"Métodos sem malha em Eletromagnetismo"

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1 UNVERSDADE FEDERAL DE MNAS GERAS ESCOLA DE ENGENHARA DEPARTAMENTO DE ENGENHARA ELÉTRCA PROJETO NTEGRADO DE PESQUSA - Cq "Métodos sem malha em Eletromagnetismo" Prof. Renato Cardoso Mesquita Prof. Adjunto V, Dr. Março de 2000

2 1. ntrodução 1.1. Antecedentes O GOPAC (Grupo de Pesquisa em Otimização e Projeto Assistido por Computador) da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) tem atuado ativamente na área de Projeto Assistido por Computador aplicado ao cálculo de campos eletromagnéticos, o que pode ser comprovado por nossas publicações na área (Mesquita e outros, , Magalhães e outros, , Silva e outros ( ), etc.), além dos trabalhos de dissertação de mestrado e teses de doutorado que vêm sendo desenvolvidos. Trabalhamos especialmente com os métodos de Elementos Finitos (MEF) e de Equações ntegrais de Fronteira (EF) aplicados à solução de problemas eletromagnéticos em várias faixas de freqüências. Nos últimos anos, temos atacado, além dos assuntos associados às formulações dos problemas eletromagnéticos e sua implementação computacional, aspectos críticos da implementação destes sistemas em três dimensões, como: 1. A descrição geométrica dos equipamentos, onde desenvolvemos novas metodologias para o modelamento de sólidos (Magalhães e outros, 1996, 1998(a), 1998(b), 1999(a), 1999(b), 1999(c), 2000) usando estruturas híbridas CSG/B-rep que nos permitiram trabalhar com sólidos de variedade múltipla, muito encontrados em Eletromagnetismo, além da parametrização das mesmas geometrias, com vistas à sua posterior otimização (Mesquita e outros, 1997 e 1998; Mendonça, 1998); 2. A geração automática e adaptativa de malhas de elementos finitos, onde foram desenvolvidas estratégias para a geração das malhas necessárias para o cálculo, com níveis de refinamento compatíveis com faixas de erro pré-especificadas (Gonzalez e outros, 1994, 1995, 1996, 1997 e 1998; Souza e outros, 1996 e Oliveira e outros, 1995 e 1996). Nosso esforço de pesquisa foi financiado em parte pelo Cq, através dos seguintes projetos integrados de pesquisa: Uma nova formulação para o Cálculo de campos magnetostáticos tridimensionais utilizando elementos finitos, com vigência de março de 1992 a julho de Sistema de cálculo de campos eletromagnéticos tridimensionais: geração automática de malhas e programação orientada para objetos, com vigência de agosto de 1994 a julho de Sistemas de cálculo de campos eletromagnéticos tridimensionais: geração adaptativa de malhas e modelamento de sólidos, com vigência de agosto de 1996 a julho de Novas técnicas em modelamento de sólidos para Eletromagnetismo, com vigência de agosto de 1998 a julho de Motivação, estado da arte e objetivos Apesar dos avanços conseguidos em nosso grupo e em outros grupos do mundo nas áreas de modelamento de sólidos e de geração automática de malhas de elementos finitos em três dimensões, estas continuam a ser as partes mais complexas de um sistema de cálculo de campos eletromagnéticos por elementos finitos em três dimensões, por diversas razões: Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 1

3 Primeiramente, porque a geração da malha, se efetuada de forma realmente automática, sem o auxílio do usuário, é um processo que demanda um tempo de computação longo, em vários casos muitas vezes superior ao próprio tempo envolvido na solução do problema por elementos finitos (cálculo da matriz de contribuição dos elementos e sua solução). Em segundo lugar, porque existem problemas não totalmente resolvidos na geração de malhas de elementos finitos para problemas eletromagnéticos, como a dificuldade de se tratar os limites de precisão extremamente restritivos destes problemas. Alguns objetos do Eletromagnetismo são caracterizados por uma grande variabilidade de suas dimensões: um exemplo típico é o minúsculo entreferro de uma máquina elétrica de dimensões regulares. Um sistema desenvolvido para a Engenharia Mecânica, por exemplo, deve trabalhar com uma variação entre a máxima dimensão e a mínima na ordem de Já um sistema para o Eletromagnetismo deve trabalhar com variações na ordem de 10 7, que são muito mais restritivas (Colier et al., 1997). Finalmente, porque um dos principais objetivos do nosso grupo é desenvolver sistemas de cálculo de campos eletromagnéticos capazes de trabalhar associados a sistemas de otimização de forma, isto é, sistemas onde a geometria do problema possa ser parametrizada e variada: alterações nela são feitas como resultado de processos iterativos de otimização, que levam ao projeto ótimo do dispositivo sob análise. Em sistemas deste tipo baseados no método de elementos finitos, a cada nova geometria uma nova malha deve ser gerada, o que torna a geração automática de malhas um dos aspectos mais críticos do sistema, sobretudo pelos tempos computacionais envolvidos e pelo fato de que a necessidade de determinar a solução entre malhas diferentes pode conduzir à degradação da precisão. Estes fatos têm levado à busca de alternativas ao uso do método de elementos finitos quando se trabalha com problemas tridimensionais do Eletromagnetismo. Uma das alternativas mais promissoras é a utilização dos métodos sem malhas (meshless methods), recentemente desenvolvidos. Estes métodos dispensam o uso de uma malha de elementos, necessitando apenas de uma distribuição (nuvem) de pontos sobre o domínio: por este motivo, são também chamados de métodos das nuvens (cloud methods) por alguns autores. Nos métodos sem malhas, a construção da aproximação para a solução é realizada em um conjunto de nós que cobrem o domínio de interesse. É associado a cada nó desse conjunto um subdomínio fechado, chamado de domínio de influência do nó, que forma o apoio para construção da função de aproximação ao redor do nó. A única exigência para os subdomínios é que a união deles forme uma cobertura para o domínio computacional. Não há nenhuma conexão fixa entre os nós. Os subdomínios são sobrepostos e podem ter formas bastante variadas. Estas características aliviam o usuário da tarefa de geração computacional da malha e de problemas quanto à qualidade da malha requerida. As funções são aproximadas por um processo discreto e são usadas para resolver problemas de valor de contorno empregando o método de Galerkin. A técnica tem histórico recente, sendo que os primeiros trabalhos datam de Entre os primeiros métodos sem malha propostos para resolver problemas de contorno destaca-se o Método da Hidrodinâmica de Partículas Suavizado (Smoothed Particle Hydrodynamics SPH) (Monaghan, 1982). Mais recentemente, um grande número de novos métodos sem malha foram propostos, como o Método de Elemento Difuso (Diffuse Element Method DEM) (Nayroles, 1992), Método de Galerkin Sem Elemento (Element-Free Galerkin EFG) (Belytscko, 1994), Método de Partículas com Núcleo Reproduzido usando Múltipla Escala e Wavelet (Wavelet and Multiple Scale Reproducing Kernel Method) (Liu, 1995d), Método de Partícula com Núcleo Reproduzido (Reproducing Kernel Particle Method RKPM) (Liu, 1995a), Método de Ponto Finito (Finite Point Method FPM) (Onate, 1995) e o Método de Partição da Unidade (The Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 2

4 Partition of Unity Method - PUM) (Babuska, 1996). Revisões sobre esses métodos podem ser encontradas em Belytschko (1996) e Duarte (1995). O método de SPH é um dos métodos sem malha mais flexíveis, além de ter implementação simples (Duarte, 1995). Usa uma distribuição de nós para construir, na forma discreta, as equações que governam o problema, não requerendo nenhum tipo de quadratura para efetuar a integração numérica. O preço da simplicidade e flexibilidade do método é uma precisão ruim. Para se obter uma precisão razoável em aplicações práticas é necessário um elevado número de nós, o que implica em um aumento do custo computacional. O interesse nesse método cresceu consideravelmente nos últimos anos e meios para melhorar sua precisão e estabilidade também foram propostos. O RKPM é desenvolvido com base no método de Núcleo Reproduzido na forma discreta, construído a partir dos conceitos da análise de Fourier e da análise de wavelet. Os métodos SPH e RKPM apresentam algumas similaridades. A principal diferença entre eles está na introdução de uma função de correção no método RKPM que garante a condição de reprodução do núcleo e o torna mais preciso e eficiente do que o SPH (Liu, 1995a), (Liu, 1995c). Os métodos EFG e DEM usam o Método de Mínimos Quadrados Móveis (Moving Least Square - MLS) (Lancaster, 1981) como meio de discretização do espaço e construção das funções de forma. Estas funções são usadas como base para construir um subespaço de dimensão finita (espaço de aproximação) e o método de Galerkin é empregado para determinar a solução aproximada neste espaço. O EFG e o DEM têm duas diferenças principais: o EFG inclui termos na derivada da função de forma que são omitidos no DEM e emprega os Multiplicadores de Lagrange para impor as condições de contorno essenciais. Estas melhorias fazem o EFG mais preciso que o DEM (Belytschko, 1994). Estes métodos são aplicáveis a domínios arbitrários e pode-se mostrar que o EFG é muito preciso e alcança elevadas taxas de convergência (Belystchko, 1994), (Lu, 1994). O desempenho do método, aparentemente, só é afetado pela utilização de nós distribuídos de forma muito irregular (Duarte, 1996). A principal desvantagem dos métodos é a complexidade envolvida na construção das funções de forma pelo método MLS, que requer a solução de pequenos sistemas de equações para todo nó onde a função é avaliada. Verifica-se, ainda, que devido a sobreposição das funções de forma, a matriz global resultante não é similar à obtida nos métodos de Elementos Finitos (FEM). Liu e Belytschko demonstraram recentemente que o método de MLS é, na maioria dos casos, idêntico ao método de aproximação usado no RKPM. sso levou ao desenvolvimento do Método de Mínimos Quadrados Móveis com Núcleo Reproduzido (Moving Least Square Reproducing Kernel Method - MLSRKM) (Liu, 1995b). Motivada pela eficiência dos métodos sem malha aplicados à resolução de problemas de contorno em Engenharia Mecânica, a comunidade internacional de Eletromagnetismo Computacional começou a utiliza-los na solução de problemas eletromagnéticos (Maréchal, 1996), (Cingoski, 1998), (Viana e Mesquita, 1998(a), 1998(b) e 1999). Cada grupo de pesquisa utilizou métodos diferentes para a aproximação: Maréchal utilizou o Método de Elementos Difusos (DEM), Cingoski utilizou o Método de Galerkin sem malha (EFG), enquanto, em nosso grupo, utilizamos o Método de Mínimos Quadrados Móveis com Núcleo Reproduzido (MLSRKM) para determinar a solução de problemas de contorno eletrostáticos e magnetostáticos em duas dimensões. Os bons resultados obtidos com a aplicação da técnica em duas dimensões nos levam a acreditar que teremos sucesso em extendê-la para três dimensões, o que resultaria em um sistema de cálculo eletromagnético totalmente independente da geração de uma malha de elementos finitos 3D, o que consideramos ser um grande avanço para a área. Estes são os motivos que nos levam a definir os objetivos a seguir para o projeto: Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 3

5 Objetivo central: Desenvolver um sistema de cálculo de campos eletromagnéticos em três dimensões que utilize métodos sem malha para efetuar a aproximação da solução. O sistema a ser desenvolvido deve ser capaz de resolver os problemas estáticos do Eletromagnetismo (Eletrostática e Magnetostática). Diversos objetivos complementares estão associados ao projeto, como o desenvolvimento de novas técnicas para o cálculo de campos eletromagnéticos em três dimensões, a descoberta de maneiras eficientes de se gerar a nuvem de pontos em três dimensões, o estudo de problemas específicos do método sem malhas no eletromagnetismo, como o tratamento de fronteiras internas, a imposição de condições de contorno, a associação do método a modeladores de sólidos, etc. A relevância deste desenvolvimento deve ser analisada abordando-se, inicialmente, a inserção deste projeto em um desenvolvimento contínuo de técnicas de projeto assistido por computador de dispositivos eletromagnéticos em nosso grupo de pesquisa, como explicitado nos antecedentes deste projeto. Outro fato a ser ressaltado é o caráter inédito da pesquisa em nível mundial, uma vez que a aplicação de métodos sem malhas em Eletromagnetismo só foi feita, até o momento, em problemas 2D. Deve-se também ressaltar a importância de se atingir a construção de sistemas de projeto otimizado de dispositivos eletromagnéticos que sejam independentes da geração de uma malha de elementos finitos. Este objetivo fica mais próximo de ser alcançado se este projeto tiver sucesso. Além disto, deve-se notar que as técnicas a serem desenvolvidas para os problemas estáticos em 3 dimensões neste projeto poderão, posteriormente, ser extendidas para a solução de problemas mais complexos como os quaseestáticos e os de propagação de ondas, por exemplo. 2. Descrição do Processo a ser utilizado e Metodologia Para alcançar os objetivos explicitados na seção anterior, vai ser desenvolvido um sistema de cálculo de campos eletromagnéticos tridimensional utilizando o método de Mínimos Quadrados Móveis com Núcleo. Para entender como este sistema pode ser implementado, é necessário que se faça uma breve apresentação dos métodos sem malha, o que é feito na próxima subseção. Na subseção seguinte, aspectos específicos de implementação são detalhados e, finalmente, um plano de trabalho que leve à geração do produto de software, objetivo central deste trabalho, é apresentado Apresentação dos Métodos sem Malha Nos métodos sem malha, parte-se da forma fraca para o problema eletromagnético 3-D, que pode ser obtida facilmente a partir da forma forte, como explicitado em Mesquita (1990). De uma maneira geral, esta forma fraca pode ser escrita como: Encontre U S tal que :,T FT T U( ) B U (1) onde U é um potencial eletromagnético a ser determinado, S é o espaço das funções admissíveis, T é uma função de teste pertencente ao espaço das funções de teste U(), B(U,T) é uma forma bilinear simétrica, cuja expressão é dependente do problema eletromagnético Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 4

6 específico que se está solucionando e F é um funcional linear, também dependente do problema a ser resolvido. Esta forma bilinear pode ser discretizada utilizando o método de Galerkin que simplesmente substitui os espaços das funções admissíveis e de teste por seus subespaços de dimensão finita S h () e U h (), usando as mesmas funções de base ( ) em ambos espaços. Ao final do processo de discretização chega-se à forma matricial: onde K U F (2) e J B, J K, (3) F J = F( J ) (4) Esta é a mesma expressão da forma fraca discretizada que se utiliza para a resolução dos problemas eletromagnéticos 3-D utilizando o método de elementos finitos (Mesquita, 1990). Por exemplo, no caso dos problemas eletrostáticos 3-D, tem-se: N J 1 T J d VJ d 1,... N (5) No método de elementos finitos são escolhidas como funções de base,, funções associadas aos nós da malha de elementos finitos. Estas funções são diferentes de zero apenas nos elementos que contêm aquele nó. Além disto, são iguais a 1 (um) nos nós em que são definidas e zero nos demais nós. O sistema matricial resultante é esparso, porque as funções de forma são nulas na maior parte do domínio, fazendo com que a maior parte dos elementos K J da matriz K se anule. Os métodos sem malha caracterizam-se somente por uma distribuição de nós em todo domínio. Assim, considera-se o domínio de estudo descrito por um conjunto de nós de coordenadas espaciais x, = 1,2,..., N, onde N é o número total de nós distribuídos no domínio. A Figura 1 mostra uma possível distribuição de nós para um domínio bidimensional. Figura 1- Distribuição de nós para um método sem malha. Como no método de elementos finitos, para determinação da solução aproximada, é introduzida uma função de forma associada a cada nó. Essa função é construída a partir de uma Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 5

7 função denominada função janela, simbolizada por W (x), onde é o nó ao qual a função está associada. Esta ainda não é a função de forma, mas será utilizada para construí-la. A função janela também é diferente de zero somente em uma parcela do domínio em torno do nó, isto é, ela é uma função com suporte compacto. As diferentes formulações para os métodos sem malha são caracterizadas principalmente pela maneira como as funções associadas a cada nó ( ) são geradas a partir das funções janela. Várias funções diferentes podem ser utilizadas como função janela, por exemplo: Função gaussiana 2 R a W ( ) e, para R 1 R, (6) 0, para R 1 Spline cúbica R 4R, para R W ( R) 4R 4R - R, para R , (7) 0, para R 1 Spline quádrica 1-6R 8R -3R, R W ( R), (8) 0, R 1 onde R é a distância normalizada de um ponto x qualquer (coordenadas x, y, z) ao nó x onde a função janela está sendo definida (coordenadas x, y, z ), isto é: x x R (9) d O parâmetro d é utilizado para controlar o tamanho do domínio de influência de cada função janela. Quanto maior o valor de d, maior será a região em que a função janela será diferente de zero. Os domínios de influência poderão ser circulares (2D), esféricos (3D), retangulares (2D) ou cúbicos (3D) dependendo da maneira que for utilizada para definir a norma x x. Nas figuras 2 e 3, são mostrados os domínios de influência para uma dada distribuição de nós, nos casos em que estes domínios são circulares e retangulares, respectivamente. Observa-se que os domínios são sobrepostos e que não há conexão entre os nós. Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 6

8 Figura 2 Domínios de nfluência Circulares. Figura 3 - Domínios de nfluência Retangulares As funções de interpolação, ou funções de forma,, são geradas (a partir das funções janela W ), utilizando o método dos mínimos quadrados móveis (MLS) ou o método de mínimos quadrados móveis com núcleo reproduzido (MLSRKM). A seguir, mostra-se como obter as funções a partir do MLS. O método MLSRKM é detalhado em Viana e Mesquita (1999). Seja U(x) uma função contínua no domínio. Assume-se que U(x) possa ser aproximada por U h (x) e que seus valores U(x ), para os pontos x, sejam dados. O índice h refere-se à discretização. O MLS admite que a função de aproximação global U h (x) possa ser obtida por uma projeção do espaço de funções contínuas C() sobre o espaço C k (), onde C k () representa o espaço de funções contínuas k vezes diferenciáveis. A função U h (x) é determinada U ( x, xˆ ) inicialmente por uma aproximação local h para cada ponto x ˆ. U ( x, xˆ ) A função de aproximação local h é definida por uma série polinomial finita do tipo onde h U m j j (10) j 1 T x, xˆ P xa xˆ P xaxˆ Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 7

9 posição xˆ ; xˆ é um ponto fixo arbitrário m é o número de termos da base polinomial; x a x ˆ, a x ˆ,..., am x ˆ ˆ 0 1 a são coeficientes a serem determinados e que dependem da x P ( x ), P ( x ),..., P ( )] T P [ 1 2 m x seguintes condições: P1 ( x ) 1 é uma base polinomial completa que deve satisfazer as (11a) k P j ( x ) C ( ), j 2... m k representa a ordem da base polinomial; P j ( x ) m j 1 é um conjunto de termos linearmente independentes x (11b) Admitindo que a base polinomial é conhecida, deve-se determinar os coeficientes a xˆ de ( x, xˆ ) U (x ) forma que seja uma boa aproximação para. ˆ Define-se o erro residual r( x, x ) U(x ) U ( x, xˆ ) entre e h U h h como r( x, xˆ ) U ( x, xˆ ) U( x ). (12) No método MLS define-se o seguinte funcional quadrático do erro: N N h 2 U ( x, xˆ ) 1 2 r W xˆ r x, xˆ W xˆ Ux 1 (13) Nesta equação, W é a função janela introduzida anteriormente. Como já visto, os domínios de influência das funções janelas são sobrepostos. Assim, para qualquer ponto xˆ deve existir 1, 2,..., onde é o número de domínios de influência que envolvem o ponto xˆ, tal que x ˆ Z 1 Z S(xˆ ). Pode-se então definir uma região formada pelos nós cujos domínios de influência envolvem xˆ, como mostrado na figura (4). Nesta figura o ponto xˆ é destacado por um quadrado e a área escura ao seu redor é uma representação da S(x ˆ ) região. Esta região define onde a aproximação local é válida. Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 8

10 Figura 4 - Destaque para região de aproximação local ˆ ) S(x. Considerando o que foi apresentado acima, pode-se definir o funcional (r ) em Assim, tem-se Π(r) 1 W x xˆ r x,x ˆ W x xˆ 2 h U(x ) U ( x, xˆ ) 1 2 ˆ ) S(x. (14) Substituindo a Eq. (10) em (14) obtém-se: T r W x xˆ Ux P x axˆ 1. (15) Os coeficientes a xˆ podem ser determinados pela minimização de (r) em relação aos a xˆ W x W x x. Fazendo ˆ ˆ U ( ) e U x tem-se coeficientes 2 Πr a( xˆ ) 1 W ( ˆ ) x U P a( xˆ ) T x a( xˆ ) 2 0. (16) Após desenvolvimento detalhado em Viana (1998c), obtém-se: 1 1 a( xˆ ) A ( xˆ ) B com A( xˆ ) 1 W ( xˆ ) P( x ( xˆ ) U ) P T. (17) ( x ), (18) Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 9

11 e B ˆ ˆ ( x ) W ( x ) P( x ), (19) Substituindo a Eq. (17) em (10), a aproximação local pode ser escrita como U h x xˆ Px 1 1, A ( xˆ ) B ( xˆ ) U. (20) Pode-se transladar a função janela por todo o domínio.assim, considerando que xˆ pode ser qualquer ponto do domínio, a aproximação global é obtida fazendo xˆ x na equação (20), isto é: U h x 1 P x A 1 ( x ) B ( x ) U. (21) As funções de forma podem ser definidas a partir desta equação como: 1 ( x ) P( x ) A ( x ) B ( x ). (22) Portanto, a função de aproximação global pode ser escrita em termos das funções de forma como: U h ( x ) 1 ( x ) U, x S(x ). (23) Tipicamente, o método MLS não resulta em uma interpolação: pode-se notar que as funções de forma definidas na Eq. (22) não satisfazem a condição de delta de Kronecker : ( x j ) h j U (x, isto é, ) U. sso se deve ao fato de que a função de aproximação para o ponto U não depende somente do parâmetro nodal associado a ele, mas também de todos U os 1,...,U associados aos domínios de influência que o envolvem. A função de forma (x) apresenta suporte compacto que é idêntico ao suporte da função W (x), e ainda, a continuidade da função de forma e suas derivadas dependem da continuidade da função janela e suas derivadas. As derivadas espaciais de (x) podem ser obtidas da seguinte forma ( x ), i P( x ) A ( x ) B ( x ) Px A ( x ) B ( x ) Px A ( x ) B ( x ), i, i, i, (24) Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 10

12 onde o subscrito,i denota a derivada espacial. E A ( x ) A ( x ) A ( x ) A ( ), i, i x. (25) A derivada espacial, é determinada em relação ao nó x. Assim, e T W ( x Px x A( x ), i ), i P 1 T B ( x ) W ( x P x, i ), i, (26). (27) Pode-se verificar que o cálculo das funções de forma e de suas derivadas é bem mais complexo que no caso do método de elementos finitos. No entanto, a facilidade oferecida pelo processo de discretização torna o método muito atraente, principalmente para problemas de geometria complexa ou variável (por exemplo, um problema de otimização parametrizado), onde gerar-se uma malha de elementos finitos não é tarefa trivial. Uma vez determinadas as funções de forma associadas a cada um dos nós, pode-se construir e solucionar o sistema matricial resultante da aplicação do método de Galerkin, determinando uma solução aproximada para o problema de contorno em questão. Para a determinação da solução aproximada através dos métodos sem malha discutidos nesta seção, é necessário considerar alguns aspectos quanto à sua implementação prática. Esses aspectos são apresentados na próxima seção Questões de mplementação associadas aos métodos sem malha Várias questões importantes precisam ser consideradas quando da implementação de um método sem malha. A seguir, listamos algumas delas: 1. Como visto na seção anterior, a aproximação pelo MLS faz com que a função de aproximação para o nó dependa de todos os parâmetros nodais, cujos domínios de influência envolvem o nó. sto complica a imposição das condições de contorno essenciais (Dirichlet) em relação ao método de Elementos Finitos, onde elas são impostas diretamente pelas funções de forma. Para impor as condições de contorno no método EFG (e em outros métodos sem malha) são necessárias técnicas especiais como Multiplicadores de Lagrange, Modificação Variacional e acoplamento com o Método de Elementos Finitos (Viana, 1998c). 2. A escolha do tamanho do suporte das funções janelas é um dos fatores que precisam ser bem estudados quando da implementação computacional dos métodos sem malha. Se o suporte é muito pequeno, pode-se não conseguir gerar as funções de forma, pois a matriz A pode não ter inversa (Viana, 1998c). Por outro lado, um suporte muito extenso aumenta o grau de acoplamento entre as incógnitas, gerando matrizes menos esparsas para o sistema. Estas questões precisam ser aprofundadas para a implementação do método em 3 dimensões. Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 11

13 3. Outra questão fundamental é que a maioria dos problemas eletromagnéticos envolvem interfaces entre meios diferentes que provocam descontinuidades em alguns componentes de campo na passagem de um meio para outro. sso implica que as derivadas das funções de forma necessitam ser descontínuas na interface. Como a continuidade das funções de forma depende da continuidade da função janela, é necessário introduzir essa descontinuidade na própria função janela. Uma das formas de introduzi-la é utilizar um critério de visibilidade, como proposto por Belytschko (1996). 4. Como não existe uma malha que possa auxiliar um processo de integração numérica das integrais geradas pela discretização da forma fraca, considera-se um arranjo de células envolvendo o domínio que auxilia na geração dos pontos de quadratura pelo método de Gauss. As células são independentes dos pontos usados na discretização do domínio e somente são considerados os pontos de quadratura que pertencem ao domínio de estudo. A densidade dos pontos de integração depende da densidade de nós do domínio. A solução destas questões (especialmente em 3D) é um dos desafios que cercam a implementação dos métodos sem malha no eletromagnetismo Plano de Trabalho e Cronograma Como apresentado na seção de introdução deste projeto, o objetivo central de nosso trabalho é desenvolver um sistema de cálculo de campos eletromagnéticos em três dimensões que utilize métodos sem malha para efetuar a aproximação da solução. O sistema a ser desenvolvido deve ser capaz de resolver os problemas estáticos do Eletromagnetismo (Eletrostática e Magnetostática). Para isto, partiremos de estudos já desenvolvidos no GOPAC que resultaram na implementação de um sistema de cálculo eletromagnético estático em 2D, utilizando o método sem malhas (Viana, 1998c; Viana & Mesquita, 1999). A experiência acumulada com este sistema nos permite vislumbrar as seguintes etapas para a implementação do sistema em 3 dimensões: 1 - Estudo de estratégias para atacar as dificuldades específicas de implementação dos métodos sem malha: Nesta estapa serão revistas as metodologias adotadas internacionalmente para a solução dos problemas de (a) mposição de Condições de Contorno; (b) Escolha do tamanho do suporte da função janela; (c) Descontinuidade de derivadas na interface entre regiões com diferentes materiais; (d) Processo de integração numérica. Basicamente, se fará a revisão da literatura mais recente sobre o assunto. 2 - Determinação das estratégias a serem seguidas no nosso caso (Eletromagnetimo): como o Eletromagnetismo tem características que o distinguem dos problemas nos quais o método sem malhas tem sido aplicado, é necessário que as estratégias do item anterior sejam adaptadas, ou mesmo que novas estratégias sejam propostas, o que será feito nesta etapa. 3 - Análise e Projeto do sistema, incluindo as estruturas de dados a serem utilizadas: para a implementação eficiente dos métodos sem malha, é necessário que sejam utilizadas estruturas de dados que auxiliem na execução de diversas tarefas, como, por exemplo, a determinação dos nós que se situam na vizinhança de um nó, nós vizinhos a um determinado ponto de integração, etc. Uma primeira análise, indica que uma estrutura do tipo Quadtree (2D) ou Octree (3D) seria bastante eficiente nesta busca. Porém, devem ser analisadas todas as possibilidades de implementação. Além disto, pretende-se fazer a implementação do sistema Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 12

14 utilizando a Programação Orientada a Objetos e, para isto, deve-se efetuar uma etapa anterior de Análise e Projeto Orientado a Objetos do Sistema. Pretende-se utilizar, para isto, a linguagem de modelagem UML e o programa Rational Rose (Quatrani, 1998). A linguagem de implementação deve ser a C mplementação do sistema: a implementação do sistema deverá ser feita por etapas (módulos) que ficarão exatamente definidos ao final da etapa 3 anterior. Uma análise preliminar, porém, indica a criação dos seguintes módulos: 4.1. Núcleo do sistema: neste módulo estarão concentradas as classes e métodos responsáveis pelas etapas centrais do cálculo utilizando o método sem malhas: estruturas de dados básicas para determinação de vizinhança entre pontos, cálculo das funções de forma, cálculo dos termos K J da matriz de contribuições e dos termos F do vetor independente, através de integração numérica, imposição de condições de contorno, imposição de descontinuidade na interface entre meios distintos, etc Manipulação de matrizes: neste módulo, as classes associadas aos sistemas matriciais serão desenvolvidas, assim como seus métodos: resolução do sistema, armazenamentos das contribuições na matriz do sistema, determinação do perfil da matriz (quais termos da matriz do sistema são diferentes de zero?), etc. Boa parte deste módulo será reaproveitada de trabalhos anteriores desenvolvidos em nosso grupo (Paula e outros, 1995 e 1996) 4.3. nterface: neste módulo estarão as classes responsáveis pela interface do sistema com o modelador desenvolvido no GOPAC (que será o responsável pela criação da geometria do problema a ser analisado), lendo o arquivo de dados gerado pelo modelador (Magalhães e outros, ). Também neste módulo estarão localizadas as classes responsáveis pela geração de arquivo com os resultados do cálculo Geração de nuvem de pontos: neste módulo estarão as classes que serão responsáveis pela geração da nuvem de pontos necessária para se efetuar o cálculo pelo método sem malha. Esta nuvem de pontos deverá ter sua densidade controlada, de modo a ser mais densa em regiões onde se espera uma maior precisão nos resultados. Além disto, para cada nó, deverá existir o controle do tamanho do subdomínio associado ao nó, isto é, cada nó deverá carregar consigo o seu valor de d (equação 9). Nesta etapa também deverão ser geradas as estruturas de dados necessárias para a implementação eficiente do método (octree?). 5 - ntegração e testes: cada uma das classes e cada um dos módulos desenvolvidos deverão ser exaustivamente testados. Além disto, testes de integração deverão ser realizados para a montagem do sistema como um todo. 6 - Documentação e geração de relatórios finais: O sistema deverá ser documentado utilizando padrões de documentação de código gerados internamente em nosso grupo. Artigos devem ser publicados em revistas internacionais, apresentando as principais contribuições e resultados obtidos. Relatório final deve ser gerado. Estas etapas serão desenvolvidas seguindo o cronograma a seguir: Etapas 1o trimes. 2o trimes. 3o trimes. 4o trimes. 1 xxxxx xxxxx xxxxx 2 xxxxx xxxxx xxxxx 3 xxxxx xxxxx xxxxx 5o trimes. 6o trimes. 7o trimes. 8o trimes. Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 13

15 4.1. xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 4.2. xxxxx xxxxx 4.3. xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 4.4. xxxxx xxxxx xxxxx 5. xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 6. xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 3. Equipe executora Prof. Renato Cardoso Mesquita, Dr. (UFSC), ), Grupo de Otimização e Projeto Assistido por Computador (GOPAC), Depto de Eng. Elétrica, UFMG, Coordenador da Pesquisa. Professores Elson José da Silva (GOPAC-UFMG), Jaime Arturo Ramirez (GOPAC-UFMG), João Antônio de Vasconcelos (GOPAC-UFMG) e Rodney Rezende Saldanha (GOPAC-UFMG). Alunos do curso de Mestrado e Doutorado em Engenharia Elétrica da UFMG (2) Alunos do curso de Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG (3) 4. Bolsas Dentro deste projeto está sendo solicitada 01 bolsa de pesquisa para o coordenador e 03 bolsas de niciação Científica. 5. Contrapartida da instituição: O GOPAC e o Departamento de Engenharia Elétrica da UFMG oferecerão como contrapartida toda sua equipe de professores/pesquisadores, equipe técnica e equipe administrativa. Também será oferecida sua infra-estrutura institucional. compreendendo laboratórios de computação (rede de estações de trabalho Sun, Linux, Win98 e NT, plotter, impressoras, unidades de fita, sistemas de disco, acesso à rede UFMG (fibra ótica), à R e à nternet), pacotes computacionais, gabinetes e instalações, bibliografia e documentação técnica e todos os recursos existentes que se fizerem necessários para o bom desempenho da pesquisa. 6. Referências Bibliográficas Babuska J. ;. Melenk M. (1996) The Partition of Unity Method. Technical Report TX 78712, TCAM, The University of Texas at Austin, Belytschko, T. and Gu, L. (1994) A New mplementation of Finite Element Free Galerkin Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 113: Belytschko, T. ; Liu Y.Y., Gu. L. (1994) Element Free-Galerkin. nternational for Numerical Methods in Fluids, vol. 37: Belytschko, T. ; Lu, Y. Y. and Gu, L. (1995) A coupled Finite Element Element Free Galerkin Method. Computational Mechanics, vol. 17: Belytschko, T.; Krongauz, T. Y. ; D. Organ, and M. Fleming. (1996) Meshless Methods: Overview and Recent Developments. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 139: Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 14

16 Cingoski, V.; Miyamoto, N. ; Kaneda, K. and Yamashita, H. (1998). Element-Free Galerkin Method for Electromagnetic Field Computations. EEE Transactions on Magnetics, vol. 34, n. 5, September Colier, B.; Simkin, J.; Trowbridge, C. W.; Barberis, U.; Picco, E.; Gutierrez, T.; Longo, A.; Greenough, C.; Thomas, D.; Alloto, P.; Molfino, P.; Molinari, G. (1997) Project MDAS: Magnet ntegrated Design and Analysis System, EEE Transactions on Magnetics, 33, no 2, March, Duarte, C. A. M. (1995) A review of Some Meshless Methods to Solve Partial Equations. Technical Report TCAM, The University of Texas at Austin. Duarte, C. A. M. (1996) The HP Cloud Method. Tese de Doutorado, The University of Texas at Austin. George, P.L. (1991) Automatic Mesh Generation: Application to finite element methods, John Wiley & Sons. Goez, J. and W. K. Liu. (1996) Admissible approximation for Essential Boundary Conditions in Reproducing Kernel Particle Method. Technical Report, Department of Mechanical Engineering, Nothwester University. Gonzalez, M.L.; Mesquita, R.C. (1994) Convergence properties of magnetostatic formulations, EEE Transactions on Magnetics, Vol. 30, n. 5, September, pp Gonzalez, M.L., Mesquita, R.C., Bastos, J.P.A. (1995) Comparação de taxas de convergência de elementos finitos nodais e de aresta, CBmag'95 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Florianópolis, de maio, pp: Gonzalez, M.L. y, Mesquita, R.C. (1996) A survey of Finite Element Mesh Generation Techniques in 3D, CBmag'96 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Ouro Preto, de Novembro de 1996, pp: Gonzalez, M.L. y; Mesquita, R.C.; Bastos, J.P.A.B. (1997) Comparison of Convergence Rates of Edge and Nodal Finite Elements for Magnetostatic Problems, Applied Computational Electromagnetics Society Journal, vol. 12, n 1, March, 1997, pp Lancaster, P. and Salkauskas, K. (1981) Surface generated by Moving Least Squares Methods. Mathematics of Computation, vol. 37(155), Liu, W. K. ; Jun, S. and Zhang, F. (1995 a) Reproducing Kernel Particle Method. nternational for Numerical Methods in Fluids, vol. 20: Liu, W.K.; S. Li, and T. Belytschko. (1995b) Moving Least Square Reproducing Methods Methodology and Convergence. Technical Report 95-3-XX, TCAM, The University of Texas at Austin, Liu, W. K. ; S. Jun, F. Zhang, J. Adee and T. Beytschko, (1995c) Reproducing Kernel Particle Method for Structural Dynamics. nternational for Numerical Methods in Fluids, vol. 38: Liu, W. K. and Y. Chen. (1995d ) Wavelet and Multiple Scale Reproducing Kernel Methods. nternational for Numerical Methods in Fluids, vol. 21: Liu, W. K. Y.Chen, R. A. Uras, and C. T. Chang. (1996) Generalized Multiple Scale Reproducing Kernel Particle Method, Technical Report. The University of Texas at Austin, Lu, Y.Y.; T. Belytschko and L.Gu. (1994) A new implemetation of the element free Galerkin method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 113: Magalhães, A.L.C.C., Mesquita, R.C. (1996) Solid Modeling Application in Electromagnetism, CBmag'96 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Ouro Preto, de Novembro de 1996, pp: Magalhães, A.L.C.C; Mesquita, R. C. (1997) Requirements for a Solid Modeler Coupled to Finite-Element Mesh Generator, 11th Conference on the computation of electromagnetic fields (COMPUMAG), Rio de Janeiro, Brasil, 2 a 6 de novembro de pp: Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 15

17 Magalhães, A.L.C. C.; Mesquita, R. C. (1998a) Requirements for a Solid Modeler Coupled to Finite-Element Mesh Generators, EEE Transactions on Magnetics, vol. 34, n. 5, September 1998, pp Magalhães, A.L.C.C., Mesquita, R.C. (1998b) "Tratamento de fronteiras internas em Modeladores de Sólidos voltados para aplicações em eletromagnetismo", CBmag'98 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, São Paulo, de Outubro de 1998, pp: Magalhães, A. L. C. C.; Shimizu, C. A. ; Mesquita, R. C. (1999a) Uma Estratégia para gerar malha de elementos finitos em sólidos definidos por varredura, CLAMCE Congresso bero Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia, São Paulo, 3-5 Novembro, 1999 Anais em CD-ROM, Artigo 183, 11 pgs. Magalhães, A. L. C. C. ; Nunes, C. S. R. ; Mol, C. L. L. ; Shimizu, C. A. ; Mesquita, R. C. (1999b) Um modelador de sólidos voltado para aplicações em Eletromagnetismo, CLAMCE Congresso bero Latino Americano de Métodos Computacionais em Engenharia, São Paulo, 3-5 Novembro, 1999 Anais em CD-ROM, Artigo 184, 20 pgs. Magalhães, A.L.C.C; Mesquita, R. C. (1999c) Exploring nner Boundaries in Solid Modelers Applied to Electromagnetic Problems, 12th Conference on the computation of electromagnetic fields (COMPUMAG), Sapporo, Japão, 24 a 28 de outubro de 1999, artigo PB5-5, pp: Magalhães, A.L.C.C.; Mesquita, R. C. (2000) Exploring nner Boundaries in Solid Modelers Applied to Electromagnetic Problems, aceito para publicação na revista EEE Transactions on Magnetics, vol. 36, Maréchal, Y. (1996) A Meshless Method for Electromagnetic Field Computation. Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Ouro Preto, M.G., p.p , Mendonça, T. P. P. (1998) Desenvolvimento de um Sistema Parametrizado de Projeto Assistido por Computador. Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG. Defesa em 31 de julho de Mesquita, R.C., Bastos, J.P.A. (1989) Cálculo de campos magnetostáticos não lineares tridimensionais utilizando elementos finitos; Anais do Simpósio Franco-Brasileiro sobre cálculo de campos elétricos e magnéticos, São Paulo, pp Mesquita, R.C., Bastos, J.P.A. (1990a) Solution of the TEAM Workshop Problem 5 using a personal computer. COMPEL - The nternational Journal for Computations and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, Vol 9, Supplement A, Mesquita, R.C. (1990b) Cálculo de campos eletromagnéticos tridimensionais utilizando elementos finitos: magnetostática, quase-estática e aquecimento indutivo, UFSC, Florianópolis. Mesquita, R.C. (1991) Alguns aspectos do cálculo de campos magnetostáticos tridimensionais utilizando elementos finitos, Simpósio Mineiro de Mecânica Computacional, Belo Horizonte pp Mesquita, R.C. (1992) Propriedades da formulação magnetostática 3-D utilizando o potencial vetor magnético e condição de calibre incompleta em problemas não lineares, Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo Aplicado, Belo Horizonte,pp Mesquita, R.C., Bastos, J.P.A. (1992) An incomplete gauge formulation for 3D nodal finite-element magnetostatics. EEE Transactions on Magnetics, Vol. 28, n. 2, March, pp Mesquita, R.C. (1993) Uma formulação para o problema magnetostático tridimensional acoplando o potencial vetor magnético aos potenciais escalares total e reduzido, Anais do XV Congresso Íbero Latino-Americano de Métodos Computacionais em Engenharia, São Paulo, SP, pp: Mesquita, R.C. (1994) Additional properties of the incomplete gauge formulation for 3-D nodal finite-element magnetostatics. EEE Transactions on Magnetics, Vol. 30, n. 5, September, pp Mesquita, R. C.; Souza, R. P.; Pinheiro, T.; Magalhães, A.L.C.C. (1997) An object-oriented platform for teaching finite element pre-processor programming and design techniques, 11th Conference on the computation of electromagnetic fields (COMPUMAG), Rio de Janeiro, Brasil, 2 a 6 de novembro de pp: Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 16

18 Mesquita, R. C.; Souza, R.P.; Pinheiro, T.; Magalhães, A.L.C. C. (1998) An Object-Oriented Platform for Teaching Finite Element Pre-Processor Programming and Design Techniques, EEE Transactions on Magnetics, vol. 34, n. 5, September 1998, pp Monaghan, J.J. (1982) Smooth Particle Hydrodynamics. Anual Review of Astronomy and Astrophysics. vol.30: Nayroles, B. G. Touzot, and P. Villon. (1992) Generalizing the Finite Element Method: Diffuse Approximation and Diffuse Element. Computational Mechanics, vol. 10: Oliveira, T.A.S. (1995) Geração Automática de Malha de Elementos Finitos Tridimensionais para Sólidos Convexos, Dissertação de mestrados, Defesa em 15 de dezembro de 1995 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG. Oliveira, T.A.S., Mesquita, R.C. (1996) Automatic finite element mesh generator for tridimensional convex geometries, CBmag'96 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Ouro Preto, de Novembro de 1996, pp: Oñate, E. ; O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, and C. Sacco. (1995) A Stabilized Finite Point Method for Analysis of Fluid Mechanics Problems. Technical Report, nternational Center for Numerical Methods in Engineering, Barcelona, Spain, July. Organ, D. M. Fleming, T. Terry and T. Belytschko. (1996) Continuous Meshless Approximation for Nonconvex Bodies by Diffraction and Transparency.. Technical Report. The University of Texas at Austin. Paula, F.M., Silva, E.J., Mesquita, R.C. (1995) Sistema de matrizes esparsas orientado por objetos em C++, CBmag'95 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Florianópolis, de maio de 1995, pp: Paula, F.M., Silva, E.J., Mesquita, R.C. (1996) C++ Object-Oriented Template Matrix Class Library, CBmag'96 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Ouro Preto, de Novembro de 1996, pp: Quatrani, T. Visual Modeling with Rational Rose and UML, Addison-Wesley, Rocha, L.F.N., Mesquita, R.C. (1995a) Uma estrutura de dados orientada por objetos para o pré-processamento de programas de cálculo de campos eletromagnéticos, CBmag'95 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Florianópolis, de maio, pp: Rocha, L.F.N., Mesquita, R.C. (1995b) Uma base de dados de formato neutro para intercomunicação entre programas de cálculo de campos eletromagnéticos: versão 1.1, CBmag'95 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Florianópolis, de maio, pp: Rocha, L.F.N.; Mesquita, R.C. (1996) An object-oriented data structure for a 3-D electromagnetic field program preprocessor, EEE Transactions on Magnetics,Vol. 32, n 3, May, 1996, pp Silva, E.J., Mesquita, R.C., Saldanha, R.R. (1993) Formulação para cálculo de campos magnetostáticos utilizando elementos de aresta, XV Cong. Íbero Lat-Amer. de Mét. Comp. em Eng., São Paulo, SP, pp: Silva, E.J.; Mesquita, R.C.; Saldanha, R.R.; Palmeira, P.F.M. (1994) An object-oriented finite element program for electromagnetic field computation, EEE Transactions on Magnetics, Vol. 30, n. 5, September, pp Silva, E.J., Mesquita, R.C. (1995) Magnetostática tridimensional utilizando o potencial vetor com variáveis nodais ou de arestas, CBmag'95 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Florianópolis, de maio, pp: Silva, E.J.; Mesquita, R.C. (1996) Data management in finite element analysis programs using object-oriented techniques, EEE Transactions on Magnetics,Vol. 32, n 3, May, 1996, pp Silva, E. J.; Mesquita, R.C., (1997) Three dimensional magnetostatics using the magnetic vector potential with nodal and edge finite elements, Applied Computational Electromagnetics Society Journal, vol. 12, n 1, March, 1997, pp Souza, R.P., Mesquita, R.C. (1996) An advancing front mesh generator built inside AutoCAD, CBmag'96 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Ouro Preto, de Novembro de 1996, pp: Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 17

19 Viana S. A. ; Mesquita, R.C. (1998a) Moving Least Square Reproducing Kernel Method for Electromagnetic Field Computation. The Eighth Biennial EEE Conference on Electromagnetic Field Computation, Tucson, Arizona, Junho de Viana, S.A. ; Mesquita, R.C. (1998b) Método de Galerkin sem malha aplicado ao cálculo de campos eletromagnéticos, CBmag'98 - Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, São Paulo, de Outubro de 1998, pp: Viana, S. A. (1998c) Estudo dos Métodos sem Malha na Resolução de Problemas Eletromagnéticos., Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG. Julho de Viana, S.A. ; Mesquita, R. C. (1999) Moving Least Square Reproducing Kernel Method for Electromagnetic Field Computation, EEE Transactions on Magnetics, vol. 35, n. 3, May 1999, pp Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita 18

20 Programa de atividades para os pesquisadores envolvidos no Projeto de Pesquisa 1- Pesquisadores diretamente envolvidos no projeto: Observação: Dos pesquisadores diretamente envolvidos no projeto, apenas o coordenador da equipe, Prof. Renato Cardoso Mesquita, está solicitando bolsa de pesquisa ao Cq. Prof. Renato Cardoso Mesquita, Dr. (UFSC), Grupo de Otimização e Projeto Assistido por Computador (GOPAC), Depto de Eng. Elétrica, UFMG, Coordenador do Projeto de Pesquisa Coordenador Técnico do Projeto de Pesquisa, desenvolvendo atividades de definição de metas imediatas, planejamento de tarefas, metodologia a ser empregada e coordenação de atividades. Orientação dos projetos de niciação Científica, Dissertações de Mestrado e Teses de Doutorado. Do ponto de vista técnico, terá participação ativa em todas as estapas de desenvolvimento do projeto, especialmente nos aspectos ligados à formulação dos problemas, análise e projeto orientado a objetos, especificação de padrões a serem seguidos pela equipe, etc. Demais professores do GOPAC envolvidos no projeto (Elson José da Silva, Jaime Arturo Ramirez, João Antônio de Vasconcelos e Rodney Rezende Saldanha) A participação se fará pela discussão dos temas associados ao projeto, auxílio na modelagem orientada a objetos e na implementação computacional. Alunos de Doutorado e Mestrado Seus assuntos de tese e dissertação serão em temas correlatos aos temas deste projeto. Alunos do curso de Graduação em Engenharia Elétrica da UFMG O plano de trabalho destes alunos é definido nos projetos de niciação Científica anexos. Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita

21 Projetos de niciação Científica Objetivos gerais: Os alunos de niciação Científica desenvolverão trabalhos que visam atender a tarefas específicas do Projeto ntegrado, auxiliando o seu desenvolvimento e trabalhando com uma equipe de pesquisadores mais experientes (professores, doutorandos, mestrandos). Estes projetos estão adaptados pedagogicamente, de modo a cumprir também o objetivo de aperfeiçoamento pessoal dos alunos envolvidos, sem comprometer as metas maiores do Projeto ntegrado de Pesquisa. Os seguintes subprojetos de niciação Científica foram definidos: Sub-Projeto 1: mplementação da interface entre o programa e o modelador de sólidos desenvolvido no GOPAC Programação de Atividades: Estudo dos métodos sem malha; Estudo dos métodos de modelamento de sólidos em 3D; Estudo de análise, projeto e programação orientados a objetos; Auxílio na implementação das classes e métodos que farão a interface entre o modelador de sólidos e o programa de cálculo eletromagnético sem malhas. Sub-Projeto 2: mplementação de rotinas auxiliares no núcleo do sistema Programação de Atividades Estudo dos métodos sem malha; Estudo de análise, projeto e programação orientados a objetos; Estudo de estruturas de dados e dos algoritmos utilizados para manipular estas estruturas; Auxílio na implementação das classes e métodos que constituirão o núcleo do sistema de cálculo utilizando o método sem malhas. Sub-projeto 3: Matrizes e geração de nuvem de pontos Programação de atividades Estudo dos métodos sem malha; Estudo de análise, projeto e programação orientados a objetos; Estudo de métodos para a resolução se sistemas matriciais de equações; Adaptação das classes matriciais já desenvolvidas no GOPAC para sua utilização pelos métodos sem malha. Auxílio na implementação dos métodos de geração da nuvem de pontos para os métodos sem malhas. Projeto de Pesquisa - Cq - Renato Cardoso Mesquita