NOTAÇOES R : conjunto dos números reais N : conjunto dos números naturais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i2 = z : módulo do número z E C det A : determinante da matriz A d(a, B ) : distância do ponto A ao ponto B d(p,r) : distância do ponto P à reta r AB : segmento de extremidades nos pontos A * A : medida do ângulo do vértice A [a,b} = {x E R : a < x < b} [a,b[ = {x E R : a < x < b} }a,b] = {x E R : a < x < b} }a,b[ = {x E R : a < x <b} (/ 0 g)(x) = / (g(x)) X \ Y = {x E ^ e x E Y} n E ak = a0 + a+ a2 + + an, ^ íd o n inteiro k=0 Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares. Q uestão. Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB =, BC = 7 cm e CA = 8 cm, A circunferência inscrita no triângulo tangeneia o lado AB no ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento do segmento NK, em cm, é A ( ) 2. B ( ) 2^2. C ( ) 3. 7 ( ) 2^ 3- E ( ) 2 Q uestão 2. Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x0 é igual a A ( ) 5x2 + 7x + 9 B ( ) 3x2 + 6x + 8 C ( ) 3x2 + 6x + 2, ( ) 7x2 + 5x + 9 E ( ) 9x2 + 3x + 0,
Q uestão 3. Sejam a e b números inteiros positivos, Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos í b \ 2 de uma progressão geométrica de razão - e o termo independente de ( ax----= ) é igual a 7920, 2 V y/xj então a + b é A f ) 2. B M 3. C í ) 4. M5. E í ) 6. Q uestão 4. Considere as funções f,g : R ^ R dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a,b,c,d G R, a = 0 e c = 0, Se f - o g- = g- o f -, então uma relação entre as c onstantes a,b,ce d é dada por A ( ) b + ad = d + bc. B ( ) d + ba = c + db. C ( ) a + db = b + cd, ( ) b + ac = d + ba E ( ) c + da = b + cd. Q uestão 5. Sejam x,...,x5 e y,..., y5 números reais arbitrários e A = (a -) uma matriz 5 x 5 definida por a - = x* + y- < i, j < 5, Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é A ( ). B ( ) 2. C ( ) 3. ( ) 4. E ( ) 5. Q uestão 6. Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 3 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n, Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 5/, Então, os valores d e ^ m são, respectivamente, A ( ) 2 e. B ( ) 3 e 0. C ( ) 4 e 9. ( ) 5 e 8. E ( ) 6 e 7. Q uestão 7. Considere a definição: duas eireunferêneias são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares, Com relação às eireunferêneias C : x2 + (y + 4)2 = 7 C2 : x2 + y2 = 9 e C3 : (x 5)2 + y2 = 6, podemos afirmar que A ( ) somente Ca C2 são ortogonais, B ( ) somente C ^ C3 são ortogonais, C ( ) C2 é ortogonal a C ^ a C3, ( ) C^ C2 (i C3 são ortogonais duas a duas, E ( ) não há ortogonalidade entre as eireunferêneias, Q uestão 8. As plano complexo, raízes do polinómio + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 + z7, quando representadas no formam os vértices de um polígono convexo cuja área é A V2 3^2 + 2,, Z 2 + C ( ) V2. { } 2 ' E ( ) ^ 2.
Q uestão 9. Se log2 n = a e log5 n = b, então a < > a + 2' d < > 2 < a + i 2 i i 2 <a + b - I. 2 < _ a + 7- b C( ) < < 3 a + b 2' Q uestão 0. O lugar geométrico das soluções da equação x2 + bx + = 0, quando b < 2, b G R, é representado no plano complexo por A ( ) dois pontos. C ( ) uma circunferência menos dois pontos. E f ) uma eireunferêneia. B ( ) um segmento de reta. ( ) uma eireunferêneia menos um ponto. Q uestão. Em um triângulo de vértices A, B e C são dados B = n/2, <7 = n /3 e o lad o BC = cm. Se o lado AB é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à eireunferêneia, em cm2, é n 3y/3 n 5n 3y/3 B ( C ( 8 6 ' j 4 2' ' 8 4 5^3 n F (. 5n 3^3 6 8' ^ 8 6 ' t s 3x _3t gx Q uestão 2. Com relação à equação - 2----+ = 0, podemos afirmar que 3tg 2x n n A no intervalo a soma das soluções é igual a 0. "2 2 n n B no intervalo a soma das soluções é maior que 0. 2 2 L C a equação admite apenas uma solução real existe uma única solução no intervalo ~ 2 existem duas soluções no intervalo 2 o Q uestão 3. Sejam A e B matrizes quadradas n x n tais que A + B = A B e In a, matriz identidade n x n. as afirmações: I. In B é inversível; II. In A é inversível; III. A B = B A. é (são) verdadeira (s) A ( ) Somente I. B ( ) Somente II. C ( ) Somente III. ( ) Somente I e II. E ( ) Todas.
Q uestão 4. Se o sistema valores do parâmetro a são x + y + z 2 a2y + (2a4 a)z x + ay + (a3 )z 0 0 admite infinitas soluções, então os possíveis 0 A ( ) 0, Vã W 3 2, 2 B 0,, Vã + Vã 2, 2 ' C ( ) 0, + Vã + Vã 2, 2 ' 0,, Vã, + Vã. E ( )0,, Vã, + Vã. x x2 x3 2 ã 4 Q uestão 5. Considere a matriz ã 4 5 2 2 p(x) = deta, então o produto das r ízes de p(x) é A 2 c ( ) 5, x e R. Se o polinómio p(x) é dado por 7 E ( ) I r Q uestão 6. Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3 em, 4 em e 5 em. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em cm3: A ( ) 0. B ( ) 2, C ( ) 5. ( ) 20, E ( ) 80. Q uestão 7. Os triângulos equiláteros ABC e AB têm lado comum AB. Seja M o ponto médio de AB e N o ponto médio de C. Se MN = CN = 2 cm, então a altura relativa ao lado C do triângulo AC mede, em cm, A V6Õ V5õ c Vlô V8ô E ( ) 2V6 ~ã~ Q uestão 8. Uma progressão aritmética (ai,a2,...,an) n E N, a soma da progressão é igual a 2n2 + 5n. a a2 a3 da matriz a4 a5 a6 é a7 + 2 ag a<9 satisfaz a propriedade: para cada Nessas condições, o determinante A ( ) 96. B ( ) 85. C ( ) 6ã. ( ) 99. E ( ) 5.
Questão 9. São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P é a probabilidade de que pelo menos uma bola seja preta e P2 a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então P+ P2 vale A( ) 8 5 7 5 CM 6 5 ( ). E ( ) 7 5' Questão 20. Para que o sistema reais de c pertencem ao conjunto x + y x3 + y3 c 2 admita apenas soluções reais, todos os valores A ( ) ( ) u " " <x, B ( ) oo, - U, oo C ( ) - 4 4_ 4 2, 4 A ' A -, CO E ( ) oo, U -, oo 2 V J 2 2 AS QUESTÕES ISSERTATIVAS, NUM ERAAS E 2 A 30, EVEM SER RESOLVIAS E RESPO N I AS NO CAERNO E SOLUÇÕES. Questão 2. Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 5. etermine o número de vértices do poliedro. Questão 22. Encontre o conjunto solução S C R da inequação exponencial: 3x-2 + E 3x+k ^ k= 4 08 T ã - Questão 23. No plano cartesiano são dadas as circunferências C: x2+y2 = e C2 : (x 4)2+y2 = 4. etermine o centro e o raio de uma circunferência C tangente simultaneamente a C<òC2, passando pelo ponto A = (3, M )- n n Questão 24. Seja z cos + isen 7 7 Pedem-se: kn kn n 3n 5n a) Use a propriedade zk cos + isen, k G N, para expressar cos, cos e cos em íunçao de z. b) etermine inteiros a e b tais que a n 3n 5n co^- + c o ^ - + cos. b 7 7 7 Questão 25. Uma reta r separa um plano n em dois semiplanos nq e n2. po ntos R B tais que A G ^ e B G n2 de modo que d(a, r) = 3 d(b, r) = 6 e d(a, B) = 5. Uma circunferência contida em n ^^^^a pelos pontos A e B e ^^ontra r ^^^ontos R N, etermine a menor distância possível entre os pontos M e N.
Questão 26. e uma caixa que contém 0 bolas brancas e 6 bolas pretas, são selecionadas ao acaso k bolas. a) Qual a probabilidade de que exatamente r bolas sejam brancas, nas condições 0 < k r < 6 e 0 < k < 0. b) Use o item (a) para calcular a soma Ê ( 0 ) ( 6 r r= 0 V 7 v Questão 27. Quantos pares de números inteiros positivos (A, B) existem cujo mínimo múltiplo comum é 26 x 03? Para efeito de contagem, considerar (A,B) = (B,A). Questão 28. A aresta lateral de uma pirâmide reta de base quadrada mede 3 cm e a área do círculo 25n inscrito na base mede cm2. ois planos, ni e n2, paralelos à base, decompõem a pirâmide em 2 três sólidos de mesmo volume. etermine a altura de cada um desses sólidos. Questão 29. Seja p(x) um polinómio não nulo. Se x3 4x2 + 5x 2 e x3 5x2 + divisores de p(x), determine o menor grau possível de p(x). Questão 30. No plano cartesiano são dados o ponto P = (0, 3) e o triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 0) e C = (3, 2). etermine um ponto N sobre o eixo dos x de modo que a reta que passa por P e N divida o triângulo ABC em duas regiões de mesma área.