1 Aplicação dos Métodos de Runge-Kutta de primeira, segunda, terceira e quarta ordem na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária. Rodrigo Romais (FCSGN) 1 r.romais@gmail.com Resumo: Métodos numéricos são extremamente úteis na resolução de muitos problemas matemáticos e físicos, que em geral são modelados por equações diferenciais ordinárias, e surgem como alternativa para a obtenção de resultados que quase sempre não podem ser obtidos por procedimentos reais. Dentre os métodos numéricos utilizados na resolução de equações diferenciais ordinárias destaca-se os Métodos de Runge-Kutta, cuja simplicidade de implementação computacional e, também, pela facilidade na obtenção das aproximações de suas versões, diferenciando dos métodos cujo desenvolvimento parte da expansão em série de Taylor. Se tratando da resolução numérica de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, este trabalho objetiva apresentar e aplicar quatro métodos de Runge-Kutta na resolução de um problema governado pela lei de resfriamento de Newton. De maneira a confrontar os resultados numéricos advindos das aproximações obtidas com os quatro métodos com o valor analítico do problema. Palavras-chave: Métodos de Runge-Kutta, Equações Diferenciais Ordinárias, Lei de Resfriamento de Newton. Abstract: Numerical methods are extremely useful in solving many mathematical and physical problems, which are usually modeled by ordinary differential equations, and emerge as an alternative to obtaining results that often can t be obtained by actual procedures. Among the numerical methods used to solve differential equations stands out Runge-Kutta methods, whose simplicity of computational implementation, and also the ease in obtaining approaches its version, differing methods which development of the series expansion Taylor. If dealing with the numerical solution of ordinary differential equations of the first order, this work aims to present and apply four methods of Runge-Kutta in solving a problem governed by the law of cooling Newton. In order to compare the numerical results arising from the approximations obtained with methods with the actual value of the problem. Keyword: Runge-Kutta Methods, Ordinary Differential Equations, Newton's Law of Cooling. 1. INTRODUÇÃO A resolução de uma equação diferencial ordinária (EDO) pode ser encontrada em diversas aplicações como reações químicas, decaimento radioativo, teste de carbono 14 e corpos em 1 Rodrigo Romais, Licenciado em Matemática pela Universidade do Estado de Mato Grosso (UNEMAT, Sinop, 2011), Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual Paulista Julho de Mesquita Filho (UNESP, Ilha Solteira, 2014). Atualmente docente do ensino superior na Faculdade de Ciências Sociais de Guarantã do Norte-MT, Rua Jequitiba, nº 40, Jardim Aeroporto. Cep.: 78520-000. E-mail: r.romais@gmail.com. Maio de 2016.
2 queda. No entanto, nem toda equação diferencial apresenta solução. Para contornar esta problemática, surgem os métodos numéricos que estimam tais soluções. Tratando da resolução de uma EDO de primeira ordem, destacam-se os Métodos de Runge- Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus algoritmos, aproximações da possível solução analítica, e também, pela respectiva compreensão em que os mesmos apresentam em implementação computacional, como pode ser visto em Rugiero (1996). O que define o grau de uma EDO é a ordem da derivada da função objetivo, isto é, se a EDO é de ordem um, porque a derivada da função é de primeira ordem, consequentemente para graus superiores conforme pode ser visto em Zill (2006) e Stewart (2009). Este trabalho tem por finalidade apresentar e aplicar quatro métodos Runge-Kutta para resolver um problema referente ao estudo da variação da temperatura de um corpo meio a um ambiente termicamente controlado, conhecida por Lei de Resfriamento de Newton. De maneira a se constatar dentre os métodos aproximados aquele que mostrou ser o mais eficiente, além de apresentar uma alternativa de resolução de uma equação diferencial ordinária, mediante a importância das suas aplicações. 2. PROBLEMA MODELO Uma equação diferencial ordinária de primeira ordem fica expressa conforme equação (1) e é toda equação do tipo: y t + P t y t = Q(t) (1) Em que y é a função incógnita ou solução da EDO; y é a derivada de primeira ordem da função incógnita; P(t) e Q(t) são funções da variável independente t. O problema modelo é governado pela lei de Resfriamento de Newton e é contemplada conforme equação (2): T (t) = k(t(t) T m ) (2) Em que T é a temperatura do corpo variável ao longo do tempo t; T é a derivada de primeira ordem da função incógnita em relação ao tempo t; T m representa a Temperatura Ambiente é um valor numérico, uma constante; k é um coeficiente de proporcionalidade, expresso em valor absoluto. O sinal negativo na Equação (2) indica que, se a temperatura T for superior a T m então o
3 corpo perde temperatura para o meio, isto é, a taxa de variação é negativa, caso contrário, o corpo ganha temperatura do meio, portanto, a taxa de variação positiva. Para melhor expressar o problema modelo é apresentada uma ilustração conforme Figura 1. Figura 1 Representação do Problema Modelo Fonte: Próprio Autor O problema modelo é um problema de valor inicial (PVI), isto é, necessita de condições iniciais para sua resolução. As condições propostas é que a temperatura do meio termicamente controlado (sempre constante) T m = 5ºC, a temperatura inicial do objeto T(t = 0min) = 60ºC (condição inicial) e a sua temperatura decorridos 10 minutos T(t = 10min) = 40ºC. Necessário encontrar inicialmente o valor para a constante k do objeto e consequentemente, a sua temperatura no instante de 22 minutos. 2.1. Resolução Analítica do Problema Modelo A equação (2) pode ser reescrita assim como expressa a equação (3). T (t) + P(t). T(t) = Q(t) (3) Fazendo analogia entre a equação (3) com a equação (1), constata-se as igualdades expressas nas equações (4) e (5): P(t) = k (4) Q t = k T m (5) A solução da equação (2) utilizando a técnica do fator integrante é expressa pela equação (6).
4 T(t) = 1 U U. Q(t)dt + C (6) Da equação (6), a função U(t) é dada pela equação (7): U = e P(t)dt (7) Substituindo as equações (4), (5) e (7) na equação (6) e, realizando-se algumas operações algébricas, tem-se: T t = e k t e k.t k T m dt + C T t = e k t k T m e k t dt + C Em que C é uma constante de integração. Fazendo duas substituições de w = k t e dw = k dt. Com o desenvolvimento algébrico resultando na equação (8), assim: T(t) = e k.t. k. T m. 1 k e w dw + C T(t) = e k.t T m. e w + C T t = T m + C e k t (8) A equação (8) é chamada de solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que quando o tempo é igual a zero, a temperatura do corpo é T 0, e dessa forma, a solução particular da equação 2 fica expressa por: T 0 = T m + C e k 0 C = T 0 T m Substituindo na equação (8): T t = T m + T 0 T m e k t T(t) = Tm+T 0 e k t T m e k t Encontra-se a solução particular do problema para t = 0, T(t = 0) = T 0 conforme expresso na equação (9). T t = T m 1 e k t + T 0 e k t (9) Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo T 0 = 60ºC e que a sua temperatura após 10 minutos é de T(t = 10 min) = 40ºC, pode-se agora determinar o valor da constante k, assim como expressa a equação 10, com seu respectivo desenvolvimento algébrico.
5 40 = 5 1 e k 10 + 60 e k 10 40 = 5 5 e 10k + 60 e 10k 40 = 5 + 55 e 10k 35 = 55 e 10k 35 55 = e 10k Aplicando a função logarítmica na equação: ln 35 55 = ln e 10k ln 35 ln 55 = 10k k = ln 35 + ln 55 10 Conhecido o valor de k, a função de temperatura do corpo fica expressa pela equação (11). (10) T t = 5 1 e ln 55 ln 35 10 t + 60 e ln 55 ln 35 10 t (11) A Figura 2 ilustra a variação da temperatura da barra ao longo do tempo. Figura 2 - Variação de temperatura do corpo conforme problema modelo. Fonte: Próprio Autor Conforme equação (11) é possível determinar a temperatura do corpo no decorrer de 22 minutos. Para o instante de 22 minutos temos a temperatura em graus celcius: T(t = 22 min) = 25,347659907 ºC Esta é a resolução analítica deste problema, em outras palavras, esta solução chamada de solução real do problema modelo. Esta é a solução que será comparada com a resolução aproximada advinda dos quatro métodos de Runge-Kutta.
6 2.2. Métodos Numéricos Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das aproximações de métodos numéricos aplicados a resolução de equações diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria das aproximações ficam atreladas ao termo do truncamento da mesma. Para resolução de EDO s de primeira ordem segundo esta metodologia, destacam-se os métodos de Eüler e Eüler Melhorado, cujas aproximações são definidas mediante o truncamento dos termos de primeira e segunda ordem da série respectivamente. Para a obtenção de aproximações de ordem superior segundo a expansão em séries de Taylor, o procedimento algébrico utilizado na determinação dos algoritmos se torna cada vez mais complexo, havendo necessidade de obter derivadas de ordens superiores. Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades, utilizando expressões menos complicadas e fornecendo precisão igual ao da expansão da série de Taylor de mesma ordem. A expressão do método de Runge-Kutta de ordem m é expressa pela Equação 12. m y i+1 = y i + a j. k j j =1 Com i variando de 0 até n 1. em que: aj são constantes para cada método de ordem m; (12) k1 h. f (xi, yi); kj h. f j 1 (xi + pj. h, y i + l=1 (r j,l. k 1 ), sendo pj e r j,l, constantes para cada método de ordem m, para j > 1. Em seguida são apresentados as cinco versões do método de Runge-Kutta. Mais detalhes sobre o método podem ser encontrados nos trabalhos de Romais (2015) e Ruggiero (1996), como também sobre as referentes equações diferencias em Boyce & DiPrima (1994) e Zill (2003).
7 2.2.1. Método de Runge-Kutta de 1 a Ordem Seja a EDO y = f(x, y), com condições iniciais x0 e y0. Deseja-se obter y = f(x), para x = x. Pela expressão acima, a Equação 12, temos: y i+1 = y i + a 1. k 1 (13) em que: a1 uma constante para o método de ordem 1; k1 h. f (xi, yi). 2.2.2. Método de Runge-Kutta de 2 a Ordem Pelo mesmo procedimento utilizado na dedução anterior da expressão do método de Runge- Kutta de ordem um, temos na Equação 14 o método de segunda ordem, também conhecida como método de Heun, por expansão da série de Taylor: y i+1 = y i + a 1. k 1 + a 2. k 2 (14) em que: a1 = a2 = 1 ; 2 k1 = h. f (xi, yi); k2 = h. f (xi + p2. h, yi + r2,1. k1) = h. f (xi + h, yi + k1); p2 = 1 e r2,1 = 2. 2.2.3. Método de Runge-Kutta de 3 a Ordem Adotando o mesmo procedimento de dedução da expressão do método anterior, encontramos, a partir da expressão do método anterior, encontramos a forma geral para terceira ordem y i+1 = y i + a 1. k 1 + a 2. k 2 + a 3. k 3 (15) em que: k1 = h. f (xi, yi);
8 k2 = h. f (xi + h 2 k3= h. f (xi + 3.h 4, yi + k1 2 ); i variando de 0 até n 1., yi + 3. k1 4 ); 2.2.4. Método de Runge-Kutta de 4 a Ordem Este é um dos mais utilizados dos métodos numéricos desta categoria, pela precisão de resultados que ele apresenta, e, principalmente, devido à simplicidade da expressão que utiliza: y i+1 = y i + 1 6. (k 1 + 2. k 2 + 2. k 3 + k 4 ) (16) em que: k1= h. f (xi, yi); k2 = h. f (xi + h 2 k3= h. f (xi + h 2, yi + k1 2 );, yi + k2 2 ); k4 = h. f (xi + h, yi + k3); Com i variando de 0 até n 1. 2.3. Resolução Aproximada do Problema Modelo Para a verificação do erro gerado nas aproximações, utiliza-se a medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (17). Erro = 100 S An S Ap S An (17) Em que S An é a solução obtida pelo procedimento analítico, real; S Ap é a solução obtida pelo procedimento aproximado, métodos. Uma vez que o erro relativo é dado em porcentagem. Para a verificação das aproximações segundo os métodos citados aqui são utilizadas respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do problema modelo que varia de 10 a 22 minutos, lembrando que temperatura de interesse é referente ao tempo de 22 minutos.
Temperatura ºC 9 2.3.1. Aproximações Por Cinco Partições Do Domínio A Tabela 1 apresenta os valores das aproximações para os quatro métodos de Runge-Kutta considerando-se cinco partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 1 - Aproximações para cinco partições e o erro encontrado. Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 12,4 36,203324961 36,073153245 36,401803839 36,402005767 14,8 32,818499674 32,885269528 33,173522409 33,173884749 17,2 29,800848150 30,024439925 30,277126404 30,277614039 19,6 27,110540689 27,457111019 27,678496141 27,679079482 22 24,712068176 25,153171732 25,347019634 25,347673848 Erro(%) 2,507496680 0,767282567 0,002525967 0,000054999 O gráfico da Figura 3 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos. Figura 3 - Gráfico das aproximações da temperatura para cinco partições no intervalo de tempo. 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 10 12 14 Tempo 16 (min) 18 20 22 Fonte: Próprio Autor 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem
10 2.3.2. Aproximações Por Dez Partições Do Domínio A Tabela 2 abaixo apresenta os valores das aproximações para os quatro métodos de Runge- Kutta considerando-se dez partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 2 - Aproximações para dez partições e erro encontrado. X n 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 11,2 38,101662480 38,069119551 38,152212950 38,152225570 12,4 36,306287399 36,324150643 36,401977813 36,402001722 13,6 34,608290257 34,671259072 34,744144443 34,744178412 14,8 33,002389448 33,105586165 33,173834588 33,173877489 16 31,483589833 31,622529625 31,686427539 31,686478334 17,2 30,047167198 30,217730008 30,277546532 30,277604269 18,4 28,688653562 28,887057907 28,943045871 28,943109674 19,6 27,403823281 27,626601810 27,678998725 27,679067794 20,8 26,188679900 26,432656607 26,481685578 26,481759177 22 25,039443727 25,301712695 25,347583280 25,347660740 Erro(%) 1,215955165 0,181268062 0,000302306 0,000003285 O gráfico da Figura 4 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.
Temperatura ºC 11 Figura 4 - Gráfico das aproximações da temperatura para dez partições no intervalo de tempo. 40 38 36 34 32 30 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 28 26 24 22 20 10 12 14 16 18 20 22 Tempo (min) Fonte: Próprio Autor 2.3.3. Aproximações Por Vinte Partições Do Domínio A Tabela 3 abaixo apresenta os valores das aproximações para os quatro métodos de Runge- Kutta considerando-se vinte partições no intervalo de tempo de interesse. Tabela 3 - Aproximações para vinte partições e erro encontrado. Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 10,6 39,050831240 39,042695508 39,063585201 39,063585990 11,2 38,127403090 38,132006273 38,152223907 38,152225443 11,8 37,229017487 37,245679237 37,265245819 37,265248061 12,4 36,354995299 36,383062675 36,401998572 36,402001480 13 35,504675814 35,543522301 35,561847252 35,561850791 13,6 34,677416233 34,726440794 34,744173937 34,744178069 14,2 33,872591194 33,931217348 33,948377232 33,948381925
Temperatura ºC 12 14,8 33,089592292 33,157267231 33,173871837 33,173877056 15,4 32,327827621 32,404021351 32,420088108 32,420093822 16 31,586721328 31,670925841 31,686471642 31,686477822 16,6 30,865713176 30,957441650 30,972482871 30,972489487 17,2 30,164258122 30,263044150 30,277596662 30,277603686 17,8 29,481825903 29,587222744 29,601301931 29,601309337 18,4 28,817900636 28,929480496 28,943101268 28,943109030 19 28,171980430 28,289333764 28,302510572 28,302518666 19,6 27,543577004 27,666311844 27,679058694 27,679067096 20,2 26,932215317 27,059956622 27,072287089 27,072295777 20,8 26,337433214 26,469822242 26,481749481 26,481758435 21,4 25,758781071 25,895474773 25,907011534 25,907020733 22 25,195821457 25,336491895 25,347650535 25,347659958 Erro(%) 0,599023543 0,044059342 0,000036976 0,000000201 O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos. Figura 5 - Gráfico das aproximações da temperatura para vinte partições no intervalo de tempo. 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 10 12 14 16 18 20 22 Tempo (min) Fonte: Próprio Autor 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem
13 Conforme Tabelas 1, 2 e 3 e Figuras 3, 4 e 5, pode-se constatar visualmente que, quanto maior for a partição de domínio em cada um dos métodos, melhor será a aproximação do método numérico em relação a sua solução analítica, consequentemente, analisadas nove casas decimais, constata-se que o erro relativo, tende a zero. 3. CONCLUSÃO Como comentado anteriormente, as quatro versões do métodos dos Métodos e Runge-Kutta mostram-se como forma alternativa para resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de fundamental importância em se tratando de problemas desprovidos de solução analítica. A metodologia de se resolver um problema físico com solução analítica mostrou ser interessante sobre dois aspectos, um motivando o estudo de métodos analíticos e numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias e o outro, para se discutir de forma clara os erros encontrados nas aproximações. É importante destacar que, em se tratando de problemas sem soluções analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio de interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos calculados sobre o mesmo ponto para várias malhas, com aumento progressivo, é menor que uma tolerância, o erro, pré-estabelecida. Como era de se esperar, os resultados advindos da versão de Runge-Kutta de quarta ordem, aplicados na resolução do problema modelo, independente do número de partições de domínio, mostrou ser mais preciso que os demais métodos. Também, da Tabela 3, percebe-se que para uma malha com vinte partições, o método de Runge-Kutta de primeira ordem já foi capaz de apresentar uma solução aproximada com erro em torno de 0,6%. Para finalizar, a utilização de um dos Métodos de Runge-Kutta pode apresentar resultados satisfatórios a medida em que a malha do problema é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e consequentemente, aumento em trabalho computacional. REFERÊNCIAS BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara Koogan, 1994. ROMAIS, R.; Aplicação dos Métodos de Euler e de Euler Melhorado na Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária. NATIVA, Revista de Ciências Sociais do Norte de Mato Grosso. V. 4, N. 1, 2015. Ver artigo em:http://faflor.com.br/revistas/nativa/index.php/revistanativa/article/view/195/384 RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 2 ed. São
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