ESPECIFICAÇÃO DO TEMPO DE SOBREVIVÊNCIA O tempo de sobrevivência é uma variável aleatória T, contínua e positiva. Os valores que T pode assumir têm alguma distribuição de probabilidade que pode ser especificada por algumas funções usadas para ilustrar diferentes aspectos dos dados. EXEMPLO: Uma coorte de 50 pacientes com aids é acompanhada por 1460 dias, observando-se 32 óbitos (evento de interesse). Mais do que o comportamento médio, a análise de sobrevivência permite responder às seguintes perguntas: I. Qual o risco de um paciente diagnosticado com aids vir a falecer em até três anos após o diagnóstico? II. Qual a probabilidade de um paciente sobreviver por mais de dois anos após o diagnóstico de aids? III. Qual seria o número esperado de óbitos em uma coorte de pacientes acompanhada por cinco anos?
FUNÇÕES BÁSICAS DE SOBREVIVÊNCIA Função densidade de probabilidade f(t) o No contexto de sobrevivência a função f(t) pode ser interpretada como o limite da probabilidade de um indivíduo sofrer um evento em um pequeno intervalo por unidade de tempo. o Esta função é definida por f ( t) P( t < T < t + t lim t 0 t ) = o Na ausência de censuras a f.d.p. pode ser estimada como a proporção de indivíduos que falham em um intervalo por unidade de tempo. fˆ ( t) = No _ de _ ocorrência s _ em _( t, t + t) ( No _ total _ de _ ocorrência s) ( t)
A f.d.p. tem as seguintes propriedades: i. É uma função não-negativa ii. A área entre a curva de densidade e o eixo t é igual a 1. Curva de densidade (gráfico de f(t)). 0, 0 ) ( 0, 0 ) ( < = t t f t t f
Função de sobrevivência S(t) o É definida como a probabilidade do tempo de sobrevivência ser maior do que um certo tempo t. S ( t) = P( T > t) o LEMBRANDO: A função de distribuição acumulada F(t) de uma V.A. é definida como a probabilidade de um evento ocorrer até o tempo t. F( t) = P( T t) o Escrevendo S(t) em função de F(t): S( t) = P( T > t) = 1 P( T t) = 1 F( t) o Na prática e na ausência de censura a função de sobrevivência é estimada por No de observaçõe s sob risco T S ˆ ( ( t) = > No _ total _ de _ observaçõe s t)
CURVA DE SOBREVIVÊNCIA o A partir da curva de sobrevivência é possível encontrar os percentis de T, bem como comparar a sobrevivência de dois ou mais grupos. Figura 2.3: Funções de sobrevivência para dois grupos de pacientes tratados com a droga A (Grupo 1) e com a droga B (grupo 2).
IMPORTANTE: 1. O tempo de vida dos pacientes do grupo 1 é superior ao dos pacientes do grupo 2. 2. Para os pacientes do grupo 1, o tempo para o qual cerca de 50% (tempo mediano) deles estarão mortos é de 20 anos. 3. Para os pacientes do grupo 2 o tempo mediano é menor (10 anos). 4. Cerca de 90% dos pacientes do grupo 1 ainda estarão vivos após 10 anos do início do estudo. 5. Cerca de 50% dos pacientes do grupo 2 ainda estarão vivos após 10 anos do início do estudo.
Função de risco h(t) o É definida como a probabilidade de um indivíduo sofrer o evento entre o tempo t e t+ t, dado que ele sobreviveu até o tempo t. o Expressa o risco instantâneo de ocorrência de um evento em um pequeno intervalo de tempo, dado que até então o evento não tenha ocorrido. h( t) P( t T < t + t T t) lim t 0 t = o IMPORTANTE: h(t) é uma taxa e não uma probabilidade, pode assumir qualquer valor positivo. o Na ausência de censura a função de risco é estimada por o N(t): Número de eventos observados em cada intervalo de tempo (iniciando em t). o R(t): Número de observações sob risco no início do intervalo. o t: amplitude do intervalo. hˆ ( t ) = R N ( t ( t ) ) t
Figura 2.4: Funções de risco: --- crescente, constante e _._._. decrescente. A função crescente indica que o risco do paciente aumenta com o transcorrer do tempo: Risco de solidificação de uma fratura óssea. A função constante indica que o risco não se altera com o passar do tempo: Risco de fratura em escolares por 12 meses. A função decrescente mostra que o risco dimunui à medida que o tempo passa: Risco de óbito pós-cirúgico.
A função de risco pode ter outras formas. A curva de risco para o tempo de vida de seres humanos é conhecida como curva da banheira e tem risco decrescente no período inicial, representando a mortalidade infantil, constante na faixa intermediária e crescente na porção final. Figura 2.4: Curva da Banheira.
Função de risco acumulado H(t) o Mede o risco de ocorrência do evento até o tempo t. H ( t) = t 0 h( x) dx o A função H(t) não tem interpretação direta mas pode ser útil na avaliação da função de risco. o Como por exemplo na estimação não paramétrica em que H(t) apresenta um estimador com propriedades ótimas e h(t) é difícil de ser estimada. o Em procedimentos de análise gráfica para verificação da adequação de modelos estatísticos. o Também é uma taxa, logo não está restrita ao intervalo [0,1]
RELAÇÃO ENTRE AS FUNÇÕES BÁSICAS DE SOBREVIVÊNCIA S( T) = 1 F( T) h ( T ) = f ( t) S (t) t H( t) = ln( S( t)) S( t) = exp( H( t))
DEMONSTRAÇÃO
Exemplo 1:
Tempo de sobrevivência de pacientes com aids (sem censura): Intervalo R(t) (risco) N(t) (evento) t f ˆ ( t ) S ˆ ( t ) hˆ ( t )