INTEGRAL DEFINIDA APLICAÇÕES Aula 05 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Variação Total Em certas aplicações práticas, conhecemos a taxa de variação Q (x) de uma grandeza Q(x) e estamos interessados em calcular a variação total Q(b) Q(a) de Q(x) quando x varia de x = a até x = b. Fizemos isto anteriormente resolvendo problemas de valor inicial. Entretanto, como Q(x) é uma antiderivada de Q (x), o teorema fundamental do cálculo permite calcular a variação total usando a seguinte fórmula de integração definida:
Variação Total Se Q (x) é contínua no intervalo a x b, a variação total de Q(x) quando x varia de x = a até x = b é dada por Q b Q a = Q x dx a b
Exemplo 01) Em uma fábrica, o custo marginal é 3(q 4)² reais por unidade quando o nível de produção é q unidades. Qual é o aumento do custo de fabricação quando o nível de produção aumenta de 6 para 10 unidades? 10 C 10 C 6 = 3 q 4 2 dq 6
Captaram?
02) Uma amostra de proteína de massa m (em gramas) se decompõe em aminoácidos a uma taxa dada por dm dt = 30 g/h (t + 3)² Qual é a variação da massa da amostra de proteína durante as primeiras 2 horas?
ÁREA ENTRE CURVAS
Como vimos, uma área pode ser expressa como um tipo especial de limite de uma soma conhecida como integral definida e calculada com o auxílio do teorema fundamental do cálculo. Esse processo recebe o nome de integração definida, e foi apresentado a partir do cálculo das áreas porque as áreas são fáceis de visualizar, mas existem outros problemas práticos, que podem ser resolvidos com o auxílio da integração definida.
Aplicação da Integral definida A integração pode ser imaginada como o processo de acumular um número infinito de pequenos pedaços de uma grandeza para obter o valor total da grandeza. Vejamos o processo para usar integração definida em problemas práticos. Para acumular uma grandeza Q em um intervalo a x b através da integração definida, faça o seguinte: Step by step
Divida o intervalo a x b em n subintervalos iguais de largura x = b a. Escolha um número x n j no subintervalo para j = 1, 2,..., n. Aproxime a contribuição do intervalo j para o valor total da grandeza Q pelo produto f x j uma função apropriada que seja contínua no intervalo a x b. x, onde f(x) é Some todos os produtos para estimar o valor total da grandeza Q através da soma de Riemann [f x 1 + f x 2 + + fx n ) x Torne exata a aproximação do 3º passo calculando o limite da soma de Riemann quando n para expressar Q na forma de uma integral definida: Q = lim [f x 1 + f x 2 + + f x n x = f x dx x + a b Use o teorema fundamental do cálculo para calcular b a f x dx e assim obter o valor desejado de Q.
Área entre duas curvas Em certos problemas práticos, pode ser necessário representar a grandeza de interesse na forma de área entre duas curvas.
Inicialmente, vamos supor que f e g sejam funções contínuas, não-negativas [ou seja, f(x) 0 e g(x) 0] e satisfazem a desigualdade f(x) g(x) no intervalo a x b. 15 10 5 0-2,5-2 -1,5 a -1-0,5 0 0,5 1 b 1,5 2 2,5 g(x) f(x) Chamando a área de f(x) de R 1, a área de g(x) de R 2 e R a área entre as duas curvas, temos: R = R 1 R 2-5 -10
Nesse caso, para determinar a área da região R entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo a x b, simplesmente subtraímos a área sob a curva de baixo y = g(x) da área sob a curva de cima y = f(x). Área de R = área sob y = f x = f x g x dx a b área sob y = g x Essa expressão é válida se f(x) g(x) no intervalo a x b, mesmo que as curvas y = f(x) e y = g(x) não estejam acima do eixo dos x para todos os valores de x.
Área entre duas curvas Se f(x) e g(x) são funções contínuas, com f(x) g(x) no intervalo a x b, a área A entre as curvas y = f(x) e y = g(x) no intervalo é dada por: A = f x g x dx b a
Exemplo 01) Determine a área da região R limitada pelas curvas y = x³ e y = x². 10 1º passo 8 6 4 Obter os pontos de interseção 2 0-3 -2-1 0 1 2 3 4-2 x³=x² -4-6 -8
02) Determine a área da região limitada pela reta y = 4x e pela curva y = x³ + 3x² 25 20 15 1º passo 10 5 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3-5 -10-15 -20 4x = x³ + 3x²
Exercícios: 01) Determine a área da região sombreada em cada gráfico: 16 6 14 4 12 10 2 8 6 4 y = x(x²-4) 0-3 -2-1 0 1 2 3-2 y = x²+1 y = 2x-2 2-4 0-3 -2-1 -2 0 1 2 3 4-6 -4-8
Exercícios 1) Nos problemas abaixo, indique a região R dada e determine sua área: a) R é a região limitada pelas retas y = x, y = -x e y = 1. b) R é a região limitada pelo eixo x e a curva y = -x²+4x-3 c) R é a região limitada pelas curvas y = x³-3x² e y = x²+5x. d) R é o triângulo cujos vértices são os pontos (-4, 0), (2, 0) e (2, 6).
Gráficos 4 3 2 1 0-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 -4
Valores Y 2 1 0-2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6-2 -3-4 -5-6 -7-8 -9
60 50 40 30 20 10 0-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7-10 -20-30
7 6 5 4 3 2 1 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3
02) A figura mostra uma casa de campo situada à beira de um lago. Quando um sistema de coordenadas é traçado da forma indicada, a margem do lago pode ser descrita aproximadamente por um arco da curva y = 10e 0,04x. Supondo que a casa custe R$ 2.000,00 o metro quadrado e o terreno do lado de fora da casa (a região sombreada da figura) custe R$ 800,00 o metro quadrado, qual o valor da propriedade? 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Casa Lago 0 2 4 6 8 10 12 14 16