Tipos de forças - As forças em físicas podem ser divididas em dois grandes grupos que são: - a) forças conservativas: são forças cujo trabalho não depende da trajetória. Exemplo: força gravitacional, elástica, eletrostática etc; - b) forças não conservativas: são forças onde o trabalho depende da trajetória. - Exemplo: força atrito.
Propriedades das forças conservativas - a) O trabalho realizado pela força F para levar a partícula da posição 1 até a posição 2 pelo caminho L1 é igual ao trabalho para levar a partícula da posição 1 até a posição 2 pelo caminho L2; - b) Se o sentido da trajetória é invertido, então o trabalho muda de sinal, ou seja; - Resumindo essas duas propriedades temos que:
Integral de linha
Propriedades das forças conservativas e trabalho realizado por uma força eletrostática - Obs: Qualquer força que possua a dependência será conservativa, portanto a força de Coulomb é conservativa. Trabalho realizado pela força eletrostática: Quando uma carga se desloca em um campo eletrostático a força eletrostática realiza um trabalho. Para um deslocamento infinitesimal de uma carga pontual o trabalho realizado será: onde é um vetor infinitesimal tangente a trajetória
Trabalho realizado por uma força eletrostática e energia potencial eletrostática - O trabalho realizado pelo campo eletrostático em uma carga faz com que energia potencial do sistema isolado campo-carga varie de uma quantidad igual a: A energia potencial U do sistema por unidade de carga é independente do valor da carga e possui um único valor para cada ponto no campo eletrostático. Portanto a grandeza, que é independente do valor da carga recebe o nome de potencial elétrico.
Diferença de potencial em um campo uniforme Obs: Como a carga de prova é positiva então a variação da energia potencial é negativa. Isto significa que qdo uma carga de prova se desloca no sentido das linhas de campo a energia potencial elétrica do sistema carga-campo diminui. Isto acontece porque como o campo tem a direção -Y é de se esperar que cargas negativas localizadas abaixo da carga de prova estão gerando esse campo. Ao liberar a carga de prova de uma posição A ela vai acelerar até a posição B. Consequentemente sua energia cinética aumentará o que deve gerar uma redução na energia potencial.
Diferença de potencial em um campo uniforme Obs: Portanto, o plano perpendicular as linhas de campo onde o potencial é constante recebe o nome de superfície equipotencial. Tendo em vista que a variação da energia potencial elétrica é, nenhum trabalho é realizado para mover uma partícula entre dois pontos em uma superfície equipotencial.
Exemplo de superfícies equipotenciais
Exemplo de superfícies equipotenciais
Potencial elétrico e energia potencial de cargas pontuais Para O potencial elétrico de duas ou mais cargas é obtido aplicando-se o princípio da superposição, ou seja:
Energia potencial de um grupo de cargas - Obs1: Entendemos por energia eletrostática de um grupo de m cargas pontuais como a energia potencial do sistema relativo ao estado em que as cargas estão infinitamente afastadas umas das outras. - Obs2: Esta energia pode ser obtida calculando-se o trabalho para reunir todas as cargas, trazendo uma de cada vez. - Obs3: O trabalho para trazer uma carga do infinito até a carga a uma distância é igual a: onde é o potencial criado pela carga no ponto para onde é trazida a carga que está sendo transportada. Do mesmo modo, o trabalho para trazer a carga do infinito até a uma distância é igual a: onde é o potencial criado pela carga no ponto para onde é trazida a carga que está sendo transportada.
Energia potencial de um grupo de cargas - Portanto podemos escrever que: - Para incluir todas as possibilidades de transporte de cargas, vamos escrever a última expressão da seguinte maneira: - A fórmula acima expressa a energia potencial para um sistema constituído de duas cargas. Para trazer uma nova carga deve-se realizar a seguinte trabalho: - onde é o potencial criado pela carga e no ponto para onde é trazida a carga. A energia des novo sistema de cargas vale:
Energia potencial de um grupo de cargas - A última expressão pode ser reescrita como segue: Se mais cargas forem adicionadas a este sistema de modo que o número total de cargas seja N então a energia potencial tem a forma:
Gradiente de uma função escalar - O gradiente é definido matematicamente como segue: - Portanto, o gradiente do potencial elétrico tem a forma: - Como o campo elétrico pode ser escrito através de menos (-) o gradiente do potencial elétrico temos que: Para esclarecer o significado físico do gradiente vamos multiplicar escalarmente o gradiente da função V pelo vetor deslocamento, ou seja:
Gradiente de uma função escalar Portanto, podemos escrever que: Como podemos observar, o produto escalar do gradiente do potencial elétrico pelo vetor deslocamento é igual ao diferencial da função V. Como o produto escalar dá informação sobre a projeção de um vetor sobre uma determinada direção, isso significa dizer que a projeção do gradiente na direção do raio vetor é igual ao incremento que a função V(x,y,z) sofre quando o argumento aumenta em dr. Em outras palavras, da informação sobre o crescimento de uma certa função em uma dada direção.
Potencial produzido por uma distribuição de cargas Potencial elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas: o potencial produzido por uma carga puntiforme tem a forma: Uma vez que o princípio da superposição vale tanto para o campo como para o potencial, podemos tomar um elemento infinitesimal de uma distribuição volumétrica de cargas e escrever o elemento infinitesimal desse potencial da seguinte forma: más por outro lado. Dai o potencial produzido por uma distribuição volumétrica de cargas assume a seguinte forma: onde r é a distância entre o elemento de volume dv e o ponto onde se calcula o potencial Potencial elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas: se as cargas encontram-se em uma superfície qualquer, então a distribuição de cargas pode ser caracterizada por uma densidade superficial de cargas. Neste caso, em um elemento infinitesimal de área da teremos uma carga igual a. Portanto o potencial em um ponto qualquer do espaço vale:
Propriedades do potencial eletrostático - 1) O potencial é uma grandeza escalar, portanto não existem componentes a serem tratadas. Isto significa que o princípio da superposição se reduz a uma soma algébrica. - 2) Como acontece com a energia potencial em mecânica, somente variações do potencial eletrostático são significativas. Neste sentido escolhe-se um ponto onde o potencial possa ser considerado nulo como ponto de referência. Este ponto é geralmente tomado no infinito. - 3) O potencial devido a uma distribuição de cargas pode ser calculado dividindo-se a distribuição em um elemento infinitesimal de carga dq situado a uma distância r. Esse elemento é então tratado como uma carga pontual que produz um potencial no ponto P igual a. O potencial total é então obtido pela integração em todo o volume.
Propriedades do potencial eletrostático - 4) Se é conhecido o campo E, o potencial também pode ser obtido através da integral. - 5) Uma vez conhecida a função V(x,y,z) é possível determinar o campo elétrico através do gradiente da função V.
Potencial devido a um anel uniformemente carregado - 1) Obter o potencial e o campo elétrico em um ponto P situado no eixo de um anel uniformemente carregado de raio a e carga total Q.
Potencial devido a um disco uniformemente carregado - 2) Obter o potencial e o campo elétrico ao longo do eixo que passa perpendicularmente pelo centro de um disco de raio a e densidade superficial de carga.
Potencial devido a uma barra uniformemente carregada - 3) Obter o potencial de uma barra de comprimento l e carga total Q que está disposta ao longo do eixo X. O ponto P onde se deseja obter o potencial está localizado a uma distância y da origem no eixo Y.
Diferença de potencial em um condutor em equilíbrio eletrostático
Diferença de potencial em uma esfera condutora maciça
Distribuição de cargas em esferas de raios diferentes (efeito das pontas)
Momento de dipolo e torque de um dipolo em um campo elétrico uniforme a) momento de dipolo b) torque c) energia potencial d) força sobre um dipolo em um campo não uniforme