SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E A INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES EM ÁRVORES DE TIPO I

SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E A INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES EM ÁRVORES DE TIPO I Stanley Rodrigue*, Claudia Marcela Jutel Seção de Engenharia Sitema e Computação,Intituto Militar de Engenharia Praça General Tibúrcio, 80, 22290-270, Praia Vermelha, Rio de Janeiro, RJ, Brail *tanleyy@gmailcom RESUMO Ete trabalho propõe uma abordagem do problema de adição de vértice pendente em uma família de árvore, ob a condição de que a conectividade algébrica deta árvore não e altere Para io foram realizado experimento de alteração na etrutura de árvore de Tipo I, para tentar encontrar o limite de vértice pendente que podem er inerido nea árvore, em alterar a conectividade algébrica Para encontrar ee limite, também é propoto um algoritmo utilizando conceito da teoria que relacionam a conectividade algébrica de árvore de Tipo I ao autovalore de matrize quadrada de número não-negativo Palavra-chave: Teoria epectral de grafo, conectividade algébrica, árvore de Tipo I ABSTRACT Thi paper propoe an approach to the problem of adding pendant vertice in a family of tree, under the condition that the algebraic connectivity of thi tree doe not change Experiment were performed for thi change in the tructure of Type I tree, to try to find the limit of pedant vertice that can be inerted in thee tree, without changing the algebraic connectivity To find thi limit, it i alo propoed an algorithm uing concept from the theory that relate the algebraic connectivity of tree Type I with the eigenvalue of a quare matrix of nonnegative number Keyword: Spectral Graph Theory, Algebraic Connectivity, Type I Tree 4 o Trimetre de 2015 15

INTRODUÇÃO Na área de problema de Teoria Epectral de Grafo, a conectividade algébrica é um invariante batante etudado, uma vez que por meio dele é poível avaliar o quão conexo é um grafo Por er uma medida mai enível que o conhecido parâmetro de conectividade de vértice e areta, muito enfoque é dado em algoritmo que poam otimizar a conectividade algébrica quando e altera a etrutura de um grafo (Abreu, 2007) A primeira definiçõe e reultado a repeito da conectividade algébrica de um grafo foram propota por Fiedler, que provou que um grafo deconexo tem a conectividade algébrica nula (Fiedler, 1973) Em um trabalho poterior, o etudo paou a abranger também a influência do autovetore correpondente a no vértice do grafo, mai preciamente para o cao de árvore, e acabou por apreentar o critério que permitem a claificação dea em árvore de Tipo I e Tipo II Noo trabalho envolve a alteração da etrutura, por inerção de vértice pendente, da árvore de Tipo I Dee modo daremo atenção ao conceito a repeito dee grafo em particular Ete trabalho tem como objetivo etudar o comportamento da conectividade algébrica quando e altera a etrutura de uma família particular de árvore de Tipo I Para io, erão apreentado na eçõe eguinte a decriçõe de experimento no quai buca-e determinar uma família de árvore em que a adição de um vértice pendente (grau um) não caue alteração na ua conectividade algébrica O trabalho também apreenta um algoritmo propoto para encontrar o limite da inerção de vértice pendente nea família de árvore, de acordo com parâmetro fornecido a repeito da etrutura da árvore ante da alteração TRABALHOS RELACIONADOS O trabalho de (Grone & Merri, 1987) foi o primeiro a abordar a adição de vértice em uma árvore obervando ua conectividade algébrica, e provando que para uma árvore de Tipo I, formada por um caminho com número ímpar de vértice, é poível inerir vértice pendente no vértice caracterítico em alterar a conectividade algébrica Em (Mok-Aoyama, 2008) é provado que o problema do aumento máximo da conectividade algébrica é NP-Completo Mai recentemente, em (De Oliveira, 2012) é propota uma heurítica baeada na excentricidade de vértice para obter maior crecimento da conectividade algébrica de um grafo na inerção de uma areta Em (Kirkland, 2010) ão etabelecido para um grafo, do qual é retirado um vértice, o limite da diferença aboluta e relativa entre a conectividade algébrica de e No trabalho de (Lee, 2012) ão obervado cao de inerção de vértice em alterar a conectividade algébrica de uma família de árvore Em (Albuquerque, 2012) ão analiada determinada família de grafo do quai e remove um vértice de grau 16 4 o Trimetre de 2015

No entanto nee doi último trabalho não é utilizada técnica de algoritmo para verificar o limite de inerção de vértice pendente, em alteração da conectividade algébrica, utilizando conceito de raio epectral de matrize não negativa FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E SOLUÇÃO PROPOSTA A conectividade algébrica foi inicialmente etudada por Fiedler, que em 1973 definiu o primeiro conceito e provou a relação dea medida, que pode er repreentada pelo egundo menor autovalor da matriz Laplaciana de um grafo Para um grafo onde é o conjunto de vértice E e é o conjunto de areta pode-e calcular para ee grafo a matriz Laplaciana L (G) = D (G) A (G) tal que, D(G) é a matriz diagonal do grau do vértice e A(G) é a matriz de adjacência dada por A matriz L(G) é imétrica, portanto exitem n autovalore reai correpondente Além dio, há uma bae ortogonal do epaço formado por autovetore da matriz L(G) Dentre o autovalore de L(G) o egundo menor dele, λ 2 = a (G), correponde à conectividade algébrica e eu autovetor aociado é chamado vetor de Fiedler A Figura 1: Grafo G (V, E) de ei vértice e ua matriz Laplaciana motra um grafo G e para ele a matriz Laplaciana correpondente Figura 1: Grafo G de ei vértice e ua matriz Laplaciana No trabalho de (Fiedler, 1973) foi provado que empre que um grafo é conexo, temo λ 2 > 0 além de vário outro conceito definindo a conectividade algébrica para diferente tipo de grafo Em (Fiedler, 1975) ão encontrado reultado obre grafo e a conectividade algébrica relacionada agora ao conjunto de eu autovetore correpondente, ou vetor de Fiedler, denotado ξ (G) Ete trabalho também etudou de maneira mai particular a árvore, que ão grafo conexo e em ciclo, abrindo caminho para claificação dee grafo de acordo com o valore do autovetor y = ξ (G) aociado à conectividade algébrica Como o valore dee vetor y podem er aociado a cada um do vértice de uma árvore, diz-e que e dentre o componente, y i, 1 i n, onde n é o número de vértice da árvore, do vetor há algum y i = 0 então a árvore T é árvore de Tipo I, cao contrário é chamada árvore de Tipo II A árvore de Tipo I e Tipo II diferenciam-e também pelo chamado vértice caracterítico, que no cao da árvore de Tipo I é o único vértice do grafo cujo valor do vetor de Fiedler aociado é zero e é adjacente a vértice em que ee valor é diferente de zero Já na árvore de Tipo II todo o valore de y i ão diferente 4 o Trimetre de 2015 17

de zero, o vértice caracterítico para ea árvore ão doi, e ete vértice p e q ão o único adjacente que repeitam a condição y p > 0 e y q < 0 Em (Grone & Merri, 1987) encontram-e reultado a repeito da inerção de vértice em árvore de Tipo I em que a conectividade algébrica eja alterada, além dio, o trabalho de (Kirkland et al, 1996) motra como podemo calcular a conectividade algébrica de árvore de Tipo I em função de matrize de número poitivo Eta matrize, conhecida na literatura como matrize bottleneck, ão definida como a invera de uma ubmatriz principal da matriz Laplaciana L(T) de uma árvore T, obtida eliminando-e a k-éima linha e coluna referente a um vértice k dea árvore A entrada (i,j) dea matriz é igual ao número de areta de T que etão em ambo o caminho do vértice i até o vértice k, como do vértice j até o vértice k A Figura 2 motra uma árvore de Tipo I formada por um caminho principal e vértice pendente ligado ao vértice caracterítico Para ea árvore é calculada a matriz bottleneck, e a core do ramo dea árvore etão no bloco diagonal correpondente na matriz Figura 2: Árvore de Tipo I e ua matriz bottleneck Kirkland, Neumann & Shader também provaram que o maior autovalor (raio epectral),, da matriz bottleneck é igual ao raio epectral de um ou mai bloco diagonai da matriz, endo chamado valor de Perron O ramo correpondente ao bloco com raio epectral igual ao valor de Perron erão chamado ramo de Perron Ete memo autore também provaram uma propriedade a repeito da conectividade algébrica de uma árvore de Tipo I, em relação ao eu valor de Perron, e que é importante para o entendimento do experimento demontrado nete trabalho O Teorema 2 de (Kirkland et al, 1996) diz que, para uma árvore T(V,E), cujo vértice ão v i V, 1 i n, erá uma árvore de Tipo I, com vértice caracterítico, e e omente e exitem doi ou mai ramo de Perron de T em v k+1 Além dio, nee cao, a conectividade algébrica da árvore erá 18 4 o Trimetre de 2015

A partir da informaçõe fornecida pelo trabalho anteriormente citado, e motivado pela evidência obre adição de vértice em árvore de Tipo I apreentada em (Grone & Merri, 1987), formulamo a pergunta que repreenta o problema explorado nete trabalho Pergunta 1: Qual o número máximo de vértice pendente que podem er adicionado a uma árvore de Tipo I, em alterar a conectividade algébrica dea árvore? Para tentar reponder a ea pergunta, foram realizado experimento em ávore de Tipo I, viando encontrar família de árvore que permitam a inerção de vértice pendente, não alterando a conectividade algébrica A metodologia e o reultado dee experimento ão apreentado na eção a eguir EXPERIMENTOS E RESULTADOS Neta eção, etão decrito o experimento realizado com árvore de Tipo I, na quai e obervou o comportamento da conectividade algébrica e de eu autovetore quando inerimo nea árvore vértice pendente (de grau um) Motivando-e no reultado apreentado em (Grone & Merri, 1987), que obervaram a inerção de um vértice pendente, em uma determinada família de árvore, em que io alterae ua conectividade algébrica, foi elaborada a metodologia de experimento utilizado nete trabalho No experimento deta eção foi utilizado inicialmente a ferramenta gratuita NewGraph (Stevanovic et al, 2003) que permite deenhar grafo e dele obter o elemento algébrico neceário para a pequia (matrize, autovalore e autovetore) O pao báico de cada experimento é a alteração da etrutura dea árvore, adicionando a ela novo vértice pendente, obervando e há a alteração da conectividade algébrica A árvore tetada, no entanto, devem repeitar algun critério de formação O experimento têm como etrutura inicial a árvore chamada Definição: Seja P 2k+1 o caminho adjacente ao vértice e diâmetro par igual a 2k > 2 Em (Rodrigue, 2013) é provado que P 2k+1 é uma árvore de Tipo I Em (Grone & Merri, 1987) etá decrito um cao de inerção de vértice pendente para ea família de árvore, em alteração da conectividade algébrica, quando e inere uma folha empre adjacente ao vértice central v k+1 Já para o experimento realizado nete trabalho, ão etudada árvore formada pela inerção de ub-árvore com mai de um vértice em gerando uma nova família de árvore denominada T n,k,p Definição: A árvore denominada T n,k,p, com p 1, 3 e k 2, e é formada pelo caminho P 2k+1, em que o vértice central, v k+1 do caminho é identificado com uma extremidade do caminho P 1 e uma folha da etrela K 1,p+1 é identificada com a outra extremidade do caminho P T n,k,p Experimento em árvore Para tentar reponder à Pergunta 1 foram inicialmente realizado tete com a árvore denominada T n,k,p que poui n = 2k + p + 1 vértice, com T n,k,p v k+1 = P k K 1,p 4 o Trimetre de 2015 19

Para eta árvore foram adicionado o máximo de vértice p*, para um determinado valor de k, em que a conectividade algébrica da árvore e alterae A Figura 3 apreenta um exemplo báico da árvore T n,k,p, para k = 5 e p = 1, onde erão inerido vértice pendente, como o marcado em vermelho na figura Para ee cao, o máximo de vértice inerido não alterando a conectividade algébrica é p* = 10 Figura 3 Exemplo de árvore T n,k,p, com k = 5, na qual ão inerido vértice pendente Foram tetado então o limite p* de vértice pendente inerido, para a árvore obtida variando o valor de 5 k 13 e k = 20 O valore obtido evidenciam que o crecimento do comprimento do ubgrafo P 2k+1, favorece o crecimento do número máximo de vértice p* que podem er inerido, mantendo a conectividade algébrica A Tabela 1 apreenta o valore de para a árvore T n,k,p tetada e a conectividade algébrica de cada uma dela 2 Tabela 1 Relação entre k e p, tai que (P 2k+1 ) = ( T ) n,k,p p p*, n = 2k + 2 + p 2 2 k p* a ( T ) = nk,p a ( T ) = nk,p* a (P 2k+1 ) p 1 p p* 5 10 0,08101 6 15 0,05812 7 20 0,0437 8 27 0,03405 9 34 0,02728 10 42 0,02234 11 51 0,01863 12 61 0,01577 13 72 0,01352 20 169 0,00587 Experimento obre o máximo número de vértice inerido na árvore T n,k,p Com o memo intuito decrito na ubeção anterior, o tete eguinte bucam encontrar relação entre o limite p* de vértice pendente inerido e o valor de, o comprimento do ramo em que o novo vértice ão inerido Nee cao, além de variar o valor de k na árvore tetada, o valor de é alterado dentro do limite 3 k e verifica-e o limite p* para cada cao A Figura 4 apreenta o cao de tete para a árvore T n,k,p, com k = 5, e 3 5 O tete para ee cao também verificam a árvore com 5 k 13 e k = 20, ma dea vez também variando o valor de, tal que 3 k 20 4 o Trimetre de 2015

Figura 4 Exemplo de árvore de Tipo I, T n,k,p verificada no tete com k 5 e 3 5 Ee cao também evidencia a influência do valor k de no número máximo de vértice pendente que podem er inerido (quanto maior o valor de k maior o limite p*) Em contraponto, para um valor fixo k, o aumento do valor de torna mai difícil a inerção de vértice pendente no extremo do ramo, mantendo a condição 2 a(p 2k+1 ) = a( T n,k,p ), como é poível identificar na Figura 4 T n,k,p Outro cao de inerção de vértice pendente em árvore Como vito anteriormente, para uma árvore de Tipo I teremo no mínimo doi do chamado ramo de Perron no vértice central v k+1, o que para o cao de árvore T n,k,p ão o ramo do ubgrafo P 2k+1 O ramo que recebe o vértice pendente, não é ramo de Perron No experimento dete cao, procurou-e identificar a poibilidade de inerção de ao meno mai um vértice pendente, além do máximo p* de vértice pendente já inerido na ponta do ramo Porém, o novo vértice devem etar ligado a outro vértice não-folha do ramo gerando a árvore denominada T n,k,p + v* Um exemplo etá repreentado na Figura 5, a árvore T n,k,p + v* com k = 9, = 6 e em que o vértice é inerido no penúltimo vértice não-folha do ramo, e é mantida a condição Figura 5 Árvore denominada com 4 o Trimetre de 2015 21

No experimento realizado utilizando toda a árvore, com com e, e, com a árvore já tendo atingido o máximo de vértice pendente na ponta do ramo, foi poível inerir um novo vértice em outra poição mantendo a conectividade algébrica Experimento obre Múltiplo Ramo Inerido na Árvore Outro experimento também permitiram verificar propriedade dea árvore, no que e referem ao número máximo p* de vértice pendente que podem er adicionado em alterar a conectividade algébrica quando mai de um ramo ligado ao vértice central v k+1 recebe vértice pendente, dede que mantida a etrutura do doi ramo de Perron que formam a ub-árvore P 2k+1 Aim endo, vário ramo de diferente comprimento, dede que k, podem er ligado ao vértice v k+1, formando a árvore denominada 1 l Tn,k,p 1 p, onde l é o l número de ramo da árvore em v k+1 Então teremo cada ramo que não eja ramo de Perron com o limite p* de vértice pendente igual ao obervado quando apena um dee ramo etava preente na árvore de Tipo I (cao da trê ubeçõe anteriore) 1 l Na Figura 6 etá repreentada uma árvore Tn,k,p 1 p l, com k = 5 e que conta com trê ramo que não ão de Perron tendo comprimento = 2, = 3, = 4 mantendo a condição a (P 2k+1 ) a( 1 l Tn,k,p 1 p ) l Figura 6 Árvore 2,3,4 T33,5,10,4,2 que mantém a condição a (P 2k+1 ) a( 1 l Tn,k,p 1 p l ) com 5 ramo em v k+1 Tete com o Algoritmo Propoto Uma egunda metodologia experimental foi utilizada para quantidade e o tamanho da árvore de Tipo I tetada Em lugar do tete de adição manual de vértice pendente utilizando o NewGraph, foi deenvolvido um algoritmo que tem como fundamento o teorema de (Kirkland et al, 1996) obre a relação da conectividade algébrica em árvore de Tipo I com o maior autovalor (raio epectral) da ua matriz bottleneck 1 Sabendo que o raio epectral p(l vk+1 ) da matriz bottleneck L -1 vk+1, no vértice v k+1 de uma árvore de Tipo I, é igual ao raio epectral do bloco diagonai correpondente ao ramo de Perron dea árvore, a primeira parte do algoritmo conite em um método para calcular a matriz bottleneck do ramo que a compõem Como o objetivo é adicionar vértice na árvore que não alterem ua conectividade algébrica, io ignifica verificar e o raio epectral p(b ) do ramo que etá endo alterado Deve-e também ter em mente que o maior dentre o raio epectrai do bloco diagonai que compõem L -1 vk+1 é que define a conectividade algébrica, poi temo que a (T )= 1-1 p(l vk+1 ) 22 4 o Trimetre de 2015

Foi utilizado um método de cálculo da matriz bottleneck do ramo que compõem a árvore T n,k,p a partir de parâmetro como o número de vértice e comprimento do ramo Ete método etá decrito no Algoritmo 1 Algoritmo 1: Geração da Matriz Bottleneck do Ramo que não é de Perron em Entrada: n, // Número de vértice do ramo // Comprimento do Ramo Saída: B // B = B a matriz bottleneck do ramo que não é ramo de Perron 1 para i de 1 até n faça 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 para j de 1 até n faça e i > j faça e j < faça B(i,j) = j enão B(i,j) = 1 fim e enão e i == j faça e i faça B(i,j) = j enão e i > faça B(i,j) = fim e enão e i < j faça e i < faça B(i,j) = i enão B(i,j) = 1 fim e fim e fim para fim para O pao eguinte, decrito no Algoritmo 2, é utilizar a informaçõe da matriz bottleneck calculada para verificar quando acontece uma alteração na conectividade algébrica Enquanto T n,k,p tiver p < p o raio epectral p(b ) do ramo que não é de Perron erá empre menor que o raio epectral p(b k ) do ramo de Perron, para atifazer a(p 2k+1 ) = a( T n,k,p ) Sendo aim, o algoritmo calculará iterativamente uma nova matriz bottleneck a cada novo vértice pendente adicionado ao ramo que não é de Perron, e continuará fazendo enquanto p(b ) = p(b k ) O Algoritmo 2 permite calcular o máximo p* de vértice pendente inerido na extremidade do ramo que não é de Perron, para determinado valor de k e com o comprimento do ramo variando entre l min e l max Em uma egunda parte do laço de repetição principal do algoritmo também é poível verificar o máximo p de vér- 4 o Trimetre de 2015 23

tice pendente inerido em outra poição l 2 do ramo, quando o valor de p* já foi atingido Algoritmo 2: Cálculo de p* e p para a árvore T n,q,p Entrada: k, l min l max l 2 Saída: p*, p 1 Calcula ρ(b k ) = 1 a(p 2k+1 ) 2 2 para = l min até l max faça 3 Calcula p (B ) // para o ramo com l max vértice 4 p* = 0; 5 enquanto ρ(b ) < ρ(b k ) faça 6 Inere um vértice pendente no último vértice não folha do ramo paivo; 7 Calcula novo ρ(b ) 8 p* = p* + 1, p = 0 9 enquanto ρ(b ) < ρ(b k ) faça 10 Inere um vértice pendente no vértice l 2 do ramo paivo; 11 Calcula novo ρ(b ) 12 p = p + 1 13 retornar p*, p 14 fim para O tete realizado utilizaram uma implementação dee algoritmo na plataforma Octave 32 (Eaton, 1998), e foram tetada árvore Tn,k,p * p com 5 k 36, k = 40 e k = 50, com 2 k, e com p vértice pendente adicionado na extremidade do ramo e vértice pendente nete memo ramo, porém no vértice adjacente a v k+1 A Tabela 2 apreenta um trecho do reultado, o de árvore com k = 25 e 2 k, e ete, aim como retante do dado obtido com o algoritmo, confirmam o valore de p* já obtido da árvore que puderam er tetada manualmente com o NewGraph A nova árvore de maior dimenão que não puderam er tetada com a técnica manual e agora calculada com auxílio do algoritmo também evidenciam o crecimento de p* diretamente proporcional ao de k e inveramente proporcional ao crecimento de Tabela 2 Dado de p* e p obtido na execução do algoritmo para árvore k p* p* 25 2 261 0 25 3 130 0 25 4 85 8 25 5 63 11 25 6 50 7 25 7 41 7 25 8 34 26 25 9 29 32 25 10 25 38 25 11 22 27 Tn,k,p * p com e 24 4 o Trimetre de 2015

k p* p* 25 12 19 50 25 13 17 25 25 14 15 22 25 15 13 45 25 16 11 83 25 17 10 34 25 18 8 102 25 19 7 81 25 20 6 60 25 21 5 39 25 22 4 22 25 23 3 10 25 24 2 2 25 25 1 0 CONSIDERAÇÕES FINAIS O trabalho apreenta o reultado de experimento realizado durante o etudo do comportamento da conectividade algébrica para uma família de árvore A análie aqui apreentada concentraram-e em árvore chamada, egundo a claificação de (Fiedler, 1975) O experimento de Tipo I bucaram identificar família de árvore para a quai a inerção de vértice pendente não altera a conectividade algébrica O experimento permitiram identificar uma família de árvore de Tipo I denominada Tn,k,p para a qual a inerção de vértice pendente, repeitando alguma condiçõe, não altera a ua conectividade algébrica Para árvore Tn,k,p, com k 2 e 2, foi poível obervar que o número de vértice pendente inerido, não alterando a conectividade algébrica, e relaciona com o número de vértice do ubgrafo P 2k+1 O limite do número de vértice pendente inerido também foram verificado utilizando o algoritmo apreentado na eção anterior em tete com árvore Tn,k,p, com 5 k 36, k =40 e k =50, e com 2 k para cada k tetado O algoritmo permitiu ampliar a quantidade de árvore etudada, além de permitir verificar árvore de maior dimenão, em tete que confirmaram a relação do número de vértice pendente inerido com o número de vértice do ubgrafo P 2k+1 O reultado do experimento decrito nete trabalho permitiram formar uma bae de dado que, aociada ao conceito teórico da literatura diponível, direcionou a formalização teórica da família de árvore Tn,k,p e a formulação de teorema obre o limite de vértice inerido nea árvore, mantendo inalterada a conectividade algébrica, que foram apreentado em (Rodrigue, 2013) 4 o Trimetre de 2015 25

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