MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO

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1 DEPARTAMENTO DE MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO STANLEY RODRIGUES SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E SEUS AUTOVETORES NA CLASSE DAS ÁRVORES Rio de Janeiro 2013

2 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA STANLEY RODRIGUES SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E SEUS AUTOVETORES NA CLASSE DAS ÁRVORES Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Sistemas e Computação do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Sistemas e Computação. Orientador: Prof a. Claudia Marcela Justel - D.Sc. Rio de Janeiro 2013

3 c2013 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha Rio de Janeiro-RJ CEP Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluílo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento. É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa. Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador R696s Rodrigues, Stanley Sobre a Conectividade Algébrica e seus Autovetores na Classe das Árvores/ Stanley Rodrigues; orientado por Claudia Marcela Justel Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, p.: il., tab. Dissertação (mestrado) Instituto Militar de Engenharia Rio de Janeiro, Engenharia de Sistemas e Computação - Teses e Dissertações. 2. Teoria Espectral de Grafos. 3. Conectividade Algébrica. 4. Árvores de Tipo I e II. I. Justel, Claudia Marcela II. Sobre a Conectividade Algébrica e seus Autovetores na Classe das Árvores. III. Instituto Militar de Engenharia. CDD

4 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA STANLEY RODRIGUES SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E SEUS AUTOVETORES NA CLASSE DAS ÁRVORES Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Sistemas e Computação do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Sistemas e Computação. Orientador: Prof a. Claudia Marcela Justel - D.Sc. Aprovada em 20 de maio de 2013 pela seguinte Banca Examinadora: Prof a. Claudia Marcela Justel - D.Sc. do IME - Presidente Prof a. Carla Silva Oliveira - D.Sc. do ENCE-IBGE Prof. Leonardo Silva de Lima - D.Sc. do CEFET-RJ Prof. Paulo Fernando Ferreira Rosa - Ph.D. do IME Rio de Janeiro

5 Dedico esta a meus pais, João e Cátia. 4

6 AGRADECIMENTOS Agradeço a todas as pessoas que contribuíram com o desenvolvimento desta dissertação de mestrado, tenha sido por meio de críticas, ideias, apoio, incentivo ou qualquer outra forma de auxílio. Em especial, desejo agradecer as pessoas citadas a seguir. A Deus. À minha orientadora Claudia Marcela Justel, pelos ensinamentos, paciência, dedicação e carinho essenciais para que pudéssemos realizar este trabalho. Aos meus pais e irmãos, por todo amor e compreensão que nos ajudam a superar a distância e os meses e saudade. Ao meu irmão mais velho, Stefano, pela alegria e presença de espírito nos melhores momentos, assim como pela força e amparo nas dificuldades de mais esse percurso que completamos juntos. Aos amigos Thiago Eustáquio, Vinícius Prado, Tanilson Dias e Alberto Angonese que foram, em todos os momentos, guias, incentivadores, colaboradores, família. Aos amigos Nilson Mori, Carlos Eduardo Pantoja e Rodolfo Dantas, companheiros no início de jornada, e hoje testemunhas de que o futuro é gratificante a quem persevera. Por fim, à CAPES e todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Sistemas e Computação (SE/8) do Instituto Militar de Engenharia. Stanley Rodrigues 5

7 We must admit with humility that, while number is purely a product of our minds, space has a reality outside our minds, so that we cannot completely prescribe its properties a priori. Carl Friedrich Gauss 6

8 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO Organização do Trabalho Conceitos Preliminares CONCEITOS BÁSICOS Conectividade Algébrica de Grafos Árvores de Tipo I e Tipo II A Conectividade Associada A Matrizes Não-Negativas Conectividade Algébrica de Árvores Outros Resultados Sobre Árvores e Matrizes EXPERIMENTOS COM ÁRVORES DE TIPO I Inserção de Vértices Em Árvores de Tipo I - Experimentos Inserção de Vértices Pendentes em P 2k Número Máximo de Vértices Pendentes Inseridos Na Árvore T n,k,p Número Máximo de Vértices Pendentes Inseridos na Árvore T n,k,p s Outro Caso de Inserção de Vértices Pendentes na Árvore T n,k,p s Múltiplos Ramos Inseridos Algoritmo Para Adicionar Vértices Pendentes nas Árvores T n,k,p s Mantendo a Conectividade Algébrica Conclusão a Partir dos Experimentos RESULTADOS TEÓRICOS PARA ÁRVORES DE TIPO I Exemplos de Árvores de Tipo I Comportamento da Conectividade Algébrica nas Árvores T n,k,p 2, k 2 e p 3 e Tn,k,1 s, k 2 e s k Acrescentando Vértices Pendentes em Tn,k,1 2 Sem Alterar a Conectividade Algébrica Acrescentando Vértices em Tn,k,1 s k 2 e s k

9 5 EXPERIMENTOS E RESULTADOS TEÓRICOS COM ÁRVORES DE TIPO II SIMÉTRICAS Motivação Resultados Teóricos Para Árvores de Tipo II Inserção de Vértices Pendentes Relação Entre Árvores de Tipo II Simétricas e Caterpillars CONSIDERAÇÕES FINAIS Conclusões Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES APÊNDICE 1: Informações de Árvores de Tipo I da família T s n,k,p após inserção de vértices pendentes APÊNDICE 2: Resultados Para Algoritmo de Adição de Vértices Pendentes nas Árvores T n,k,p s (Capítulo 3) APÊNDICE 3: Informações das Árvores de Tipo I e II em [CVETKOVIC et al., 1980] (Capítulo 5) APÊNDICE 4: Árvores de Tipo II Simétricas com Inserção de Vértice Pendente (Capítulo 5) APÊNDICE 5: Informações sobre Árvores Tipo II Simétricas de 2 < n < 10 após adição de vértice pendente

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIG.2.1 Grafo G = (V, E) e sua matriz laplaciana correspondente FIG.2.2 Árvore T 1 é de Tipo I e árvore T 2 é de Tipo II FIG.2.3 Árvore T 1 é de Tipo I e possui dois ramos ativos e um ramo passivo FIG.2.4 Árvore de Tipo I T10,3,3 1 e sua matriz bottleneck FIG.3.1 Exemplo de árvore de Tipo I T 15,5 usada nos testes da Seção FIG.3.2 Exemplo de árvore de Tipo I T 22,5,10 usada nos testes da Seção FIG.3.3 Exemplo de árvores de Tipo I verificadas nos testes da Seção 3.1.3, onde Tn,k,p s e n = 2k s 1 + p FIG.3.4 A árvore de Tipo I T28,9,4+v 6 que mantém a conectividade algébrica após a inserção de v, mesmo com o máximo p = 4 vértices já inseridos FIG.3.5 Exemplo de árvore de Tipo I utilizado no teste de FIG.3.6 Exemplo de árvore Tn,k,p s com k = 5, s = 3 e p = FIG.4.1 k = 5 e s = 2 - P 11, T13,5,1 2 e T13,5,1 2 + v FIG.4.2 k = 5 e s = 3 - P 11, T14,5,1, 3 T14,5,1 3 + v15 2 e T14,5,1 3 + v FIG.4.3 k = 5 e s = 4 - P 11, T15,5,1, 4 T15,5,1 4 + v16, 2 T15,5,1 4 + v16 3 e T15,5,1 4 + v FIG.4.4 s = k = 5 - P 11, T 5 16,5,1, T 5 16,5,1 + v 2 17, T 5 16,5,1 + v 3 17, T 5 16,5,1 + v 4 17 e T 5 16,5,1 + v FIG.5.1 T 2.38 Árvore de Tipo II FIG.5.2 T 2.43 Árvore de Tipo II FIG.5.3 T Árvore de Tipo II não simétrica FIG.5.4 Árvore 2.38 simétrica de Tipo II que é um caterpillar FIG.5.5 Menor árvore de Tipo II simétrica que não é caterpillar caterpillar FIG.8.1 Captura de imagem da ferramenta de construção de grafos e cálculo de invariantes, NewGraph FIG.8.2 Árvore 2.4 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.3 Árvore 2.10 com todas as inserçẽs de vértices pendentes possíveis FIG.8.4 Árvore 2.13 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.5 Árvore 2.28 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis

11 FIG.8.6 Árvore 2.38 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.7 Árvore 2.42 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.8 Árvore 2.47 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.9 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.10 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.11 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.12 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.13 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.14 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.15 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.16 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.17 Arvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis

12 LISTA DE TABELAS TAB.3.1 Relação entre k e p, tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p 2 ) p p, n = TAB.3.2 2k p Relação entre k, s, p e a conectividade algébrica das árvores T s n,k,p e Tn,k,p s + v TAB.3.3 Continuação da Tabela TAB.4.1 Resultados para acréscimo de vértice pendente em árvores T s n,k,1 onde k = 5, 2 s TAB.5.1 Árvores de Tipo II simétricas com 4 n TAB.8.1 Relação entre k, p e s tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p s ) p p n = 2k s + p TAB.8.2 Continuação da Tabela TAB.8.3 Continuação da Tabela TAB.8.4 TAB.8.5 TAB.8.6 TAB.8.7 TAB.8.8 TAB.8.9 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice 11

13 característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.10 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.11 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.12 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.13 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.14 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.15 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.16 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.17 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.18 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.19 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.20 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice 12

14 característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.21 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.22 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.23 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] TAB.8.24 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) TAB.8.25 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) TAB.8.26 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) TAB.8.27 Valores de conectividade algébrica para a árvores obtidas de árvore de Tipo II simétrica pela inserção de um único vértice de grau um (árvore 2.x Tipo II simétrica) TAB.8.28 Valores de conectividade algébrica para a árvores obtidas de árvore de Tipo II simétrica pela inserção de um único vértice de grau um (árvore 2.x Tipo II simétrica)

15 RESUMO O segundo menor autovalor da matriz Laplaciana de um grafo é conhecido como conectividade algébrica, e é um invariante espectral bastante estudado em problemas de Teoria de Grafos. Neste trabalho investigamos algumas condições para as quais a conectividade algébrica de uma árvore não é alterada ao inserir vértices de grau um. Inicialmente foram realizados experimentos inserindo vértices em árvores de famílias particulares. Para realizar os experimentos também foi desenvolvido um algoritmo que auxiliou na pesquisa com árvores de Tipo I. Posteriormente, a partir das observações dos resultados dos experimentos, formalizamos algumas propriedades para famílias de árvores de Tipo I e para uma nova família de árvores de Tipo II. Duas conjecturas sobre árvores de Tipo II são propostas neste trabalho. 14

16 ABSTRACT The algebraic connectivity is the second smallest eigenvalue of the Laplacian matrix of a graph. This is a well known invariant, and has been intensively used in applications of Graph Theory problems solution. In this work we are interested to obtain conditions about a tree, in order to mantain the algebraic connectivity when a pendant vertex is attached. First, we conduct some experiments in specific families of trees. We implement an algorithm to help in the experiments with Type I trees. After that, we prove some properties in families of Type I trees and a new family of Type II trees, based in the results of the experiments. We also give two conjectures about Type II trees. 15

17 1 INTRODUÇÃO A conectividade algébrica é um importante invariante da Teoria Espectral de Grafos. Representa o segundo menor autovalor da matriz Laplaciana de um grafo, e é um bom parâmetro para medir o quão conexo ele é (ABREU, 2007). O estudo da conectividade algébrica de um grafo (a(g)) teve como marco inicial o trabalho de Miroslav Fiedler (FIEDLER, 1973), que estabeleceu propriedades importantes para o mesmo. O resultado principal desse trabalho prova que um grafo só é conexo se a sua conectividade algébrica é diferente de zero. O mesmo autor aprofundou a sua pesquisa sobre a conectividade algébrica em um trabalho posterior, (FIEDLER, 1975), relacionando agora os vértices de um grafo G aos componentes de um autovetor qualquer associados a a(g). Essa relação entre um autovetor associado à conectividade algébrica da árvore permitiu classificar as árvores em dois tipos: árvores de Tipo I e de Tipo II. Mais tarde, qualquer um dos autovetores associados com a(g) passou a ser denominado Vetor de Fiedler, em homenagem ao pesquisador que iniciou os estudos sobre a conectividade algébrica. Pela propriedade de entrelaçamento de autovalores para matrizes borda, pode-se concluir que, se temos uma árvore T e nela adicionarmos um vértice pendente v, obtendo T v, o valor da conectividade algébrica diminui ou permanece igual, ou seja a(t v) a(t ). Além de ser uma medida que apresenta um parâmetro global, a conectividade algébrica pode ser mais precisa do que a conectividade de vértice e a conectividade de aresta para um mesmo grafo. Este fator é um importante motivador dos trabalhos que estudam o comportamento da conectividade algébrica. O objetivo deste trabalho é realizar experimentos para determinar em que condições é possível adicionar vértices pendentes numa árvore sem alterar o valor de conectividade algébrica. A partir desses experimentos, sugerir propriedades e provar as mesmas. Em (GRONE & MERRIS, 1987) foi realizado o primeiro estudo de exemplos da adição de vértices pendentes em árvores de Tipo I, sem alterar o valor da conectividade algébrica. Em (MOSK-AOYAMA, 2008), é mostrado que o problema de decisão associado ao problema de aumento máximo da conectividade algébrica é NP-Completo. Mais recentemente, o trabalho de (DE OLIVEIRA, 2012) propõe uma heurística, baseada na excent- 16

18 ricidade de vértices, para obter um maior crescimento da conectividade algébrica de um grafo na inserção de uma aresta. Em (LEE, 2012), é analisada uma família de árvores e o seu comportamento quando é adicionado um vértice de grau um. Em (ALBUQUERQUE, 2012) são analisados grafos em geral para os quais a conectividade algébrica não muda antes e depois de inserir um único vértice de grau n-2, ou seja (a(g) a(g v) = 0). A diferença entre este trabalho e os trabalhos de (GRONE & MERRIS, 1987), (LEE, 2012) e (ALBUQUERQUE, 2012) é aproveitar as características das árvores classificadas em Tipo I e Tipo II e o cálculo da conectividade algébrica a partir das matrizes bottleneck proposto por (KIRKLAND et al., 1996). A partir das matrizes bottleneck associadas aos conjuntos de árvores estudadas nesta dissertação, conseguimos identificar situações nas quais acrescentar um vértice pendente (ou mais de um) não altera o valor da conectividade algébrica. E também provamos alguns resultados utilizando a teoria desenvolvida em (KIRKLAND et al., 1996). Este trabalho de dissertação foi iniciado com experimentos em famílias de árvores para as quais se adicionam vértices pendentes, sem que seja alterada a conectividade algébrica. Uma classe bem específica de árvores de Tipo I foi analisada e posteriormente foram provados resultados a respeito do limite de vértices pendentes inseridos. As árvores de Tipo II, que mesmo sendo mais numerosas que as árvores de Tipo I quando consideramos árvores com número fixo de vértices, recebem pouca atenção na bibliografia achada durante esta pesquisa. Neste trabalho também foram realizados experimentos com árvores de Tipo II, em particular com uma nova família definida no contexto desta pesquisa e denominada Árvores de Tipo II Simétricas. Nas seções 1.1 e 1.2 deste capítulo serão apresentados, respectivamente, a descrição do conteúdo dos capítulos da dissertação e os conceitos básicos em grafos e matrizes necessários para o entendimento desta dissertação. 1.1 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO No Capítulo 2 são apresentados os principais conceitos da bibliografia básica para a compreensão dos temas abordados nesta dissertação, como definições de conectividade algébrica de grafos, árvores de Tipo I e Tipo II, alguns resultados de Álgebra Linear e outros conceitos relacionados a árvores e matrizes necessários ao longo do texto. O Capítulo 3 apresenta os resultados de experimentos realizados para algumas famílias de árvores de Tipo I, utilizando a ferramenta New Graph (STEVANOVIC et al., 2003) 17

19 e também o algoritmo desenvolvido neste trabalho para calcular o número máximo de vértices de grau um que podem ser inseridos nessas árvores não alterando a conectividade algébrica. experimentos. Ao final do capítulo é apresentada uma conclusão sobre os resultados dos No Capítulo 4 são descritos os resultados teóricos formulados para três famílias de árvores de Tipo I: as árvores P 2k+1, k 2; árvores T 2 n,k,p Tn,k,1 s (k 2, s < k). (k 2, p 1); e as árvores O Capítulo 5 apresenta os resultados de experimentos com famílias de árvores de Tipo II, com o número de vértices 4 n 10. Introduz a definição de Árvore de Tipo II Simétrica, além de resultados sobre a inserção de vértices de grau um nessa árvore. Finalmente é dada uma condição para obter árvores de Tipo II simétricas que não verifique a definição de caterpillar. O Capítulo 6 contém as considerações finais assim como propostas de trabalhos futuros baseados nos resultados obtidos nesta dissertação. Os Apêndices contêm tabelas com os resultados de todos os testes realizados para árvores Tn,k,p s, em que buscamos inserir vértices pendentes sem alterar a conectividade algébrica, utilizando o software NewGraph na Seção 8.1, e o Algoritmo 3.2 na Seção 8.2. A Seção 8.3 apresenta tabelas com informações de propriedades espectrais sobre todas as árvores de Tipo II com número de vértices 4 n 10, extraídas do Anexo de (CVETKOVIC et al., 1980). A Seção 8.4 apresenta desenhos de todas as árvores citadas na seção anterior, além de desenhos ilustrando todas as possíveis inserções de um vértice pendente. Finalmente, a Seção 8.5 apresenta as tabelas com as informações de propriedades espectrais nas árvores obtidas como resultado das inserções descritas na Seção CONCEITOS PRELIMINARES As definições que serão apresentadas a seguir são baseadas na referência (ABREU, 2007) e (SZWARCFITER, 1986). Seja G = (V, E) um grafo com n vértices, onde V (G) = {1,..., n} é o conjunto de vértices e E(G) = {(a, b) a, b V } é o conjunto de arestas formadas por pares de vértices. Notaremos V = n e E = m. Os vértices a, b V são chamados extremidades da aresta (a, b). Um grafo simples não possui laços (arestas do tipo (v, v)) e nem arestas múltiplas. 18

20 Um grafo é não-direcionado quando a aresta é formada por um par não ordenado de vértices. Isto é, ((a, b) = (b, a)). Um caminho de v 1 até v k no grafo G = (V, E) é uma sequência finita v 1, v 2,..., v k de vértices distintos tais que (v i, v i+1 ) E para 1 i k 1. Se (v 1, v k ) E e k 3, a sequência finita v 1, v 2,..., v k, v 1 representa um ciclo. Um grafo G é conexo quando existe um caminho entre quaisquer par de vértices pertencentes a ele. Caso contrário, G é considerado desconexo. O grau de um vértice v V no grafo G = (V, E), denotado por grau(v), é a cardinalidade do conjunto de arestas ao qual este vértice incide. O comprimento de um caminho ou ciclo é dado pelo número de arestas que eles possuem. A distância entre dois vértices em um grafo é o número de arestas em um caminho mínimo que os conecta. A excentricidade de um vértice v, e(v), é a distância deste ao vértice mais afastado a ele dentro do grafo. A excentricidade máxima de um grafo, ou seja, a maior distância entre dois vértices do grafo, é conhecido como o diâmetro do grafo, denotado por diam(g). O centro de um grafo é formado pelo conjunto de vértices que possuem excentricidade mínima. Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos. Uma folha, ou vértice pendente, é um vértice de grau igual a 1. Observamos que se T é uma árvore, e adicionamos em T um novo vértice de grau 1 adjacente a um vértice em T, obtemos T = T v que também é uma árvore. Pode ser provado que numa árvore com pelo menos 4 vértices, o centro verifica ter cardinalidade 1 ou 2. Neste trabalho denotaremos P n como um caminho com n vértices. Um grafo caterpillar, denotado C, é uma árvore tal que se removermos todas as folhas obtemos um caminho com pelo 2 vértices. Um grafo k-partido é um grafo cujos vértices podem ser particionados em k conjuntos distintos, nos quais não há arestas entre vértices de um mesmo conjunto. Um grafo bipartido é um grafo k-partido com k = 2. Quando este grafo possui todas as arestas possíveis entre as duas partições, podemos dizer que este é um grafo bipartido completo e é denotado K a,b, onde n = a + b. 19

21 Neste trabalho notaremos por K 1,n 1 o grafo estrela com n vértices, onde K 1,n 1 é grafo bipartido completo, onde uma partição contém exatamente 1 vértice e a outra n 1 vértices. Uma matriz de adjacência A(G) de um grafo não direcionado simples G é uma matriz n n cuja entrada a ij contém 1 se os vértices v i e v j do grafo são adjacentes e 0 caso contrário. O teorema a seguir mostra a propriedade de entrelaçamento de autovalores para matrizes borda. Teorema 1.1. [Teorema (HORN & JOHNSON, 1990)] Seja A matriz hermitiana de dimensão n n com autovalores λ 1,..., λ n, y um vetor de dimensão n e a um número real. Seja à = Ay y a matriz hermitiana de dimensão (n+1) (n+1) com autovalores λ 1,..., λ n+1. Então λ 1 λ 1 λ 2 λ 2... λ n 1 λ n λ n λ n+1. Pelo Teorema anterior podemos concluir que acrescentar um vértice pendente numa árvore diminui ou mantém o valor da conectividade algébrica. Basta considerar A = (L(T )), à = L(T v), onde y = (0,..., 0, 1) e a = 1. Logo a(t v) = λ 2 (L(T v)) λ 2 (L(T )) = a(t ). A seguir, introduzimos dois resultados de matrizes positivas que foram extraídos do livro (HORN & JOHNSON, 1990). Estes resultados serão utilizados nos Capítulos 3 e 4. Uma matriz n n, A = (a ij ) é positiva (denotada por A 0) se a ij 0, i, j. Dada uma matriz simétrica n n e positiva, definimos por ρ(a) o maior autovalor da matriz A, também denominado valor de Perron. Teorema 1.2. [Teorema (HORN & JOHNSON, 1990)] Seja A uma matriz quadrada tal que A 0. Então e min 1 i n 1 j n min 1 j n 1 i n a i,j ρ(a) max a i,j ρ(a) max a i,j 1 i n 1 j n 1 j n 1 i n Lema 1.3. [Corolário (MOLITIERNO, 2012)] Seja A uma matriz n n tal que A 0. Se max 1 i n a i,i ρ(a). à é uma submatriz principal de A, então ρ(ã) ρ(a). Em particular, a i,j. 20

22 2 CONCEITOS BÁSICOS 2.1 CONECTIVIDADE ALGÉBRICA DE GRAFOS Alguns conceitos fundamentais sobre grafos são apresentados a seguir. Esta seção é baseada fundamentalmente no trabalho de Fiedler (FIEDLER, 1973). A matriz Laplaciana do grafo e definida por L(G) = D(G) A(G) (em que A(G) é a matriz de adjacência, e D(G) é a matriz diagonal dos graus dos vértices). A matriz Laplaciana é positiva semidefinida e seus autovalores são maiores ou iguais a zero. A Figura 2.1 apresenta o grafo G formado por 6 vértices e a matriz Laplaciana, L(G). Considerando que, para n 2, e que 0 = λ 1 λ 2 = a(g) λ 3... λ n - as raízes do polinômio característico de L(G), P G (x) = det(xi L(G))), em ordem não decrescente - são os autovalores da matriz L(G). Definição 2.1. A conectividade algébrica do grafo G é o segundo menor autovalor da matriz L(G). Notamos a(g) = λ 2 (G). Para o grafo da Figura 2.1, a(g) = 0, FIG. 2.1: Grafo G = (V, E) e sua matriz laplaciana correspondente Para todo autovalor λ de matriz L(G) existe vetor x diferente do vetor nulo, tal que L(G)x = λx, denominado autovetor associado a λ. A matriz L(G) é simétrica, portanto existem n autovalores correspondentes. Além disso, existe uma base ortogonal do espaço R n formado por autovetores da matriz L(G). Foram provadas propriedades de a(g) que garantem que a conectividade algébrica do grafo sempre se mantém constante ou cresce quando, para um grafo G(V, E) em que se mantém o conjunto de vértices, aumentamos o número e arestas. É o que diz o Corolário

23 Corolário 2.2. [Corolário 3.2 (FIEDLER, 1973)] A função a(g) é não-decrescente para grafos com o mesmo conjunto de vértices, i.e. a(g 1 ) a(g 2 ) se E(G 1 ) E(G 2 ). Desse corolário decorre a propriedade a seguir. Propriedade 2.3. [Propriedade 3.3 (FIEDLER, 1973)] Seja G um grafo e G 1 o grafo resultante da remoção de k vértices, e suas arestas adjacentes, de G. Então a(g 1 ) a(g) k 2.2 ÁRVORES DE TIPO I E TIPO II Em trabalhos posteriores, os autovetores correspondentes ao autovalor a(g) são chamados de vetores de Fiedler. Nesta seção apresentamos as principais contribuições dos artigos (FIEDLER, 1975), (MERRIS, 1987) e (GRONE & MERRIS, 1987) que serão utilizados na nossa pesquisa. Denotemos por ξ(g) o conjunto dos autovetores de L(G) correspondentes a a(g). Em 1975, Fiedler (FIEDLER, 1975) provou que se G é conexo, então a(g) > 0. Seja y = (y 1, y 2,, y n ) um autovetor de L(G) correspondente a a(g). Pode-se definir uma função f : V R tal que f(v i ) = y i, 1 i n. Os componentes de um vetor de Fiedler y ξ(g) são chamados de valores característicos de G. Restringindo nossa atenção às árvores, devemos introduzir dois conceitos extraídos de (FIEDLER, 1975) e (MERRIS, 1987). Teorema 2.4. [Teorema 3.14 (FIEDLER, 1975)] Seja T uma árvore e f(v i ) = y i, com 1 i n, seus valores característicos. Então, dois casos podem ocorrer: Caso I. Todos os valores de y i são diferentes de zero. Então T contém exatamente uma aresta (p, q) tal que y p > 0 e y q < 0. Os valores característicos dos vértices ao longo de qualquer caminho em T que inicie em p e que não contenha q serão crescentes; o valores característicos dos vértices ao longo de qualquer caminho que inicie em q e não contenha p serão decrescentes. Os vértices p e q são chamados vértices característicos. Caso II. O conjunto N 0 = {i N y i = 0} é não vazio. Então o grafo T 0 induzido por N 0 em T é conexo e há exatamente um vértice j N 0 possuindo ao menos um vizinho que não pertence a N 0. Os valores característicos ao longo de qualquer caminho em 22

24 T partindo de j podem crescer, decrescer ou não variar. O vértice j é chamado de vértice característico. Se supomos que T = (V, E) é uma árvore. Um vértice v V é um vértice característico de T se v = j na parte II do Teorema 2.4, ou se v (p, q) dado na parte I do Teorema 2.4. Em (MERRIS, 1987) foi utilizada a classificação dos vértices característicos de uma árvore, para denominar dois tipos de árvores específicos. Essa definição é apresentada a seguir. Definição 2.5. [Definição 1 (MERRIS, 1987)] Seja T uma árvore. Denotamos por F (T ) o conjunto de vértices característicos de T. Se F (T ) = 1, então T é uma árvore de Tipo I. Por outro lado, se F (T ) = 2 então T é uma árvore de Tipo II. A Figura 2.2 mostra um exemplos de árvore de Tipo I e de Tipo II. Na mesma, a conectividade algébrica de cada árvore é representada por a(t i ), 1 i 2; os valores entre parênteses representam os componentes do vetor de Fiedler associado a cada vértice; e em vermelho, estão identificados quais são os vértices característicos para cada uma das árvores. FIG. 2.2: Árvore T 1 é de Tipo I e árvore T 2 é de Tipo II No caso particular das árvores de Tipo I, o artigo de Grone & Merris (GRONE & MERRIS, 1987) estabelece propriedades sobre a conectividade algébrica, quando a estrutura do grafo é alterada de maneira particular. Teorema 2.6. [Teorema 3 (GRONE & MERRIS, 1987)] Seja T = (V, E) uma árvore de Tipo I com o vértice característico u e conectividade algébrica a(t ). Seja f ξ(t ). Suponha que T = (V, E ) é a árvore obtida de T quando lhe adicionamos um novo vértice 23

25 pendente, w, a u. (Então V = V (w) e E = E (w, u).) Estender a função f a uma função f de V através da definição f (w) = 0 e f (v) = f(v) v w. Então a(t ) = a(t ) e f ξ(t ). (Em particular, T é uma árvore de Tipo I e possui vértice característico u) Seja v um vértice de uma árvore T, e seja T v o subgrafo de T obtido ao se eliminar v e todas as arestas que nele incidem. Um ramo de T ligado a v é um componente conexo qualquer de T v. Considerando uma árvore T de Tipo I em que a(t ) = λ 2 é o segundo menor autovalor da matriz L(T ). Descreve-se como ramo passivo se, y i ξ(t ) é igual a zero para todo vértice naquele ramo; e como ramo ativo se é um ramo que possui vértice i, tal que y i ξ(t ) é diferente de zero. Se cada ramo B i, i > 0, tem sinal constante para todos os valores característicos de seus vértices, e existe um ramo ortogonal ao vetor 1 = (1,..., 1), em uma árvore de Tipo I deve existir no mínimo dois ramos ativos: um com todos os valores característicos positivos e um outro negativo. Seja T uma árvore e B um ramo ligado a seu vértice característico v k+1. Há um vértice em B adjacente a v k+1, será chamado r(b), considerado a raiz desse ramo. Teorema 2.7. [Teorema 2 (GRONE & MERRIS, 1987)] Seja T uma árvore de Tipo I e m a multiplicidade de λ 2 = a(t ) como um autovalor de L(T ). Então existem exatamente m + 1 ramos ativos em T. Como exemplo temos a árvore de Tipo I T 1 da Figura 2.2 possui três ramos, ligados ao vértice característico v 5, que estão indicados por B 1, B 2 e B 3. Os valores do vetor de Fiedler associado a cada um dos v i vértices, onde 1 i 12, estão entre parênteses. Assim pode-se ver que nos ramos B 1 e B 2 todos os valores dos componentes do vetor de Fiedler y i ξ(t ) são diferentes de zero, portanto são os ramos ativos da árvore. No ramo B 3, por sua vez, os valores desses componentes associados aos vértices são todos iguais a zero, o que o caracteriza como ramo passivo. Os autovalores da matriz Laplaciana L(T 1 ) de T 1 em ordem crescente são (0, 00; 0, 12; 0, 16; 0, 58; 1, 0; 1, 3; 2, 0; 2, 3; 3, 0; 3, 4; 3, 5; 4, 4), e o segundo menor deles λ 2 = 0, 12 possui multiplicidade 1, confirmando o Teorema 2.7, pois m + 1 = 2 é o número de ramos ativos de T 1. 24

26 FIG. 2.3: Árvore T 1 é de Tipo I e possui dois ramos ativos e um ramo passivo 2.3 A CONECTIVIDADE ASSOCIADA A MATRIZES NÃO-NEGATIVAS Uma árvore T, cuja conectividade algébrica é a(t ), pode ser classificada como árvore de Tipo I ou de Tipo II. A partir dessa classificação é possível obter o valor da conectividade algébrica como o inverso do maior autovalor de uma matriz positiva adequada, que será definida a seguir. Proposição 2.8. [Proposição 1 (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore, e L k a submatriz principal da matriz Laplaciana L(T ), obtida eliminando a k-ésima linha e a k-ésima coluna. A entrada (i, j) da matriz L 1 k é igual ao número de arestas de T que estão em ambos os caminhos, do vértice i até o k, como do vértice j até o vértice k. Definição 2.9. [Definição (MOLITIERNO, 2012)] A matriz L 1 k é chamada matriz bottleneck da árvore T no vértice k e pode ser descrita como uma matriz diagonal por blocos, onde cada bloco diagonal corresponde a um ramo de T no vértice k, e é chamado de matriz bottleneck para aquele ramo em k. Na Figura 2.3 é apresentada uma árvore de Tipo I com vértices numerados, e para ela é calculada a matriz bottleneck no vértice 4, que é o vértice característico dessa árvore. Os blocos diagonais da matriz estão coloridos de acordo com o ramo correspondente na árvore. Os vértices pendentes 8, 9 e 10 ligados ao vértice 4 são também ramos dessa árvore. Se T é uma árvore, então a matriz L 1 k+1 correspondente em um vértice V K+1 possui um número de blocos diagonais igual ao grau do vértice v k+1, e consequentemente igual 25

27 FIG. 2.4: Árvore de Tipo I T 1 10,3,3 e sua matriz bottleneck ao número de ramos da árvore T em v k+1. Cada bloco diagonal é uma matriz positiva que corresponde a um único ramo de T em v k+1. O raio espectral (maior autovalor) de L 1 k+1, ρ(l 1 k+1 ), ou valor de Perron, será igual ao valor de Perron de um ou vários blocos diagonais da matriz bottleneck correspondentes. Desse modo, o valor de Perron de um dos ramos definirá o valor de Perron da árvore, e este ramo é chamado Ramo de Perron. O número de Ramos de Perron de uma árvore é uma característica que pode servir para a classificação de árvores nos dois tipos. Uma árvore de Tipo I sempre terá dois ou mais ramos de Perron ligados ao vértice característico v k+1, segundo o Teorema de Kirkland, Neumann & Shader a seguir. Teorema [Corolário 2.1 (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore. T é uma árvore de Tipo I se e somente se existe exatamente um vértice para o qual há dois ou mais ramos de Perron. T é uma árvore de Tipo II se e somente se para cada vértice v da árvore existe um único ramo de Perron em v CONECTIVIDADE ALGÉBRICA DE ÁRVORES A conectividade algébrica de árvores pode ser calculada utilizando as matrizes bottleneck. Os teoremas que descrevem a relação entre matrizes bottleneck e árvores de Tipo I e Tipo II, apresentados por Kirkland, são descritos a seguir. Teorema [Teorema 1, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore com n vértices cuja matriz Laplaciana é denotada por L(T ). Supor que i e j são dois vértices 26

28 adjacentes em T. Então T é árvore de Tipo II com vértices característicos i e j se, e somente se a seguinte condição for verificada: Existe 0 < γ < 1 tal que ρ(m 1 γ( 1)J) = ρ(m θ 2 (1 γ)( 1 )J), onde θ é o peso θ da aresta (i, j), M 1 é a matriz bottleneck para o ramo em j contendo i e M 2 é a matriz bottleneck para o ramo em i contendo j. Além disso, caso essa condição seja satisfeita, a conectividade algébrica da árvore T, a(t ), verifica 1 a(t ) = ρ(m 1 γ( 1 θ )J) = ρ(m 2 (1 γ)( 1 θ )J). Também é verdade que para qualquer autovetor de L(T ) associado a a(t ) pode ser permutado na forma [ v 1 v 2 ], onde v 1 contém os componentes do vetor de Fiedler associados ao bloco B 1 e v 2 contém os componentes associados aos vértices do bloco B 2. Desse modo temos que γ = α, onde α é a primeira entrada de v α+β 2 e β é a última entrada de v 1. Se desejamos calcular a conectividade algébrica da árvore T 2 da Figura 2.2, que é de Tipo II, precisamos obter a matriz bottleneck para o ramo B 1 de T 2 em q que contém os vértices v 1, v 2 e v 3 e a matriz bottleneck para o ramo B 2 de T 2 em p que contém os vértices v 4, v 5 e v 6. As matrizes bottleneck M 1 do ramo B 1 e M 2 do ramo B 2 serão M 1 = e M 2 = Assim o vetor de Fiedler y = (0, 41932; 0, 41932; 0, 28310; 0, 08132; 0, 41932; 0, 62109) [ v 1 para T 2, torna-se 0, v 1 = 0, v 2 ] 0, e v 2 = 0, , , Desse modo, temos a primeira entrada do vetor v 2, β = 0, 08132, e a última entrada do vetor v 1, α = 0, E como sabemos que γ = α α+β = 0, 2231, temos ρ(m 1 γee T ) = ρ(m 2 (1 γ)ee T ) ρ(m 1 0, 2231ee T ) = ρ(m 2 (1 0, 2231)ee T ) 3, 0782 = 3, 0782 Dizemos então que 1 a(t 2 ) = ρ(m 1 γee T ) = ρ(m 2 (1 γ)ee T ), então a(t 2 ) = 0, Teorema [Teorema 2, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T = (V, E) uma árvore cujos vértices são v i V ; 1 i n. Então, T é uma árvore de Tipo I com vértice 27

29 característico v k+1, se e somente se existem dois ou mais ramos de Perron de T em v k+1. Além disso, nesse caso, a conectividade algébrica de T é a(t ) = 1 ρ(l 1 k+1 ). Se y = (y 1,..., y n ) é o autovetor correspondente à conectividade algébrica, então y pode ser permutado e particionado de modo que cada sub-vetor resultante é um vetor de Perron para a submatriz da matriz bottleneck correspondente a cada ramo de Perron em v k+1. Para a árvore T 1 da Figura 2.2, podemos calcular um vetor de Fiedler y = (0, 60; 0, 37; 0, 00; 0, 37; 0, 60; 0, 00). O conjunto N 0 = {1 i 6 : y i = 0} definido no Teorema 2.4 é igual a {3, 6}. Para i = 3, v 3 é o único vértice característico de T 1 pois y 3 = 0, e é adjacente em T 1 com o vértice v 2 (para o qual y 2 > 0) e com o vértice v 4 (para o qual y 4 < 0). Portanto, a matriz bottleneck para o vértice característico v 3 é dada por L 1 3 = O valor ρ(l 1 3 ) pode ser calculado da seguinte forma: [ ] [ ] [ ] [ max{ρ( ), ρ( ), 1} = ρ( ) = ρ( ] ) = = 2, Logo, pelo Teorema anterior, a(t 1 ) = 1 ρ(l 1 3 ) = 1 2,6180 = 0, OUTROS RESULTADOS SOBRE ÁRVORES E MATRIZES Na Seção 3 do artigo (KIRKLAND et al., 1996) são apresentados alguns resultados sobre o valor de Perron de um ramo numa árvore sem pesos, e sobre o vetor de Perron da matriz bottleneck correspondente. O primeiro resultado mostra que, em relação aos valores de Perron, a matriz bottleneck de um ramo B no vértice k tem a propriedade de ficar entre a matriz bottleneck de um ramo que é caminho e de um estrela com o mesmo número de vértices, ambos ligados a k. Teorema [Teorema 5, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore sem pesos e v um vértice em T. Supor que o ramo B de T no vértice v possui k vértices, e seja M 28

30 a matriz bottleneck de B em v. Sejam M P e M S as matrizes bottleneck correspondentes ao caminho de k vértices e à estrela de k vértices em v, respectivamente. Então existem matrizes de permutação Q e R tais que QM p Q M RM s R. A prova do Teorema anterior é feita por indução em n. Esse resultado permite produzir imediatamente um resultado para os limites do valor de Perron em um ramo de uma árvore. Corolário [Corolário 5.1, (KIRKLAND et al., 1996)]: Seja T uma árvore sem pesos, e seja v um vértice de T. Se o ramo B de T no vértice v contém k vértices, então: 1 k k2 + 2k 3 2(1 cos( π ρ(b). )) 2 2k+1 Em algumas situações especiais, o Corolário 5.1 permite identificar o ramo de Perron em um vértice particular, como mostra o Corolário a seguir: Corolário [Corolário 5.2, (KIRKLAND et al., 1996)]: Seja T uma árvore sem pesos e suponha que o vértice v de T possui dois ramos B 1 e B 2 com k 1 e k 2 vértices, respectivamente. Se k k k 1 3 > então o único ramo de Perron no vértice v é B cos( π 2k 2 +1 ), A prova do Corolário 2.15 se baseia no resultado do Corolário A Proposição a seguir determina um limite superior mais ajustado para ρ(b) que o limite dado no Corolário Proposição [Proposição 3, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore sem pesos e v um vértice de T. Supor que o ramo B de T em v possui k vértices e que a máxima distância em T desde um vértice de B até o vértice m é igual a d. kd ρ(b). Então 29

31 3 EXPERIMENTOS COM ÁRVORES DE TIPO I Neste capítulo são apresentados os resultados de experimentos realizados com árvores de Tipo I. Esses experimentos consistem em observar o comportamento da conectividade algébrica e de seus autovetores quando são inseridos vértices de maneira muito particular. A motivação para a investigação deste comportamento vem dos casos de inserção de vértices pendentes em árvores de Tipo I, sem alterar a conectividade algébrica, observados em (GRONE & MERRIS, 1987) O passo básico de cada experimento é a alteração da estrutura dessas árvores, adicionando a elas um ou mais vértices pendentes. Devemos perceber, no entanto, que a família de árvores utilizada nos experimentos deve atender a uma série de critérios específicos. Definição 3.1. Seja P 2k+1 o caminho com 2k + 1 vértices e diâmetro par igual a 2k > 2. No Teorema 4.1 do Capítulo 4, provaremos que P 2k+1 é uma árvore de Tipo I, com o vértice característico v k+1 (no centro desse caminho) se considerarmos os vértices de P 2k+1 numerados na ordem do caminho. 3.1 INSERÇÃO DE VÉRTICES EM ÁRVORES DE TIPO I - EXPERIMENTOS Para realizar os experimentos com a conectividade algébrica de árvores das famílias escolhidas adicionando vértices pendentes, foi utilizada a ferramenta NewGraph (STE- VANOVIC et al., 2003), que permite calcular a matriz Laplaciana, além dos autovalores e autovetores das árvores (ver Figura 8.1). Cada subfamília de árvores considerada será descrita nas seções a seguir, assim como os resultados observados durante os experimentos INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES EM P 2k+1 Definição 3.2. A árvore Tn,k,p 1 é formada por um caminho com 2k +1 vértices e diâmetro 2k e existem p vértices pendentes adjacentes ao vértice central de P 2k+1, denotado v k+1. Consideramos os vértices de Tn,k,p 1 numerados da seguinte forma: os vértices do caminho P 2k+1 numerados de 1 até 2k + 1 na ordem do caminho, e os p vértices pendentes numerados desde 2k + 2 até n = 2k p. 30

32 Os caminhos de diâmetro par (2k) são árvores de Tipo I. A prova desta afirmação será mostrada no Proposição do Capítulo 4. Quando são inseridos vértices pendentes adjacentes ao vértice v k+1, a conectividade algébrica não se altera. Não existe limite para o número de vértices pendentes a inserir sem alterar o valor da conectividade algébrica (Teorema 2.6). A Figura 3.1 mostra um exemplo de árvore de Tipo I, construída a partir do caminho P 11, no qual foram inseridos 4 vértices pendentes. Neste exemplo, k = 5, p = 4 e n = 15. Então, pelo resultado do Teorema 2.6, a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p 1 ), p 1. Em particular a(p 2k+1 ) = a(tn,k,1 1 ). A partir desse resultado, formulamos a seguinte pergunta: PERGUNTA 1: Qual o valor da conectividade algébrica da árvore obtida de T 1 n,k,1 pela adição de um vértice pendente adjacente ao vértice v 2k+2 (Figura 3.2)? FIG. 3.1: Exemplo de árvore de Tipo I T 15,5 usada nos testes da Seção NÚMERO MÁXIMO DE VÉRTICES PENDENTES INSERIDOS NA ÁRVORE T 2 n,k,p Para responder à PERGUNTA 1, consideramos uma nova família de árvores denominada T 2 n,k,p e definida a seguir: Definição 3.3. Seja P 2k+1 o caminho com 2k + 1 vértices e diâmetro para 2k, k 2. Define-se a árvore T 2 n,k,p construída a partir do caminho P 2k+1 e de uma estrela K 1,p com p 1, pela identificação do vértice central de P 2k+1, chamado de v k+1, com uma folha da estrela K 1,p. Observar que a árvore T 2 n,k,p possui n = 2k+1+p+1 vértices e T 2 n,k,p v k+1 = 2P k K 1,p. As árvores Tn,k,p 2, k 2 e p 1 são árvores de Tipo I, com condições sobre o valor de p. No Teorema do Capítulo 4 é apresentada a prova desta afirmação. A Figura 3.2 apresenta um exemplo de uma árvore Tn,k,p 2, para k = 5, p = 10 e n = 22. Observar que o caminho desde o vértice característico v k+1 até uma folha da estrela tem comprimento s = 2. 31

33 FIG. 3.2: Exemplo de árvore de Tipo I T 22,5,10 usada nos testes da Seção Neste caso, o experimento realizado consiste em, a partir da árvore Tn,k,1 2, k 2, inserir vértices pendentes adjacentes ao vértice v 2k+2, obtendo árvores da família, e determinar o maior valor de p tal que a(p 2k+1 ) = a(t 2 n,k,p ). condições por p. Denotaremos o maior valor p nessas A Tabela 3.1 apresenta todos os valores de p obtidos para T 2 n,k,p, onde a(p 2k+1) = a(tn,k,p 2 ), p p, k 2, n = 2k p + 1, considerando valores de k entre 5 e 13 e k = 20. Observar que no caso da árvore T 2 n,5,p, o valor p = 10 (Figura 3.2) e a(t 2 n,5,p) = a(p 2k+1 ) = 0, 08101, 1 p p. k p a(t n,k,p ) = a(t n,k,p ) = a(p 2k+1 ) 1 p p , , , , , , , , , ,00587 TAB. 3.1: Relação entre k e p, tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p 2 ) p p, n = 2k p NÚMERO MÁXIMO DE VÉRTICES PENDENTES INSERIDOS NA ÁRVORE T s n,k,p Seguindo a mesma ideia da seção anterior, analisamos a adição de vértices pendentes nas árvores Tn,k,p s, p 1, s 3, k 2, definidas a seguir. Definição 3.4. A árvore denominada Tn,k,p s, com p 1, s 3 e k 2 é formada pelo caminho P 2k+1, o vértice central do caminhop 2k+1, v k+1, é identificado com uma 32