Seja um fio de um material cuja densidade de massa é dada por α(, ) = + 2 + 2 e tem a configuração de uma espiral descrita pelo caminho (ver Figura 4) g(t) = (t cos t, t sent) ; t 4π Então α(g(t)) g (t) = e, portanto, a massa de é dada por M = 4π α(g(t)) g (t) dt = 4π A coordenada do centro de massa é dada por = α(, ) = M 4π 4π + t2 dt = 4π + t 2 t sen tdt = 4π 4π = 6

3. Seja R 3 um fio de um material com densidade de massa α(,, z) = z e cuja configuração é a de uma hélice cilíndrica descrita pelo caminho (ver Figura 6) g(t) = (cost, sen t, t) ; t 4π Então g (t) = 2 e o momento de inércia de relativo ao eio z é dado pelo integral de linha I z () = z( 2 + 2 ) = 4π 2 tdt = 8 2π 2 *** 3 Integral de linha de um campo vectorial Definição 3 Seja S R n um aberto e F : S R n um campo vectorial e consideremos uma linha S representada pelo caminho g : [a, b] R n de classe C (caminho regular). Ao integral b F dg = F(g(t)) g (t)dt a chamamos integral de linha do campo vectorial F ao longo do caminho g ou, trabalho realizado pelo campo F ao longo do caminho g (c.f. [2]). Sendo g de classe C, consideremos a sua derivada g g(t + h) g(t) (t) = lim. h h Tal como se ilustra na Figura 8, a derivada g (t) define a direcção da tangente à linha no ponto P = g(t). Note-se que à medida que h a secante [P, Q] vai-se transformando na tangente. P = g(t) T = g (t) Q = g(t + h) Figura 8: Tangente a uma linha Portanto, se o campo vectorial F for, em cada ponto P = g(t), ortogonal ao vector tangente g (t) nesse ponto, então o trabalho realizado pelo campo F ao longo do caminho g será nulo. 7

Teorema 3. Teorema Fundamental do Cálculo Seja S R n um conjunto aberto, φ : S R um campo escalar de classe C e S a linha definida pelo caminho regular g : [a, b] R n com início no ponto A e fim no ponto B. Então, φ dg = φ(b) φ(a) De facto, sendo A = g(a) e B = g(b), temos φ dg = b a b φ(g(t)) g (t)dt d = a dt φ(g(t))dt = φ(g(b)) φ(g(a)) = φ(b) φ(a) Definição 4 Dado um campo vectorial F : S R n se eistir um campo escalar φ : S R tal que F() = φ() dizemos que F é um campo gradiente e que φ é o potencial escalar de F. Consequências: a) O integral de linha de um campo gradiente não depende do caminho. Depende apenas do ponto inicial A e do ponto final B. b) Se a linha for fechada, ou seja, se A = g(a) = g(b) = B e se F = φ, então F dg = φ dg = Seja F um campo gradiente e de classe C. Então, eiste um campo escalar φ tal que e, derivando em ordem a j, obtemos F i = φ i ; i =, 2,...,n D j F i = j φ i = i φ j = D i F j ; i j Definição 5 Dado um campo vectorial F tal que D j F i = D i F j ; i j diz-se que F é um campo fechado. Assim, ser fechado é condição necessária para que um campo vectorial seja gradiente. Eemplos: 8

. Campo gravitacional: Seja M uma massa pontual e situada na origem de R 3. O campo gravitacional gerado pela massa M é dado por (,, z) r F(,, z) = GM (,, z) 3 = GM r 3 em que r = (,, z) e G é a constante universal da gravitação. Facilmente se verifica que o campo gravitacional é um gradiente e o seu potencial é a função φ(,, z) = GM (,, z) = GM r = GM 2 + 2 + z 2 ou seja F(,, z) = (F (,, z), F 2 (,, z), F 3 (,, z)) = ( φ, φ, φ ) z Note-se que o domínio do campo F coincide com o domínio do respectivo potencial φ, ou seja, F = φ em R 3 \ {(,, )}. 2. Consideremos o campo vectorial F(, ) = (, ) definido em R 2. Trata-se de um campo fechado porque se tem F = F 2 = e, portanto, há a possibilidade de que seja um gradiente. Para determinar o respectivo potencial escalar, caso eista, consideremos as equações Da primeira equação, obtemos e da segunda equação em que C é uma constante. = φ = φ φ(, ) = 2 2 + K() K() = 2 2 + C Assim, o potencial escalar do campo F é dado por φ(, ) = 2 + 2 + C 2 3. Seja F : R 2 \ {(, )} R 2 o campo vectorial definido por ( ) F(, ) = 2 + 2, 2 + 2 Facilmente se verifica que F é um campo fechado e que F(, ) = 2 log(2 + 2 ) ou seja, F é um campo gradiente e o respectivo potencial é o campo escalar φ definido por φ(, ) = 2 log(2 + 2 ) = log 2 + 2. Tanto F como φ estão definidos no mesmo domínio, R 2 \ {(, )}. 9

4. Consideremos o campo vectorial F : R 2 \ {(, )} R 2 definido por ( F(, ) = ) 2 + 2, 2 + 2 Facilmente se verifica que F é um campo fechado. Note-se que para, temos 2 + 2 = ( ) arctan ; 2 + 2 = ( ) arctan. No entanto, o campo escalar φ(, ) = arctan ( ) está definido no subconjunto de R 2 em que e, portanto, não coincide com o domínio do campo vectorial F que é o conjunto R 2 \ {(, )}. Assim, a função arctan ( ) não é um potencial escalar do campo F. Seja uma circunferência de raio R e centro na origem e descrita pelo caminho g : [, 2π] R 2 definido por g(t) = (R cost, R sen t). Então F dg = 2π ( R sen t R 2, R cost ) R 2 ( R sen t, R cost)dt = 2π Sendo g um caminho fechado, concluímos que o campo F não é um campo gradiente em R 2 \ {(, )}. Se considerarmos o campo F como estando definido apenas no aberto {(, ) : > }, então F é um gradiente cujo potencial é a função ( φ(, ) = arctan. ) O mesmo se passará para o conjunto {(, ) : < } ou seja, há subconjuntos de R 2 \{(, )} em que F é um campo gradiente. Note-se que o conjunto S = {(, ) : > } é conveo, ou seja, dados dois pontos quaisquer P e Q em S, o segmento de recta [P, Q] está contido em S. No entanto, o conjunto R 2 \{(, )} não é conveo. Note-se também que o integral de linha de F ao longo de uma circunferência centrada na origem não depende do raio. *** Deste eemplo surgem três questões importantes: a) Será que o campo F é gradiente nos subconjuntos conveos de R 2 \ {(, )}? b) Será possível caracterizar os subconjuntos de R 2 \{(, )} em que F é um campo gradiente? c) Será que o integral de linha de F ao longo de uma linha qualquer fechada em torno da origem é igual ao integral de linha de F ao longo de uma circunferência centrada na origem?

P Figura 9: Conjunto em estrela 4 Homotopia Questão: Dado um campo vectorial F : S R n fechado, que condição geométrica sobre S garante que F é um campo gradiente? A noção de homotopia surge para responder a esta questão. Seja S R n um conjunto aberto e conveo. Por definição, é claro que eiste um ponto P S tal que, para qualquer ponto S, o segmento de recta [P, ] está contido em S. Consideremos a função φ : S R dada por φ() = F dg em que g : [, ] R n é o caminho dado por e que descreve o segmento de recta [P, ]. Assim, teremos donde se deduz φ i = φ() = [P,] g(t) = ( t)p + t F(( t)p + t) ( P)dt n [td i F j (( t)p + t)( j P j )] + F i (( t)p + t) dt j= e, sendo F um campo fechado, obtemos o que quer dizer que φ d = i dt (tf i(( t)p + t))dt = F i () F = φ Portanto, um campo vectorial fechado F : S R n será gradiente desde que S seja um conjunto conveo. Note-se que basta que no conjunto S eista um ponto P tal que, para qualquer ponto S, o segmento de recta [P, ] esteja contido em S.

Aos conjuntos que verificam esta propriedade chamamos conjuntos em estrela ( ver Figura 9). Há conjuntos em estrela que não são conveos. Como eemplo, considere-se o conjunto R 2 \L, em que L é uma semirecta. Sendo S um conjunto aberto, dado um ponto S eiste uma bola B(), centrada em e contida em S. Uma bola é um conjunto conveo e, portanto, o campo fechado F será gradiente em B(). Assim, dado um ponto qualquer S eiste uma vizinhança desse ponto em que o campo é gradiente. Nestas circunstâncias dizemos que um campo vectorial fechado é localmente gradiente. *** Suponhamos que S é um subconjunto conveo de R n e seja S uma linha fechada descrita pelo caminho α : [, ] R n. Fiemos um ponto P S e consideremos todos os segmentos de recta [P, ] em que, tal como se mostra na Figura. Sendo S conveo, os segmentos de recta [P, ] estão em S. Este conjunto de segmentos de recta pode ser descrito pela função H : [, ] [, ] R n, de classe C 2, definida por H(s, t) = P + s(α(t) P) = ( s)p + sα(t). De facto, fiando t [, ], a aplicação s H(s, t) é um caminho que descreve o segmento de recta [P, α(t)]. Por outro lado, fiando s [, ], a aplicação t H(s, t) é um caminho que descreve uma linha fechada s S porque H(s, ) = H(s, ). Além disso, H(, t) = P e H(, t) = α(t), ou seja, = P e =. = α(t) P s Figura : Homotopia ou deformação de uma linha fechada num ponto Portanto, a função H descreve uma família de linhas que para s = é o ponto P e para s = é a linha. Sendo α uma função contínua, podemos concluir que, num conjunto conveo, H descreve uma transformação contínua (ou deformação) da linha no ponto P, tal como se ilustra na Figura. Note-se que se substituirmos P por β(t) em que β : [, ] R n é um caminho que descreve uma linha fechada C em S, então a função H : [, ] [, ] R n, definida por H(s, t) = ( s)β(t) + sα(t) descreve uma deformação contínua do caminho α no caminho β. 2

Definição 6 Diz-se que dois caminhos fechados α, β : [, ] R n são homotópicos se eiste uma função H : [, ] [, ] R n, contínua com as seguintes propriedades:. H(, t) = β(t); t [, ] 2. H(, t) = α(t); t [, ] 3. H(s, ) = H(s, ); s [, ]. Seja F : S R n um campo vectorial fechado e sejam α : [, ] R n e β : [, ] R n dois caminhos fechados e homotópicos em S que descrevem, respectivamente, as linhas α e β. Como foi visto acima, o campo F é localmente gradiente. Sejam {B i } as bolas em que F é gradiente e tais que H([, ] [, ]) B i. t H(, t) = β(t) I jk H(, t) = α(t) s Figura : Dado que o intervalo I = [, ] [, ] é compacto, podemos dividi-lo em subintervalos {I jk } tais que, para cada par de índices j, k, eiste uma bola B i verificando a propriedade H(I jk ) B i. Sendo I jk a fronteira do subintervalo I jk, então H( I jk ) é uma linha fechada em B i. Como F é fechado em B i, teremos I jk F = Portanto, ou seja, = F = F dα F dβ, j,k I jk α β F dα = F dβ. α β Note-se que os segmentos de recta da fronteira de cada subintervalo I jk contribuem duas vezes, em sentidos opostos, para a soma anterior tal como se ilustra na Figura. Podemos concluir então que o integral de linha de um campo vectorial fechado é invariante para caminhos homotópicos. 3

Em particular, o integral de linha de um campo vectorial fechado é nulo ao longo de um caminho fechado e homotópico a um caminho constante. Portanto, dado um campo vectorial fechado, é importante saber se no respectivo domínio as linhas fechadas são homotópicas a um ponto. Definição 7 Diz-se que um conjunto aberto S R n é simplesmente coneo se qualquer linha fechada S pode ser transformada continuamente num ponto P S, ou seja, se eiste uma função H : [, ] [, ] R n contínua, com as seguintes propriedades,. H(, t) = P ; t [, ] 2. H(, t) = α(t); t [, ] 3. H(s, ) = H(s, ); s [, ], em que α : [, ] R n é um caminho que descreve a linha. Nestas circunstâncias, diz-se que a linha é homotópica a um ponto. Eemplos:. Qualquer conjunto S R n conveo é simplesmente coneo. De facto, considere-se a função H : [, ] [, ] R n definida por H(s, t) = P + s(α(t) P). Esta função estabelece a homotopia (deformação contínua) entre uma linha qualquer fechada S, descrita pelo caminho α : [, ] R n, e um ponto qualquer P fio em S. 2. Qualquer conjunto em estrela é simplesmente coneo. Dado que num conjunto S R n em estrela eiste um ponto P tal que o segmento de recta [P, Q] se encontra em S para qualquer ponto Q S, a homotopia pode ser definida do mesmo modo do eemplo anterior. 3. O conjunto R 2 \ {(, )} não é simplesmente coneo. Dada uma linha fechada em torno da origem não é possível deformá-la num ponto. No entanto, qualquer linha fechada em torno da origem é homotópica à circunferência centrada na origem e raio igual a um. De facto, seja γ : [, ] R 2 o caminho que descreve a linha. É claro que a função α : [, ] R2 definida por α(t) = γ(t) γ(t) é um caminho que descreve a circunferência centrada na origem e raio igual a um. Assim, a função H(s, t) = α(t) + s(γ(t) α(t)) estabelece a referida homotopia. 4. O conjunto R 3 \ L, em que L é uma semirecta, é um conjunto em estrela e, portanto, é simplesmente coneo. 5. O conjunto R 3 \ L, em que L é uma recta, não é simplesmente coneo. Não é possível deformar continuamente uma circunferência, centrada na recta L e situada sobre um plano perpendicular a L, num ponto de R 3 \ L. 6. O conjunto R 3 \ {(,, )}, não é em estrela mas é simplesmente coneo. Qualquer linha fechada neste conjunto pode ser continuamente deformada num ponto qualquer distinto da origem. 4

Assim, num conjunto simplesmente coneo o integral de linha de um campo vectorial fechado ao longo de uma linha fechada é nulo. *** Sejam P e Q dois pontos em S e suponhamos que o integral de linha de um campo vectorial contínuo ao longo de qualquer linha fechada é nulo. Então o integral de linha desse campo é independente da linha que une os dois pontos P e Q. Fiemos um ponto P em S e seja φ : S R n o campo escalar definido por φ() = F em que é uma linha em S que une o ponto P ao ponto S. Este campo está bem definido porque o integral de linha de F é independente da linha que une os pontos P e. + he k P Figura 2: De seguida veremos que o campo φ é um potencial escalar de F, ou seja, φ k = F k ; k =, 2,..., n. Consideremos o segmento de recta [, + he k ] S, em que e k é o vector unitário de R n com todas as componentes nulas ecepto a k-ésima que é igual a um, tal como se ilustra na Figura 2. Dado que φ φ( + he k ) φ() () = lim, k h h e sendo o integral de linha de F independente do caminho percorrido, temos φ φ( + he k ) φ() () = lim k h h = lim F h h = lim h h = lim h h = F k (). [,+he k ] h h F( + te k ) e k dt F k ( + te k )dt 5

Portanto, se o integral de linha de um campo vectorial contínuo é independente do caminho percorrido, então esse campo é um gradiente. Assim, podemos enunciar o seguinte teorema (c.f. []). Teorema 4. Seja S R n um conjunto simplesmente coneo e F : S R n um campo vectorial de classe C. Então o campo F é um gradiente sse F for um campo fechado. *** Eemplos: (. Consideremos o campo F(, ) = ) 2 +, 2 2 + 2. Já sabemos que F é fechado no seu domínio R 2 \ {(, )}. Para além disso, o integral de linha de F ao longo de qualquer circunferência centrada na origem e percorrida uma vez no sentido positivo tem o valor 2π. C Figura 3: Seja uma linha fechada em torno da origem e descrita por um caminho α, tal como se ilustra na Figura 3. É claro que é homotópica à circunferência C, centrada na origem, percorrida no mesmo sentido de e descrita por um caminho g. Portanto, temos F dα = F dg = 2π. C Se a origem não se encontrar no conjunto limitado pela linha, tal como se mostra na Figura 4, então a linha será homotópica a um ponto e, portanto, o integral de linha de F em será nulo. Portanto, o integral de linha de F ao longo de uma linha fechada e percorrida uma vez no sentido positivo só pode tomar os valores e 2π. 6

Figura 4: 2. Consideremos o campo ( F(,, z) = z 2 + z 2,, ) 2 + z 2. O domínio de F é o conjunto S = R 3 \ {(,, ) : R} e facilmente se verifica que F é um campo fechado. Embora S não seja um conjunto simplesmente coneo, as possíveis linhas fechadas, S, serão de dois tipos: ou serão homotópicas a um ponto ou serão homotópicas à circunferência C definida por C = {(,, z) R 3 : 2 + z 2 = ; = }. Na figura 5 ilustra-se o caso de uma linha homotópica à circunferência C. z C Figura 5: No primeiro caso o integral de linha de F será nulo. No segundo caso, suponhamos que é homotópica à circunferência C percorrida uma vez no sentido positivo quando vista de um ponto da forma (,, ) com >, tal como se ilustra na figura 5. Então, F dγ = F dg, 7 C

em que g : [, 2π] R 3 é o caminho que descreve C, ou seja, Portanto, teremos F dγ = = g(t) = (sen t,, cost). C 2π = 2π F dg ( cost,, sent) (cost,, sent)dt 3. Consideremos o campo vectorial ( ) F(,, z) = ( ) 2 + 4 2, ( ) 2 + 4 2, z. e o caminho fechado que descreve a linha quadrada no plano z = que une os pontos (,, ), (2,, ), (2,, ), (,, ) e percorrida por esta ordem. Seja C esta linha. Note-se que o domínio de F é o conjunto R 3 \ {(,, z) R 3 : = ; = }. Consideremos também a elipse, definida por ( ) 2 + 4 2 = ; z =, percorrida no sentido anti-horário quando observada do ponto (,, 5). Seja γ : [, 2π] R 3, o caminho definido por ( γ(t) = + cost, sent ) 2,, e que descreve a elipse. Usando a definição para integrais de linha de campos vectoriais temos F dγ = = 2π 2π F(γ(t)) γ (t)dt = ( sent ) ( 2, cost, sent, cost ) 2, dt = π. z C Figura 6: 8

É fácil ver que o campo F é fechado. Dado que o quadrado C e a elipse são linhas fechadas e homotópicas no domínio deste campo, tal como se ilustra na figura 6, podemos concluir que F dg = F dγ = π, em que g é um caminho que descreve C. C Note-se que é fácil calcular, pela definição, o integral de linha do campo F ao longo da elipse. O mesmo não acontece para a linha C. *** Nota: Suponhamos que a função H : [, ] [, ] R n, que estabelece a homotopia entre dois caminhos fechados é de classe C 2. Neste caso é fácil verificar que o integral de linha de um campo vectorial fechado é invariante sobre linhas homotópicas. Seja s a linha descrita pelo caminho g s (t) = H(s, t). Então, temos d ds s F = d ds = = = F(g s (t)) g s (t)dt = d ds ( d n ds k= n n k= j= n n k= j= porque F é fechado. É fácil verificar que d n F j (H(s, t)) H n j dt s (s, t) = j= e, portanto, d F = ds s = = F k (H(s, t)) H k (s, t) t F(H(s, t)) H (s, t)dt t ) dt F k j (H(s, t)) H j s (s, t) H k F j k (H(s, t)) H j s (s, t) H k n k= j= j= d dt t (s, t) + n k= t (s, t) + n F j k (H(s, t)) H j s (s, t) H k n j= F j (H(s, t)) H j s k= t (s, t)+ n (s, t) dt j= F k (H(s, t)) 2 H k s t F k (H(s, t)) 2 H k s t k= n F j (H(s, )) H n j s (s, ) F j (H(s, )) H j (s, ) s (s, t) dt (s, t) dt F k (H(s, t)) 2 H k (s, t) s t porque H(s, ) = H(s, ). Assim, a função F não depende de s, ou seja o integral de linha de F é invariante sobre s linhas homotópicas. Referências [] M. P. Do Carmo. Differential Geometr of Curves and Surfaces. Prentice Hall, 976. [2] Luís T. Magalhães. Integrais em Variedades e Aplicações. Teto Editora, 993. 9