Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Teorema de Tales - Parte II Nono no do Ensino Fundamental Prof. Marcelo Mendes de Oliveira Prof. ntonio aminha Muniz Neto Portal da OMEP
1 O Teorema da bissetriz interna Nessa segunda parte da aula sobre o Teorema de Tales, aplicamo-lo ao estudo dos teoremas da bissetriz interna e eterna relativas a um ângulo de um triângulo dado. omeçamos analisando o Teorema da issetriz Interna, que trata da razão em que o pé da bissetriz interna de um dos ângulos de um triângulo divide o lado correspondente. Observe que divisão do lado oposto a um vértice de um triângulo ao meio é realizada pela mediana, e não pela bissetriz interna. O resultado fundamental é o que segue. Teorema 1 (da bissetriz interna). Seja um triângulo qualquer. Se a bissetriz interna do ângulo  intersecta o lado no ponto, então divide o lado em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados, isto é, =. Figura 1: o teorema da bissetriz interna. Observação 2. Veja que o lado esquerdo da igualdade acima representa a razão em que o ponto divide o lado. Prova. Sendo a bissetriz interna de Â, tracemos uma paralela pelo vértice à bissetriz, a qual encontrará o prolongamento de em um ponto P. Portal da OMEP P Pelo aioma das paralelas, o triângulo P é isósceles (um de seus ângulos é alterno interno com uma das metades do ângulo  e o outro é correspondente à outra metade). Portanto,seguedoTeoremadeTalesque = P, ou, ainda (uma vez que P = ), =. Eemplo. Sejam P e Q pontos sobre os lados e, respectivamente, de um quadrado de lado, tais que P = 2 e Q = 1. Se a diagonal do quadrado intersecta o lado PQ no ponto M, calcule a razão em que M divide o segmento P Q. Solução. Observe a figura abaio, representativa da situação em questão. 2 P 1 45 45 M Q É bem sabido que a diagonal divide o ângulo  aomeio. ssim, M ébissetriz interna do triângulopq. aí, pelo teorema da bissetriz interna, tem-se PM MQ = P Q = 2 1 = 2. Eemplo 4. Os lados de um triângulo medem 7cm, 14cm e 15cm. alcule a medida do maior segmento que a bissetriz interna do ângulo oposto ao maior lado determina sobre o mesmo. Solução. Se é um triângulo tal que = 7, = 15 e = 14 (veja a figura a seguir), queremos calcular o comprimento do maior segmento determinado, sobre o lado, pela bissetriz interna partindo de. http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br
14 7 15 Tal segmento será o adjacente a (pois a proporcionalidade do teorema da bissetriz interna garante que o maior segmento determinado fica ao lado do maior lado). Sendo a medida desse segmento, o outro segmento sobre medirá 15. gora, pelo teorema da bissetriz interna, 15 = 210 14 = 7 7 14 21 = 210 = 10. Eemplo 5. No triângulo, em que = 12, = 18 e = 25, um semicírculo é desenhado com diâmetro sobre o lado, de tal forma que ele seja tangente aos lados e. Se O é o centro do semicírculo, encontre a medida de O. Solução. figura a seguir representa a situação descrita no enunciado. 12 E P θ θ O Q F 18 25 Sejam P e Q os pontos de tangência desse semicírculo com os lados e, respectivamente. Pelo teorema do bico, temos P = Q. lém disso, O é lado comum aos triângulos PO e QO, que ainda têm lados PO e QO com comprimentos iguais, pois são raios do semicírculo. Isso garante a congruência entre os triângulos P O e QO, pelo caso de congruência LLL. Portanto, P O = Q O, ou seja, O é bissetriz interna de. gora, sendo a medida de O, temos que 25 é a medida de O. Portanto, pelo teorema da bissetriz interna, Portal da OMEP 12 = 25 18 18 = 00 12 0 = 00 = 10. Para o próimo eemplo, recorde que o incentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes internas domesmo, equetalpontoequidistadosladosdotriângulo; em particular, ele é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Eemplo 6. Seja um triângulo com lados =, = 4 e = 5. Seja também o ponto sobre o lado tal que é a bissetriz interna do ângulo Â. Se I é o incentro de, calcule: (a) a medida do segmento ; (b) a razão em que o ponto I divide a bissetriz interna I. Solução. figura a seguir servirá à análise de ambos os itens pedidos. β β I (a) plicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo, temos = = 4. plicando as propriedades de proporções à igualdade acima, podemos repetir os numeradores e, em seguida, somá-los aos denominadores. ssim fazendo, obtemos 5 + = +4 5 = 15 = 7 7. (b) gora, a ideia é perceber que o segmento I também é bissetriz interna do triângulo. ssim, pelo teorema da bissetriz interna, obtemos E I I = I I = 15 I I = 7 5. Eemplo 7. bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos e, de medidas respectivamente iguais a 24cm e 0cm. Sabendo que e têm comprimentos respectivamente iguais a 2 + 6 e, calcule o valor de e as medidas de e. Solução. Uma vez mais pelo teorema da bissetriz interna, temos 2+6 7 = 24 0 = 4 12 = 10+0 = 15. 5 4 http://matematica.obmep.org.br/ 2 matematica@obmep.org.br
Portanto, e, analogamente, = 45. = 2+6 = 2 15+6 = 6 Eemplo 8. alcule a medida do lado do triângulo sabendo que: (i) a bissetriz interna de  determina o segmento de medida 10cm; (ii) o lado mede 0cm; (iii) o perímetro de é 75cm. Solução. Representamos a situação descrita na figura abaio: c 10 β plicando o teorema da bissetriz interna, obtemos 0 c 10 = 0 c = 00. Por outro lado, a medida do perímetro de fornece a igualdade c+10++0 = 75, de sorte que c+ = 5. Resolvendo o sistema de equações { c+ = 5, c = 00 concluímosquecemedem, algumaordem, 15e20. Logo, mede 15cm ou 20cm (observe que ambas essas medidas verificam a desigualdade triangular, de modo que realmente há duas soluções possíveis). Portal da OMEP Terminemos esta seção apresentando um eemplo um tanto mais elaborado. Eemplo 9. Prove que não eiste triângulo no qual o círculo inscrito divide a bissetriz interna de um ângulo em três segmentos de mesmo comprimento. Prova. onsidere a figura a seguir como representativa da situação do problema. Por contradição, suponha que a bissetriz interna fique dividida, pelo círculo inscrito, em três segmentos de comprimentos iguais. Então, sendo I o incentro de e r o raiodo círculoinscrito, é imediato que I = I = r. c r I r gora, aplicando o teorema da bissetriz interna ao triângulo (com a bissetriz ), vimos no Eemplo 6 que I I =. Se juntarmos esse resultado com o teorema da bissetriz interna aplicado ao triângulo (com bissetriz ) e utilizarmos propriedades de proporções, obtemos I I = = + = + = b+c a. Mas, como I = I = r, seguiria daí que b+c = I a I = r r = 1, o que contradiz a desigualdade triangular. Segue o resultado. 2 O teorema da bissetriz eterna Finalmente, vamos ao Teorema da issetriz Eterna, que trata da razão em que o pé da bissetriz eterna de um dos ângulos de um triângulo divide o prolongamento do lado correspondente. Para o que segue, suponha dado um triângulo tal que. ssumindo, sem perda de generalidade, que >, não é difícil concluir que a bissetriz do ângulo eterno de no vértice (conhecida como a bissetriz eterna de relativa a ) intersecta a reta em um ponto E tal que E (cf. Figura 2). Nesse caso, dizemos que E é o pé da bissetriz eterna relativa ao vértice (ou ao lado ). oravante, assumiremos a validade de tais observações sem maiores comentários. O resultado fundamental é o que segue. Teorema 10 (da bissetriz eterna). Seja um triângulo tal que >. Se E é o pé da bissetriz eterna relativa ao vértice, então E divide o lado (eternamente) em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados. Em símbolos, E E =. a b http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
Figura 2: o teorema da bissetriz eterna. Prova. Pelo ponto, tracemos a reta F paralela à reta, com F sobre o segmento E (cf. Figura ). δ Figura : prova do teorema da bissetriz eterna. Sejam  = 2 e ÂE = δ. omoe ébissetriz eterna relativa ao vértice, temos δ = 1 2 (180 2) = 90. Poroutro lado, como F e F sãoângulosalternos internos, temos F = 180 ÂF = 180 (2+δ) = 2(90 ) δ = 2δ δ = δ. ssim, F é um triângulo isósceles, com = F. plicando o Teorema de Tales às paralelas e F, com transversais E e E, obtemos E E = F. Mas, como = F, isso é o mesmo que E Observações 11. δ E E E =. 1. tente como é fácil lembrar o teorema da bissetriz eterna a partir do teorema da bissetriz interna: basta substituir o ponto pelo ponto E nas equações que são os resultados. Portal da OMEP 2. s bissetrizes interna e eterna são sempre perpendiculares entre si. Verifique essa afirmação! Eemplo 12. Sejam um triângulo retângulo em e e E as bissetrizes interna e eterna, respectivamente, relativas ao vértice. Se = e = 4, então E mede: (a) 17. (b) 18. (c) 120 7. (d) 125 7. Solução. Pelo teorema da bissetriz interna, temos = 4 + = +4 5 = 15 = 7 7. Pelo teorema da bissetriz eterna, temos Portanto, E E = 4 E E E = 4 E 5 = E = 15. 1 E = E + = 15 120 +15 = 7 7. Eemplo 1. Sejam e E respectivamente os pés das bissetrizes interna e eterna do ângulo  do triângulo. Sabendo que = 4, = 2 e =, calcule o comprimento do raio do círculo circunscrito ao triângulo E. Solução. Pelo teorema da bissetriz interna (esboce uma figura para acompanhar os argumentos), temos = 4 2 = 2. omo =, temos = 2 e = 1. Pelo teorema da bissetriz eterna, temos E E = 4 E E = 2 = 4 2 2 E 2 = 1 E =. E omo e E são perpendiculares, concluímos que o segmentoe, que mede 4, éodiâmetrodo círculocircunscrito ao triângulo E. ssim, o comprimento do raio de tal círculo mede 2. Eemplo 14. Em um triângulo, as bissetrizes interna e eterna traçadas a partir do vértice encontram o lado oposto (ou seu prolongamento) nos pontos M e N, respectivamente. Se = 21, = 16 e N = 21, calcule os comprimentos dos segmentos e M. http://matematica.obmep.org.br/ 4 matematica@obmep.org.br
Solução. Primeiramente, observe que as igualdades N = 21 e = 21 garantem que é o ponto médio do segmento N (veja a figura abaio). N 16 21 M 21 gora, pelo teorema da bissetriz eterna, temos N N = 21 42 = 16 = 2. Por outro lado, pelo teorema da bissetriz interna, temos M M = 16 2 = 1 2 M M +M = 1 1+2 M 21 = 1 M = 7. icas para o Professor O conteúdo dessa aula pode ser visto em dois encontros de 50 minutos cada. o longo dos eemplos, você deve sempre enfatizar o uso de uma das versões do teorema da bissetriz como ferramenta principal, assim como pode utilizar eemplos mais elaborados(veja as referências). Os teoremas das bissetrizes interna e eterna têm aplicações interessantes à Geometria, sendo um eemplo notável aquele dado pelo círculo de polônio. Para o leitor interessado, sugerimos a referência [1]. Sugestões de Leitura omplementar 1.. aminha. Tópicos de Matemática Elementar, Volume 2: Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro, Editora S..M., 2012. Portal da OMEP 2. O. olce e J. N. Pompeu. Os Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 9: Geometria Plana. São Paulo, tual Editora, 201. http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br