Eame Fial Nacioal de Matemática A Prova 65.ª Fase Esio Secdário 08.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 9/0, de 5 de jlho Dração da Prova (Cadero + Cadero ): 50 mitos. Tolerâcia: 0 mitos. Cadero 7 Págias Cadero : 75 mitos. Tolerâcia: 5 mitos. É permitido o so de calcladora. Utilize apeas caeta o esferográfica de tita azl o preta. É permitido o so de réga, compasso, esqadro e trasferidor. Só é permitido o so de calcladora o Cadero. Não é permitido o so de corretor. Risqe aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Apresete as sas respostas de forma legível. Apresete apeas ma resposta para cada item. A prova icli m formlário. As cotações dos ites de cada cadero ecotram-se o fial do respetivo cadero. Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. Qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação etera são obras protegidas pelo Código do Direito de Ator e dos Direitos Coeos. A sa divlgação ão sprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a tilização destas provas, além do determiado a lei o do permitido pelo IAVE, I.P., sedo epressamete vedada a sa eploração comercial. Prova 65/.ª F./Cad. Págia / 7
Formlário Geometria Comprimeto de m arco de circferêcia: ar^a- amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r- raioh Área de m polígoo reglar: Semiperímetro # Apótema Área de m sector circlar: ar ^a - amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r - raioh Probabilidades p + f + p v p ] - g + f + p ^ - h Se X é N] v, g, etão: P] - v X + vg. 0687, P] - v X + vg. 09545, P] - v X + vg. 0, 997 Área lateral de m coe: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Regras de derivação Área de ma sperfície esférica: 4rr ^r - raioh Volme de ma pirâmide: # Áreadabase # Altra Volme de m coe: # Áreadabase # Altra Volme de ma esfera: Progressões 4 rr ^r- raioh Soma dos primeiros termos de ma progressão _ i: Progressão aritmética: + # Progressão geométrica: r # - - r ^+ vhl l + vl ^vhl v l + vl l v l - vl ` j v v ^ hl - l ^! Rh ^sehl l cos ^coshl - l se ^tg hl ^ e hl l e l cos ^ a hl l a l a ^a! R ^l hl l log a l l ^ h l a + ^a! R + ", h ", h Trigoometria se] a+ bg sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg cosa cosb- sea seb se A se B se C a b c a b c + - bccos A Compleos i i i tcisi t ^ h cis ^ih o ^ i t e h t e tcisi t cisc i+ r m k i i i+ k r i ^k!! 0, f, - + e! Nh o te t e Limites otáveis limb + l e lim se " 0 lim " 0 lim " + lim " + e - l 0 e p + ^! Nh ^p! Rh Prova 65/.ª F./Cad. Págia / 7
. Os dois ites qe se apresetam a segir são ites em alterativa. O item.. itegra-se os Programas de Matemática A, de 0.º,.º e.º aos, homologados em 00 e 00 (P00/00). O item.. itegra-se o Programa e Metas Crriclares de Matemática A, homologado em 05 (PMC05). Respoda apeas a m dos dois ites. Na sa folha de respostas, idetifiqe claramete o item selecioado. P00/00.. Na Figra, está represetado m dado tetraédrico eqilibrado, com as faces meradas de a 4 Laça-se dez vezes esse dado e, em cada laçameto, regista-se o úmero da face qe fica voltada para baio. Qal é a probabilidade, arredodada às milésimas, de sair eatamete seis vezes a face com o úmero? 4 Figra (A) 0,46 (B) 0,06 (C) 0,008 (D) 0,007 PMC05.. Seja f ma fção difereciável o itervalo 60, @ tal qe: f ^0h 6d60, @, 0 fl^h9 O teorema de Lagrage, aplicado à fção f em 60, @, permite coclir qe: (A) (B) (C) (D) 0 f ^h8 f ^h9 f ^h0 f ^h Prova 65/.ª F./Cad. Págia / 7
. Na Figra, está represetado, m referecial o.. Oyz, m prisma heagoal reglar. Sabe-se qe: 6 PQ@ e 6 QR@ são arestas de ma das bases do prisma; R z PQ 4 Q.. Determie o prodto escalar QP QR $ P O y.. Sabe-se aida qe: o plao PQR tem eqação + y z 5 0 S Figra ma das arestas laterais do prisma é o segmeto de reta coordeadas ^4, 50, h 6 PS@, em qe S é o poto de Determie a área lateral do prisma. Apresete o resltado arredodado às décimas. Se, em cálclos itermédios, proceder a arredodametos, coserve, o míimo, três casas decimais... Escolhem-se, ao acaso, dois vértices de cada ma das bases do prisma. Determie a probabilidade de esses qatro potos pertecerem a ma mesma face lateral do prisma. Apresete o resltado a forma de dízima, arredodado às cetésimas.. Uma escola dedica-se ao esio de Espahol e de Iglês, etre otras lígas... Doze alos dessa escola, qatro de Espahol e oito de Iglês, dispõem-se lado a lado em liha reta para tirar ma fotografia. De qatas maeiras se podem dispor os doze alos, de modo qe os alos da mesma disciplia fiqem jtos? (A) 40 0 (B) 80 640 (C) 967 680 (D) 95 60 Prova 65/.ª F./Cad. Págia 4/ 7
.. Relativamete a essa escola, sabe-se qe: o úmero de alos qe estdam Espahol é igal ao úmero de alos qe estdam Iglês; o úmero de alos qe estdam, pelo meos, ma das das lígas é o qádrplo do úmero de alos qe estdam as das lígas. Escolhe-se, ao acaso, m alo dessa escola. Determie a probabilidade de esse alo estdar Iglês, sabedo qe estda Espahol. Apresete o resltado a forma de percetagem. 4. Um feie de lz icide perpediclarmete sobre m cojto de três placas sobrepostas, homogéeas e igais, feitas de m material trasparete. A Figra ilstra a sitação. Admita qe a potêcia, L, da lz trasmitida, após atravessar o cojto de placas, é dada por lz icidete 6 L I^ Rh e m em qe: I é a potêcia da lz icidete; R é o coeficiete de refleão do material ^0R h lz trasmitida m é o coeficiete de absorção do material, por cetímetro ^m 0h Figra Relativamete ao material de qe as placas são feitas, sabe-se qe o coeficiete de refleão, R, e o coeficiete de absorção, m, têm o mesmo valor mérico. Sabe-se aida qe a potêcia da lz trasmitida é igal a metade da potêcia da lz icidete. Determie, recorredo à calcladora gráfica, o valor comm dos coeficietes de absorção e de refleão do material, sabedo-se qe esse valor eiste e é úico. Não jstifiqe a validade do resltado obtido a calcladora. Na sa resposta: eqacioe o problema; reprodza, m referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fção(ões) visalizado(s) a calcladora qe lhe permite(m) resolver a eqação; apresete o valor pedido arredodado às milésimas. Prova 65/.ª F./Cad. Págia 5/ 7
5. Para m certo úmero real, pertecete ao itervalo E 0, r ;, o úmero compleo z cos ise 0 ^ + h verifica a codição Im ^zh Re ^zh Qal é o valor de arredodado às cetésimas? (A) 0,0 (B) 0,0 (C) 0, (D) 0, 6. Seja a m úmero real. Sabe-se qe a, a + 6 e a + 8 são três termos cosectivos de ma progressão geométrica. Relativamete a essa progressão geométrica, sabe-se aida qe a soma dos sete primeiros termos é igal a 8 Determie o primeiro termo dessa progressão. 7. Na Figra 4, está represetada, m referecial o.. Oy, ma circferêcia de cetro a origem e qe passa os potos A, B, C, D, E e F y Sabe-se qe: C B o poto A pertece ao semieio positivo O e tem abcissa igal a os potos B e F têm ambos abcissa igal a D O A os potos potos B, A C, D e e E são, respetivamete, os simétricos dos F relativamete ao eio Oy E F Qal das codições segites defie o domíio plao represetado a sombreado? Figra 4 (A) y + # / $ (B) y + # 4 / # (C) y + # 4 / $ (D) y + # / # FIM DO CADERNO Prova 65/.ª F./Cad. Págia 6/ 7
COTAÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos).............. 4. 5. 6. 7. 8 8 8 8 05 Prova 65/.ª F./Cad. Págia 7/ 7
Prova 65.ª Fase CADERNO