Capítulo 2 Processos de Poisson

Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 2002/03 Colectânea de Exercícios Capítulo 2 Processos de Poisson Exercício 2.1 Seja {X k, k 1} uma sucessão de variáveis aleatórias independentes tais que: X k Exponencial (λ k ), k 1. Para n 1, considerem-se as variáveis aleatórias Z n e K n tais que: Z n = min(x 1, X 2,..., X n ) e K n = min{1 k n : X k = Z n }. (a) Justifique que, para n 1, as variáveis aleatórias Z n e K n são independentes e: ( n ) λ k Z n Exponencial λ k e P (K n = k) = n j=1 λ I {1,2,...,n} (k). j k=1 Sugestão: comece por mostrar que para k {1, 2,..., n} e x 0, P (K n = k, Z n > x) = λ k n j=1 λ e (λ1+λ2+...+λn) x. j (b) Conclua que, para n 1 e 1 k n: (X k Z n X k > Z n ) d = X k Exponencial (λ k ). Considere agora que λ k λ; i.e que {X k, k 1} é uma sucessão de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial (λ). (c) Conclua que, para n 1: S n = n X k Gama (n, λ); k=1 i.e., S n possui função densidade de probabilidade dada por: λx (λx)n 1 f Sn (x) = λe (n 1)! I (0,+ )(x). 1

(d) Para n 1, conclua que a variável aleatória S n definida em (c) satisfaz: n 1 λx (λx)k P (S n > x) = e, x > 0; k! k=0 i.e., a distribuição Gama(n, λ) está relacionada com a distribuição de Poisson pela relação: 1 F Gama(n,λ) (x) = F Poisson(λx) (n 1), x > 0. (e) Para n 1 e 1 k n, seja X k:n a k-ésima estatística ordinal da amostra aleatória (X 1, X 2,..., X n ) ordenada por ordem crescente; i.e., X 1:n = min(x 1, X 2,..., X n ) X k:n = min{x j, 1 j n : X j > X k 1:n }, 2 k n. Conclua, que as variáveis aleatórias X 1:n, X 2:n X 1:n,..., X n:n X n 1:n são independentes e que, para 1 k n, com X 0:n = 0, (X k:n X k 1:n ) Exponencial ((n k + 1)λ). (f) Use a alínea anterior para concluir que, para 1 k n: E [X k:n ] = k 1 j=0 1 (n j)λ. Exercício 2.2 Sejam S 1, S 2 e S 3 os instantes de ocorrência do primeiro, segundo e terceiro eventos de um processo de Poisson de taxa λ. conjunta de (S 1, S 2, S 3 ). Calcule a função densidade de probabilidade Exercício 2.3 Homens e mulheres entram num supermercado de acordo com dois processos de Poisson independentes de taxas λ e µ, respectivamente. Começando a contabilização de clientes num instante arbitrário, determine a probabilidade de se registar a entrada de pelo menos n homens antes do registo da entrada de m mulheres, com n, m IN. Exercício 2.4 O Evaristo e o João entram simultaneamente numa barbearia: o Evaristo para lhe fazerem a barba, o João para lhe cortarem o cabelo. Supondo que o Evaristo e o João são imediatamente atendidos e que a duração de um corte de cabelo (barba) tem distribuição exponencial de valor esperado 20 (15) minutos, calcule a probabilidade do João se despachar antes do Evaristo. Exercício 2.5 Sejam X 1 e X 2 variáveis aleatórias independentes contínuas e positivas. Prove que P (X 1 < X 2 min(x 1, X 2 ) = t) = r 1 (t) r 1 (t) + r 2 (t), t > 0, onde r i (t) = f Xi (t)/[1 F Xi (t)] é a função taxa de falha de X i, i = 1, 2; em adição, verifique que se X 1 e X 2 têm distribuição exponencial a probabilidade anterior não depende de t. 2

Exercício 2.6 Seja {X(t), t 0} um processo de Poisson de taxa λ. Suponha que cada chegada é registada com probabilidade p, independentemente das outras chegadas. Seja {Y (t), t 0} o processo de contagem das chegadas registadas; i.e., para t 0, Y (t) é igual ao número de chegadas registadas no intervalo (0, t]. (a) Conclua que se M Geométrica (p), 0 < p 1, for uma variável aleatória independente da sucessão {X k, k 1} de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição Exponencial (α), então: M X k Exponencial (αp). k=1 (b) Use o resultado da alínea (a) para concluir que {Y (t), t 0} é um processos de Poisson de taxa λp. (c) Mostre que se W Poisson(α) e [(Z 1, Z 2,..., Z k ) W = n] Multinomial (n, p 1, p 2,..., p k ), então (Z 1, Z 2,..., Z k ) é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e: Z j Poisson (αp j ), 1 j k. (d) Use agora o resultado da alínea (c) para concluir que {Y (t), t 0} e {X(t) Y (t), t 0} são processos de Poisson independentes, com taxas λp e λ(1 p), respectivamente. Exercício 2.7 Sejam {X(t), t 0} e {Y (t), t 0} processos de Poisson independentes de parâmetros λ 1 e λ 2, respectivamente. Defina, para t 0, Z 1 (t) = X(t) + Y (t), Z 2 (t) = X(t) Y (t) e Z 3 (t) = X(t) + k, com k IN. Diga quais dos processos anteriores são processos de Poisson e em caso afirmativo determine a respectiva taxa. Exercício 2.8 O número de mensagens que chegam a um telégrafo é um processo de Poisson de taxa igual a 3 mensagens por hora. (a) Qual é a probabilidade de não chegar nenhuma mensagem no período da manhã (8h às 12h)? (b) Qual é a distribuição da hora a que chega a primeira mensagem da tarde? Exercício 2.9 Admita que automóveis passam por determinado troço de uma auto-estrada de acordo com um processo de Poisson com taxa λ = 3 carros por minuto. (a) Suponha que o Evaristo decide atravessar esse mesmo troço com os olhos vendados. Qual é a probabilidade de ele conseguir escapar ileso se a referida travessia demorar s segundos? Responda à questão considerando s = 2, 5, 10, 20. 3

(b) Suponha agora que o Evaristo é suficientemente ágil para conseguir escapar ileso de um automóvel, não acontecendo o mesmo se durante a travessia surgirem dois ou mais automóveis. Calcule a probabilidade de o Evaristo não ser ferido, caso a travessia demore s = 5, 10, 20, 30 segundos. Exercício 2.10 Em cada domingo, 15 unidades de um determinado produto são postas em stock para venda nos restantes dias da semana. As encomendas desse produto são regidas por um processo de Poisson de taxa igual a 3 unidades por dia. Note-se que uma encomenda não resulta numa venda caso não haja unidades em stock. Admita ainda que devido à natureza do produto são destruídas em cada domingo todas as unidades que não tenham sido vendidas na semana anterior. (a) Calcule a probabilidade de não haver unidades para venda a partir das 0 horas de terçafeira. (b) Determine a probabilidade de terem sido vendidas todas as unidades em stock até às 24 horas de sábado. (c) Obtenha a expressão do número esperado de unidades destruídas em cada semana. Exercício 2.11 Considere uma via principal (via 1) com um só sentido de tráfego onde, no seu início, surgem veículos segundo um pocesso de Poisson de taxa λ por minuto. Cada veículo que circula na via principal efectua, independentemente dos restantes veículos, um desvio para uma via secundária (via 2) com probabilidade p. A via 2 possui um semáforo L metros após o cruzamento da via 1 para essa via. Obtenha a expressão que lhe permita calcular o tempo máximo que o semáforo pode estar fechado (x) de modo a garantir que a probabilidade de haver um engarrafamento na via principal provocado por veículos que pretendem virar para a via 2 seja de aproximadamente 0.05. (a) Suponha que em L metros cabem exactamente k veículos. (b) Suponha que os veículos têm comprimento (em metros) variável com distribuição uniforme no intervalo (a, b), com b << L. Exercício 2.12 Considere uma via principal com um único sentido que sofre a incorporação (total) de uma via secundária. Carros seguindo na via principal passam no ponto de incorporação da via secundária segundo um processo de Poisson de taxa 10 carros por minuto. O Evaristo circula na via secundária e necessita de 10 segundos para entrar na via principal. Suponha desprezável o tempo que os carros que circulam na via principal demoram a atravessar a secção de incorporação da via secundária na via principal. Sejam: N o número de carros que passam na secção de incorporação da via secundária na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal; e Y n o instante (em segundos) de passagem do n-ésimo carro que o Evaristo vê passar enquanto espera para entrar na via principal (n = 1, 2,..., N). (a) Determine a distribuição de N e calcule o valor do seu terceiro quartil. 4

(b) Justifique que caso N 1, então, para n = 1, 2,..., N, E[Y n ] = 2n 3 8e 5/3 1 e 5/3. (c) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo aguarda até iniciar a manobra de incorporação na via principal. Considere agora que os carros que seguem na via principal passam no ponto de incorporação da via secundária segundo um processo de Poisson de taxa λ carros por minuto e que o Evaristo necessita de y segundos para entrar na via principal. (d) Qual é a probabilidade de passarem n carros, n IN 0, na secção de incorporação da via secundária na via principal enquanto o Evaristo aguarda entrada na via principal? (e) Calcule o valor esperado do tempo que o Evaristo espera até iniciar a incorporação na via principal. Exercício 2.13 Seja {N(t), t 0} um processo de Poisson de taxa λ e Y uma variável aleatória positiva independente de {N(t), t 0}. Calcule E(N(Y )) e Var(N(Y )). Exercício 2.14 Um certo produto é distribuído diariamente, mas a hora da sua chegada é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre -1h e 2h (sendo zero a hora de abertura do supermercado). O processo de chegadas dos clientes ao supermercado é um processo de Poisson de taxa 20 (a unidade de tempo é a hora). (a) Sabendo que em cada 100 clientes 60 pretendem adquirir o referido produto, calcule o número esperado de clientes não servidos diariamente devido ao produto não ter sido ainda distribuído. Ainda no mesmo supermercado vai realizar-se, num determinado dia, uma campanha que consiste em atribuir um prémio a cada 20 o cliente que chegar. (b) Qual é a distribuição do intervalo de tempo entre chegadas de clientes premiados? (c) Sabendo que o supermercado está aberto entre as 9h e as 19h indique a expressão que lhe permitiria calcular a probabilidade de ter-se que atribuir exactamente 10 prémios. (d) Considere o processo {Y (t), t 0} em que Y (t) representa o número de clientes premiados no intervalo (0, t]. Será que {Y (t), t 0} é um processo de Poisson? Justifique. Exercício 2.15 Considere dois processos de Poisson independentes, {X(t), t 0} e {Y (t), t 0}, tais que E(X(t)) = λt e E(Y (t)) = µt. Sejam T e T instantes de ocorrência de eventos consecutivos no processo {X(t), t 0}. Seja N = Y (T ) Y (T ) a variável aleatória que representa o número de ocorrências de eventos do processo {Y (t), t 0} entre T e T. Determine a função de probabilidade de N. Exercício 2.16 Um sistema tem duas componentes: 1 e 2, as quais podem avariar em instantes de chegadas de três tipos de choques: I, II e III. A componente 1 avaria quando chegam choques dos tipos I e III e a componente 2 avaria quando chegam choques dos tipos II e III. Os choques 5

dos tipos I, II e III chegam segundo processos de Poisson independentes de taxas λ 1, λ 2 e λ 3, respectivamente. Para j = 1, 2, seja: X j = tempo que decorre até a componente j avariar. (a) Mostre que (X 1, X 2 ) tem distribuição tal que para s, t 0: P (X 1 > s, X 2 > t) = e [λ 1s+λ 2 t+λ 3 max(s,t)]. (b) Mostre que X 1 e X 2 têm distribuição exponencial e calcule os respectivos parâmetros. Exercício 2.17 Seja (X 1, X 2,..., X n ) uma amostra aleatória de uma população exponencial e (a) Calcule P (X 1 > n i=2 X i). M n = max(x 1, X 2,..., X n ). (b) Use (a) para mostrar que o máximo da amostra é maior que a soma dos resultantes valores com probabilidade n/2 n 1 ; i.e. ( P M n > ) n X i M n i=1 = n 2 n 1. (c) Calcule o tempo esperado que decorre até observar eventos em todos os processos de um conjunto de três processos de Poisson independentes de taxa 1 por hora. Exercício 2.18 Impulsos chegam a um contador Geiger segundo um processo de Poisson de taxa 3/minuto. Cada impulso tem, independentemente dos restantes, probabilidade 1/3 de ser registado. Sejam N(t) e X(t) o número de impulsos que chegam ao contador e o número de impulsos que são registados nos t minutos iniciais, respectivamente. (a) Mostre que, para n IN 0 e k = 0, 1,..., n: P (X(t) = k N(t) = n) = ( ) n 2 n k k 3 n. (b) Mostre que, para t 0, X(t) tem distribuição de Poisson e indique o respectivo parâmetro. (c) Mostre que para 0 s < t, n IN 0 e k = 0, 1,..., n: ( ) n (s ) k ( P (N(s) = k N(t) = n) = 1 s ) n k. k t t (d) Dado que em 10 minutos foram registados 16 impulsos, qual é o número esperado de impulsos que chegaram ao contador nesse período? (e) Dado que no minuto inicial foram registados 2 impulsos, qual é a probabilidade de que ambos os impulsos registados tenham chegado nos 20 segundos iniciais? Exercício 2.19 Suponha que {N 1 (t), t 0} e {N 2 (t), t 0} são processos de Poisson independentes com taxas λ 1 e λ 2, respectivamente. 6

(a) Mostre que {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} é um processo de Poisson com taxa (λ 1 + λ 2 ). (b) Mostre que a probabilidade do primeiro evento do processo {N 1 (t) + N 2 (t), t 0} provir de {N 1 (t), t 0} é igual a λ 1 /(λ 1 +λ 2 ), independentemente do instante da sua ocorrência. Exercício 2.20 Automóveis passam em determinado ponto de uma estrada de acordo com um processo de Poisson de taxa λ = 1 automóvel por minuto. Considerando que a percentagem de Porsches que circulam nessa estrada é de 5%, calcule: (a) A probabilidade de passar pelo menos um Porsche no período de uma hora. (b) O número esperado de automóveis que passaram no período de uma hora, sabendo que 10 deles eram da marca Porsche. (c) A probabilidade de terem passado 5 Porsches ao fim de uma hora, sabendo que nesse mesmo período passaram 50 carros pelo referido ponto da estrada. Exercício 2.21 Seja S r o instante de ocorrência da r-ésima chegada no processo de Poisson {N(t), t 0} de taxa λ. (a) Mostre que, para 1 r n e 0 < u < t: P (S r u, N(t) = n) = n k=r λt (λu)k e k! [λ(t u)] n k. (n k)! (b) Use o resultado anterior para concluir que a função densidade de probabilidade do instante de ocorrência da r-ésima chegada, condicional à ocorrência de n, 1 r n, chegadas até ao instante t é: f(u) = n! u r 1 (1 (r 1)! (n r)! t r u ) n r I(0,t) (u). t Exercício 2.22 Autocarros chegam a uma estação de serviço de acordo com um processo de Poisson de taxa λ. Após a chegada de qualquer autocarro o respectivo depósito começa a ser imediatamente enchido, operação esta que demora um tempo aleatório S com função de distribuição G. Uma vez enchido o depósito o autocarro abandona de imediato a referida estação. Determine a distribuição do número de autocarros com depósito por encher no instante t. Exercício 2.23 Admita que clientes chegam a um estabelecimento comercial de acordo com um processo de Poisson não homogéneo. Entre as 8h e as 17h (período de funcionamento do estabelecimento) os clientes chegam de acordo com as seguintes taxas: Das 8h às 10h à taxa de 4 clientes por hora; Das 10h às 12h à taxa de 8 clientes por hora; Do meio-dia às 14h a taxa aumenta linearmente de 8 clientes para 10 clientes por hora; e Das 14h até ao fecho do estabelecimento a taxa diminui linearmente de 10 para 4 clientes por hora. 7

(a) Identifique a função de intensidade do processo e obtenha o número esperado de clientes que visitam o estabelecimento num dia. (b) Qual é a probabilidade do número de chegadas entre as 13h e as 15h ser superior a 5? E a de não ocorrerem chegadas nesse mesmo intervalo de tempo? Exercício 2.24 Sejam T 1, T 2,... os tempos entre chegadas consecutivas de um processo de Poisson não homogéneo com função de intensidade {λ(t), t 0}. (a) Serão as variáveis aleatórias T 1 e T 2 identicamente distribuídas? (b) Determine a distribuição de T 1 e T 2. Exercício 2.25 Considere um processo de Poisson não homogéneo caracterizado pela função valor médio Λ(t) = t 2 + 2t, t 0. (a) Qual é a probabilidade de ocorrerem exactamente n eventos entre os instantes 4 e 5? (b) Obtenha a função de intensidade do processo. Exercício 2.26 Considere um processo de Poisson não-homogéneo {N(t), t 0} com (função) valor médio {Λ(t) = t(t + 1), t 0}. (a) Calcule a probabilidade de ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3. (b) Sabendo que ocorrerem exactamente 2 eventos entre os instantes 1 e 3, calcule a probabilidade de ambos os eventos terem ocorrido após o instante 2. (c) Determine a distribuição do tempo de vida residual no instante 2: S N(2)+1 2, com S n sendo o instante do n-ésimo evento do processo de contagem {N(t), t 0}. (d) Determine a distribuição da idade do processo no instante 3: 3 S N(3). (e) Se um evento que ocorre no instante t, t 0, gera dividendos com valor esperado (em euros) de e 0.1t, calcule o valor esperado dos dividendos recebidos até ao instante 10. Sugestão: considere o valor esperado da variável aleatória D que representa os dividendos gerados por um evento escolhido ao acaso de entre os eventos que ocorrem até ao instante 10. (f) Justifique, recorrendo à definição, que {N (t), t 0} dado por: ([ ]) 1 + 4t 1 N (t) = N, t 0, 2 é um processo de Poisson e calcule a respectiva taxa. (g) Com as definições da alínea anterior, diga se o processo {N + (t) = N ( t), t 0} é um processo de renovamento, se possui incrementos independentes e se possui incrementos estacionários. 8

Exercício 2.27 Seja, para t 0, X(t) o valor total dos prémios pagos por uma companhia de seguros de vida no intervalo (0, t]. Pagamentos de prémios de seguros de vida são reclamados à companhia segundo um processo de Poisson de taxa 5 pagamentos por semana. Se os prémios forem independentes e possuírem distribuição exponencial com valor esperado 20 000 dólares, determine: (a) O valor esperado e a variância do total de prémios pagos pela companhia num período de 4 semanas. (b) Cov(X(s), X(t)), com 0 s t. (c) Cov(Y (s), Y (t)), com 0 s t, sendo {Y (t), t 0} um processo de Poisson composto geral. Exercício 2.28 Considere um processo de Poisson condicional em que a intensidade é uma variável aleatória Λ com função densidade de probabilidade f Λ (λ) = αm λ m 1 e αλ (m 1)! isto é, Λ Gama(m, α), com m IN e α > 0. (a) Mostre que, para n IN 0, I (0,+ ) (λ); e (b) Calcule ( m + n 1 P (N(t) = n) = n ) ( α α + t ) m ( t ) n α + t (Λ N(t) = n) Gama(m + n, α + t). P (N(t + h) N(t) = 1 N(t) = n) lim. h 0 + h Exercício 2.29 O aeroporto da cidade natal do Evaristo dispõe de um centro de reservas que funciona 24 horas por dia. Após um estudo minucioso do processo de chegadas ao referido centro, considerou-se razoável que: Condicionalmente ao conhecimento da taxa de chegadas, as chegadas se regiam por um processo de Poisson; e Em cada dia, a taxa de chegadas de clientes por hora é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor esperado 4. (a) Qual é a probabilidade de não chegarem clientes ao centro de reservas num período de t horas de um dia? (b) Prove que a probabilidade da referida taxa não exceder os 6 clientes por hora num dia em que no período entre as 0 e as 12 horas chegaram 49 clientes, é igual a F χ 2 (147). (100) Sugestão: use o facto de X Gama(α, δ) 2δX χ 2 (2α). 9