étodos uméricos MÉTODOS SEM MALHA MESHLESS Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARA ELÉTRCA UNVERSDADE DE JOÃO DEL-RE PRÓ-RETORA DE PESQUSA CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGCA DE MNAS GERAS DRETORA DE PESQUSA E PÓS-GRADUAÇÃO 2015
ntrodução Nas últimas duas décadas, o avanço da capacidade dos computadores e dos métodos computacionais resultaram em um impacto significativo na resolução de problemas de contorno. Entretanto, mesmo com esses avanços, ainda não se pode tratar eficazmente muitos problemas compleos importantes com métodos numéricos padrões. Por eemplo, em processos de otimização de formas, conjugados com o método de elementos finitos, onde é requerida a modificação da geometria e a geração eaustiva de malhas, são introduzidas várias dificuldades, como a necessidade de determinar a solução entre malhas diferentes, que podem conduzir a degradação da precisão, além de aumentar o custo computacional.
ntrodução Os métodos sem malha (meshless) não requerem qualquer uso eplícito de malhas como as utilizadas, por eemplo, no método de elementos finitos ou diferenças finitas. A construção do método de aproimação é realizada em um conjunto de nós que cobrem o domínio de interesse. É associado a cada nó desse conjunto um subdomínio fechado, chamado de domínio de influência do nó, que forma o apoio para construção da função de aproimação ao redor do nó. A única eigência para os subdomínios é que a união deles forme uma cobertura para o domínio computacional. Não há nenhuma coneão fia entre os nós. Os subdomínios são sobrepostos e podem ter formas bastante variadas. Estas características aliviam o usuário da tarefa de geração computacional da malha e de problemas quanto à qualidade da malha requerida. As funções são aproimadas por um processo discreto e são usadas para resolver problemas de valor de contorno.
Alguns Métodos sem Malhas A técnica sem malha, tem um histórico recente, a primeira técnica data de 1977. Entre os primeiros métodos sem malha propostos para resolver problemas de contorno destaca-se o Hidrodinâmica de Partículas Suavizado (Smoothed Particle Hydrodynamics SPH). Mais recentemente, a importância da técnica malha é refletida pelo grande número de novos métodos que foram propostos: Método de Elemento Difuso (Diffuse Element Method DEM), Método de Galerkin Sem Elemento (Element-Free Galerkin EFG), Método de Partículas com Núcleo Reproduzido usando Múltipla Escala e Wavelet (Wavelet and Multiple Scale Reproducing Kernel Method), Método de Partícula com Núcleo Reproduzido (Reproducing Kernel Particle Method RKPM), Método de Ponto Finito (Finite Point Method FPM) Método de Partição da Unidade (The Partition of Unity Method PUM).
Problema de contorno: Conceitos Fundamentais Os problemas de contorno surgem do modelamento matemático dos problemas físicos contínuos, regidos por equações diferencias (parciais ou ordinárias). A construção do modelo matemático que define o problema de contorno baseiase em dois passos: 1. Determina-se um modelo geométrico que represente a geometria original, estabelecendo o domínio do problema limitado por uma fronteira. 2. Em seguida, determina-se um conjunto de equações matemáticas válidas no domínio e na fronteira. Esse conjunto de equações matemáticas é formado pela equação diferencial que governa o problema no domínio e as condições de contorno impostas na fronteira.
Conceitos Fundamentais Formulação clássica (Eletrostática 2D) Dados 1, 2 e e as condições de contorno, determine V que satisfaça: 1 - a equação diferencial em todos os pontos ordinários do domínio: y u m1 1 n 2 n 1 m2 2 g k V k y y V y k 1, 2, k 2 - Condições de contorno: V V 0 (, y) u 3 - Condições de continuidade: V n D 0 V n (, y) 0 g
Discretização sem Malha Um ponto comum de todos os métodos é a discretização do domínio de estudo por subdomínios associados a uma nuvem de pontos. Entretanto, as principais diferenças entre os métodos ocorrem na forma como as funções de aproimação são construídas.
Discretização 1 - Com o uso de malha: Discretização sem Malha A forma e o tamanho dos elementos são arbitrários, sendo então fleíveis e podendo se ajustar a diferentes formas de contorno. Para que a malha de elementos finitos seja válida, não deve haver intervalos nem sobreposições entre os elementos. As funções de aproimação são definidas para cada nó da malha e são diferentes de zero apenas nos elementos que contêm aquele nó. A ordem dessas funções depende do tipo (ordem) dos elementos que estão sendo utilizados. Aplicando o método de Galerkin resulta em um sistema matricial definido positivo, esparso e simétrico, porque as funções de forma são nulas na maior parte do domínio, fazendo com que a maior parte dos elementos da matriz se anulem.
Discretização sem Malha 2 - Sem malha: O método sem malha caracteriza-se somente por uma distribuição de nós em todo domínio, pela descrição das fronteiras e pelas interfaces entre os meios. Assim, como no método de elementos finitos, para determinação da solução aproimada, é introduzida uma função associada a cada nó. Essa função é construída a partir de uma função chamada de função peso ou função janela, simbolizada por W(). A função janela também diferente de zero somente em uma parcela do domínio em torno do nó, isto é, é uma função com suporte compacto. A ordem da função de aproimação não depende do subdomínio. As diferentes formulações para os métodos sem malha são caracterizadas principalmente pela maneira como a função janela é introduzida.
Discretização sem Malha Forma fraca Considere o problema de contorno genérico: g U y U b y em n m1 m 2 U U p U g n em em u g u U n 0 em Para alguns problemas práticos, a solução analítica no domínio de estudo é difícil ou mesmo impossível, em particular, problemas com descontinuidade das características físicas e problemas bidimensionais e tridimensionais. Por isto, formula-se o problema de forma a admitir condições mais fracas para a solução e suas derivadas. Assim, o problema passa a ser descrito por uma única equação que envolve a equação diferencial, as condições de contorno e interface. Essa nova equação, contém todas as características da solução e de dados descontínuos estão representadas.
Discretização sem Malha Aplicando o método dos resíduos ponderados, qualquer equação diferencial é transformada em uma equação integral que irá depender da escolha das funções de ponderação adotadas. Assim: 0 T T T d b d y U y U T F T, B U d y U y U U T T T, B d bt T F
Discretização sem Malha Método de Galerkin Passa do domínio contínuo para o discreto: N h U U 1 onde são funções de forma e U são coeficientes a serem determinados Assim a forma fraca pode ser reescrita como: d y y, J J J J B K J J d b F F U K N N N N 1 1 1 1 K N b b 1 F N T U U U,..., 2 1, U
Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS) Função de suporte compacto W W ( ( ) W ( ) 0 ) 0 se se 0 d d 1 1 1, 2,..., N Define-se como suporte de uma função a região do seu domínio onde a função é diferente de zero. onde d é o tamanho do suporte ou raio do suporte. W( ) 0.7 0.6 0.5 Translação da Função Janela W 1 W( ) 0.7 0.6 0.5 Dilatação da Função Janela 0.4 0.3 0.2 W 2 0.4 0.3 0.2 d 0.1 0.1 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5
Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS) Depois de muitas manipulações: A ( ˆ ) a( ˆ ) B ( ˆ ) U 1 1 1 2 A( ˆ ) W1( ˆ ) 2 W2( ˆ ) 2... W 1 1 2 2 1 ( ˆ ) NP NP 2 NP NP B( ˆ ) W 1 1 ( ˆ ) 1, W 2 1 ( ˆ ) 2,..., W NP 1 ( ˆ ) NP 1 ( ) P( ) A ( ) B ( )
Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS) 1 ( ) P( ) A ( ) B ( )
Método dos Mínimos Quadrados Móveis (MLS) Domínios de influencia Problema: Área sem cobertura.
Aspectos de mplementação 1 - mposição das condições de contorno 2 ntegração numérica Domínio de Estudo Pontos de ntegração Célula de ntegração Nó
Métodos sem Malha Resumindo: Métodos sem malha 1. Necessita somente de uma distribuição de nós, da descrição das fronteiras e interfaces entre os meios materiais distintos; 2. Os subdomínios são construídos a partir da função janela e estão associados a cada nó; 3. Os subdomínios são sobrepostos; 4. Não deve haver espaços vazios; 5. O número de nós em cada subdomínio ou domínio de influência depende do tamanho do suporte compacto da função também chamado de raio do suporte; 6. A equação matricial obtida pela aplicação do método de Galerkin é esparsa; 7. A união de todos os subdomínios ou domínios de influência forma uma cobertura. 8. As funções de aproimação são associadas a cada nó. Médos com malha - FEM 1. O domínio é discretizado em uma malha de elementos finitos; 2. Os subdomínios são representados por cada elemento; 3. Os elementos são conectados pelos vértices e não há sobreposição dos elementos; 4. Não deve haver espaços vazios; 5. O número de nós em cada elemento é determinado pelo tipo de elemento; 6. A equação matricial obtida pela aplicação do método de Galerkin é esparsa; 7. As funções de aproimação são associadas a cada nó e são diferentes de zero nos elementos que contêm aquele nó.
Resultados 1 PROBLEMA ELETROSTÁTCO UNDMENSONAL BARRA CARREGADA: 0 1 X (m) 2500 C /m r 3,6 V=10 V em =0 V=10V em =1 2 V 0 1 Solução analítica: V( ) 10 0,5 2 erro ma V eata V V eata Solução numérica: h P T 1, c 1,5
Resultados Solução Eata X Solução MLS V() 100 90 80 70 60 50 40 21 nós o o 11 nós * * 6 nós Solução Eata 30 20 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Número de nós Erro máimo (%) MLS 6 0,7605 11 0,3021 21 0,1176
Resultados 2- CAPACTOR DE PLACAS PLANAS: COMPARAÇÃO COM SOLUÇÃO ANALÍTCA V 1 V 2 1 r1 4 r d 2 Meio 2 y V, y V, y y y 0 d 1 Meio 1 nterface 0,5 cm 0,5 cm e 0,5 cm y 0 Condições de contorno: V 0 V, y 1, y 0 V, para y 0, V, para y 0,5 cm, Solução analítica: 1E1 d 1 2E2d2 V Condições de interface V, y 0, em y 0, 25. n
Resultados Solução numérica: Y(cm) 0-0.05 Distribuição de nós 135 nós -0.1-0.15 Nó y 0,09 cm 0,455cm -0.2-0.25-0.3-0.35-0.4-0.45-0.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X(cm)
Resultados 0 Y(cm) -0.05-0.1 Linhas Equipotenciais 0.93222 0.93222-0.15-0.2 0.8721 0.8721 0.8721-0.25 0.81198 0.81198 0.75186 0.75186-0.3 0.69174 0.63163 0.63163 0.69174 0.63163 0.57151 0.57151-0.35 0.51139 0.45127 0.51139 0.45127 0.39115 0.39115-0.4 0.33103 0.27092 0.33103 0.27092 0.33103-0.45 0.2108 0.15068 0.2108 0.15068 0.2108 0.090561 0.090561-0.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 X(cm) Linhas equipotenciais 0 Y(cm) Vetores Campo Elétrico ntensidade do campo elétrico -0.1-0.2-0.3-0.4-0.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Vetores de campo elétrico X(cm)
Resultados 3- CLNDRO NFNTO NA ATNGDO POR UMA ONDA PLANA (ESPLAMENTO) 7 10-3 6 Analítico MoM 5 4 3 2 1.2 1 0 50 100 150 200 250 300 350 400 1 Distribuição de corrente 72 funções de forma 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 10 20 30 40 50 60 funções de forma
Referencias Bibliográficas SMONE APARECDA VANA, ESTUDO DOS MÉTODOS SEM MALHA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ELETROMAGNETCOS, DSSERTAÇÃO DE MESTRADO, 1998, UFMG.