Resolução de Sistemas de

Capítulo 5 Resolução de Sistemas de Equações Não-Lineares 51 Introdução Neste capítulo, apresentaremos o método de Newton para sistemas de equações não-lineares, ie, procuramos um vetor x que satisfaça F (x) = (51) onde F :IR n IR n, ie f 1 (x 1,x 2,,x n )= f 2 (x 1,x 2,,x n )= f n (x 1,x 2,,x n )= Pode-se afirmar que todas as considerações apresentadas no Capítulo 2 para o método de Newton- Raphson são também válidas para esse caso No entanto, a solução de (51) ébemmaisdifícil, requerendo uma série de cuidados adicionais (ver [5]) 52 Método de Newton Como visto na seção 24, o método de Newton-Raphson é uma linearização da função f(x) no ponto x = x k Essa idéia deve ser estendida para o presente caso, como veremos a seguir Considerando então o sistema (51), podemos escrever as expansões em Taylor (apenas até os termos de primeira ordem) de cada função f i em (52) como =f 1 (x 1 + h 1,x 2 + h 2,,x n + h n ) f 1 (x 1,x 2,,x n )+h 1 f 1 x 1 + h 2 f 1 x 2 + + h n f 1 f =f n (x 1 + h 1,x 2 + h 2,,x n + h n ) f n (x 1,x 2,,x n )+h n 1 x 1 ou, em termos matriciais: f 1 (x 1,x 2,,x n ) f n (x 1,x 2,,x n ) f 1 x 1 + f n x 1 F (x)+j(x)h = f 1 f n h 1 h n = + h 2 f n (52) + + h n f n (53) (54) 12

onde J(x)éamatrizJacobiana de F (x) Ora, para obtermos o vetor h =(h 1,h 2,,h n ), devemos resolver o sistema de equações lineares J(x)h = F (x) (55) o que exige, obviamente, que J(x) sejanão-singular Então, se x x (k) (ie, x é uma estimativa para a solução de (51) na iteração k), podemos obter uma nova estimativa (possivelmente melhor) através de x (k+1) 1 x (k) h = 1 (k) + 1 (56) x (k+1) n x (k) n h (k) n x (k+1) = x (k) + h (k) Note as similaridades com o método de Newton-Raphson:naquele, a correção éescritacomo x k+1 = x k + h k, onde h k = f(x)/f (x), o que éequivalenteàequação (55) Ao se resolver o sistema (55), pode-se utilizar qualquer um dos métodos vistos no Capítulo 4; usualmente, utiliza-se a fatoração LU (vide seção 432), mas métodos iterativos são indicados quando a matriz J é esparsa [9] De qualquer maneira, no entanto, a matriz J pode se tornar quase singular, o que dificulta bastante a solução de (51) Outro problema relacionado ao método de Newton énaobtenção da matriz J(x) Cabe notar que apenas para problemas com n muito pequeno éfactível calcular-se de forma explícita a matriz J; logo, J deve ser calculada de forma aproximada Ora, seus elementos são as derivadas parciais das f i em relação a x i ; portanto, aproximações dessas derivadas por diferenças finitas (vide 25) podem ser utilizadas A definição típica de cada coluna da matriz J(x) é J(x) j = { F (x+h x ej) F (x) h x x F (he j ) F (x) h x = conforme [9, pp 8], onde e j éovetorcanônico de n elementos, h = ε e ε éoépsilon da máquina (vide Capítulo 1) Ométodo de Newton para sistemas de equações não-lineares pode, então, ser descrito conforme o algoritmo 521, onde τ r e τ a são duas tolerâncias pré-especificadas Algoritmo 521 Método de Newton para sistemas de equações não-lineares proc newton(input: x, τ r, τ a, k max ;output:x k+1, k) F = F (x ) for k =, 1,,k max do Calcule J(x (k) ) Resolva o sistema J(x (k) )h (k) = F (x (k) ) x (k+1) x (k) + h (k) if F (x (k) <τ r F + τ a then break endif Calcule F (x (k+1) ) endfor endproc (57) Os exemplo a seguir ilustram como utilizar o método de Newton Exemplo 51 Sejam as equações f(x, y) = sen(y)e x x 2 g(x, y) = cos(y)e x x 3 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 13

Calcule o ponto de intersecção entre ambas as curvas usando o método de Newton Solução: Ográfico das funções f e g é mostrado na figura 51; nele pode-se perceber que a solução é, aproximadamente, (, 7, 1, ) Figura 51: As funções f e g Escrevendo na notação apropriada, temos sen(y)e F = x x 2 cos(y)e x x 3 e a matriz Jacobiana é dada, explicitamente, por sen(y)e J = x 2x cos(y)e x cos(y)e x 3x 2 sen(y)e x Assim, utilizando como estimativa inicial o vetor x =(x, y) =(, ) T, obtemos a seguinte seqüência de valores para o método de Newton, conforme o algoritmo 521: F = 1 1 J = 1 h = J 1 1 F = 1 x 1 = x + h = 1 F 1 =, 6321 [ ] 2, 3679 J 1 = 3, 3679 h 1 = J1 1, 1877 F 1 = 1, 6979, 8123 x 2 = x 1 + h 1 = 1, 6979, 2196 F 2 =, 5923 2, 649, 563 J 2 = 1, 9233, 443 h 2 = J2 1, 791 F 2 =, 9996 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 14

, 7332 x 3 = x 2 + h 2 =, 6982, 2288 F 3 =, 262 1, 7752, 368 J 3 = 1, 987, 388 h 3 = J3 1, 629 F 3 =, 3184, 679 x 4 = x 3 + h 3 = 1, 166, 144 F 4 =, 32 1, 7756, 2692 J 4 = 1, 6172, 435 h 4 = J4 1, 123 F 4 =, 279, 6588 x 5 = x 4 + h 4 =, 9888 F 5 = 1 3, 381, 23 1, 7487, 2847 J 5 = 1, 5837, 4926 [ h 5 = J5 1 F 5 =1 3, 193, 1529, 6578 x 6 = x 5 + h 5 =, 9889 F 6 = 1 7 [, 2585, 8432 ou seja, após 6 iterações, o valor de F (x 6 ) é considerado pequeno o suficiente, e x =, 6578 e y =, 9889 bastantepróximos da estimativa para a solução conforme o gráfico na figura 51 Obviamente, poderíamos ter acelerado consideravelmente o processo utilizando como estimativa inicial o vetor x =(, 7, 1) O mesmo número de iterações é alcançado se utilizarmos a aproximação numérica da matriz Jacobiana dada pela equação (57) Exemplo 52 Considere o problema de intersecção de uma reta que passa pelos pontos q e q 1 em R 3, r (t) =q +(q 1 q )t, t IR e o plano que passa pelos pontos p, p 1 e p 2, ] ] S (u, v) =(p +(p 1 p )u +(p 2 p )v, u, v IR ie, queremos resolver o problema S (u, v) r (t) = Se q =(5, 5, ), q 1 =(5, 5, ), p =(,, ), p 1 =(,, 1) e p 2 =(1,, ), mostre como se comporta o método de Newton nesse caso Solução: Note que S (u, v) e r (t) são funções vetoriais em R 3 Como temos três variáveis a determinar u, v e t etrês equações da forma S (u, v) r (t) =, uma para cada componente AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 15

x, y e z, o problema ébemposto Como S (u, v) éumafunção linear, o método de Newton deverá convergir em uma única iteração 1 Escrevendo então na notação adequada, temos F = (au + bv ct + p q ) x (au + bv ct + p q ) y (au + bv ct + p q ) z onde a = p 1 p, b = p 2 p e c = q 1 q, temos que a matriz Jacobiana de F é constante, J = a x b x c x a y b y c y a z b z c z e, para os valores fixados, temos J = 1 1 1 a qual apresenta inversa e, portanto, o método de Newton não irá sofrer interrupção Com efeito, se x =(u, v, t) =(,, ) T, teremos a seguinte seqüência de valores F = 5 5 1 J = 1 1 h = J 1 F =, 5, 5 x 1 = x + h =, 5, 5 F 1 = como era esperado, dada a natureza linear do problema Cabe ressaltar, no entanto, que uma formulação semelhante deve ser usada para problemas onde S (u, v) énão-linear Exemplo 53 Uma superfície bicúbica de Bézier B 3 (u, v) IR 3 é definida por B 3 (u, v) = [ u 3 u 2 u 1 ] v 3 N PN T v 2 v,, u, v 1 1 onde N é uma matriz dada por 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 1 Na verdade, não se utilizaria tal método para se resolver esse problema; ele éútil apenas para fins de ilustração AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 16

e P IR 3 é uma matriz que contém 16 pontos de controle que governam o desenvolvimento da superfície Um ponto da superfície é dado por três polinômios bicúbicos em u e v tais que, se os pontos de controle são ordenados como P, P,1 P,2 P,3 P 1, P 1,1 P 1,2 P 1,3 P 2, P 2,1 P 2,2 P 2,3 P 3, P 3,1 P 3,2 P 3,3 então, para u =e v =, B 3 (, ) = P, ;parau =e v =1, B 3 (, 1) = P,3 ; B 3 (1, ) = P 3, e B 3 (1, 1) = P 3,3 Considere, então, o problema de intersecção de um segmento de reta com origem no ponto (1, 5, 5) e vetor direção ( 1,, ), r (t) = (1, 5, 5) + t( 1,, ), t IR com a superfície B 3 (u, v), onde os pontos de controle são P x = 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 P y = P z = 5 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 5 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 de onde a função F pode ser escrita como F = (B 3(u, v)) x + t 1 (B 3 (u, v)) y 5 (B 3 (u, v)) z 5 Note que, agora, a matriz Jacobiana não é constante A figura 52 mostra a superfície e a reta em questão Se utilizarmos o método de Newton com x =(u, v, t) =(,, ) T eumatolerância de 1 1, teremos a seguinte seqüência de valores F = J = 1 5 5 3 1 15 15 3 h = J 1 F = x 1 = x + h =, 1667, 1667, 1667, 1667 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 17

Figura 52: Intersecção entre a reta (1, 5, 5) + t( 1,, ) com uma superfície bicúbica de Bézier F 1 = J 1 =, 8333 3 1 1 1 3 h 1 = J 1 1 F 1 = x 2 = x + h = F 2 = J 2 =, 142, 833, 1667, 25 3 1 1 7, 5 3 h 2 = J 1 2 F 2 =, 139 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 18

x 3 = x + h = F 5 = 1 5 J 5 =, 1667, 2639, 2494 3 1 1 7, 711 3 h 5 = J5 1 F 5 =1 6 x 6 = x + h =, 1667, 2643, 3527 onde x 6 éasolução do problema de intersecção, de acordo com a tolerância especificada 53 Exercícios Exercício 51 Considere o exemplo 52, com q =(5, 5, ), q 1 =(15,, ), p =(,, ), p 1 = (,, 1) e p 2 =(1,, ) Explique o que acontece Exercício 52 Uma esfera de raio r ecentro(c x,c y,c z ) pode ser definida, de forma paramétrica, como (r cos(θ)cos(φ)+c x,rcos(θ)sen(φ)+c y,rsen(θ)+c z ) onde π/2 θ π/2 e φ<2π Calcule as intersecções dessa esfera com a reta o + t u, o =(1, 1, 1) e u =( 1, 1, 1) Utilize como estimativa inicial θ = φ = t =euma tolerância de 1 5 Exercício 53 Compare o processo numérico utilizado para resolver o exercício 52 com a solução do mesmo problema, obtida de forma algébrica ( Dica:utilize a equação da reta na forma paramétrica o +t u e substitua na equação implícita da esfera, (x c x ) 2 +(y c y ) 2 +(z c z ) 2 = r 2, eisolet) Exercício 54 Utilize a formulação apresentada no exemplo 53, para a reta (1, 2, 5)+t( 1,, ) Explique o que acontece Exercício 55 Resolva o sistema {, 1x 2 x +, 1y 2 +, 8=, 1x y +, 1xy 2 +, 8= sabendo que ele apresenta uma solução próxima a (x, y) =(, 5,, 5) Exercício 56 Calcule (x, y) de modo que { x 2 + y 2 =2 x 2 y 2 =1 usando x = y =1 AL de Bortoli, C Cardoso, MPG Fachin, RD da Cunha 19