Respostas Capítulo 3: Juros Simples Fórmulas Básicas Seção Problemas Propostos (3.9) 1) Calcule o montante acumulado no final de quatro semestres e a renda recebida a partir da aplicação de um principal de R$ 10.000,00, com uma taa de juros 1% ao mês, regime de juros simples. 2) Calcule o principal que deve ser aplicado a juros simples, com uma taa de juros de 10% ao ano, para produzir um montante de R$ 10.000,00, num prazo de 15 meses. 3) Um título com 123 dias a decorrer até seu vencimento está sendo negociado a juros simples, com uma taa de rentabilidade de 1,3%ao mês. Calcule o valor da aplicação que proporciona um valor de resgate de R$ 1.000,00. 4) Um título com valor de resgate de R$ 1.000,00, com 80 dias a decorrer até seu vencimento, está sendo negociado a juros simples, com uma taa de desconto por fora de 15% ao ano. Calcule: a) Valor do principal (capital inicial) deste título; b) O valor do desconto simples; c) a rentabilidade mensal deste título, até seu vencimento. 5) Imagine que o título do Problema 4 seja vendido com a garantia de recompra num prazo de três dias, e que nesta operação de três dias seja assegurada uma rentabilidade de 1,2% a.m.. Calcule: a) O valor do título por ocasião da recompra; b) a rentabilidade mensal e a taa de desconto anual ( por fora ) desse título para o seu prezo remanescente de 77 dias a decorrer até o seu vencimento. 6) Um título com 92 dias a decorrer até o vencimento está sendo negociado a juros simples, com uma taa de desconto por fora de 12% a.a.. Calcule o valor da rentabilidade mensal desse título. 7) Um investidor aplicou um principal de R$ 1.000,00 para receber um montante de R$ 1.300,00 no prazo de 36 meses. Calcule, no regime de juros simples: a) a rentabilidade trimestral do investidor; b) a taa de desconto anual ( por fora ) que corresponde a rentabilidade do item a. 8) Um banco comercial empresta R$ 15.000,00 a um cliente, pelo prazo de três meses, com uma taa de 1%a.m., juros simples cobrados antecipa-
damente. Dessa forma, o valor líquido liberado pelo banco é de R$ 14.550,00, e o cliente deve pagar os R$ 15.000,00 no final do 3º mês. Além disso o banco eige um saldo médio de R$ 1.500,00 ao longo de todo o prazo de empréstimo. Calcule a taa de rentabilidade mensal do banco nessa operação, a juros simples. 9) Um investidor deseja depositar uma determinada importância de um banco de investimento, para ter o direito de retirar R$ 10.000,00 no prazo de três meses e R$ 10.000,00 no prazo de seis meses. Sabendo-se que este banco remunera seus depósitos com uma taa de 1,2% a.m., juros simples, calcule o valor que deve ser depositado por este investidor, para lhe garantir as retiradas desejadas e a rentabilidade prometida pelo banco. 10) Uma empresa deseja descontar títulos num banco comercial que opera com uma taa de desconto comercial de 1% a.m., juros simples. O primeiro título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no prazo de 90 dias. O segundo título tem um valor de R$ 10.000,00 e vencimento no prazo de 180 dias. Calcule o valor a ser creditado pelo banco na conta dessa empresa, pelo desconto desse título. 11) Uma empresa obtém num banco comercial um empréstimo de R$ 10.000,00, com uma taa de 1,2% a.m. (desconto por dentro ), juros simples, que pode ser liquidado no final de cada mês. Decorridos três meses, essa empresa resolve liquidar esse empréstimo com recursos obtidos, no banco, por meio de um novo empréstimo, com uma taa de 1% ao mês, também a juros simples. Decorridos alguns meses, a empresa decide liquidar o segundo empréstimo e verifica que o total de juros acumulados nos dois empréstimos é de R$ 981,60. Calcule: a) o valor do segundo empréstimo suficiente para liquidar o primeiro; b) o valor do pagamento final para liquidar o segundo empréstimo; c) o prazo do segundo empréstimo; d) a taa média mensal, a juros simples, paga pela empresa, considerando os dois empréstimos em conjunto. 12) Um investidor deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de quatro meses, ao encerrar sua conta, verifica que o montante acumulado até aquela data totaliza R$ 10.480,00. Esse mesmo valor é então depositado em outra instituição financeira, por um prazo de cinco meses. No final desse período, o montante acumulado na segunda instituição é igual a R$ 11.108,80. Sabendo-se que as duas instituições operam com juros simples e remuneram seus depósitos com a mesma taa, calcule: a) a taa mensal de juros simples das duas instituições; b) o valor do depósito inicial na primeira instituição.
Respostas: 1) Como o prazo está em semestres e a taa em meses se faz importante mudar a taa em meses para sua proporcional em semestres (juros simples): 0,01 ao mês = 1 mês 6 meses dado que 6 meses = 1semestre 0,01. 6 = 1. = 0,06 ao semestre Resolvendo obtemos que a taa de 1% ao mês é proporcional à taa de 6% ao semestre. Com isto, podemos identificar que C = VP = R$ 10.000,00; i = 6% a.s. ou 0,06 a.s.; n = t = 4 semestres. Com base na formula de juros simples e por substituição podemos resolver como segue: VF = VP (1 + i t) VF = R$ 10.000 (1 + 0,06 4) VF = R$ 10.000 (1 + 0,24) VF = R$ 10.000 (1,24) VF = R$ 12.400,00 2) Como o prazo está em meses e a taa em anos se faz importante mudar a taa em meses para sua proporcional em semestres (juros simples): 0,1 ao ano = 12 meses 1 meses dado que 12 meses = 1ano = 0,1 12 0,1. 1 = 12. = 0,00833 ao mês Resolvendo obtemos que a taa de 10% ao ano é proporcional à taa de 0,833% ao mês.
Com isto, podemos identificar que M = VF = R$ 10.000,00; i = 0,833% a.m. ou 0,00833 a.m.; n = t = 15 meses. Com base na formula de juros simples e por substituição podemos resolver como segue: VF = VP (1 + i t) R$ 10.000 = VP (1 + 0,00833 15) R$ 10.000 = VP (1 + 0,12495) R$ 10.000 = VP (1,12495) VP = R$ 10.000 (1,12495) R$8.889,28 3) Como o prazo está em dias e a taa em meses se faz importante mudar a taa em meses para sua proporcional em dias (juros simples): 0,013 ao mês = 30 dias 1 dia dado que 1 mês = 30 dias = 0,013 30 0,013. 1 = 30. = 0,000433 ao dia Resolvendo obtemos que a taa de 0,0433 % ao dia é proporcional à taa de 1,3% ao mês. Com isto, podemos identificar que M = VF = R$ 1.000,00; i = 0,0433% a.m. ou 0,00833 a.m.; n = t = 123 dias. Com base na formula de juros simples e por substituição podemos resolver como segue: VF = VP (1 + i t) R$ 1.000 = VP (1 + 0,000433 123) R$ 1.000 = VP (1 + 0,053259) R$ 1.000 = VP (1,053259) VP = R$ 1.000 R$ 949,43 (1,053259) 4.a) Como o prazo está em dias e a taa em anos se faz importante mudar a taa em anos para sua proporcional em dias (juros simples):
0,15 ao ano = 360 dias 1 dia dado que 1 ano = 360 dias = 0,15 360 0,15. 1 = 360. = 0,000417 ao dia Resolvendo obtemos que a taa de 0,0417 % ao dia é proporcional à taa de 15% ao mês. Com isto, podemos identificar que M = VF = R$ 1.000,00; i = 0,0417% a.d. ou 0,000417 a.d.; n = t = 80 dias. Com base na formula de juros simples e por substituição podemos resolver como segue: VP = VF (1 d t) VP = VF (1 0,00041667 80) VP = R$ 1000,00 (1 0,0333336) VP = R$1000,00 (0,9666664) VP R$ 966,67 4.b) O desconto comercial realizado pode ser calculado pela diferenças entre o valor descontado (VP) e o valor já capitalizado (VF): D f = VF VP = 1000 966,67 = R$ 33,33 4.c) Sabendo o valor presente, valor futuro e o tempo de capitalização podemos descobrir qual a taa de capitalização deste investimento: VF = VP (1 + t i) 1000 = 966,67 (1 + 80 i) 1000 = 1 + 80 i 966,67 1,034479191 = 1 + 80 i 0,034479191 = 80 i i = 0,034479191 0,0004309899a. d. ou 0,04309899%a. d. 80 Considerando que a taa ao dia é 0,04309899% podemos por proporção identificar a taa ao mês: 0,0004309899 ao dia = 1 dias 30 dia dado que 1 mês = 30 dias
0,0004309899. 30 = 1. = 0,0004309899. 30 0,01292968 a. m. ou 1,292968%a. m. 5.a) Sabemos que para o total de 80 dias de aplicação tivemos: VP = R$ 966,67 VF = R$1000,00 i = 0,01292968 a. m. t = 80 dias Assim para os 3 dias de aplicação podemos considerar as seguintes informações para capitalização de 3 dias: VP = R$ 966,67 i = 1,2%a. m. = 0,012a. m. t = 3 dias Podemos converter a taa i para dias por proporção: 0,012 a. m. = 30 dias 1 dia dado que 1 mês = 30 dias = 0,012 30 0,012. 1 = 30. = 0,0004 a. d. ou 0,04%a. d. Com base nestas informações podemos calcular o valor capitalizado ao final de 3 dias: VF = VP (1 + i t) VF = 966,67 (1 + 0,0004 3) VF = 966,67 1,0012 R$ 967,83 5.b) Primeiro podemos identificar qual a taa de capitalização para os 77 dias restantes sabendo as informações abaio e usando a formula de capitalização simples: VP = R$ 967,83 VF = R$ 1000,00 t = 77 dias Assim, podemos obter a taa de remuneração para este período: VF = VP (1 + i t) 1000 = 967,83 (1 + i 77)
1000 967,83 = 1 + i 7 1,03323931 = 1 + i 77 0,03323931 = i 77 i = 0,03323931 = 0,00043168a. d. 77 Usando proporção podemos converter esta taa para meses: 0,00043168a. d. = 1 dia 30 dias 0,00043168a. d. 30 = 1 0,01295038a. m. dado que 1 mês = 30 dias Em segundo lugar, podemos identificar qual a taa de desconto comercial para os 77 dias restantes em relação à capitalização dos 3 primeiros dias, sabendo as informações abaio e usando a formula de capitalização simples: VP = R$ 967,83 VF = R$ 1000,00 t = 77 dias Assim, podemos obter a taa de desconto para este período: VP = VF (1 d t) 967,83 = 1000 (1 d 77) 967,83 1000 = 1 i 7 0,96783 = 1 i 77 i 77 = 0,03217 i = 0,03217 = 0,00041779 a. d. 77 Usando proporção podemos converter esta taa para anos: 0,00041779 a. d. = 1 dia 360 dias 0,00041779 a. d. 30 = 1 0,1504044 a. d. dado que 1 ano = 360 dias 6) Considerando a aplicação em um título por 92 dias à taa de 0,12 a.a., primeiro seria interessante identificar a taa proporcional ao dia: 0,12 a. a. = 360 dia 1 dias dado que 1 ano = 360 dias
0,12 a. a. 1 = 360 0,0003333 a. d. A partir destas informações podemos usar a estrutura de desconto comercial simples para chegar a rentabilidade mensal deste título: VP = VF (1 t n) VP = VF (1 92 0,0003333) VP = VF 0,9693364 Sendo esta estrutura referente ao desconto comercial simples, podemos substitui-la na estrutura de capitalização simples para identificar a taa de rentabilidade: VF = VP. (1 + t i) Substituindo o VP do desconto comercial simples temos: VF = VF 0,9693364 (1 + 92 i) 1 = 0,9693364 (1 + 92 i) 1 = 1 + 92 i 0,9693364 1,0316336 = 1 + 92 i i = 0,0316336 = 0,00034384348a. d. 92 Multiplicando-se por 30 para encontrar a taa mensal temos: i = 0,010315304a. m. 7.a) Considerando as informações VP = R$ 1000,00 VF = R$ 1300,00 t = 36 meses = 12 trimestres = 3 anos Podemos calcular a taa de rentabilidade trimestral pela formula de capitalização simples: VF = VP (1 + t i) R$ 1300,00 = R$ 1000,00 (1 + 12 i) 1,3 = 1 + 12 i 0,3 = 12 i i = 0,3 = 0,025 a. t. 12 7.b) Considerando as informações VP = R$ 1000,00 VF = R$ 1300,00
t = 36 meses = 12 trimestres = 3 anos Podemos calcular a taa de rentabilidade trimestral pela formula de capitalização simples: VP = VF (1 t d) R$ 1000,00 = R$ 1300,00 (1 3 d) 1000 1300 = 1 3 d 0,7692307692 = 1 3 d 3 d = 0,2307692308 d 0,0769230769 a. a. 8) Em primeiro lugar é preciso analisar as informações fornecidas e entender que inicialmente temos: VP 1 = R$ 15.000,00 i = 0,01 a. m. t = 3 mês Entretanto, os juros deste empréstimo devem ser pagos à vista no momento do saque: J 1 = VP 1 t i J 1 = R$ 15.000,00 3 0,01 = R$ 450,00 Como estes são pagos à vista, o saque VP 2 =VP 1 -J 1 = R$15.000,00-R$ 450,00= R$ 14.550,00, sendo que VF 2 =R$ 15.000,0 seria o pagamento final sem os juros que já foram pagos. Em adição, o banco requer que R$ 1.500,00 seja mantido na conta ao longo do empréstimo. Assim, é como se R$ 1.500,00 não estivessem disponíveis no ato do saque e também já estivessem pagos no momento do pagamento (daqui a 3 meses). Com isto, teríamos que o valor realmente disponível seria VP 3 =VP 2 -R$ 1.500,00, e teríamos que pagar no 3º mês VF 3 =VF 2 -R$ 1.500,00. Ou seja, VP 3 =R$ 13.050,00 e VF 3 =R$ 13500,00. Com base nestas informações podemos calcular a taa de rentabilidade mensal do banco como segue: VF 3 = VP 3 (1 + t i) R$ 13500 = R$ 13050 (1 + 3 i) 13500 13050 = 1 + 3 i 3 i = 0,0344827586 i = 0,0344827586 = 0,01149425 a. a. 3
9) Primeiro é preciso entender que o valor total depositado será a soma do valor presente (ou valor descontado racionalmente) de ambas as retiradas futuras, sob a consideração do tempo até sua retirada (tempo de aplicação) e a taa de juros de remuneração. Assim, temos: VP = VP 1 + VP 2 Onde VP 1 se refere ao investimento com retirada em 3 meses e VP 2 se refere ao investimento com retirada em 6 meses. Em adição, podemos considerar as informações específicas para os investimentos. - Investimento com o primeiro saque: VF 1 = R$ 10.000,00 com reitada em 3 meses t 1 = 3 meses i 1 = 0,012a. m. - Investimento com o segundo saque: VF 2 = R$10.000,00 com retirada em 6 meses t 2 = 6 meses i 2 = 0,012a. m. Com base nestas informações podemos calcular VP 1 e VP 2, como segue: VP 1 = VP 2 = Então, podemos concluir que: VF 1 (1 + i 1 t 1 ) = 10.000 (1 + 0,012 3) = 10.000 R$ 9.652,51 1,036 VF 2 (1 + i 2 t 2 ) = 10.000 (1 + 0,012 6) = 10.000 R$ 9.328,36 1,036 VP = R$ 9.652,51 + R$ 9.328,36 = R$ 18.980,87 10) Em primeiro lugar é necessário entender que o valor total a ser creditado se refere ao valor presente (ou descontado comercialmente) de ambos os títulos a serem descontados. Ou seja: VP = VP 1 + VP 2 Em adição, com base nas informações de cada título podemos calcular VP 1 e VP 2, como segue:
- Título 1 a ser descontado comercialmente à juros simples: VF 1 = R$ 10.000,00 t 1 = 90 dias = 3 meses d 1 = 0,01. a. m. VP 1 = VF 1 (1 d 1 t 1 ) VP 1 = 10.000 (1 0,001 3) VP 1 = 10.000 0,97 = R$ 9.700,00 - Título 2 a ser descontado comercialmente à juros simples: VF 2 = R$ 10.000,00 t 2 = 180 dias = 6 meses d 2 = 0,01. a. m. VP 2 = VF 2 (1 d 2 t 2 ) VP 2 = 10.000 (1 0,001 6) VP 2 = 10.000 0,94 = R$ 9.400,00 Com isto, podemos somar estes valores para determinar o valor a ser recebido: VP = R$ 9.700,00 + R$ 9.400,00 = R$ 19.100,00 11) Em primeiro lugar é fundamental estruturar as informações de modo a facilitar a análise antes da resolução dos problemas, identificando principalmente o que sabemos e o que não sabemos: 1º Empréstimo: VP 1 = R$ 10.000,00 i 1 = d 1 = 0,012 a. m. t 1 = 3 meses VF 1 =? 2º Empréstimo: VF 1 = VP 2 =? i 2 = d 2 = 0,01 a. m. t 2 =? VF 2 =? Juros Acumulados: J = J 1 + J 2 = R$ 981,60 a) VF 1 = VP 1 (1 + t 1 i 1 ) VF 1 = R$ 10.000 (1 + 3 0,012) VF 1 = R$ 10.000 (1,036) = R$ 10.360,00 J 1 = VF 1 VP 1 = R$ 360,00
b) VF 2 = VP 2 + J 2 = VP 2 + J J 1 VF 2 = R$ 10.360 + 981,60 360 = R$10.981,60 J 2 = VF 2 VP 2 = R$ 621,60 c) J 2 = VP 2 i 2 t 2 R$ 621,60 = R$ 10.360,00 0,01 t 2 R$ 621,60 t 2 = R$ 103,60 = 6 meses d) Neste caso é preciso reestruturar as informações para a resolução do problema: VP = VP 1 = R$ 10.000,00 VF = VF 2 = R$ 10.981,60 t = t 1 + t 2 = 3 + 6 = 9meses i = d =? a. m. E a partir destas realizar a resolução com base na formula de capitalização simples: VF = VP (1 + i t) 10.981,60 = 10.000 (1 + i 9) 10.981,60 10.000 = 1 + i 9 1,09816 = 1 + i 9 i = 0,09816 0,01090667 a. m. 9 12) Como é em investimento em duas etapas (2 momentos) é importante identificar as informações referentes à estes momentos: Momento 1 VF 1 = R$ 10.480,00 VP 1 =? t 1 = 4 meses i 1 = i 2 =? Momento 2 VP = VF 1 = R$ 10.480,00 VF 2 = R$ 11.108,80 t 2 = 5 meses i 1 = i 2 =? a) Resolvendo temos: VF 2 = VP 2 (1 + i 2 t 2 ) R$ 11.108,80 = R$ 10.480,00 (1 + i 2 5)
R$ 11.108,80 R$ 10.480,00 = 1 + i 2 5 1,06 = 1 + i 2 5 i 2 = 0,06 = 0,012 a. m. 5 b) Resolvendo temos: VP 1 = VF 1 = VP 1 (1 + i 1 t 1 ) R$ 10.480,00 = VP 1 (1 + 0,012 4) R$ 10.480,00 R$ 10.480,00 = = R$ 10.000,00 1 + 0,012 4 1,048