Circuitos Elétricos 2 Tópico 2: Desempenho dos Circuitos em Função da Frequência Prof. Dr. Alex da 1 Rosa LARA ENE UnB www.ene.unb.br/alex
Introdução No estudo de circuitos em regime permanente senoidal, a análise era realizada para um dada frequência. Agora vamos estudar o comportamento dos circuitos variando-se sua frequência de operação. A resposta em frequência tem diversas aplicações na engenharia: projeto de sistemas de comunicação (filtros), amplificadores de áudio, robótica, etc. 2
Introdução Relação de tensão em um circuito RC 3
Função de Transferência Representa a relação entre uma variável de saída e uma variável de entrada, sendo expressa em termos da frequência. Usaremos s = jω, que terá um significado mais relevante quando estudarmos a transformada de Laplace. H s = Y(s) X(s) = a ms m + a m 1 s m 1 + + a 1 s + a 0 b n s n + b n 1 s n 1 + + b 1 s + b 0 Raízes do numerador: zeros da função de transferência. Raízes do denominador: polos da função de transferência. 4
Exemplo 12.2 Determine a função de transferência G s = I 2 (s)/v(s) do circuito abaixo. 5
Avaliação do Aprendizado E12.2 Determine a função de transferência H s = V o (s)/v s (s) para o circuito amplificador abaixo, bem como calcule seus polos e zeros. 6
Diagramas de Bode Hendrik Bode (1905-1982) Dada uma função de transferência H jω, os diagramas de Bode consistem em representar seu módulo (magnitude) e fase como função da frequência. A fim de representar um amplo valor de frequências, estes diagramas são plotados em escala logarítmica. 7
Diagramas de Bode Bel (B) é uma unidade utilizada para representar grandezas relativas, como ganho de potência: ganho = log P 2 P 1 B = 10log P 2 P 1 (db) ganho = 10log RI 2 2 RI 1 2 = 20log I 2 I 1 (db) Com estas considerações, os diagramas de Bode poderão ser traçados de forma aproximada mais facilmente. 8
Diagramas de Bode Considere a função de transferência: H s = a ms m + a m 1 s m 1 + + a 1 s + a 0 b n s n + b n 1 s n 1 + + b 1 s + b 0 H jω = K jω + z 1 jω + z 2 (jω + z m ) jω + p 1 jω + p 2 (jω + p n ) Magnitude: Fase: 9
Diagramas de Bode Função de transferência com termo constante: H s = K 10
Diagramas de Bode Função de transferência com zero na origem: H s = s 11
Diagramas de Bode Função de transferência com zero real: H s = s + z 1 12
Avaliação do Aprendizado E12.4 Esboce o diagrama de Bode de magnitude de: 13
Avaliação do Aprendizado E12.5 Esboce o diagrama de Bode de magnitude de: 14
Diagramas de Bode Função de transferência com polo (ou zero) complexo H s = 1 s 2 + 2ξω n s + ω n 2 15
Diagramas de Bode Função de transferência com polo (ou zero) complexo H s = 1 s 2 + 2ξω n s + ω n 2 16
Avaliação do Aprendizado E12.8 Esboce o diagrama de Bode de magnitude de 17
Ressonância Ressonância é um importante fenômeno presente em inúmeras situações na engenharia, como projeto de sistemas de comunicação, veículos espaciais, construção de pontes. Vibração e colapso de ponte em Washington (1940) devido a rajada de vento de 0.2 Hz (https://youtu.be/nkxl8jjbh7e) 18
Ressonância Ressonância é um importante fenômeno presente em inúmeras situações na engenharia, como projeto de sistemas de comunicação, veículos espaciais, construção de pontes. Vibração e colapso de uma taça de vidro devido a uma onda sonora de 337.5 Hz (https://youtu.be/be827gwnnk4) 19
Ressonância Em circuitos elétricos, a ressonância ocorre quando a fonte for sintonizada em uma frequência próxima à frequência natural do circuito. Função de transferência com polos complexos conjugados. Observa-se um pico no diagrama de Bode de magnitude. Analogia: quando somos estimulados a fazer o que gostamos, geralmente respondemos com entusiasmo. 20
Ressonância Circuito RLC série A frequência de ressonância é dada por ω 0 = 1/ LC, sendo a impedância resultante puramente real. As tensões no capacitor e no indutor podem ser muito maiores que a tensão da fonte. 21
Ressonância Exemplo 12.7 22
Ressonância Exemplo 12.7 23
Ressonância Frequências de meia potência são aquelas em que a potência dissipada no circuito é igual à metade de seu valor máximo. Largura de banda ou banda passante é a diferença entre as frequências de meia potência: B = ω 2 ω 1 Para o Exemplo 12.7: 24
Ressonância Fator de qualidade de um circuito ressonante é a razão entre a frequência de ressonância e a largura de banda. Para o Exemplo 12.7: 25
Exemplo 12.16 Calcule a frequência de ressonância do circuito abaixo para R = 5Ω e R = 50Ω. 26
Exemplo 12.16 R = 50 Ω 27
Exemplo 12.16 R = 5 Ω 28
Filtros Filtros são circuitos projetados de modo a permitir a passagem de sinais com frequências desejadas e rejeitar sinais com frequências indesejadas. Sua aplicação é importante em sistemas de telefonia, sintonia de estações de rádio, eliminação de ruídos. Os filtros mais comuns são: passa-baixa passa-alta passa-faixa rejeita-faixa 29
Filtros Passa-baixa: permite a passagem de baixas frequências e rejeita altas frequências. 30
Filtros Passa-alta: permite a passagem de altas frequências e rejeita baixas frequências. 31
Filtros Passa-faixa: permite a passagem de apenas uma faixa de frequências, rejeitando baixas e altas frequências. 32
Filtros Rejeita-faixa ou notch: permite a passagem de baixas e altas frequências, rejeitando frequências dentro de uma faixa. 33
Avaliação do Aprendizado E12.24 Obtenha a função de transferência G s = V o (s)/v i (s) do circuito abaixo e determine o tipo de filtro que ele representa. 34
Avaliação do Aprendizado E12.24 Para R 1 = R 2 = 10 Ω e L = 1 H, temos G s = s 2s+10 35
Exemplo 12.21 A antena de um aparelho de rádio FM capta estações na faixa de 88 MHz a 108 MHz. O circuito do aparelho deve rejeitar as frequências de todas as estações, exceto aquela que se deseja ouvir, bem como amplificar o sinal da antena. Projete o capacitor do circuito abaixo de modo a sintonizar a rádio Antena 1 de Brasília (93,7 MHz). 36
Exemplo 12.19 Sistemas de transmissão de telefonia podem sofrer interferência das linhas de transmissão de energia, que operam em 60 Hz. Projete os elementos do filtro notch abaixo para eliminar essa interferência. 37
Exemplo 12.19 Para comprovar a eficácia do filtro, considere um sinal de tensão dado por: 38
Observações Os filtros apresentados anteriormente são chamados passivos, pois utilizam apenas resistores, capacitores e indutores. Filtros passivos são limitados: possuem ganho máximo igual a 1 e baixo desempenho em baixas frequências. Filtros ativos, que utilizam amplificadores operacionais, podem ter ganhos maiores que 1 e serão estudados posteriormente. 39