CAPÍTULO II RENDAS Cálculo Financeiro * Francisco Antunes Paulo Mêda Enquadramento Regime de Juro Composto Sabe-se que utilizando o factor de actualização (1+i) -n o de capitalização (1+i) n é possível movimentar no tempo um capital de cada vez. Mas e se forem 10 30 1.000? Pode dar uma trabalheira enorme!!! 3 1
Conceito de renda Conjunto de capitais (termos) que ocorrem em intervalos de tempo iguais i (equidistância temporal). Não interessa que os diferentes capitais (os termos) sejam de igual montante. A periodicidade id d da renda é definida id pelo período de tempo entre dois termos consecutivos. 4 Conceito de renda Para definir uma renda é preciso saber: o momento de referência; o momento de vencimento do primeiro termo; o número de termos; o valor de cada termo; o intervalo de tempo (constante) entre os termos. 5 2
Representação de uma renda Termos t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n 0 (origem) 1 2 3 ( ) n-1 n Tempo 6 Valor actual de uma renda t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n 0 1 2 3 ( ) n-1 n V 0 = t 1.(1+i) - 1 + t 2.(1+i) - 2 + t 3.(1+i) - 3 + + t (n 1).(1+i) -(n (n-1) + t n.(1+i) -n (n-1) 7 3
Valor acumulado de uma renda t 1 t 2 t 3 ( ) t n-1 t n 0 1 2 3 ( ) n-1 n V = t.(1+i) (n-1) + t.(1+i) (n-2) + t.(1+i) (n-3) n 1 2 3 + + t (n-1) 1).(1+i) ) + t n n é o momento em que ocorre o último termo 8 Tipos de rendas Quanto à sua duração: TEMPORÁRIAS O número de termos é finito. PERPÉTUAS O número de termos pode ser considerado d ilimitado. 9 4
Tipos de rendas Quanto à sua duração: TEMPORÁRIAS 12 33 34 ( ) 45 49 0 1 2 3 ( ) n-1 n PERPÉTUAS 12 33 34 ( ) 0 1 2 3 ( ) + 10 Tipos de rendas Quanto ao período da renda: INTEIRAS O período da renda corresponde ao período da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal, ). FRACCIONADAS O período da renda difere do período da taxa. 11 5
Tipos de rendas Quanto ao período da renda: INTEIRAS 1.000 1.000 1.000 ( ) 1.000 (i mensal) 0 1 2 3 ( ) 34 meses FRACCIONADAS 2.000 2.500 (i anual) 0 1 2 3 4 meses 12 Tipos de rendas Quanto ao valor dos termos: CONSTANTES Todos os termos têm o mesmo valor. VARIÁVEIS Os termos têm valores diferentes: Sem regularidade matemática; Com progressão aritmética; Com progressão geométrica. 13 6
Tipos de rendas Quanto ao valor dos termos: CONSTANTES 1.000 1.000 1.000 ( ) 1.000 0 1 2 3 ( ) 34 VARIÁVEIS 1.000 750 320 ( ) 238 0 1 2 3 ( ) 103 14 Tipos de rendas Quanto ao momento de referência: IMEDIATAS Coincide com a origem. DIFERIDAS O momento de referência é anterior à origem. 15 7
Tipos de rendas Quanto ao momento de referência: IMEDIATAS 1.000 1.000 1.000 ( ) 1.000 0 1 2 3 ( ) 34 DIFERIDAS 1.000 ( ) 1.000 0 1 2 3 ( ) 34 16 Tipos de rendas Quanto ao vencimento dos termos: NORMAIS (OU POSTECIPADAS) Os termos vencem no final de cada período. ANTECIPADAS Os termos vencem no início de cada período. 17 8
Tipos de rendas Quanto ao vencimento dos termos: NORMAIS (OU POSTECIPADAS) 1.000 1.000 1.000 ( ) 1.000 1.000 0 1 2 3 ( ) 34 35 ANTECIPADAS 1.000 1.000 1.000 1.000 ( ) 1.000 0 1 2 3 ( ) 34 35 18 Quadro Resumo 19 9
Quadro Resumo 20 Não interessa!!! 21 10
Só nos interessam: TEMPORÁRIAS PERPÉTUAS CONSTANTES VARIÁVEIS INTEIRAS basta converter a taxa das fraccionadas IMEDIATAS e DE TERMOS NORMAIS basta actualizar/capitalizar l através de (1+i)- n /(1+i) n 22 RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS CONSTANTES 23 11
Valor actual: renda constante V 0 = t 1.(1+i) - 1 + t 2.(1+i) - 2 + t 3.(1+i) - 3 + + t (n 1).(1+i) -(n (n-1) + t n.(1+i) -n (n-1) mas como t1 = t2 = t3 = = tn-1 = tn vem que: n V 0 = t. 1 ( 1 i a ni i ) A ni 24 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 1 100 t 2 100 t 3 100 t 4 100 t 5 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 25 12
Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946% 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 26 Valor actual: renda constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 27 13
Valor actual: renda constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 28 Valor actual: renda constante 4) Considere uma taxa mensal de 2% 100 150 100 150 100 150 100 0 1 2 3 4 69 70 meses 29 14
Valor acumulado: r. constante V n = t. 1 ( V n = V 0.(1+i) n vem que: 1 i i n ) (. 1 i ) n s ni 30 Valor acumulado: r. constante V n = V n = V 0.(1+i) n t. ( 1 i n 1 i vem que: ) s ni S ni 31 15
Valor acumulado: r. constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 1 100 t 2 100 t 3 100 t 4 100 t 5 0 1 2 3 4 5 6 7 meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? Qual é o valor da renda no final do prazo? 32 Valor acumulado: r. constante 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946% 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 5? Qual é o valor da renda no final do prazo? 33 16
Valor acumulado: r. constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 4? Qual é o valor da renda no final do prazo? 34 Valor acumulado: r. constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 7 meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 7? 35 17
Valor acumulado: r. constante 4) Considere uma taxa mensal de 2% 100 150 100 150 100 150 100 0 1 2 3 4 69 70 meses Qual é o valor acumulado da renda no momento 70? Qual é o valor da renda no momento 70? 36 RENDAS TEMPORÁRIAS TERMOS VARIÁVEIS Sem regularidade matemática; Com termos em progressão aritmética; Com termos em progressão geométrica. 37 18
TERMOS SEM REGULARIDADE Efectua-se o cálculo (actualizar/capitalizar) termo a termo para a data de análise! 100 37 11 143 20 (i mensal = 3%) 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 38 TERMOS EM P. ARITMÉTICA r é a RAZÃO da progressão aritmética t t+r t+2r t+3r t+4r t+(n-2)r t+(n-1)r 0 1 2 3 4 5 n-1 n A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t r (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes ) 39 19
Valor actual com termos em PA V 0 = V 0 = t.(1+i) - 1 + (t+r).(1+i) - 2 + (t+2r).(1+i) - 3 + + [t+(n-2).r].(1+i) -(n (n-1) + [t+(n-1).r].(1+i) -n 1 1 i n ( ) i r nr. t nr i i a ni a Ani 40 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 120 t+r 140 t+2r 160 t+3r 180 t+4r 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 41 20
Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946% 100 120 140 160 180 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 42 Valor actual com termos em PA 2) Considere uma taxa mensal de 2% 100 90 80 70 60 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 43 21
Valor actual com termos em PA 3) Considere uma taxa mensal de 2% 100 85 70 55 40 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 44 Valor actual com termos em PA 4) Considere uma taxa mensal de 2% 10 70 12 68 14 150 80 0 1 2 3 4 69 70 meses 45 22
Valor acumulado em PA V n = V 0.(1+i) n vem que: V = = n a S A 1 i ni a ni n 46 TERMOS EM P. Geométrica r é a RAZÃO da progressão geométrica t t.r 1 t.r 2 t.r 3 t.r 4 t.r (n-2) t.r (n-1) 0 1 2 3 4 5 n-1 n 47 23
Valor actual com termos em PG V 0 = t.(1+i) - 1 + (t.r).(1+i) - 2 + (t.r 2 ).(1+i) - 3 + + [t.r (n-2) ].(1+i) -(n (n-1) + [t.r (n-1) ].(1+i) -n V 0 = t (1 i) n g n r. r Ani n 1i 1i 48 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 49 24
Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 50 Valor actual com termos em PG 2) Considere uma taxa mensal de 2% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 51 25
Valor actual com termos em PG 3) Considere uma taxa mensal de 2% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 6 7 meses 52 Valor acumulado em PG V n = V 0.(1+i) n vem que: = = n n r 1i t. A 1i g ni r 1 i V n = = n 53 26
Caso particular da PG r =(1+i) 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 6 7 Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1) r = 1+ 0,1 = 1,1 g Ani = n.t.(1+i) -1 54 RENDAS PERPÉTUAS TERMOS CONSTANTES 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0 1 2 3 4 5 100 meses 1) Calcule o valor actual do último termo: 1.1) Considere uma taxa mensal de 10% 1.2) Considere uma taxa mensal de 20% 55 27
Valor actual: renda constante V 0 = 1 1 i t. i ( ) Como (1+i) - 0, vem que 56 Valor actual: renda constante V 0 = 1 t. i a i A i Não faz sentido falar de valor acumulado 57 28
Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 meses 58 Valor actual: renda constante 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946% 100 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 meses 59 29
Valor actual: renda constante 2) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 meses 60 Valor actual: renda constante 3) Considere uma taxa mensal de 2% 100 100 100 100 0 1 2 3 4 5 6 meses 61 30
RENDAS PERPÉTUAS TERMOS VARIÁVEIS Com termos em progressão aritmética; Com termos em progressão geométrica. 62 TERMOS EM P. ARITMÉTICA r é a RAZÃO da progressão aritmética t t+r t+2r t+3r t+4r t+(n-1)r 0 1 2 3 4 5 n A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 menor que 0 Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t r (é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes ) 63 31
Valor actual com termos em PA V 0 = V 0 ( 1 n 1 i i ) Como (1+i) - 0, vem que r nr. t nr i i 1 r nr t r i. t nr 2 i i i i a A i 64 Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa mensal de 2% 100 t 120 t+r 140 t+2r 160 t+3r 180 t+4r 0 1 2 3 4 5 meses 65 32
Valor actual com termos em PA 1) Considere uma taxa anual de 26,82417946% 100 120 140 160 180 0 1 2 3 4 5 meses 66 Valor actual com termos em PA 2) Considere uma taxa mensal de 2% 100 90 80 70 60 0 1 2 3 4??? meses 67 33
Valor actual com termos em PA 3) Considere uma taxa mensal de 2% 100 120 140 160 0 1 2 3 4 5 6 meses 68 TERMOS EM P. Geométrica r é a RAZÃO da progressão geométrica t t.r 1 t.r 2 t.r 3 t.r 4 t.r (n-1) 0 1 2 3 4 5 n 69 34
Valor actual com termos em PG n n V = t r 1i. 0 (1 i) n r 1i n n t r t 1i t.. n n (1 i) r 1 i (1 i) r 1 i 1i r [r (1+i)] 0, apenas se r < (1+i) g A i 70 Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa mensal de 20% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 meses 71 35
Valor actual com termos em PG 1) Considere uma taxa anual de 791,6100448% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 5 meses 72 Valor actual com termos em PG 2) Considere uma taxa mensal de 20% 100 110 121 133,1 146,41 0 1 2 3 4 meses 73 36
Valor actual com termos em PG 3) Considere uma taxa mensal de 20% 100 110 121 133,1 0 1 2 3 4 5 6 meses 74 37