UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Cálculo das Probabilidades e Estatística I Professora: Juliana Freitas Pires Terceira Lista de Exercícios Parte I: Variáveis aleatórias, Esperança e Variância Questão 1. Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: { c, para i = 1, 3, 5 p(x) = 2c, para i = 2, 4 a) Determine o valor da constante c que torna legítima a função de probabilidade acima. b) Obtenha a função de distribuição acumulada. c) Encontre a Esperança e a Variância de X. Questão 2. Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de aparelhos vendidos por semana: x i 0 1 2 3 4 5 P(X = x i ) 0, 05 0, 05 0, 25 0, 30 0, 20 0, 15 a) Calcule o número esperado de aparelhos vendidos por semana. b) Calcule o desvio padrão número de aparelhos vendidos por semana. Questão 3. Uma máquina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 M, 3 B, 2 P, 1 L. Uma pessoa paga R$90, 00 e aciona a máquina. Se aparecerem dois M ganha R$50, 00; se aparecerem dois B ganha R$90, 00; se aparecerem dois P ganha R$150, 00; se aparecerem dois L ganha R$190, 00; se aparecer uma configuração diferente a pessoa perde R$20, 00. Seja Y a variável aleatória lucro: a) Encontre a função de probabilidade de Y; b) Calcule o lucro esperado. Você apostaria neste jogo? Questão 4. O tempo T em minutos necessário para um operário processar certa peça, é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade: t i 2 3 4 5 6 7 P(T = t i ) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 a) Calcule o tempo médio de processamento e a variância. b) Para cada peça processada o operário ganhará um fixo de R$ 2, 00, mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha a mais 0, 50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos recebe a quantia adicional de R$ 1, 00. Encontre a distribuição de probabilidade, a esperança e a variância da quantia ganha por peça. 1
Questão 5. Suponha que a variável aleatória X tenha a seguinte função de densidade: 1 + x, se 1 < x < 0 f(x) = 1 x, se 0 < x < 1 0, se x < 1 ou x > 1 a) Obtenha a função de distribuição acumulada b) Calcular E(X) e Var(X). Questão 6. Seja X uma variável aleatória com densidade { cx f(x) = 2, se 1 x 1 a) Determine c para que f(x) seja uma funcao densidade. b) Encontre P(X > 0). c) Encontre o valor de x tal que F (x) = 1/4 onde F é a distribuição acumulada. d) Determine E(X) e Var(X). Questão 7. Seja a variável aleatória contínua X = quantidade mensal ofertada (em ton.) para um particular produto, com função densidade de probabilidade dada por: { x 1/2 f(x) = 2, se 0 x 1 a) Calcule P(X > E(X)), onde E(X) é o número esperado de quantidade ofertada do produto. Questão 8. Seja X uma variável aleatória denotando o tempo (em horas) necessário para produzir um determinado artigo, com função densidade de probabilidade dada por: { 0, 4(x + 1), se 1 x 2 f(x) = a) Calcule o tempo esperado na produção do artigo. b) O lucro (em R$) que o produtor tem sobre um artigo e dado por Y = 3 X 2. Calcule o lucro esperado por artigo. Questão 9. Seja X a variável aleatória denotando o tempo semanal necessário para completar um pequeno contrato. A fdp de X é dada por: x 2 16, se 2 x 6 10 x f(x) =, se 6 < x 10 16 Calcule: a) P(5 X 7). b) E(X). c) O lucro do contrato depende do tempo necessario para completa-lo, atraves da função: Lucro = 100 10X (em R$). Determine o lucro esperado. 2
Parte II: Binomial e Poisson Questão 10. Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa autoestrada não passam no teste de segurança. De 4 veículos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não passe no teste de segurança: a) nenhum deles. b) todos eles. c) exatamente um. d) pelo menos um. e) se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número esperado dos que não passam no teste de segurança? Questão 11. Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade de que sejam pagos com atraso: a) no máximo dois títulos. b) no mínimo um título. c) Qual o número esperado de títulos pagos com atraso? Questão 12. Um levantamento efetuado em um pregão de bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: a) Todas as ações do fundo tenham se valorizado; b) Todas as ações do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram estáveis? Questão 13. Um inspetor de qualidade sabe que a porcentagem de lâmpadas defeituosas no lote é 20%. Em uma amostra de 5 lâmpadas ele deseja saber: a) a probabilidade de obter pelo menos uma lâmpada defeituosa; b) o número esperado de lâmpadas defeituosas e a probabilidade de E(X). Questão 14. A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes qual a probabilidade de: a) acertar exatamente 2 vezes? b) não acertar nunhum tiro? Questão 15. Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, numa amostra de 10 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa. b) 3 defeituosas. c) mais do que uma boa. Questão 16. Em cada dois dias, em média, chegam um navio em um determinado porto. a) Qual a probabilidade de que dois ou mais navios chegarão em um dia qualquer? b) Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias. 3
Questão 17. Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que: a) Exatamente três usaram o serviço em uma hora qualquer? b) Exatamente duas usaram o serviço em 15 minutos? c) Pelo menos três usará o serviço em uma hora qualquer? Questão 18. Suponha que um manuscrito de um livro texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os textos são distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de encontrar dois erros em uma página qualquer? Questão 19. Placas de metal são inspecionadas regularmente quanto ao número de fendas encontrando-se em média 2, 2 fendas por 2m 2. Supondo que o número de fendas se distribuem segundo uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de se obter: a) nenhuma fenda em 2m 2 do material. b) No mínimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por 2m 2. Questão 20. Em uma empresa de cerâmica sabe-se que existe em média 0, 1 defeito por m 2. Um comprador analisa uma área de 5m 4m de piso e decide comprar dessa marca se encontrar no máximo 1 defeito nesta área. Qual a probabilidade do comprador comprar desta marca de cerâmica? Questão 21. O número médio de componentes defeituosos por certo tipo de aparelho eletrônico é de 1, 8. Admitindo-se poder ser empregada a distribuição de Poisson: a) Calcule a média e o desvio padrão dessa distribuição. b) Calcular a probabilidade de um aparelho apresentar no máximo 2 componentes defeituosos. Questão 22. Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em média um estouro de pneu a cada 5000 km. a) Qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado? b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu? Parte III: Distribuição Normal Questão 23. Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento (X) do corpo de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 90, 0 cm e desvio padrão de 0, 9 cm, calcule as seguintes probabilidades: a) de encontrar ternos com comprimento entre 89 e 91 cm. b) de encontrar ternos com comprimento menor que 88 cm. c) de encontrar ternos com comprimento maior que 91, 5 cm. Questão 24. Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuição normal com média 75, 4 C e desvio padrão 2, 2 C. Sabe-se que se a temperatura ficar inferior a 70 C, o leite poderá ficar com bactérias maléficas. a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas? b) Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador, em média, quantas a temperatura deve ser inferior a 70 C podendo prejudicar o leite? c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas? 4
Questão 25. Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg. a) Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg, qual é a probabilidade de se obter sacos com menos de 55 kg? b) Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg, qual é a probabilidade de se obter sacos com mais de 66 kg? c) Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas 10% tenham menos de 60 kg? Questão 26. Um estudo das modificações percentuais dos preços, no atacado, de produtos industrializados, mostrou que há distribuição normal com média de 50% e desvio padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que sofreram aumentos: a) superiores a 75%? b) entre 30% e 80%? Questão 27. A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo processo de manufatura é conhecida ser normalmente distribuída com media µ = 24 e desvio padrao σ = 3. Toda peça produzida é testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificações quanto à resistencia estiver entre µ 2σ e µ + 2σ (caso contrário é rejeitada). a) Calcule a probabilidade de uma peca ser rejeitada. b) Um consumidor exige que pelo menos 95% das peças tenha resistência superior a 20; tal especificação é atendida? Justificar a resposta. Questão 28. Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300 h e desvio padrão 20 h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade? Questão 29. Uma variável aleatória X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9. Calcule o intervalo central que contém: a) 50% dos valores da variável; b) 95% dos valores da variável. c) 99% dos valores da variável. Questão 30. Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para fazer um teste padrão de matemática é aproximadamente uma normal com µ = 80 min e σ = 20 min. Que percentagem de candidatos: a) Levará menos de 80 min para concluir o teste? b) Nao terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas? c) Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na primeira hora? Questão 31. O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média 240.000 u.m. e desvio padrão 30.000 u.m. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado? Questão 32.Em uma população de escores cujo valor médio é µ = 60 e desvio padrão é σ = 12, desejamos dividi-la em quatro classes. A classe A é formada por 16, 6% dos menores escores; a classe B por 24, 3% dos escores seguintes a A ; a classe C por 38, 2% dos escores seguintes a B e a classe D pelos maiores escores restantes. Admitindo distribuição normal para os escores: a) quais os limites de cada classe? b) Em que classe estará um escore de 75? E um escore de 30? 5