Notas de Aula de Cálculo Numérico

IM-Universidade Federal do Rio de Janeiro Departamento de Ciência da Computação Notas de Aula de Cálculo Numérico Lista de Exercícios Prof. a Angela Gonçalves

3 1. Erros 1) Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: a) a) 234.25 b) 2348.5 c) -55.8 d) 0.1 2) Converta os seguintes números binários para sua forma decimal: a) 111001 b) - 0.00101 c) 11100.11 3) Seja um computador binário, cujo sistema de ponto flutuante tenha 1 bit para o sinal do número, 3 bits para o expoente e 5 bits para a mantissa num total de 9 bits. Responda: a) qual o menor número positivo e o maior número positivo nele representável; b) qual o maior e > 0, tal que 4.25 + e = 4.25; c) qual o menor número maior que 4.25 nele representável; d) qual o maior número menor que 15 nele representável; e) efetue nele a multiplicação 0.6 * 5 e indique o resultado. 10000 4) A série finita a i = 0.0001 tem soma igual a 1. Explique porque i=1 um computador obteve o seguinte resultado: 0.999595582. 5) Seja uma máquina de base decimal com aritmética de ponto flutuante normalizado com 4 dígitos para a mantissa e 1 dígito para a característica. Para calcular a média aritmética dos números x = 5.0000 x 10 9 e y = 7.0000 x 10 9 nessa máquina é mais conveniente calcular ou ( x 2 2 ) + (y 2 )? (x + y) Justifique.

4 2. Zeros de Funções Reais 1) Determine um intervalo [a, b] para iniciar o cálculo de ln 10 usando o Método da Bissecção. Justifique. 2) Dado o polinômio P (x) = (x 1) 2 (x 2.5)(x 4), pergunta-se que raízes da equação não podem ser calculadas pelo Método da Bissecção. Justifique. 3) Dada a função f(x) = 0.1x ln x, determine: a) um intervalo que contenha somente a menor raiz de f(x) = 0 (Obs: x > 0 ); b) uma função de iteração e uma aproximação inicial x 0 tal que a sequência x i+1 = g(x i ) convirja para esta raiz; c) uma aproximação a partir de x 0 dado em b) com tolerância ɛ = 0.5 x 10 1. 4) No cálculo das raízes da função f(x) = 3x e x, pelo Método do Ponto Fixo, fizeram-se as duas seguintes transformações: g 1 (x) = ln(3x) e g 2 (x) = ex. Usando estas transformações com 3 valores iniciais adequados, para que raiz converge a seqüência obtida em cada uma delas? 5) Qual a ordem de convergência do Método de Newton-Raphson para as raízes de P(x) do exercício 2)? Justifique. 6) Calcule a raiz da equação x 1/2 e x = 0 pelo Método do Ponto Fixo com tolerância menor ou igual a 0.1. 7) Dada f(x) = ln x x + 2, calcule uma expressão da forma x = g(x) de tal maneira que as iterações convirjam para cada raiz de f(x) = 0.

5 8) As equações x = x2 x2 2x + 4 e x = 2.5x + 5 têm 2 como 2 2 raiz. Verificando que para qualquer valor inicial x 0 pertencente ao intervalo (1.5, 3.0) há convergência pelo Método do Ponto Fixo, indicar em qual das duas equações a convergência é mais rápida. Justifique sua resposta. 9) Para determinar a raiz quadrada de um número c 0, basta resolver a equação, x 2 c = 0. É possível determinar a raiz quadrada de um número c 0 usando a função de iteração g(x) = c/x? Justifique sua resposta. 10) Ao aproximarmos a menor raiz da equação f(x) = (x 1) 2 (x 3) pelo Método de Newton-Raphson obtivemos, na vigésima iteração o erro e 20 = 0.3 x 10 6. Determine o erro e 21 cometido na vigésima primeira iteração. 11) Calcule a menor raiz da equação e x sin x = 0 usando o Método de Newton-Raphson com tolerância menor que 0.5 x 10 2. Trabalhe com 3 casas decimais. 12) Encontre uma aproximação para raiz negativa de 0.3 com tolerância menor que 0.5 x 10 2 2 usando o Método de Newton- Raphson. Use como aproximação inicial x 0 = 0.5. 13) Usando algoritmo de Briot-Ruffini (Birge-Vieta) para o o Método de Newton-Raphson para polinômios, determine a interseção das curvas y = 2x 3 + 2x + 4 e y = x 3 2x + 1 obtida com tolerância 0.2 e x 0 = 0. Qual a ordem do método neste caso? Justifique. 14) Calcule uma aproximação para a raiz de x cos x = 0, usando o 4 Método da Secante com tolerância menor que 0.02. Trabalhe com 3 casas decimais.

6 3. Resolução de Sistemas Lineares 1) Resolva o sistema linear abaixo pelo Método de Eliminação de Gauss. 4x + y z = 3 x + 2y + z = 5 3x + y + z = 6 Obs: trabalhe com 2 casas decimais. 2) Resolva o sistema linear abaixo pelo Método de Gauss com pivoteamento. x + y + z = 2 2x 3y + z = 5 4x y + z = 1 Obs: trabalhe com 2 casas decimais. 3) Resolva o sistema linear abaixo usando a decomposição LU com pivoteamento. 2x + y + z = 7 x + 5y + 2z = 5 3x + 2y + z = 10 Obs: trabalhe com 2 casas decimais. 4) Usando decomposição LU calcule a inversa da matriz A. 1 1 0 0 1 1 1 0 1 5) Resolva o sistema Ax = b, usando decomposição LU, onde: 1 4 2 1 A = com b = e b = 1 1 1 1

7 6) Reordene o sistema abaixo de forma que fique garantida a convergência do Método de Gauss Seidel pelo critério de Sassenfeld. x + 2y z = 2 x y + 2z = 1 6x y z = 3 Calcule uma iteração do Método de Gauss Seidel para o sistema reordenado usando como aproximação inicial x 0 = (0, 0, 0). 7) Calcule as duas primeiras aproximações da solução do sistema linear abaixo, usando os métodos iterativos de Jacobi e Seidel. 10x + y + z = 12 x + 10y + z = 12 x + y + 10z = 12 8) Deseja-se resolver o sistema linear abaixo por um método iterativo. Escreva as expressões para o processo iterativo determinando o maior valor inteiro de k de maneira que fique garantida a convergência do método escolhido. Faça uma iteração do método utilizando o valor de k encontrado. 3x y z = 3 kx 5y z = 2 2x 2y 3z = 1 9) Faça o gráfico do sistema linear: 2x + y = 2 x + 2y = 2 e resolva-o pelos métodos de Gauss-Jacobi e de Gauss-Seidel com tolerancia ɛ = 0.04. Marque as iterações no gráfico. Compare os métodos. 10) Dar exemplo de um sistema de equações 2x2 que não seja diagonal dominante mas convergente, usando o método de Gauss-Seidel.

8 11) Dado o sistema: x 3y + z = 5 2y + 5z = 9 2.1x + y + z = 3 Calcule pelo método de Gauss-Seidel uma primeira aproximação da solução x (1) partindo de x (0) = (0, 0, 0) e usando o sistema na forma em que possamos garantir sua convergência.

9 4. Interpolação 1) Dada a tabela da população de uma vila no início de cada ano, estimar a população em setembro de 1972, usando o polinômio de Lagrange de grau 2. ano 1970 1971 1972 1973 1974 população 6000 6200 6600 7200 8000 2) Dada a equação x - 2 x = 0, calcule uma aproximação para a raiz da equação usando interpolação sabendo que: 2 1 = 0.5; 2 0.75 = 0.595; 2 0.5 = 0.707. 3) Dada a função f(x) = 1/(x + 1), calcule uma aproximação para f(0.8), utilizando o polinômio de Lagrange sabendo que: f(0) = 1.0; f(0.5) = 0.6667; f(1.0) = 0.5. 4) Seja f(x) = 7 x, sabendo que f(0) = 1.0; f(0.5) = 2.656; f(0.25) = 1.627 calcule f(0.40) usando interpolação. Determine uma cota superior do erro. Lembre-se que: 7 x = exp x ln 7, pois ln 7 x = x ln 7. 5) Seja a função f(x) = (x + 1) 1, calcule uma aproximação para f(0.8), utilizando o polinômio de Newton sabendo que: f(0) = 1; f(0,5) = 0,6667; f(1) = 0,5. Dar um limitante superior para o erro. 6) Dada a tabela abaixo, calcule uma aproximação para a raiz da equação f(x) = 2, usando interpolação quadrática. Faça uma estimativa do erro, se possível. x 0.0 1.2 2.3 3.1 3.9 f(x) 0.0 1.5 5.3 9.5 10.0

10 7) Dada a tabela: x 0.0 0.5 1.5 2.0 2.5 3.5 f(x) -2.780-2.241-1.650-0.594 1.340 4.564 a) construa a tabela das diferenças divididas; b) calcule o valor de f(1.7), da melhor maneira possível, de forma que seja possível estimar o erro cometido; c) justifique o grau do polinômio escolhido em b). 8) Com que precisão podemos calcular 115, usando interpolação de Lagrange, conhecidos os pontos x = 100,x = 121, x = 144? 9) Ajuste com splines cúbicos, os dados abaixo. Estime o valor para x = 5.0. x 3.0 4.5 7.0 9.0 f(x) 2.5 1.0 2.5 0.5 10) Determinar o spline cúbico interpolante para os pontos da tabela: x 27.7 28.0 29.0 30.0 f(x) 4.1 4.3 4.1 3.0

11 5. Ajuste de Curvas por Mínimos Quadrados 1) Ajuste pelos Mínimos Quadrados uma reta aos dados abaixo. Estime o valor para x = 55 e x = 60. x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y 18 25 31 34 37 38 41 44 46 49 2) Dada a tabela: x 1.0 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 y 1.0 1.01 1.02 1.04 1.05 1.06 1.065 1.08 calcular f(1,22) usando regressão linear. 3) Dada a tabela: x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 f(x) 0.98-3.01-6.99-11.01-15.00 calcular f(10,0) usando regressão linear. 4) A tabela abaixo representa o consumo de um novo produto em determinada cidade, durante o ano de 1976. Admitindo-se que o aumento do consumo é exponencial, estime o consumo para agosto, usando o Método dos Mínimos Quadrados. (consumo : = a e bt ) mês jan fev mar abr mai jun cons. 42 67 112 181 314 544 5) A tabela abaixo representa a intensidade de uma fonte radioativa. Determinar a intensidade de radiação para t = 1.2 usando ajuste exponencial. t 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 l 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56

12 6. Integração Numérica 3 x 1) Considere a integral dx = 1.5761. 1 (x + 0.5) Verifique os resultados obtidos pelas regras de Simpson e do Trapézios, com h = 0.25. y dx 2) Dado que ln (1+ y) = para y > -1, podemos calcular 0 (1 + x) o logarítmo de qualquer número positivo por integração. a) Calcule ln 4 usando a regra dos Trapézios com h = 0.25; b) Calcule ln 4 usando a regra de Simpson com h = 0.5; c) Calcule um limitante superior para os erros em a) e b). 3) Deseja-se integrar uma função f(x) em um intervalo [a, b], derivável até a quarta ordem neste intervalo. Responda: a) Teoricamente qual o melhor método numérico a ser usado? Justifique. b) Confirme sua resposta calculando o número de subintervalos que devemos considerar para obter uma aproximação desta integral com erro menor que 10 4 supondo a = 1 e b = 4 e que suas derivadas são menores que 20, usando a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson. 4) Calcule uma aproximação para 2 Trapézios { com erro menor que 0.9, sendo: x 2 se 0 x < 1 f(x) = (x 1) 3 se 1 x 2 0 f(x)dx usando a regra dos 5) Calcular usando Quadratura Gaussiana com dois pontos o valor da integral: 2 2 e ( x2 )/2 dx Resp: I G = 2.05367

13 6) Dada a integral: I = 1 0 e x2 dx a) Estime I pela regra de Simpson com h = 0.25; b) Estime I por Quadratura Gaussiana com 2 pontos; c) Compare os resultados de a) e b) sabendo que o valor de I com 5 casas decimais é 0.74682; d) Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos Trapézios obtivesse a mesma precisão de I em b)?

14 7. Resolução Numérica de EDO s 1) Dada a equação { y (x) = x 2 + y 2 y(0) = 1 calcule uma aproximação para y(0.1) com h = 0.05 pelo Método de Euler e pelo Método de Euler Aperfeiçoado. 2) { Dado o problema do valor inicial: y (x) = (x 2 + 2y)/x y(1) = 2 determine uma aproximação para y(1.3),com h = 0.3 usando o Método de Euler e o Método de Runge-Kutta de 4 a ordem. 3) { Dado o PVI: y (x) = x 2 y y y(0) = 1 Calcule uma aproximação para y(0.5) com h = 0.25 usando o Método de Euler Aperfeiçoado. Qual a ordem do método e do erro? Justifique sua resposta. 4) { Dado o PVI: y (x) = y 2x/y y(0) = 1 Calcule uma aproximação para y(0,2) usando o método de Euler Aperfeiçoado com h = 01. 5) Calcule uma aproximação para y(1.5) do PVI abaixo, usando o Método { de Euler Aperfeiçoado com h = 0.5 : y (x) = 4 2x y(0) = 2 Qual o valor numérico do erro neste caso? Justifique. Trabalhe com 2 casas decimais.

15 6) Aplique o método de Runge-Kutta de 4 a ordem à equação y (x) = sen (xy) tal que: y(1) = 1 para calcular y(1.2) com h = 0,2. Qual a ordem do erro? Justifique sua resposta. 7) Calcule uma aproximação para y(0.2) e y (0.2),com h = 0.1, do PVI abaixo, usando o Método de Euler. y (x) = 3y 2y y(0) = 1 y (0) = 0 Qual a ordem do Método de Euler e do erro? Justifique. 8) Calcule uma aproximação para y(0.5) e y (0.5),com h = 0.5, do PVI abaixo, usando o Método de Euler Aperfeiçoado. y (x) = e x 2y 2 y(0) = 0 y (0) = 2 O Método de Euler Aperfeiçoado é um Método de Runge-Kutta? Justifique. 9) Construa um sistema de equações lineares para resolver as equações diferencial abaixo, dividindo os intervalos em 4 partes iguais: y (x) + xy 3y = 4.2x a) y(0) = 0 y(1) = 1.9 Compare a solução com y = x 3 + 0.9x. y (x) + 2xy y = 5x b) y(0) = 1 y (1) = 4 10) Construa um sistema de equações lineares numérico para resolver a equação diferencial abaixo, dividindo o intervalo [-1.0, 2.0] em 3 partes iguais: y (x) + 5y = 0.0 y ( 1.0) = 0.5 y(2.0) = 0.0