Cálculo Numérico Erros em processamento Numéricos
Agenda Introdução a Erros Mudança de Base Erros de representação Erro de arredondamento Erro de absoluto Erro relativo Erro de truncamento Propagação do Erro
Erros Fase da modelagem do modelo matemático Fase de resolução do modelo matemático Modelo exato (erros inerentes dos equipamentos de cálculo) Modelo aproximado (além dos erros dos equipamentos, erro da aproximação do modelo)
Erros Erros Erros Problema Real Modelo Matemático Solução para o modelo matemático Fase de Modelagem Fase de Resolução
Mudança de base Mudança de base Representação interna de números pelos computadores Mudança de base pode gerar erros devido a limitação da representação numérica do equipamento
Mudança de base Dados um número real N é sempre possível representá-lo em qualquer base b: b m N a b in ai {0,1,2,3,...,( b1)}, n, m I i i
Mudança de base Base binária m N a 2 i, a {0,1} b i i in
Mudança de base Exemplo / Base Binária (1011) 1 2 12 02 12 (11) 0 1 2 3 2 10 (111.01) 1 2 0 2 1 2 12 12 (7, 25) 2 1 0 1 2 2 10
Mudança de base Exemplo / Base Decimal (231) 110 310 210 10 2 0 1 2 (231.35) 510 310 110 310 210 2 1 0 1 2
Mudança de base Conversão de Decimal para binário Dividir o número na base decimal sucessivamente por 2 Armazenar o algoritmo de resto (r), até que o quociente da divisão seja igual a 1 O binário é formado pelo quociente 1 e pelos coeficientes do resto da divisão, a partir do mais significativo (r n-1 ) para o menos significativo (r n )
Mudança de base Exemplo (25) 12 02 02 12 12 (11001) 0 1 2 3 4 10 2 25/2 = 12 resto = 1 12/2 = 06 resto = 0 06/2 = 03 resto = 0 11001 03/2 = 01 resto = 1 1/2 = 00 resto = 1
Mudança de base Exemplo Qual seria a representação do número 11 em binário?
Mudança de base Base decimal fracionário para binário a) Multiplica-se o número fracionário por 2 b) Do resultado do passo a, a parte inteira é o primeiro digito binário c) Do resultado do passo b, a parte fracionária é multiplicada novamente por 2 d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula
Mudança de base Exemplo (0.1875) (0.0011) 02 02 12 12 ( 3 ) 16 1 2 3 4 10 2 10 0.1875 x 2 = 0.375 Parte Inteira = 0 e parte fracionária = 0.375 0.375 x 2 = 0.750 Parte Inteira = 0 e parte fracionária = 0.75 0.75 x 2 = 1.5 Parte Inteira = 1 e parte fracionária = 0.5 0.5 x 2 = 1.0 Parte Inteira = 1 e parte fracionária = 0 0.0011
Mudança de base Exemplo (13.25) 10 (13) 10 (0.25) 10 (1101) 2 (0.01) 2 (1101.01) 2 (0.2) (0.2) 10 (0.001100110011...) 2 10 0.2 é uma dizima periódica de período (0.0011). Este número não pode ser representado de forma exata em binário. Apenas é possível uma representação aproximada, ou seja, temos ERRO
Erros de representação Os computadores armazenam os números com uma quantidade limitada de algarismos Os números são armazenados com um indicador de sinal e um número fixo e limitado de dígitos significativos.
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado Número nesse sistema é caracterizado por: Um número é caracterizado por um base b Um número de dígitos significativos n Um expoente exp n mb exp m é a mantissa do número, b 2 é base e exp é o expoente da base
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado Condições para este sistema: m = ±0.d 1,d 2,d 3,..,d n n é o número máximo de dígitos da mantissa. d 1,d 2,d 3,..,d n são os dígitos significativos da mantissa 1 d 1 (b-1) 1 d i (b-1); i=2,3,...,n exp min exp exp max
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado A união de todos os números de pontos flutuante, juntamente com a representação do zero constitui o sistema de ponto flutuante normalizado SPF(b,n,exp min,exp max ) Representação do zero: zero :0.000...0 b exp min N vezes
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado O menor número positivo representado menor (0.100...0) b exp min N-1 vezes
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado O número máximo de mantissas possíveis: mantissas ( b 1) b n 1
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado O número máximo de expoentes possíveis: exp exp exp 1 possiveis max min
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado O número de elementos positivos representáveis: NR mantissas exp possiveis
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado O número de elementos representáveis: NRt 2 NR 1
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado Exemplo seja o sistema de ponto flutuante SPF(3,2,-1,2): Menor inteiro representado 0.103 9 2 0.223 8 Maior inteiro representado 1 1 21 (3 1)3 6 Máximo de mantissas positivas possíveis 2 ( 1) 1 4 Máximo de expoentes possíveis Número máximo de reais positivos representados 64 24
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado Se x pertence a um SPF então (-x) também pertencerá Considerando o zero é tem sua própria representação em um SPF, então: R 1 1 x; x[,8] [ 8, ] {0} 9 9 Qualquer número real que não pertence a R não poderá ser representado nesse SPF
Erros de representação Sistema de Ponto Flutuante Normalizado Erro de underflow ocorre quando tentamos representar um número muito pequeno para o SPF 1 1 Under x; x[,0] [0, ] 9 9 Erro de overflow ocorre quando tentamos representar um número muito grande para o SPF Over x; x[, 8] [8, ]
Erro de arredondamento Quando não for possível representar de forma exata um número em um SPF o mesmo é aproximado (nr a ) Esta aproximação é o arredondamento do real nr
Erro de arredondamento Um número real é arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior do k do forem descartados de acordo com os critérios: O dígito k é somado com um se o de ordem (k+1) for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é representado com os k dígitos iniciais. Se o dígito de ordem (k+1) for igual a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos, e se o dígito de ordem k é impar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade. O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k.
Erro absoluto Definido como: E a a abs ex aprox Sendo a ex o valor exato da grandeza e a aprox o valor aproximado da grandeza.
Erro absoluto O valor exato da grandeza muitas vezes é desconhecidos Assim, trabalha-se com limitante para o erro : E a a abs ex aprox a a ex aprox
Erro Relativo Definido como: E rel E a ex a ex a a ex aprox Sendo a ex o valor exato da grandeza e a aprox o valor aproximado da grandeza.
Erro relativo Como na maioria das vezes não temos o valor exato, utilizamos um limitante superior para o erro relativo a aprox Aonde δ é um limitante conhecido
Erro relativo No erro absoluto não é levado em conta a grandeza dos números envolvidos No erro relativo a grandeza do número é considerada
Erro relativo Qual valor é mais preciso? Seja o valor exato a ex = 2345.713 e o valor aproximado a aprox = 2345.000 então temos: E abs = 0.713 e E rel = 0.00030396 Seja o valor exato a ex = 1.713 e o valor aproximado a aprox = 1.000 então temos: E abs = 0.713 e E rel = 0.416229
Erro de truncamento Como foi visto, os sistema computacionais tem uma limitação para a representação de números. Se considerarmos apenas um número finito de termos, dizemos que estamos cometendo um erro de truncamento
Erro de truncamento Seja a representação de e x : e 2 3 n x x x x 1 x 2! 3! n! Supondo que podemos representar apenas os 4 primeiros termos: x x x 1 e x 2! 3! 6 x x x n x erro n! 2 3 3 2 1 ( 3 6 6) n4