Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 21 Três objetivos i. Redução de custos (custos variáveis) ii. iii. Redução de capital (investimento, custos fixos) Melhoria do serviço (pode conflitar com os dois objetivos acima). Se há um conjunto de pontos dispersos com demandas, então, quais são os custos mínimos para fornecer os produtos a esses pontos de demanda? Algumas formas de modelar esse problema são: a) caminho de custo mínimo b) minimum spanning tree problems-mst c) problemas de roteamento de veículo-vrp d) problemas de localização e) problemas de localização e roteamento 0) Algumas definições N={1,2,...,n}: um conjunto finito de elementos chamados de nós ou vértices. E={1,2,...m}: um conjunto de pares de nós, (i,j) chamados de aresta. Definição 1: G(N,E) é chamado de grafo. Definição 2: Grafo completo é o grafo que possui todas as ligações possíveis entre os nós. Definição 3: Grafo orientado é um grafo onde as arestas são pares ordenados. Neste caso a aresta (i,j) é chamada de arco (i,j) onde i é o nó inicial e j o nó final do arco. Caso contrário o grafo é dito não orientado. 1) Caminho de custo mínimo O problema do caminho mais curto shortest path problem, consiste em encontrar o melhor caminho entre dois pontos/nós. Assim, resolver este problema pode significar determinar o caminho entre dois nós com o custo mínimo, ou com o menor tempo de viagem ou com a máxima capacidade. ALGORITMOS: Dijkstra Floyd
Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 22 2) Minimum spanning tree problems-mst O problema da mínima arborescência-mst é o de conectar n nós em uma rede sem ciclos (árvore geradora) e com o mínimo de peso/custo total possível (árvore geradora mínima). ALGORITMOS: Prim Kruskall 3) Problemas de roteamento de veículo-rvp Se ao realizamos uma entrega aos n clientes usando apenas um único veículo, ou seja, a capacidade do veículo não é uma restrição, com o veículo retornando ao depósito após a entrega final, temos o problema do caixeiro viajante-tsp. Se necessário mais de um veículo temos um problema de roteamento de veículos. Seja: Dados: G = (N,E) um grafo orientado completo N = C {0,n+1} conjunto total de nós onde C = {1,2,...,n} conjunto dos n clientes Um depósito representado por 0 (nó de saída) e n+1(nó de chegada que é o mesmo local) E = {(i, j) i, j N, i j, i (n+1), j 0} conjunto de arcos de conexão entre os nós; nenhum arco começa no nó n+1 e nenhum arco termina no nó 0. Todas as rotas começam em 0 e terminam em n+1 cij custo para percorrer o arco (i,j) entre as cidades/nós i e j tij tempo para percorrer o arco (i,j) incluindo o tempo de atendimento do serviço do cliente i di demanda do cliente i K número de veículos idênticos com capacidade Q, situados no depósito D duração máxima da rota Objetivo: minimizar o custo total das viagens sujeito as seguintes restrições Restrições: i. Cada rota inicia e termina no depósito ii. Cada cliente pertence somente a uma rota iii. A demanda total de uma rota não pode exceder a capacidade do veículo iv. O tempo de viagem de uma rota não pode exceder o limite de tempo D Variáveis: para todo veículo k e todo arco, xijk {0, 1} xijk = 1 se o veículo k percorre o arco (i,j), (i,j)e, kk
Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 23 Função objetivo: min Restrições:, o cliente i é designado a um único carro k, c d,, kk a demanda total da rota do veículo k não excede a sua capacidade Q, t, kk a duração da rota do veículo k não excede o limite de tempo D,, kk cada veículo k tem que partir do depósito 0 só uma vez,,, hc, kk se o veículo k entra no nó h ele deve sair de h - restrição de fluxo em redes,,,, kk cada veículo k retorna ao depósito n+1 só uma vez is j S x ijk n S 1, S C, 2 S, k K 2 garante que não existem sub-rotas 4) Problemas de localização de facilidades Normalmente, ao localizar uma instalação, vários fatores desempenham um papel: localização dos fornecedores, localização dos clientes, regulamentos, salários, preços do solo, etc. Em muitos problemas de localização, assume-se que a localização ideal é aquela que minimiza a soma das distâncias para os pontos relevantes. No entanto, existem muitas versões de problemas de localização. Os problemas resultantes são, entre outros, problemas da p-mediana e problemas simples de localização de planta (p-centros). Uma extensão é permitir locais de modo que cada ponto de demanda seja no máximo M quilômetros de uma instalação (problemas de cobertura). Outra extensão é levar em conta o roteamento ao localizar instalações: localização e roteamento. Geralmente, os dados utilizados são: J conjunto de n nós que representam os clientes, j=1,..., n I conjunto de m locais candidatos à localização de facilidades, i=1,..., m, m n qj demanda do cliente j dij distância do cliente j à facilidade localizada em i
Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 24 cij custo de atender a demanda qj a partir da facilidade localizada em i fi custo fixo de instalação da facilidade em i Qi capacidade da facilidade localizada em i Tipos de problemas: a) p-medianas localização de p facilidades e a designação de clientes às facilidades de modo a minimizar a soma das distâncias às facilidades. b) p-centros localização de p facilidades e a designação de clientes às facilidades de modo a minimizar a distância máxima de clientes às facilidades. c) Variantes dos 2 problemas p-medianas e p-centros com capacidade limitada. Inclui-se uma capacidade Q no local i Localização de facilidades com capacidade ilimitada - Localização de facilidades e a designação de clientes às facilidades de modo a minimizar o custo fixo de instalação de facilidades e o custo variável de atendimento das demandas dos clientes. x : fração da demanda qj atendida pela facilidade localizada em i, ij i I, j J Localização de instalações com capacidade limitada. Acrescenta-se no problema anterior uma capacidade Q ao local i. Localização de facilidades com capacidade limitada e fonte única - Este problema difere do anterior pelo fato de que um cliente deve ser atendido a partir de uma única instalação. a) Modelo matemático de p-medianas Localização de p facilidades e a designação de clientes às facilidades de modo a minimizar a soma das distâncias (distância total) às facilidades. i. Toda a demanda de um cliente é atendida por um único centro (mediana) ii. Todo ponto de demanda deve ser servido pelo centro mais próximo iii. Os vértices coincidem com os pontos de demanda iv. Não existem restrições de capacidade nos vértices v. Os custos fixos de implementação não são considerados Dados: cij custo para designar o cliente j à facilidade i p número de facilidades a serem instaladas Variáveis: yi {0, 1} yi = 1 se a facilidade é instalada no local i
Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 25 xij {0, 1} xij = 1 se o cliente j for designado à facilidade i Objetivo: minimizar o custo total de designações Função objetivo: min c Restrições: i., o cliente j só é atendido pela facilidade i ii. i, o cliente j não pode ser designado à facilidade i se ela não for instalada iii. p p facilidades deverão ser instaladas b) Modelo matemático de p-centros (modelos minimax) Localização de p facilidades e a designação de clientes às facilidades de modo a minimizar a máxima distância de clientes às facilidades. Nova variável: r distância máxima permitida de um cliente a uma facilidade Nova função objetivo: min r Restrição adicional: d r, r é o limitante superior da distância de cada cliente j a uma facilidade i Tanto o problema de p-medianas quanto o problema de p-centros, formulados como problemas de otimização, pertencem à classe dos NP-hard. Problemas dessa classe são pelo menos tão difíceis, nos termos de complexidade algorítmica, quando qualquer outro problema da classe NP. Mais detalhes sobre complexidade podem ser encontrados em https://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/aulas/npcompleto.html. 5) Problemas de localização e roteamento-lrp Em alguns casos, as entregas a múltiplos pontos de demanda podem ser combinadas em tours de entrega única (venda ambulante). Então vale a pena decidir simultaneamente sobre localização e rota. É necessário decidir em conjunto, porque se não levar o roteamento em conta na fase de localização, a localização pode ser (muito) subótima.
Volmir Eugênio Wilhelm Departamento de Engenharia de Produção UFPR 26 O Location-Routing Problem-LRP é um problema muito complexo. Os métodos exatos geralmente são muito lentos. Heurísticas hierárquicas (localização primeiro, depois roteamento), por exemplo, agrupar primeiro, rotear depois, são muito utilizadas.