Demonstrações Matemáticas Parte 2 Nessa aula, veremos aquele que, talvez, é o mais importante método de demonstração: a prova por redução ao absurdo. Também veremos um método bastante simples para desprovar uma conjectura (ou seja, para provar que ela não é um teorema). Este método, que já foi citado por alto na aula passada, é chamado de prova por contra-exemplo. Cada um desses dois métodos será visto em uma das seções a seguir. A terceira seção, que é extra, faz uma reflexão sobre contra-exemplos gigantes. 1. Prova por Redução ao Absurdo Também chamada de prova por contradição ou simplesmente de prova por absurdo. Pode ser usado em um teorema qualquer, que representaremos como R. A idéia é assumir que R é falso e construir um argumento que conclua algum absurdo matemático (uma contradição matemática). Segue o resumo: Uma prova por redução ao absurdo um objetivo R consiste em criar um argumento lógico estruturado assim: Hipótese: R Conclusão: uma contradição qualquer Uma contradição é uma afirmação X X, para alguma proposição X, que não é conhecida de antemão. A grande dificuldade deste tipo de demonstração é justamente descobrir a proposição X que será contrariada. Uma dica é desenvolver a hipótese de várias maneiras até surgir algo incomum, que contrarie a teoria matemática estabelecida ou que contrarie uma hipótese assumida na demonstração. 1
Nos exemplos, assuma as seguintes definições e lemas (teoremas auxiliares): (Definição:) Um número real n é um número racional sse n = a/b para algum a e algum b inteiros com b 0. (Definição:) Um número real n é um irracional sse ele não é racional. (Lema:) Toda fração de inteiros tem uma forma irredutível a/b em que a e b são inteiros e não têm divisores inteiros maiores que 1 em comum. (Lema:) Para todo n inteiro: Se n 2 é par, então n é par. (Provado na aula passada). Exemplo 1: Prove que 2 é um número irracional. Por redução ao absurdo, esta demonstração seria estruturada assim: Hipótese: 2 é racional Objetivo: alguma contradição Prova por redução ao absurdo: Vamos assumir que 2 é racional. Pela definição de racional, temos: 2 = a/b, para a e b inteiros e b 0 Além disso, vamos considerar a e b não tem divisores maiores que 1 em comum. Podemos afirmar isso, pois um dos lemas dados garante que sempre existe uma forma irredutível, para qualquer fração. Elevando ao quadrado ambos os lados da equação anterior e desenvolvendo: 2 = a 2 / b 2 a 2 = 2 b 2 Como b 2 é inteiro, pela definição de par, temos que a 2 é par. Portanto, pelo outro lema assumido, concluímos que a também é par. Como a é par, temos que a = 2k, para um k inteiro. Substituindo na última e- quação: (2k) 2 = 2 b 2 4k 2 = 2 b 2 2k 2 = b 2 b 2 = 2k 2 Logo, b 2 é par. Pelo lema dado, b também é par. 2
Como a e b são pares, a e b têm 2 como divisor comum. Isso entra em contradição com o que foi provado antes, no trecho sublinhado. (Logo, a hipótese está errada e, portanto, provamos que 2 é irracional). (Provado). O comentário entre parênteses, no exemplo acima, não precisam aparecer na demonstração. Assim, uma prova por redução ao absurdo pode terminar de maneira bastante sutil simplesmente destacando a contradição obtida. Esta contradição pode ser qualquer uma e, inclusive, pode não estar claramente relacionada à conjectura que se deseja provar. Exemplo 2: Provar a afirmação: Em todo triângulo reto não-degenerado (ou seja,um triângulo sem lados nulos) a soma dos catetos é maior que a hipotenusa. Ou seja, dado um triângulo retângulo com hipotenusa h e catetos a e b, temos que: a+b > h Estrutura da demonstração: Hipóteses: em algum triângulo retângulo, temos a+b h Objetivo: uma contradição Demonstração por redução ao absurdo: Vamos assumir que, em algum triângulo retângulo com hipotenusa h e catetos a e b, seja verdade que: a+b h Elevando tudo ao quadrado, como ambos os lados são positivos, temos: (a+b) 2 h 2 a 2 + b 2 + 2ab h 2 (Inequação I) Porém, como a>0 e b>0, temos que 2ab > 0, logo: a 2 + b 2 < a 2 + b 2 + 2ab (Inequação II) (Ou seja, ao somar 2ab, temos um valor maior). Por transitividade das inequações II e I: a 2 + b 2 < h 2 Isso implica em: a 2 + b 2 h 2 Porém, isso contraria o Teorema de Pitágoras, que diz que: a 2 + b 2 = h 2. 3
(Provado). Agora, vamos lidar com o caso em que a afirmação R é uma implicação P Q por redução ao absurdo. (Este é um caso muito importante, porque muitos teoremas envolvem implicações). A idéia é mesma de antes: temos que assumir como hipótese local a negação dessa implicação (P Q). Porém, por equivalência lógica, essa negação equivale a P Q (procure nas leis de equivalência dadas antes). Segue o resumo deste caso especial: Uma prova por redução ao absurdo de um objetivo P Q é um argumento construído com essa estrutura: Hipóteses: P e Q Objetivo: uma contradição Exemplo 3: Provar a afirmação (para todo n inteiro): Se (3n+2) é ímpar, então n é ímpar. Estrutura da demonstração: Hipóteses: (i) (3n+2) é ímpar e (ii) n não é ímpar Objetivo: uma contradição Demonstração por redução ao absurdo: Seja n um inteiro qualquer. Vamos, ainda, assumir que: (i) (3n+2) é ímpar e (ii) n não é ímpar. Como n não é ímpar (pela hipótese ii), temos que n é par. Logo: n = 2k, para um k inteiro Substituindo n na expressão 3n+2: 3n+2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2.(3k+1) Como 3k+1 é obviamente inteiro, temos que: 3n+2 é par. (Provado). 4
O exemplo acima ilustra bem o que muitas vezes (mas não sempre) é feito no argumento para chegar a uma contradição: você pode desenvolver uma das hipóteses até que ela negue a outra. Isso pode ocorrer de duas formas: Desenvolvendo a hipótese P até chegar a Q (que contraria a hipótese Q). Isso faz a prova por redução ao absurdo parecer uma prova direta. Desenvolvendo a hipótese Q até chegar a P (que contraria a hipótese P). Isso faz a prova por redução ao absurdo parecer uma prova da forma contrapositiva. Comentários Adicionais (1) Outra maneira de entender a estrutura dada, aqui, para implicações P Q é considerar que ela é provada usando dois métodos de demonstração em seqüência (veja o material extra da aula passada): Primeiro, é aplicado o método da prova direta, acrescentando a hipótese P e adotando Q como objetivo. Depois, para provar apenas o objetivo Q, é aplicada prova por redução ao absurdo, o que acrescenta a hipótese Q e adota como novo objetivo uma contradição. Veja que, seguindo essa idéia, a estrutura final (hipóteses e objetivo) fica a mesma que resumimos no quadro acima. (2) A redução ao absurdo também é usada em outros tipos de argumentos lógicos, inclusive alguns raciocínios que construímos no dia-a-dia. Além disso, ela pode ser usada para resolver alguns tipos de quebra-cabeça. Para ver mais sobre isso, veja o material extra. 5
2. Prova por Contra-Exemplo Um contra-exemplo é uma exceção para uma suposta regra geral. Apresentar uma exceção, simplesmente, já nega que a tal regra geral seja verdadeira. Essa é a idéia de uma prova por contra-exemplo. Veja que, diferente dos outros métodos vistos, a prova por contra-exemplo serve para negar uma afirmação. Em especial, para negar uma afirmação do tipo para todo x de um universo U, é verdade a afirmação P 1, a prova por contra-exemplo consiste em encontrar e descrever um valor c (para a variável x) para o qual a afirmação P falha. O quadro abaixo resume este método: Para refutar (provar que é falsa) por contra-exemplo uma afirmação para todo x do universo U, é verdade P, basta fazer o seguinte: Escolha (adequadamente) um objeto c pertencente ao universo U Adotando x=c, prove que a afirmação P é falsa O objeto c descrito acima é chamado de contra-exemplo da afirmação inicial. No primeiro exemplo que vamos dar, considere esta definição: Um quadrado perfeito é o quadrado de algum número inteiro. Exemplos: 0 2 =0, 1 2 =1, 2 2 =4, 3 2 =9, 4 2 =16, 5 2 =25, 6 2 =36, 7 2 =49, 8 2 =64, 9 2 =81, 10 2 =100, 11 2 =121, 12 2 =144,... 1 Afirmações deste tipo não podem ser representadas bem por Lógica Proposicional, mas sim por Lógica de Predicados, que veremos mais adiante no curso. 6
Exemplo 1: Refute que Todo número inteiro positivo é a soma de dois quadrados perfeitos. Antes de darmos um contra-exemplo, veja que a afirmação dada é verdadeira para 0, 1 e 2, pois: 0 = 0 2 +0 2 1 = 0 2 +1 2 2 = 1 2 +1 2 Porém, vamos provar que a conjectura é falsa porque ela falha para, pelo menos, um número inteiro positivo. Prova por contra-exemplo. Seja o inteiro 3, que é obviamente um inteiro positivo. Vamos mostrar que 3 não pode ser representado pela soma de dois quadrados perfeitos. Segue a explicação: Para representar o 3, precisamos de quadrados perfeitos menores ou iguais a 3, ou seja, só podemos usar 0 2 e 1 2. Porém, com a soma de dois desses valores, o máximo que podemos obter é 1 2 +1 2 que dá apenas 2. Logo o 3 não pode ser representado com esses valores. Assim, a afirmação dada está errada, e, como mostramos acima, o inteiro 3 é um contra-exemplo para ela. Quando temos uma afirmação com várias variáveis para todos a, b, c do universo U, é verdade P, podemos ver todas essas variáveis como uma tupla x=(a,b,c), então, a idéia permanece a mesma dar um valor para a tupla x que negue P. Mas isso equivale, simplesmente, a dar um valor para cada variável. A prova por contra-exemplo tem alguma relação com a prova por redução ao absurdo. Não vamos dar detalhes mais profundos, mas vamos mostrar que usamos o mesmo princípio lógico para lidar com implicações nas duas. 7
Para refutar por contra-exemplo uma implicação para todo x, é verdade P Q, a idéia é: achar um valor x=c que negue a implicação P Q. Como a negação dessa implicação é P Q (como comentamos na seção anterior), isso quer dizer que o valor c tem que satisfazer P e negar Q. Veja o próximo exemplo. Exemplo 2: Refutar a afirmação Para todos inteiros a e b: Se a+b é par, então a é par e b é par. Veja que esta afirmação é uma implicação cuja condição é a+b é par e o resultado é a e b são pares. Temos que achar exemplos que satisfaçam o primeiro e neguem o segundo. Prova por contra-exemplo. Sejam os valores inteiros a=3 e b=5. Neste caso, temos a+b=8, que é par (satisfaz a condição). Porém, a=3 não é par (não satisfaz o resultado). Portanto, a afirmação dada é falsa. Muitas vezes, mudar o universo U ao qual se refere uma afirmação pode mudar o seu valor-verdade. No próximo exemplo, damos uma afirmação que seria verdadeira no universo Z (números inteiros), mas é falsa no universo R (números reais). Exemplo 3: Refutar a afirmação Para todo n real: se n 2 é par, então n é par. Prova por contra-exemplo. Seja o real n= 2. Veja que n 2 = ( 2) 2 = 2. Assim, temos que ( 2) 2 é par (afirmamos a condição), porém, 2 não é par (negamos o resultado). Portanto, a afirmação dada é falsa. 8
Contra-Exemplos Gigantes (Curiosidade) Na matemática, algumas conjecturas (afirmações não provadas) duram muitos anos até serem provadas ou refutadas. Em geral, se a conjectura for verdadeira, prová-la (tornando-a um teorema) costuma ser um processo mais complexo, porque o caminho a seguir é desconhecido. Por outro lado, se a conjectura for falsa, refutar a conjectura, em princípio, parece mais simples, pois basta encontrar um contra-exemplo. Para isso, aliás, a Computação é uma aliada importante, pois um matemático pode criar um programa de computador que teste a conjectura com vários valores até achar um valor em que ela falhe. (Com certeza, muitos matemáticos já refutaram conjecturas assim.) O problema são algumas conjecturas que são falsas, mas cujos contra-exemplos são absurdamente grandes, até mesmo para serem achados por um programa de computador. Por exemplo, a chamada conjectura de Polya é falsa, mas o primeiro contraexemplo demorou quase 40 anos para ter sua existência comprovada! Na verdade, não se sabia o seu valor exato, mas estimava-se, inicialmente, que seria um número de mais de trezentos dígitos. (Neste caso, foi feita uma prova de que o contra-exemplo existe, sem dar o seu valor). Depois, foi descoberto um contra-exemplo menor. Isso não é tão comum na Matemática, mas existem outros exemplos de afirmações com contra-exemplos gigantes, que podem ser vistas neste link. Esse tipo de situação reforça o que já dissemos antes: que não basta testar muitos valores para provar uma afirmação geral sobre infinitos objetos, pois pode acontecer de um valor muito grande (que você não vai testar) contrariar a afirmação. Ele veio como testemunha, para testificar acerca da luz, a fim de que por meio dele todos os homens cressem (João cap. 1, verso 7) 9