aculdad d Ecoomia Uivrsidad Nova d Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ao Lctivo 009-0 - º Smstr Eam ial d ª Época m d Jairo d 00 Duração: horas 0 miutos É proibido usar máquias d calcular ou tlmóvis Não tha o su tlmóvl cosigo Não são sclarcidas dúvidas Simplifiqu os cálculos ao máimo Justifiqu smpr as suas rspostas Pod usar o vrso das folhas d am Os rascuhos dvm star bm idtificados Não pod dsagrafar as folhas do am
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 ( valors) Prtd-s qu o aluo comt um máimo d TRÊS lihas duas afirmaçõs. Normalmt os aluos comtam m 0 lihas, dizm dsdizm, o qu stá log do qu s prtd. Para mostrar qu s pod rspodr m lihas, aprsta-s um caso rsolvido. Emplo rsolvido Comt: S uma fução ral d variávl ral tm domíio R drivada m todos os potos, tão é difrciávl m R. also. Para sr vrdad tria d tr drivada INITA m todos os potos. Basta psar a fução f ( ) para 0 qu toma o valor zro s 0. É um dos sis casos típicos. A gt avisou qu os casos típicos mplificam quas tudo. AGORA É A SÉRIO a) Toda a fução ral d variávl ral com limit fiito m todos os potos d R tm por domíio R Supr falso! Tr limit ão é sióimo d cotiuidad. Basta psar m fuçõs como sta O úmro d potos daquls até pod sr ifiito! b) O limit d uma sucssão moótoa U é um umro ral, u, tal qu U u é uma sucssão dcrsct also, ão chga sr dcrsct! Tm d covrgir para zro. Distiga bm sta fras falsa dsta fras vrdadira: s o úmro u é o limit da sucssão moótoa U, tão U u é uma sucssão dcrsct.
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 ( valors) O mistério das primitivas. Como podm três prssõs com crto ar d família, tr primitivas tão difrts todas tão fácis? Ora comprov!! 0 ( ) P 0 0.. C a) (0,75) 0P 0P( ) b) (.5) P P Pfg fg Pf g P ( ) ( ) C NB: S S f ( ), tão f ( ) g ( ), tão g( ) 9 0 c) (0,75) P arcsi( ) C 0 0
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 ( valors) Cosidr a sguit fução R R f : f l ), ( a) Admitido qu a quação 0 f dfi ) t( como fução d uma vizihaça do poto (,0), calcul ( ) t b) Calcul o dsvolvimto d Talor d primira ordm da ivrsa da fução t, sja la a fução s, m toro do úico poto m qu tm iformação para o fazr. Rsolução a) D f l ), ( obtém-s ( ) l A rlação 0 ), ( Passa d facto plo poto (,0) pois 0..0 (,0) 0 Drivado implicitamt 0 ), ( admitido qu ) t( 0 ( ) t o poto ( ),0
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 Pod vrificar sts cálculos pla fórmula altrativa d d g ( ) b) Sabmos qu s(0); além disso sabmos plas propridads da drivada da ivrsa qu [ s ( 0) ] ; tão a fórmula d Talor d primira ordm acaba por sr também a fórmula d McLauri ( 0)( 0) s ( ) s(0) s ( 0) s ( ) 5
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 ( valors) Tm agora quatro afirmaçõs sobr as quais apas s pd qu diga s cada uma é vrdadira ou falsa. Mas atção: cada rsposta crta cota valor cada rsposta rrada cota -0,5 valor cada rsposta m braco cota -0,5 a) Uma sucssão covrgt stritamt dcrsct aproima-s smpr d todos os potos d acumulação do cojuto dos miorats do su limit V b) Sja o cojuto d úmros rais A [.] { } ; tão adrêcia ( adrêcia ( itrior(a)) )[,] V c) Sja uma fução ral d variávl ral dfiida m R tal qu f ( ) 0. Etão f ( )d smpr uma ára. 0 é V d) Sja qual for a sucssão ral d variávl ral, U, o itrior do cojuto formado plos sus lmtos é um cojuto d cardial Alf zro. V 6
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 5 ( valors) Acabam d sr ivtadas as sucssõs vctoriais! Uma sucssão U é uma sucssão vctorial d dimsão s sdo V W sucssõs rais ( V W ) U, Dfia-s por sua vz lim como sdo o par ordado ( u, v) d U R tal qu ( ): > ( ε ) > ( ε ), ( V, W ) B ( u, v) ε > 0, ( ), ( ε ) ε Sja a sucssão vctorial d dimsão 00, ε Prov pla dfiição dada qu sta sucssão tm por limit ( u, v), 0 Rsolução Tmos d dscobrir uma ordm a partir da qual ambas as sucssõs stjam a uma distâcia mor qu ε do rspctivo limit. Para V < ε ( ) ( ) ( ) ( ) < ε < ε ε ε > ε Para W 00 00 00 0 < ε 7
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 00 00 0 < ε ε ( ) > 00 > 00 ε ε O procurado é o máimo tr ε ε 00 ε. ε 8
Eam d Cálculo m 0 d Jairo d 00 6 ( valors) a) Dmostr qu a drivada da fução f ( ) arccos é f ( ). azm art itgrat da dmostração plicar od é qu sta drivada é válida bm como o sial mos. Esta dmostração cab as costas d um bilht d cima. Tópicos d rsolução Sabmos qu cos ( arccos( )) ; drivado ambas as prssõs vm ( ) [ arccos ] s (arccos [ arccos ] s arccos ( ) Pla fórmula fudamtal da trigoomtria sabmos qu ( ) s arccos ; é st valor ão pois s stamos a ivrtr o coso, isso passa-s a sua dtrmiação 0,π, itrvalo od sm ambiguidad o so é positivo; tão pricipal, [ ] [ arccos ] b) Calcul d. Caso ão tha rsolvido a alía a) pod ispirar-s la. d [ arccos( ) ] arccos π π π arccos 6 6 9