MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO

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1 DEPARTAMENTO DE MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO CIÊNCIA E TECNOLOGIA INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA CURSO DE MESTRADO EM SISTEMAS E COMPUTAÇÃO STANLEY RODRIGUES SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E SEUS AUTOVETORES NA CLASSE DAS ÁRVORES Rio de Janeiro 2013

2 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA STANLEY RODRIGUES SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E SEUS AUTOVETORES NA CLASSE DAS ÁRVORES Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Sistemas e Computação do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Sistemas e Computação. Orientador: Prof a. Claudia Marcela Justel - D.Sc. Rio de Janeiro 2013

3 c2013 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Praça General Tibúrcio, 80-Praia Vermelha Rio de Janeiro-RJ CEP Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluílo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de arquivamento. É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e que seja feita a referência bibliográfica completa. Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador R696s Rodrigues, Stanley Sobre a Conectividade Algébrica e seus Autovetores na Classe das Árvores/ Stanley Rodrigues; orientado por Claudia Marcela Justel Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, p.: il., tab. Dissertação (mestrado) Instituto Militar de Engenharia Rio de Janeiro, Engenharia de Sistemas e Computação - Teses e Dissertações. 2. Teoria Espectral de Grafos. 3. Conectividade Algébrica. 4. Árvores de Tipo I e II. I. Justel, Claudia Marcela II. Sobre a Conectividade Algébrica e seus Autovetores na Classe das Árvores. III. Instituto Militar de Engenharia. CDD

4 INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA STANLEY RODRIGUES SOBRE A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA E SEUS AUTOVETORES NA CLASSE DAS ÁRVORES Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Sistemas e Computação do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Sistemas e Computação. Orientador: Prof a. Claudia Marcela Justel - D.Sc. Aprovada em 20 de maio de 2013 pela seguinte Banca Examinadora: Prof a. Claudia Marcela Justel - D.Sc. do IME - Presidente Prof a. Carla Silva Oliveira - D.Sc. do ENCE-IBGE Prof. Leonardo Silva de Lima - D.Sc. do CEFET-RJ Prof. Paulo Fernando Ferreira Rosa - Ph.D. do IME Rio de Janeiro

5 Dedico esta a meus pais, João e Cátia. 4

6 AGRADECIMENTOS Agradeço a todas as pessoas que contribuíram com o desenvolvimento desta dissertação de mestrado, tenha sido por meio de críticas, ideias, apoio, incentivo ou qualquer outra forma de auxílio. Em especial, desejo agradecer as pessoas citadas a seguir. A Deus. À minha orientadora Claudia Marcela Justel, pelos ensinamentos, paciência, dedicação e carinho essenciais para que pudéssemos realizar este trabalho. Aos meus pais e irmãos, por todo amor e compreensão que nos ajudam a superar a distância e os meses e saudade. Ao meu irmão mais velho, Stefano, pela alegria e presença de espírito nos melhores momentos, assim como pela força e amparo nas dificuldades de mais esse percurso que completamos juntos. Aos amigos Thiago Eustáquio, Vinícius Prado, Tanilson Dias e Alberto Angonese que foram, em todos os momentos, guias, incentivadores, colaboradores, família. Aos amigos Nilson Mori, Carlos Eduardo Pantoja e Rodolfo Dantas, companheiros no início de jornada, e hoje testemunhas de que o futuro é gratificante a quem persevera. Por fim, à CAPES e todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Sistemas e Computação (SE/8) do Instituto Militar de Engenharia. Stanley Rodrigues 5

7 We must admit with humility that, while number is purely a product of our minds, space has a reality outside our minds, so that we cannot completely prescribe its properties a priori. Carl Friedrich Gauss 6

8 SUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES LISTA DE TABELAS INTRODUÇÃO Organização do Trabalho Conceitos Preliminares CONCEITOS BÁSICOS Conectividade Algébrica de Grafos Árvores de Tipo I e Tipo II A Conectividade Associada A Matrizes Não-Negativas Conectividade Algébrica de Árvores Outros Resultados Sobre Árvores e Matrizes EXPERIMENTOS COM ÁRVORES DE TIPO I Inserção de Vértices Em Árvores de Tipo I - Experimentos Inserção de Vértices Pendentes em P 2k Número Máximo de Vértices Pendentes Inseridos Na Árvore T n,k,p Número Máximo de Vértices Pendentes Inseridos na Árvore T n,k,p s Outro Caso de Inserção de Vértices Pendentes na Árvore T n,k,p s Múltiplos Ramos Inseridos Algoritmo Para Adicionar Vértices Pendentes nas Árvores T n,k,p s Mantendo a Conectividade Algébrica Conclusão a Partir dos Experimentos RESULTADOS TEÓRICOS PARA ÁRVORES DE TIPO I Exemplos de Árvores de Tipo I Comportamento da Conectividade Algébrica nas Árvores T n,k,p 2, k 2 e p 3 e Tn,k,1 s, k 2 e s k Acrescentando Vértices Pendentes em Tn,k,1 2 Sem Alterar a Conectividade Algébrica Acrescentando Vértices em Tn,k,1 s k 2 e s k

9 5 EXPERIMENTOS E RESULTADOS TEÓRICOS COM ÁRVORES DE TIPO II SIMÉTRICAS Motivação Resultados Teóricos Para Árvores de Tipo II Inserção de Vértices Pendentes Relação Entre Árvores de Tipo II Simétricas e Caterpillars CONSIDERAÇÕES FINAIS Conclusões Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICES APÊNDICE 1: Informações de Árvores de Tipo I da família T s n,k,p após inserção de vértices pendentes APÊNDICE 2: Resultados Para Algoritmo de Adição de Vértices Pendentes nas Árvores T n,k,p s (Capítulo 3) APÊNDICE 3: Informações das Árvores de Tipo I e II em [CVETKOVIC et al., 1980] (Capítulo 5) APÊNDICE 4: Árvores de Tipo II Simétricas com Inserção de Vértice Pendente (Capítulo 5) APÊNDICE 5: Informações sobre Árvores Tipo II Simétricas de 2 < n < 10 após adição de vértice pendente

10 LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIG.2.1 Grafo G = (V, E) e sua matriz laplaciana correspondente FIG.2.2 Árvore T 1 é de Tipo I e árvore T 2 é de Tipo II FIG.2.3 Árvore T 1 é de Tipo I e possui dois ramos ativos e um ramo passivo FIG.2.4 Árvore de Tipo I T10,3,3 1 e sua matriz bottleneck FIG.3.1 Exemplo de árvore de Tipo I T 15,5 usada nos testes da Seção FIG.3.2 Exemplo de árvore de Tipo I T 22,5,10 usada nos testes da Seção FIG.3.3 Exemplo de árvores de Tipo I verificadas nos testes da Seção 3.1.3, onde Tn,k,p s e n = 2k s 1 + p FIG.3.4 A árvore de Tipo I T28,9,4+v 6 que mantém a conectividade algébrica após a inserção de v, mesmo com o máximo p = 4 vértices já inseridos FIG.3.5 Exemplo de árvore de Tipo I utilizado no teste de FIG.3.6 Exemplo de árvore Tn,k,p s com k = 5, s = 3 e p = FIG.4.1 k = 5 e s = 2 - P 11, T13,5,1 2 e T13,5,1 2 + v FIG.4.2 k = 5 e s = 3 - P 11, T14,5,1, 3 T14,5,1 3 + v15 2 e T14,5,1 3 + v FIG.4.3 k = 5 e s = 4 - P 11, T15,5,1, 4 T15,5,1 4 + v16, 2 T15,5,1 4 + v16 3 e T15,5,1 4 + v FIG.4.4 s = k = 5 - P 11, T 5 16,5,1, T 5 16,5,1 + v 2 17, T 5 16,5,1 + v 3 17, T 5 16,5,1 + v 4 17 e T 5 16,5,1 + v FIG.5.1 T 2.38 Árvore de Tipo II FIG.5.2 T 2.43 Árvore de Tipo II FIG.5.3 T Árvore de Tipo II não simétrica FIG.5.4 Árvore 2.38 simétrica de Tipo II que é um caterpillar FIG.5.5 Menor árvore de Tipo II simétrica que não é caterpillar caterpillar FIG.8.1 Captura de imagem da ferramenta de construção de grafos e cálculo de invariantes, NewGraph FIG.8.2 Árvore 2.4 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.3 Árvore 2.10 com todas as inserçẽs de vértices pendentes possíveis FIG.8.4 Árvore 2.13 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.5 Árvore 2.28 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis

11 FIG.8.6 Árvore 2.38 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.7 Árvore 2.42 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.8 Árvore 2.47 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.9 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.10 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.11 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.12 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.13 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.14 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.15 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.16 Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG.8.17 Arvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis

12 LISTA DE TABELAS TAB.3.1 Relação entre k e p, tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p 2 ) p p, n = TAB.3.2 2k p Relação entre k, s, p e a conectividade algébrica das árvores T s n,k,p e Tn,k,p s + v TAB.3.3 Continuação da Tabela TAB.4.1 Resultados para acréscimo de vértice pendente em árvores T s n,k,1 onde k = 5, 2 s TAB.5.1 Árvores de Tipo II simétricas com 4 n TAB.8.1 Relação entre k, p e s tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p s ) p p n = 2k s + p TAB.8.2 Continuação da Tabela TAB.8.3 Continuação da Tabela TAB.8.4 TAB.8.5 TAB.8.6 TAB.8.7 TAB.8.8 TAB.8.9 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice 11

13 característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.10 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.11 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.12 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.13 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.14 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.15 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.16 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.17 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.18 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.19 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.20 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice 12

14 característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.21 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.22 Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) TAB.8.23 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] TAB.8.24 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) TAB.8.25 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) TAB.8.26 Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) TAB.8.27 Valores de conectividade algébrica para a árvores obtidas de árvore de Tipo II simétrica pela inserção de um único vértice de grau um (árvore 2.x Tipo II simétrica) TAB.8.28 Valores de conectividade algébrica para a árvores obtidas de árvore de Tipo II simétrica pela inserção de um único vértice de grau um (árvore 2.x Tipo II simétrica)

15 RESUMO O segundo menor autovalor da matriz Laplaciana de um grafo é conhecido como conectividade algébrica, e é um invariante espectral bastante estudado em problemas de Teoria de Grafos. Neste trabalho investigamos algumas condições para as quais a conectividade algébrica de uma árvore não é alterada ao inserir vértices de grau um. Inicialmente foram realizados experimentos inserindo vértices em árvores de famílias particulares. Para realizar os experimentos também foi desenvolvido um algoritmo que auxiliou na pesquisa com árvores de Tipo I. Posteriormente, a partir das observações dos resultados dos experimentos, formalizamos algumas propriedades para famílias de árvores de Tipo I e para uma nova família de árvores de Tipo II. Duas conjecturas sobre árvores de Tipo II são propostas neste trabalho. 14

16 ABSTRACT The algebraic connectivity is the second smallest eigenvalue of the Laplacian matrix of a graph. This is a well known invariant, and has been intensively used in applications of Graph Theory problems solution. In this work we are interested to obtain conditions about a tree, in order to mantain the algebraic connectivity when a pendant vertex is attached. First, we conduct some experiments in specific families of trees. We implement an algorithm to help in the experiments with Type I trees. After that, we prove some properties in families of Type I trees and a new family of Type II trees, based in the results of the experiments. We also give two conjectures about Type II trees. 15

17 1 INTRODUÇÃO A conectividade algébrica é um importante invariante da Teoria Espectral de Grafos. Representa o segundo menor autovalor da matriz Laplaciana de um grafo, e é um bom parâmetro para medir o quão conexo ele é (ABREU, 2007). O estudo da conectividade algébrica de um grafo (a(g)) teve como marco inicial o trabalho de Miroslav Fiedler (FIEDLER, 1973), que estabeleceu propriedades importantes para o mesmo. O resultado principal desse trabalho prova que um grafo só é conexo se a sua conectividade algébrica é diferente de zero. O mesmo autor aprofundou a sua pesquisa sobre a conectividade algébrica em um trabalho posterior, (FIEDLER, 1975), relacionando agora os vértices de um grafo G aos componentes de um autovetor qualquer associados a a(g). Essa relação entre um autovetor associado à conectividade algébrica da árvore permitiu classificar as árvores em dois tipos: árvores de Tipo I e de Tipo II. Mais tarde, qualquer um dos autovetores associados com a(g) passou a ser denominado Vetor de Fiedler, em homenagem ao pesquisador que iniciou os estudos sobre a conectividade algébrica. Pela propriedade de entrelaçamento de autovalores para matrizes borda, pode-se concluir que, se temos uma árvore T e nela adicionarmos um vértice pendente v, obtendo T v, o valor da conectividade algébrica diminui ou permanece igual, ou seja a(t v) a(t ). Além de ser uma medida que apresenta um parâmetro global, a conectividade algébrica pode ser mais precisa do que a conectividade de vértice e a conectividade de aresta para um mesmo grafo. Este fator é um importante motivador dos trabalhos que estudam o comportamento da conectividade algébrica. O objetivo deste trabalho é realizar experimentos para determinar em que condições é possível adicionar vértices pendentes numa árvore sem alterar o valor de conectividade algébrica. A partir desses experimentos, sugerir propriedades e provar as mesmas. Em (GRONE & MERRIS, 1987) foi realizado o primeiro estudo de exemplos da adição de vértices pendentes em árvores de Tipo I, sem alterar o valor da conectividade algébrica. Em (MOSK-AOYAMA, 2008), é mostrado que o problema de decisão associado ao problema de aumento máximo da conectividade algébrica é NP-Completo. Mais recentemente, o trabalho de (DE OLIVEIRA, 2012) propõe uma heurística, baseada na excent- 16

18 ricidade de vértices, para obter um maior crescimento da conectividade algébrica de um grafo na inserção de uma aresta. Em (LEE, 2012), é analisada uma família de árvores e o seu comportamento quando é adicionado um vértice de grau um. Em (ALBUQUERQUE, 2012) são analisados grafos em geral para os quais a conectividade algébrica não muda antes e depois de inserir um único vértice de grau n-2, ou seja (a(g) a(g v) = 0). A diferença entre este trabalho e os trabalhos de (GRONE & MERRIS, 1987), (LEE, 2012) e (ALBUQUERQUE, 2012) é aproveitar as características das árvores classificadas em Tipo I e Tipo II e o cálculo da conectividade algébrica a partir das matrizes bottleneck proposto por (KIRKLAND et al., 1996). A partir das matrizes bottleneck associadas aos conjuntos de árvores estudadas nesta dissertação, conseguimos identificar situações nas quais acrescentar um vértice pendente (ou mais de um) não altera o valor da conectividade algébrica. E também provamos alguns resultados utilizando a teoria desenvolvida em (KIRKLAND et al., 1996). Este trabalho de dissertação foi iniciado com experimentos em famílias de árvores para as quais se adicionam vértices pendentes, sem que seja alterada a conectividade algébrica. Uma classe bem específica de árvores de Tipo I foi analisada e posteriormente foram provados resultados a respeito do limite de vértices pendentes inseridos. As árvores de Tipo II, que mesmo sendo mais numerosas que as árvores de Tipo I quando consideramos árvores com número fixo de vértices, recebem pouca atenção na bibliografia achada durante esta pesquisa. Neste trabalho também foram realizados experimentos com árvores de Tipo II, em particular com uma nova família definida no contexto desta pesquisa e denominada Árvores de Tipo II Simétricas. Nas seções 1.1 e 1.2 deste capítulo serão apresentados, respectivamente, a descrição do conteúdo dos capítulos da dissertação e os conceitos básicos em grafos e matrizes necessários para o entendimento desta dissertação. 1.1 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO No Capítulo 2 são apresentados os principais conceitos da bibliografia básica para a compreensão dos temas abordados nesta dissertação, como definições de conectividade algébrica de grafos, árvores de Tipo I e Tipo II, alguns resultados de Álgebra Linear e outros conceitos relacionados a árvores e matrizes necessários ao longo do texto. O Capítulo 3 apresenta os resultados de experimentos realizados para algumas famílias de árvores de Tipo I, utilizando a ferramenta New Graph (STEVANOVIC et al., 2003) 17

19 e também o algoritmo desenvolvido neste trabalho para calcular o número máximo de vértices de grau um que podem ser inseridos nessas árvores não alterando a conectividade algébrica. experimentos. Ao final do capítulo é apresentada uma conclusão sobre os resultados dos No Capítulo 4 são descritos os resultados teóricos formulados para três famílias de árvores de Tipo I: as árvores P 2k+1, k 2; árvores T 2 n,k,p Tn,k,1 s (k 2, s < k). (k 2, p 1); e as árvores O Capítulo 5 apresenta os resultados de experimentos com famílias de árvores de Tipo II, com o número de vértices 4 n 10. Introduz a definição de Árvore de Tipo II Simétrica, além de resultados sobre a inserção de vértices de grau um nessa árvore. Finalmente é dada uma condição para obter árvores de Tipo II simétricas que não verifique a definição de caterpillar. O Capítulo 6 contém as considerações finais assim como propostas de trabalhos futuros baseados nos resultados obtidos nesta dissertação. Os Apêndices contêm tabelas com os resultados de todos os testes realizados para árvores Tn,k,p s, em que buscamos inserir vértices pendentes sem alterar a conectividade algébrica, utilizando o software NewGraph na Seção 8.1, e o Algoritmo 3.2 na Seção 8.2. A Seção 8.3 apresenta tabelas com informações de propriedades espectrais sobre todas as árvores de Tipo II com número de vértices 4 n 10, extraídas do Anexo de (CVETKOVIC et al., 1980). A Seção 8.4 apresenta desenhos de todas as árvores citadas na seção anterior, além de desenhos ilustrando todas as possíveis inserções de um vértice pendente. Finalmente, a Seção 8.5 apresenta as tabelas com as informações de propriedades espectrais nas árvores obtidas como resultado das inserções descritas na Seção CONCEITOS PRELIMINARES As definições que serão apresentadas a seguir são baseadas na referência (ABREU, 2007) e (SZWARCFITER, 1986). Seja G = (V, E) um grafo com n vértices, onde V (G) = {1,..., n} é o conjunto de vértices e E(G) = {(a, b) a, b V } é o conjunto de arestas formadas por pares de vértices. Notaremos V = n e E = m. Os vértices a, b V são chamados extremidades da aresta (a, b). Um grafo simples não possui laços (arestas do tipo (v, v)) e nem arestas múltiplas. 18

20 Um grafo é não-direcionado quando a aresta é formada por um par não ordenado de vértices. Isto é, ((a, b) = (b, a)). Um caminho de v 1 até v k no grafo G = (V, E) é uma sequência finita v 1, v 2,..., v k de vértices distintos tais que (v i, v i+1 ) E para 1 i k 1. Se (v 1, v k ) E e k 3, a sequência finita v 1, v 2,..., v k, v 1 representa um ciclo. Um grafo G é conexo quando existe um caminho entre quaisquer par de vértices pertencentes a ele. Caso contrário, G é considerado desconexo. O grau de um vértice v V no grafo G = (V, E), denotado por grau(v), é a cardinalidade do conjunto de arestas ao qual este vértice incide. O comprimento de um caminho ou ciclo é dado pelo número de arestas que eles possuem. A distância entre dois vértices em um grafo é o número de arestas em um caminho mínimo que os conecta. A excentricidade de um vértice v, e(v), é a distância deste ao vértice mais afastado a ele dentro do grafo. A excentricidade máxima de um grafo, ou seja, a maior distância entre dois vértices do grafo, é conhecido como o diâmetro do grafo, denotado por diam(g). O centro de um grafo é formado pelo conjunto de vértices que possuem excentricidade mínima. Uma árvore é um grafo conexo e sem ciclos. Uma folha, ou vértice pendente, é um vértice de grau igual a 1. Observamos que se T é uma árvore, e adicionamos em T um novo vértice de grau 1 adjacente a um vértice em T, obtemos T = T v que também é uma árvore. Pode ser provado que numa árvore com pelo menos 4 vértices, o centro verifica ter cardinalidade 1 ou 2. Neste trabalho denotaremos P n como um caminho com n vértices. Um grafo caterpillar, denotado C, é uma árvore tal que se removermos todas as folhas obtemos um caminho com pelo 2 vértices. Um grafo k-partido é um grafo cujos vértices podem ser particionados em k conjuntos distintos, nos quais não há arestas entre vértices de um mesmo conjunto. Um grafo bipartido é um grafo k-partido com k = 2. Quando este grafo possui todas as arestas possíveis entre as duas partições, podemos dizer que este é um grafo bipartido completo e é denotado K a,b, onde n = a + b. 19

21 Neste trabalho notaremos por K 1,n 1 o grafo estrela com n vértices, onde K 1,n 1 é grafo bipartido completo, onde uma partição contém exatamente 1 vértice e a outra n 1 vértices. Uma matriz de adjacência A(G) de um grafo não direcionado simples G é uma matriz n n cuja entrada a ij contém 1 se os vértices v i e v j do grafo são adjacentes e 0 caso contrário. O teorema a seguir mostra a propriedade de entrelaçamento de autovalores para matrizes borda. Teorema 1.1. [Teorema (HORN & JOHNSON, 1990)] Seja A matriz hermitiana de dimensão n n com autovalores λ 1,..., λ n, y um vetor de dimensão n e a um número real. Seja à = Ay y a matriz hermitiana de dimensão (n+1) (n+1) com autovalores λ 1,..., λ n+1. Então λ 1 λ 1 λ 2 λ 2... λ n 1 λ n λ n λ n+1. Pelo Teorema anterior podemos concluir que acrescentar um vértice pendente numa árvore diminui ou mantém o valor da conectividade algébrica. Basta considerar A = (L(T )), à = L(T v), onde y = (0,..., 0, 1) e a = 1. Logo a(t v) = λ 2 (L(T v)) λ 2 (L(T )) = a(t ). A seguir, introduzimos dois resultados de matrizes positivas que foram extraídos do livro (HORN & JOHNSON, 1990). Estes resultados serão utilizados nos Capítulos 3 e 4. Uma matriz n n, A = (a ij ) é positiva (denotada por A 0) se a ij 0, i, j. Dada uma matriz simétrica n n e positiva, definimos por ρ(a) o maior autovalor da matriz A, também denominado valor de Perron. Teorema 1.2. [Teorema (HORN & JOHNSON, 1990)] Seja A uma matriz quadrada tal que A 0. Então e min 1 i n 1 j n min 1 j n 1 i n a i,j ρ(a) max a i,j ρ(a) max a i,j 1 i n 1 j n 1 j n 1 i n Lema 1.3. [Corolário (MOLITIERNO, 2012)] Seja A uma matriz n n tal que A 0. Se max 1 i n a i,i ρ(a). à é uma submatriz principal de A, então ρ(ã) ρ(a). Em particular, a i,j. 20

22 2 CONCEITOS BÁSICOS 2.1 CONECTIVIDADE ALGÉBRICA DE GRAFOS Alguns conceitos fundamentais sobre grafos são apresentados a seguir. Esta seção é baseada fundamentalmente no trabalho de Fiedler (FIEDLER, 1973). A matriz Laplaciana do grafo e definida por L(G) = D(G) A(G) (em que A(G) é a matriz de adjacência, e D(G) é a matriz diagonal dos graus dos vértices). A matriz Laplaciana é positiva semidefinida e seus autovalores são maiores ou iguais a zero. A Figura 2.1 apresenta o grafo G formado por 6 vértices e a matriz Laplaciana, L(G). Considerando que, para n 2, e que 0 = λ 1 λ 2 = a(g) λ 3... λ n - as raízes do polinômio característico de L(G), P G (x) = det(xi L(G))), em ordem não decrescente - são os autovalores da matriz L(G). Definição 2.1. A conectividade algébrica do grafo G é o segundo menor autovalor da matriz L(G). Notamos a(g) = λ 2 (G). Para o grafo da Figura 2.1, a(g) = 0, FIG. 2.1: Grafo G = (V, E) e sua matriz laplaciana correspondente Para todo autovalor λ de matriz L(G) existe vetor x diferente do vetor nulo, tal que L(G)x = λx, denominado autovetor associado a λ. A matriz L(G) é simétrica, portanto existem n autovalores correspondentes. Além disso, existe uma base ortogonal do espaço R n formado por autovetores da matriz L(G). Foram provadas propriedades de a(g) que garantem que a conectividade algébrica do grafo sempre se mantém constante ou cresce quando, para um grafo G(V, E) em que se mantém o conjunto de vértices, aumentamos o número e arestas. É o que diz o Corolário

23 Corolário 2.2. [Corolário 3.2 (FIEDLER, 1973)] A função a(g) é não-decrescente para grafos com o mesmo conjunto de vértices, i.e. a(g 1 ) a(g 2 ) se E(G 1 ) E(G 2 ). Desse corolário decorre a propriedade a seguir. Propriedade 2.3. [Propriedade 3.3 (FIEDLER, 1973)] Seja G um grafo e G 1 o grafo resultante da remoção de k vértices, e suas arestas adjacentes, de G. Então a(g 1 ) a(g) k 2.2 ÁRVORES DE TIPO I E TIPO II Em trabalhos posteriores, os autovetores correspondentes ao autovalor a(g) são chamados de vetores de Fiedler. Nesta seção apresentamos as principais contribuições dos artigos (FIEDLER, 1975), (MERRIS, 1987) e (GRONE & MERRIS, 1987) que serão utilizados na nossa pesquisa. Denotemos por ξ(g) o conjunto dos autovetores de L(G) correspondentes a a(g). Em 1975, Fiedler (FIEDLER, 1975) provou que se G é conexo, então a(g) > 0. Seja y = (y 1, y 2,, y n ) um autovetor de L(G) correspondente a a(g). Pode-se definir uma função f : V R tal que f(v i ) = y i, 1 i n. Os componentes de um vetor de Fiedler y ξ(g) são chamados de valores característicos de G. Restringindo nossa atenção às árvores, devemos introduzir dois conceitos extraídos de (FIEDLER, 1975) e (MERRIS, 1987). Teorema 2.4. [Teorema 3.14 (FIEDLER, 1975)] Seja T uma árvore e f(v i ) = y i, com 1 i n, seus valores característicos. Então, dois casos podem ocorrer: Caso I. Todos os valores de y i são diferentes de zero. Então T contém exatamente uma aresta (p, q) tal que y p > 0 e y q < 0. Os valores característicos dos vértices ao longo de qualquer caminho em T que inicie em p e que não contenha q serão crescentes; o valores característicos dos vértices ao longo de qualquer caminho que inicie em q e não contenha p serão decrescentes. Os vértices p e q são chamados vértices característicos. Caso II. O conjunto N 0 = {i N y i = 0} é não vazio. Então o grafo T 0 induzido por N 0 em T é conexo e há exatamente um vértice j N 0 possuindo ao menos um vizinho que não pertence a N 0. Os valores característicos ao longo de qualquer caminho em 22

24 T partindo de j podem crescer, decrescer ou não variar. O vértice j é chamado de vértice característico. Se supomos que T = (V, E) é uma árvore. Um vértice v V é um vértice característico de T se v = j na parte II do Teorema 2.4, ou se v (p, q) dado na parte I do Teorema 2.4. Em (MERRIS, 1987) foi utilizada a classificação dos vértices característicos de uma árvore, para denominar dois tipos de árvores específicos. Essa definição é apresentada a seguir. Definição 2.5. [Definição 1 (MERRIS, 1987)] Seja T uma árvore. Denotamos por F (T ) o conjunto de vértices característicos de T. Se F (T ) = 1, então T é uma árvore de Tipo I. Por outro lado, se F (T ) = 2 então T é uma árvore de Tipo II. A Figura 2.2 mostra um exemplos de árvore de Tipo I e de Tipo II. Na mesma, a conectividade algébrica de cada árvore é representada por a(t i ), 1 i 2; os valores entre parênteses representam os componentes do vetor de Fiedler associado a cada vértice; e em vermelho, estão identificados quais são os vértices característicos para cada uma das árvores. FIG. 2.2: Árvore T 1 é de Tipo I e árvore T 2 é de Tipo II No caso particular das árvores de Tipo I, o artigo de Grone & Merris (GRONE & MERRIS, 1987) estabelece propriedades sobre a conectividade algébrica, quando a estrutura do grafo é alterada de maneira particular. Teorema 2.6. [Teorema 3 (GRONE & MERRIS, 1987)] Seja T = (V, E) uma árvore de Tipo I com o vértice característico u e conectividade algébrica a(t ). Seja f ξ(t ). Suponha que T = (V, E ) é a árvore obtida de T quando lhe adicionamos um novo vértice 23

25 pendente, w, a u. (Então V = V (w) e E = E (w, u).) Estender a função f a uma função f de V através da definição f (w) = 0 e f (v) = f(v) v w. Então a(t ) = a(t ) e f ξ(t ). (Em particular, T é uma árvore de Tipo I e possui vértice característico u) Seja v um vértice de uma árvore T, e seja T v o subgrafo de T obtido ao se eliminar v e todas as arestas que nele incidem. Um ramo de T ligado a v é um componente conexo qualquer de T v. Considerando uma árvore T de Tipo I em que a(t ) = λ 2 é o segundo menor autovalor da matriz L(T ). Descreve-se como ramo passivo se, y i ξ(t ) é igual a zero para todo vértice naquele ramo; e como ramo ativo se é um ramo que possui vértice i, tal que y i ξ(t ) é diferente de zero. Se cada ramo B i, i > 0, tem sinal constante para todos os valores característicos de seus vértices, e existe um ramo ortogonal ao vetor 1 = (1,..., 1), em uma árvore de Tipo I deve existir no mínimo dois ramos ativos: um com todos os valores característicos positivos e um outro negativo. Seja T uma árvore e B um ramo ligado a seu vértice característico v k+1. Há um vértice em B adjacente a v k+1, será chamado r(b), considerado a raiz desse ramo. Teorema 2.7. [Teorema 2 (GRONE & MERRIS, 1987)] Seja T uma árvore de Tipo I e m a multiplicidade de λ 2 = a(t ) como um autovalor de L(T ). Então existem exatamente m + 1 ramos ativos em T. Como exemplo temos a árvore de Tipo I T 1 da Figura 2.2 possui três ramos, ligados ao vértice característico v 5, que estão indicados por B 1, B 2 e B 3. Os valores do vetor de Fiedler associado a cada um dos v i vértices, onde 1 i 12, estão entre parênteses. Assim pode-se ver que nos ramos B 1 e B 2 todos os valores dos componentes do vetor de Fiedler y i ξ(t ) são diferentes de zero, portanto são os ramos ativos da árvore. No ramo B 3, por sua vez, os valores desses componentes associados aos vértices são todos iguais a zero, o que o caracteriza como ramo passivo. Os autovalores da matriz Laplaciana L(T 1 ) de T 1 em ordem crescente são (0, 00; 0, 12; 0, 16; 0, 58; 1, 0; 1, 3; 2, 0; 2, 3; 3, 0; 3, 4; 3, 5; 4, 4), e o segundo menor deles λ 2 = 0, 12 possui multiplicidade 1, confirmando o Teorema 2.7, pois m + 1 = 2 é o número de ramos ativos de T 1. 24

26 FIG. 2.3: Árvore T 1 é de Tipo I e possui dois ramos ativos e um ramo passivo 2.3 A CONECTIVIDADE ASSOCIADA A MATRIZES NÃO-NEGATIVAS Uma árvore T, cuja conectividade algébrica é a(t ), pode ser classificada como árvore de Tipo I ou de Tipo II. A partir dessa classificação é possível obter o valor da conectividade algébrica como o inverso do maior autovalor de uma matriz positiva adequada, que será definida a seguir. Proposição 2.8. [Proposição 1 (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore, e L k a submatriz principal da matriz Laplaciana L(T ), obtida eliminando a k-ésima linha e a k-ésima coluna. A entrada (i, j) da matriz L 1 k é igual ao número de arestas de T que estão em ambos os caminhos, do vértice i até o k, como do vértice j até o vértice k. Definição 2.9. [Definição (MOLITIERNO, 2012)] A matriz L 1 k é chamada matriz bottleneck da árvore T no vértice k e pode ser descrita como uma matriz diagonal por blocos, onde cada bloco diagonal corresponde a um ramo de T no vértice k, e é chamado de matriz bottleneck para aquele ramo em k. Na Figura 2.3 é apresentada uma árvore de Tipo I com vértices numerados, e para ela é calculada a matriz bottleneck no vértice 4, que é o vértice característico dessa árvore. Os blocos diagonais da matriz estão coloridos de acordo com o ramo correspondente na árvore. Os vértices pendentes 8, 9 e 10 ligados ao vértice 4 são também ramos dessa árvore. Se T é uma árvore, então a matriz L 1 k+1 correspondente em um vértice V K+1 possui um número de blocos diagonais igual ao grau do vértice v k+1, e consequentemente igual 25

27 FIG. 2.4: Árvore de Tipo I T 1 10,3,3 e sua matriz bottleneck ao número de ramos da árvore T em v k+1. Cada bloco diagonal é uma matriz positiva que corresponde a um único ramo de T em v k+1. O raio espectral (maior autovalor) de L 1 k+1, ρ(l 1 k+1 ), ou valor de Perron, será igual ao valor de Perron de um ou vários blocos diagonais da matriz bottleneck correspondentes. Desse modo, o valor de Perron de um dos ramos definirá o valor de Perron da árvore, e este ramo é chamado Ramo de Perron. O número de Ramos de Perron de uma árvore é uma característica que pode servir para a classificação de árvores nos dois tipos. Uma árvore de Tipo I sempre terá dois ou mais ramos de Perron ligados ao vértice característico v k+1, segundo o Teorema de Kirkland, Neumann & Shader a seguir. Teorema [Corolário 2.1 (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore. T é uma árvore de Tipo I se e somente se existe exatamente um vértice para o qual há dois ou mais ramos de Perron. T é uma árvore de Tipo II se e somente se para cada vértice v da árvore existe um único ramo de Perron em v CONECTIVIDADE ALGÉBRICA DE ÁRVORES A conectividade algébrica de árvores pode ser calculada utilizando as matrizes bottleneck. Os teoremas que descrevem a relação entre matrizes bottleneck e árvores de Tipo I e Tipo II, apresentados por Kirkland, são descritos a seguir. Teorema [Teorema 1, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore com n vértices cuja matriz Laplaciana é denotada por L(T ). Supor que i e j são dois vértices 26

28 adjacentes em T. Então T é árvore de Tipo II com vértices característicos i e j se, e somente se a seguinte condição for verificada: Existe 0 < γ < 1 tal que ρ(m 1 γ( 1)J) = ρ(m θ 2 (1 γ)( 1 )J), onde θ é o peso θ da aresta (i, j), M 1 é a matriz bottleneck para o ramo em j contendo i e M 2 é a matriz bottleneck para o ramo em i contendo j. Além disso, caso essa condição seja satisfeita, a conectividade algébrica da árvore T, a(t ), verifica 1 a(t ) = ρ(m 1 γ( 1 θ )J) = ρ(m 2 (1 γ)( 1 θ )J). Também é verdade que para qualquer autovetor de L(T ) associado a a(t ) pode ser permutado na forma [ v 1 v 2 ], onde v 1 contém os componentes do vetor de Fiedler associados ao bloco B 1 e v 2 contém os componentes associados aos vértices do bloco B 2. Desse modo temos que γ = α, onde α é a primeira entrada de v α+β 2 e β é a última entrada de v 1. Se desejamos calcular a conectividade algébrica da árvore T 2 da Figura 2.2, que é de Tipo II, precisamos obter a matriz bottleneck para o ramo B 1 de T 2 em q que contém os vértices v 1, v 2 e v 3 e a matriz bottleneck para o ramo B 2 de T 2 em p que contém os vértices v 4, v 5 e v 6. As matrizes bottleneck M 1 do ramo B 1 e M 2 do ramo B 2 serão M 1 = e M 2 = Assim o vetor de Fiedler y = (0, 41932; 0, 41932; 0, 28310; 0, 08132; 0, 41932; 0, 62109) [ v 1 para T 2, torna-se 0, v 1 = 0, v 2 ] 0, e v 2 = 0, , , Desse modo, temos a primeira entrada do vetor v 2, β = 0, 08132, e a última entrada do vetor v 1, α = 0, E como sabemos que γ = α α+β = 0, 2231, temos ρ(m 1 γee T ) = ρ(m 2 (1 γ)ee T ) ρ(m 1 0, 2231ee T ) = ρ(m 2 (1 0, 2231)ee T ) 3, 0782 = 3, 0782 Dizemos então que 1 a(t 2 ) = ρ(m 1 γee T ) = ρ(m 2 (1 γ)ee T ), então a(t 2 ) = 0, Teorema [Teorema 2, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T = (V, E) uma árvore cujos vértices são v i V ; 1 i n. Então, T é uma árvore de Tipo I com vértice 27

29 característico v k+1, se e somente se existem dois ou mais ramos de Perron de T em v k+1. Além disso, nesse caso, a conectividade algébrica de T é a(t ) = 1 ρ(l 1 k+1 ). Se y = (y 1,..., y n ) é o autovetor correspondente à conectividade algébrica, então y pode ser permutado e particionado de modo que cada sub-vetor resultante é um vetor de Perron para a submatriz da matriz bottleneck correspondente a cada ramo de Perron em v k+1. Para a árvore T 1 da Figura 2.2, podemos calcular um vetor de Fiedler y = (0, 60; 0, 37; 0, 00; 0, 37; 0, 60; 0, 00). O conjunto N 0 = {1 i 6 : y i = 0} definido no Teorema 2.4 é igual a {3, 6}. Para i = 3, v 3 é o único vértice característico de T 1 pois y 3 = 0, e é adjacente em T 1 com o vértice v 2 (para o qual y 2 > 0) e com o vértice v 4 (para o qual y 4 < 0). Portanto, a matriz bottleneck para o vértice característico v 3 é dada por L 1 3 = O valor ρ(l 1 3 ) pode ser calculado da seguinte forma: [ ] [ ] [ ] [ max{ρ( ), ρ( ), 1} = ρ( ) = ρ( ] ) = = 2, Logo, pelo Teorema anterior, a(t 1 ) = 1 ρ(l 1 3 ) = 1 2,6180 = 0, OUTROS RESULTADOS SOBRE ÁRVORES E MATRIZES Na Seção 3 do artigo (KIRKLAND et al., 1996) são apresentados alguns resultados sobre o valor de Perron de um ramo numa árvore sem pesos, e sobre o vetor de Perron da matriz bottleneck correspondente. O primeiro resultado mostra que, em relação aos valores de Perron, a matriz bottleneck de um ramo B no vértice k tem a propriedade de ficar entre a matriz bottleneck de um ramo que é caminho e de um estrela com o mesmo número de vértices, ambos ligados a k. Teorema [Teorema 5, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore sem pesos e v um vértice em T. Supor que o ramo B de T no vértice v possui k vértices, e seja M 28

30 a matriz bottleneck de B em v. Sejam M P e M S as matrizes bottleneck correspondentes ao caminho de k vértices e à estrela de k vértices em v, respectivamente. Então existem matrizes de permutação Q e R tais que QM p Q M RM s R. A prova do Teorema anterior é feita por indução em n. Esse resultado permite produzir imediatamente um resultado para os limites do valor de Perron em um ramo de uma árvore. Corolário [Corolário 5.1, (KIRKLAND et al., 1996)]: Seja T uma árvore sem pesos, e seja v um vértice de T. Se o ramo B de T no vértice v contém k vértices, então: 1 k k2 + 2k 3 2(1 cos( π ρ(b). )) 2 2k+1 Em algumas situações especiais, o Corolário 5.1 permite identificar o ramo de Perron em um vértice particular, como mostra o Corolário a seguir: Corolário [Corolário 5.2, (KIRKLAND et al., 1996)]: Seja T uma árvore sem pesos e suponha que o vértice v de T possui dois ramos B 1 e B 2 com k 1 e k 2 vértices, respectivamente. Se k k k 1 3 > então o único ramo de Perron no vértice v é B cos( π 2k 2 +1 ), A prova do Corolário 2.15 se baseia no resultado do Corolário A Proposição a seguir determina um limite superior mais ajustado para ρ(b) que o limite dado no Corolário Proposição [Proposição 3, (KIRKLAND et al., 1996)] Seja T uma árvore sem pesos e v um vértice de T. Supor que o ramo B de T em v possui k vértices e que a máxima distância em T desde um vértice de B até o vértice m é igual a d. kd ρ(b). Então 29

31 3 EXPERIMENTOS COM ÁRVORES DE TIPO I Neste capítulo são apresentados os resultados de experimentos realizados com árvores de Tipo I. Esses experimentos consistem em observar o comportamento da conectividade algébrica e de seus autovetores quando são inseridos vértices de maneira muito particular. A motivação para a investigação deste comportamento vem dos casos de inserção de vértices pendentes em árvores de Tipo I, sem alterar a conectividade algébrica, observados em (GRONE & MERRIS, 1987) O passo básico de cada experimento é a alteração da estrutura dessas árvores, adicionando a elas um ou mais vértices pendentes. Devemos perceber, no entanto, que a família de árvores utilizada nos experimentos deve atender a uma série de critérios específicos. Definição 3.1. Seja P 2k+1 o caminho com 2k + 1 vértices e diâmetro par igual a 2k > 2. No Teorema 4.1 do Capítulo 4, provaremos que P 2k+1 é uma árvore de Tipo I, com o vértice característico v k+1 (no centro desse caminho) se considerarmos os vértices de P 2k+1 numerados na ordem do caminho. 3.1 INSERÇÃO DE VÉRTICES EM ÁRVORES DE TIPO I - EXPERIMENTOS Para realizar os experimentos com a conectividade algébrica de árvores das famílias escolhidas adicionando vértices pendentes, foi utilizada a ferramenta NewGraph (STE- VANOVIC et al., 2003), que permite calcular a matriz Laplaciana, além dos autovalores e autovetores das árvores (ver Figura 8.1). Cada subfamília de árvores considerada será descrita nas seções a seguir, assim como os resultados observados durante os experimentos INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES EM P 2k+1 Definição 3.2. A árvore Tn,k,p 1 é formada por um caminho com 2k +1 vértices e diâmetro 2k e existem p vértices pendentes adjacentes ao vértice central de P 2k+1, denotado v k+1. Consideramos os vértices de Tn,k,p 1 numerados da seguinte forma: os vértices do caminho P 2k+1 numerados de 1 até 2k + 1 na ordem do caminho, e os p vértices pendentes numerados desde 2k + 2 até n = 2k p. 30

32 Os caminhos de diâmetro par (2k) são árvores de Tipo I. A prova desta afirmação será mostrada no Proposição do Capítulo 4. Quando são inseridos vértices pendentes adjacentes ao vértice v k+1, a conectividade algébrica não se altera. Não existe limite para o número de vértices pendentes a inserir sem alterar o valor da conectividade algébrica (Teorema 2.6). A Figura 3.1 mostra um exemplo de árvore de Tipo I, construída a partir do caminho P 11, no qual foram inseridos 4 vértices pendentes. Neste exemplo, k = 5, p = 4 e n = 15. Então, pelo resultado do Teorema 2.6, a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p 1 ), p 1. Em particular a(p 2k+1 ) = a(tn,k,1 1 ). A partir desse resultado, formulamos a seguinte pergunta: PERGUNTA 1: Qual o valor da conectividade algébrica da árvore obtida de T 1 n,k,1 pela adição de um vértice pendente adjacente ao vértice v 2k+2 (Figura 3.2)? FIG. 3.1: Exemplo de árvore de Tipo I T 15,5 usada nos testes da Seção NÚMERO MÁXIMO DE VÉRTICES PENDENTES INSERIDOS NA ÁRVORE T 2 n,k,p Para responder à PERGUNTA 1, consideramos uma nova família de árvores denominada T 2 n,k,p e definida a seguir: Definição 3.3. Seja P 2k+1 o caminho com 2k + 1 vértices e diâmetro para 2k, k 2. Define-se a árvore T 2 n,k,p construída a partir do caminho P 2k+1 e de uma estrela K 1,p com p 1, pela identificação do vértice central de P 2k+1, chamado de v k+1, com uma folha da estrela K 1,p. Observar que a árvore T 2 n,k,p possui n = 2k+1+p+1 vértices e T 2 n,k,p v k+1 = 2P k K 1,p. As árvores Tn,k,p 2, k 2 e p 1 são árvores de Tipo I, com condições sobre o valor de p. No Teorema do Capítulo 4 é apresentada a prova desta afirmação. A Figura 3.2 apresenta um exemplo de uma árvore Tn,k,p 2, para k = 5, p = 10 e n = 22. Observar que o caminho desde o vértice característico v k+1 até uma folha da estrela tem comprimento s = 2. 31

33 FIG. 3.2: Exemplo de árvore de Tipo I T 22,5,10 usada nos testes da Seção Neste caso, o experimento realizado consiste em, a partir da árvore Tn,k,1 2, k 2, inserir vértices pendentes adjacentes ao vértice v 2k+2, obtendo árvores da família, e determinar o maior valor de p tal que a(p 2k+1 ) = a(t 2 n,k,p ). condições por p. Denotaremos o maior valor p nessas A Tabela 3.1 apresenta todos os valores de p obtidos para T 2 n,k,p, onde a(p 2k+1) = a(tn,k,p 2 ), p p, k 2, n = 2k p + 1, considerando valores de k entre 5 e 13 e k = 20. Observar que no caso da árvore T 2 n,5,p, o valor p = 10 (Figura 3.2) e a(t 2 n,5,p) = a(p 2k+1 ) = 0, 08101, 1 p p. k p a(t n,k,p ) = a(t n,k,p ) = a(p 2k+1 ) 1 p p , , , , , , , , , ,00587 TAB. 3.1: Relação entre k e p, tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p 2 ) p p, n = 2k p NÚMERO MÁXIMO DE VÉRTICES PENDENTES INSERIDOS NA ÁRVORE T s n,k,p Seguindo a mesma ideia da seção anterior, analisamos a adição de vértices pendentes nas árvores Tn,k,p s, p 1, s 3, k 2, definidas a seguir. Definição 3.4. A árvore denominada Tn,k,p s, com p 1, s 3 e k 2 é formada pelo caminho P 2k+1, o vértice central do caminhop 2k+1, v k+1, é identificado com uma 32

34 extremidade do caminho P s e uma folha da estrela K 1,p+1 é identificada com a outra extremidade do caminho P s. Observar que n = 2k s 1 + p e T s n,k,p v k+1 = 2P k T (1, p, s 1), onde T (a, b, d) é a árvore com n = a+b+d 1 vértices e diâmetro d (FALLAT & KIRKLAND, 1998; GRONE & MERRIS, 1990), formada por um caminho de diâmetro d 2, P d 1, com a vértices pendentes adjacentes a uma extremidade de P d 1 e b vértices pendentes adjacentes à outra extremidade de P d 1. Na Figura 3.3 são exibidos exemplos de árvores Tn,k,p s, para k = 5 e s k, n = 11 + s 1 + p. Observar que o comprimento d caminho desde o vértice v k+1 até qualquer folha da estrela é igual a s. Nos primeiros testes, foram analisadas árvores T s n,k,p diferentes valores de s 3 e p 1. para 5 k 13, para k = 20, e FIG. 3.3: Exemplo de árvores de Tipo I verificadas nos testes da Seção 3.1.3, onde T s n,k,p e n = 2k s 1 + p Observamos qual o maior valor possível para p, fixado k e s, sendo s k. A Tabela 8.1 apresenta os valores considerando 3 s k ; denotamos o valor máximo de p, que mantém a conectividade algébrica, por p. O valor da conectividade algébrica permanece para a árvore a(t s n,k,p ) = a(p 2k+1). Em todos os casos analisados, quando são inseridos p > p vértices pendentes no local indicado, o valor de a(t s n,k,p ) se altera, mais precisamente, diminui (a(t s n,k,p ) < a(p 2k+1) se p > p ). Além disso, o valor a(t s n,k,p ) = a(p 2k+1) é o terceiro menor autovalor da matriz Laplaciana de Tn,k,p s, quando p > p. 33

35 3.1.4 OUTRO CASO DE INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES NA ÁRVORE T s n,k,p Nesta seção analisaremos o que acontece quando inserimos um vértice pendente em T s n,k,p, sendo p obtido como na Seção Agora, o vértice pendente pode ser adjacente a qualquer vértice no ramo T (1, p, s 1), exceto às p folhas (ver Figura 3.3). A prova para que se classifique árvores T s n,k,p Proposição 4.6 do Capítulo 4. como de Tipo I é apresentada na Definição 3.5. A árvore Tn,k,p s + v é formada pela adição de um vértice pendente v no penúltimo vértice não-folha do ramo T (1, p, s 1), para o qual já se atingiu o máximo p. Essa subfamília de árvores demonstra que é possível a inserção de vértices pendentes, em uma árvore de Tipo I, mantendo a conectividade algébrica. A inserção pode ser realizada em uma posição determinada do ramo T (1, p, s 1), que não é ramo de Perron. Para esse caso, mesmo já tendo alcançando o máximo p, são possíveis novas inserções sem que a conectividade algébrica se altere. A Figura 3.4 mostra a árvore Tn,k,p s, para k = 9, s = 6 e p = 4. Foi verificado que inserir um vértice v adjacente ao penúltimo vértice não folha do ramo que não é de Perron, mantém o valor da conectividade algébrica. FIG. 3.4: A árvore de Tipo I T 6 28,9,4 + v que mantém a conectividade algébrica após a inserção de v, mesmo com o máximo p = 4 vértices já inseridos As Tabelas 3.2 e 3.3 descrevem os resultados obtidos para a inserção de um vértice pendente v no penúltimo vértice não folha do ramo que não é ramo de Perron considerando p máximo, onde k varia entre 5 e 10, k = 12, 13 e k = 20. Os testes foram realizados para todos os valores de k também testados nos casos das Seções e A única exceção é para a árvores Tn,k,p s com k = 11, pois para nenhum dos valores de s foi possível a inserção mantendo a conectividade algébrica. Os 34

36 valores de a(tn,k,p s + v ) marcados com (*) apresentam aumento na multiplicidade do autovalor. A tabela também mostra alguns casos em que a conectividade varia (valores em negrito), após a adição de v. Nesse casos, para a árvore de um certo valor k, com 3 s k, se são mostrados resultado apenas até um certo valor de s significa que para todos os ramos não-perron maiores que s a conectividade se altera. k s p* a(t s n,k,p ) = a(p 2k+1) a(t s n,k,p + v ) , , , , , ,0437 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,01352 *0, ,01352 TAB. 3.2: Relação entre k, s, p e a conectividade algébrica das árvores T s n,k,p e T s n,k,p + v MÚLTIPLOS RAMOS INSERIDOS As propriedades observadas para as subfamílias de árvores das seções anteriores são preservadas no que diz respeito ao máximo p de vértices pendentes inseridos em um ramo que não é de Perron. Podemos incluir l ramos que não são de Perron ligados ao vértice v k+1 de P 2k+1, de diferentes comprimentos tamanhos, cada um respeitando os limite estabelecidos p, para manter o valor da conectividade algébrica. A Figura 3.5 mostra um exemplo de árvore de Tipo I testada. A árvore foi construída 35

37 TAB. 3.3: Continuação da Tabela 3.2 k s p* a(t s n,k,p ) = a(p 2k+1) a(t s n,k,p + v ) 3 83 *0, , , *0, *0, , , , , , , , *0,00587 a partir do caminho P 2k+1, k = 5, com mais l = 3 ramos que não são de Perron, contendo o p máximo de número de vértices pendentes dos casos analisados nas subseções anteriores para cada ramo. Para esse exemplo verificam-se os limites apresentados nas Tabelas 3.1 e 8.1. FIG. 3.5: Exemplo de árvore de Tipo I utilizado no teste de Definição 3.6. A árvore T s1,...,s l n,k,p 1,...,p l é formada pelo caminho principal P 2k+1 e por l árvores T (1, p i, s i 1), 1 i l, identificando a extremidade do caminho em T (1, p i, s i 1) com o vértice v k+1. Observar que T s1,...,s l n,k,p 1,...,p l v k+1 = l i=1t (1, p i, s i 1). Essa subfamília permite observar o comportamento descrito no Teorema 2.7, que garante aumento na multiplicidade da conectividade algébrica para árvores de Tipo I com mais de dois ramos de Perron iguais, ligados a um vértice central. 36

38 Para esse caso foram testadas árvores com os mesmos valores de k testados enas Seções e 3.1.3, e com s i = k, i 1 i l. Quando um ramo que é um caminho de k vértices é adicionado ao vértice característico v k+1 de T k,...,k n,k,1...,1, a multiplicidade de a(t k,...,k n,k,1...,1 ) aumenta em todos os casos. 3.2 ALGORITMO PARA ADICIONAR T s n,k,p MANTENDO A CONECTIVIDADE ALGÉBRICA VÉRTICES PENDENTES NAS ÁRVORES Nesta seção descrevemos um algoritmo que determina o valor máximo de vértices pendentes, p, tal que a(t s n,k,p ) = a(p 2k+1). Para tal fim, será necessário calcular os blocos da matriz L 1 k+1 da árvore correspondente. Consideremos Tn,k,p s, onde n é o número total de vértices, a árvore definida na Seção 3.1.3, cujos vértices são numerados de 1 até 2k + 1 para os vértices em P 2k+1, seguindo pelos vértices no caminho P s de 2k + 2 até 2k + s, e os p vértices pendentes de 2k + s + 1 até n = 2k s 1 + p. Esta é uma árvore de Tipo I (ver prova na Proposição 4.6 do Capítulo 4) formada por um caminho principal P 2k+1, que determina dois ramos de Perron (ver Seção 2.2) e um ramo que não é de Perron T (1, p, s 1), com 1 p p. Um número p de vértices poderá ser adicionada a qualquer outro vértice do ramo que não é de Perron de Tn,k,p s. Ver exemplo na Figura 3.2. FIG. 3.6: Exemplo de árvore T s n,k,p com k = 5, s = 3 e p = 4 Calcularmos a matriz bottleneck L 1 k+1 dessa árvore (ver Seção 2.3) que é uma matriz diagonal por blocos. Os blocos correspondentes aos ramos de Perron são denotados B k e o bloco correspondente ao ramo que não é de Perron de B s. A matriz botteneck de T s n,k,p é da forma: 37

39 L 1 k+1 = B k B k B s O Algoritmo 2 calcula, com auxílio das propriedades do raio espectral da matriz bottleneck de um ramo, os limites para a inserção de vértices pendentes sem alteração da conectividade algébrica da árvore. Primeiro verifica-se o número máximo de vértices pendentes p, no último vértice do ramo que não é de Perron em uma árvore T s n,k,p. Posteriormente é verificado se é possível inserir vértices pendentes adjacentes a outros vértice não-folha desse ramo, após já atingido p para o último vértice do ramo. número de vértices pendentes neste caso é denotado p. O máximo Para garantir que o valor da conectividade algébrica seja mantido, o algoritmo calcula o valor do raio espectral do bloco B k, correspondente ao caminho P k. Como foi apresentado em (KIRKLAND et al., 1996) que a(t s n,k,p ) = 1 max{ρ(b k ),ρ(b s)} = ρ(b k), se ρ(b k ) ρ(b s ). Dessa forma, o valor do raio espectral calculado para a matriz bottleneck do ramo B s não deve ultrapassar ρ(b k ). Para calcular o raio espectral B k, o algoritmo utiliza a fórmula ρ(b k ) = 1 a(p 2k+1 ) Na prova do Teorema 4.7 é detalhada a fórmula para o cálculo de a(p 2k+1 ), sendo este um caminho com 2k + 1 vértices. Pelo observado, não é necessário que o algoritmo calcule a matriz bottleneck de P k. Logo, a inserção iterativa de vértices pendentes no ramo que não é de Perron exige que uma nova bottleneck B s seja calculada a cada inserção de vértices. Assim, se a matriz bottleneck tiver n = 2k s 1 + p vértices cujos elementos são B(i, j) e s e k dados. O Algoritmo 1 é descrito a seguir. 38

40 Algoritmo 1: Geração de uma Matriz bottleneck do ramo que não é de Perron em T s n,k,p Entrada: n, //Número de vértices do ramo s //Comprimento do ramo Saída: B // B s = B Matriz bottleneck do ramo passivo para i de 1 até n, faça para j de 1 até n, faça se i > j, faça se j < s, faça B(i, j) = j senão B(i, j) = s 1 fim se senão se i == j faça se i <= s, faça B(i, j) = j senão se i > s, faça B(i, j) = s fim se senão se i < j faça se i < s, faça B(i, j) = i senão B(i, j) = s 1 fim se fim se fim para fim para Cada inserção de vértice pendente gera uma nova matriz bottleneck, e um novo valor de ρ(b s ) que vai sendo comparado a ρ(b k ). O Algoritmo 2, após obter a matriz B s e o raio espectral da mesma, ρ(b s ), verifica o valor p, número máximo de vértices que podem ser inseridos no último vértice do ramo, sem alterar a conectividade algébrica. Posteriormente, para o ramo resultante das inserções com número de vértices pendentes p, verifica o valor p, número máximo de vértices pendentes inseridos em outra posição do ramo T (1, p, s 1). Apresentamos a seguir o pseudocódigo do Algoritmo 2 que cal- 39

41 cula o valor p (número máximo de vértices pendentes no último vértice do ramo que não é de Perron) e p (número máximo de vértices pendentes no primeiro vértice do ramo que não é de Perron). A entrada do algoritmo é dada por: k que representa o número de vértices para cada um dos ramos de Perron ; l min e l max são os limites inferior e superior do comprimento do ramo que não é de Perron (é calculado o valor de p e p para todos os casos de l min s l max ); e l 2 é a posição escolhida para inserir os vértices p no ramo. Algoritmo 2: Cálculo de p* e p para a árvore T s n,k,p Entrada: k, l min, l max, l 2 Saída: p, p Calcula ρ(b k ) = 1 a(p 2k+1 ) Para s = l min até l max faça Calcula ρ(b s ) // para o ramo com l max vértices p = 0; Enquanto ρ(b s ) < ρ(b k ) faça Insere um vértice pendente no último vértice não folha do ramo passivo; Calcula novo ρ(b s ); p = p +1 p = 0; Enquanto ρ(b s ) < ρ(b k ) faça Insere um vértice pendente no vértice l 2 do ramo passivo; Calcula novo ρ(b s ); p = p + 1; Retornar p, p ; O Algoritmo 2 foi implementado utilizando a plataforma Octave 3.2 (EATON, 1998) que permite calcular o maior autovalor da matriz B s. As instâncias de teste são árvores Tk,n,p s com valor de 5 k 36, k = 40 e k = 50, com 2 l max k. As tabelas do Anexo 8.2 apresentam os limites de vértices pendentes inseridos no último vértice do ramo (p ) e o limite de vértices pendentes inseridos no primeiro vértice ligado ao característico (p ). 3.3 CONCLUSÃO A PARTIR DOS EXPERIMENTOS Nas Seções 3.1.2, e 3.1.4, foram realizados experimentos com árvores particulares, Tn,k,p s, k 2 e s 2. Nesses experimentos observamos que o número de vértices pendentes inseridos que permitem manter o valor da conectividade algébrica inalterado está 40

42 relacionado com o número de vértices no subgrafo P 2k+1. Os experimentos da Seção também permitem observar que os ramos adicionados, ainda que múltiplos, devem ter um número de vértices relacionados com o número de vértices do subgrafo P 2k+1. No próximo capítulo será analisada essa relação, comparando o maior autovalor do(s) ramo(s) passivo(s) com características dos ramos de Perron das árvores Tn,k,p 2, k 2 e p 1 e T n,k,1 s, k 2 e s k. 41

43 4 RESULTADOS TEÓRICOS PARA ÁRVORES DE TIPO I Neste capítulo analisamos 3 famílias de árvores de Tipo I. Duas dessas famílias, as árvores P 2k+1, k 2 e as árvores Tn,k,p 2, k 2 e p 3 foram definidas no Capítulo 3. A terceira família, as árvores Tn,k,1 s, k 2 e s k são apresentadas na Seção 4.1 Mostramos que é possível inserir vértices pendentes, em alguns casos particulares, nestas famílias de árvores sem alterar o valor da conectividade algébrica. 4.1 EXEMPLOS DE ÁRVORES DE TIPO I O Teorema 2.10 provado em (KIRKLAND et al., 1996), determina condições necessárias e suficientes para uma árvore verificar a definição de Tipo I e Tipo II. Seja P 2k+1, k 2 o caminho com 2k + 1 vértices (Definição 3.1) cujo diâmetro (par) é igual a 2k. Mostraremos que o caminho P 2k+1, com k 2 é uma árvore de Tipo I. Para isso propomos: Proposição 4.1. A árvore P 2k+1, k 2, é uma árvore de Tipo I com vértice característico v k+1, considerando os vértices de P 2k+1 numerados na ordem do caminho. Prova: Numeramos os vértices do caminho P 2k+1 na ordem do mesmo. Neste caso existem exatamente dois ramos de Perron no vértice v k+1. A matriz bottleneck de P 2k+1 no vértice v k+1 é dada por: onde L 1 v k+1 (P 2k+1 ) = A A 2 A 1 = k k 1 k k 1 k 1 k k 2 k 2 k { k i + 1 se i j; ou (A 1 ) i,j = k j + 1 se i j. } 42

44 { } e A 2 = j se i > j; ou (A 2 ) i,j =... i se i j k 2 k 1 k k 2 k 1 k Como as matrizes A 1 e A 2 são semelhantes pois A 2 = P A 1 P onde P = é a matriz de permutação, temos que os dois ramos em v k+1 são ramos de Perron. Logo, pelo Teorema 2.10, P 2k+1 é uma árvore de Tipo I. Sobre a conectividade algébrica de P 2k+1 foi determinado o Teorema 4.2 a seguir, cujo resultado será utilizado posteriormente para outros teoremas sobre a conectividade algébrica desse tipo de árvore. Teorema 4.2. Para k 2, a(p 2k+1 ) = 2(1 cos( π 2k+1 )) = 1 ρ(a 1 ). Prova: Consideramos os vértices de P 2k+1 numerados na ordem do caminho. Como existem exatamente dois ramos de Perron de P 2k+1 em v k+1, podemos concluir que P 2k+1 é uma árvore de Tipo I com vértice característico v k+1. Logo vale o Teorema 2.12 e portanto 1 a(p 2k+1 ) = ρ(l 1 k+1 ). Seja L 1 k+1 (P 2k+1) = A 1 0 a matriz botlleneck correspondente 0 A 2 ao grafo P 2k+1. Como A 2 = P A 1 P onde P é a matriz de permutação, o ramo de Perron no vértice 2k + 1 possui valor de Perron ρ(a 1 ) = ρ(a 2 ) = ρ(l 1 k+1 (P 2k+1)). Logo a(p 2k+1 ) = 2(1 cos( π 2k+1 )) = 1 ρ(a 1 ). Da prova do Teorema 4.2 obtemos que ρ(a 1 ) = 1 π 2(1 cos( )). 2k+1 Um segundo exemplo de árvore de Tipo I são as árvores denotadas por T 2 n,k,p, k 2 e p 1 que foram definidas no Capítulo 3 (Definição 3.3). T 2 n,k,p Lembramos que para k 2 e p 1, verifica-se T 2 n,k,p v k+1 = 2P k K 1,p. E árvore possui n = 2k p + 1 = 2k p vértices. Proposição 4.3. Seja Tn,k,p 2, k 2 e p 1 a árvore da Definição 3.3, v k+1 o vértice central no caminho P 2k+1, com J (p+1) (p+1) sendo uma matriz quadrada com todas as 43

45 entradas 1, e Diag(0, 1,..., 1, 1) a matriz quadrada de mesma dimensão de J formada por zeros, e a diagonal como um vetor de primeiro elemento zero e todos os outros iguais a 1. Então para a árvore T 2 n,k,p temos que ρ(l 1 v k+1 (T 2 n,k,p )) = max{ρ(a 1), ρ(a 2 ), ρ(a 3 )}, onde A 1 é a matriz utilizada na prova da Proposição 4.1 e A 3 = J + Diag(0, 1,..., 1, 1) Prova: Numeramos os vértices de T 2 n,k,p da maneira seguinte: sejam v 1,... v 2k+1 os vértices do caminho P 2k+1, v 2k+2 é o vértice de T 2 n,k,p v k+1 ; os vértices v 2k+3,..., v n são os vértices de grau 1 em T 2 n,k,p numerado v 2k+2. adjacente com o vértice numerado adjacentes ao vértice Segundo (KIRKLAND et al., 1996), a matriz (L 1 v k+1 (Tn,k,p 2 )) é a matriz obtida da matriz laplaciana L(T 2 n,k,p ) ao eliminar a linha e a coluna correspondente ao vértice v k+1. O elemento (i, j) da matriz L 1 v k+1 (Tn,k,p 2 ) foi determinado no mesmo artigo como o número da arestas em comum nos dois caminhos definidos a seguir: caminho do vértice i até o vértice v k+1 e caminho do vértice j até o vértice v k+1. seguinte forma: A matriz L 1 v k+1 (T 2 n,k,p ) é da L 1 v k+1 (Tn,k,p) 2 = A A A 3 onde A 1 e A 2 são as matrizes definidas na Proposição 4.1, e A 3 = Observamos que A 1 e A 2 são matrizes de dimensão k k, e verificam ρ(a 1 ) = ρ(a 2 ), pois A 2 = P A 1 P onde P = é a matriz de permutação. A matriz A 3 é de dimensão (p + 1) (p + 1). 44

46 Como a matriz L 1 v k+1 (Tn,k,p 2 ) é uma matriz diagonal por blocos, o maior autovalor da mesma é dado por ρ(l 1 v k+1 (T 2 n,k,p )) = max{ρ(a 1), ρ(a 2 ), ρ(a 3 )} = max{ρ(a 1 ), ρ(a 3 )}. Teorema 4.4. Se, fixado k 2, existe p 1 tal que 1 árvore de Tipo I. Prova: Observamos primeiro que se v k+1 é o vértice de T 2 n,k,p p + 2, então T 2 π 2(1 cos( 2k+1 )) n,k,p é segundo a numeração utilizada na Proposição 4.3, então ρ(l 1 v k+1 (T 2 n,k,p )) = max{ρ(a 1), ρ(a 3 )}, onde A 1 e A 3 1 são as matrizes definidas na mesma proposição. Se k 2, p 3 e π p + 2, 2(1 cos( )) 2k+1 1 então, ρ(a 1 ) = p + 2. Como p + 1 = min p π 2(1 cos( 2k+1 )) 1 i p j=1 (A 3) i,j ρ(a 3 ) max p 1 i p j=1 (A 3) i,j = p + 2, podemos concluir que ρ(a 1 ) p + 2 ρ(a 3 ). Logo ρ(l 1 v k+1 (T 2 n,k,p )) = max{ρ(a 1), ρ(a 2 ), ρ(a 3 )} = ρ(a 1 ), e ρ(a 1 ) = ρ(a 2 ). Assim, a árvore T 2 n,k,p possui no mínimo dois ramos de Perron (são 3 ramos de Perron no caso em que ρ(a 1 ) = ρ(a 3 )). Então, pelo Teorema 2.10 a árvore Tn,k,p 2 é de Tipo I. T s n,k,p Até este ponto foram identificadas condições para o parâmetro p sob as quais as árvores para k 2, s = 1 e s = 2 são de Tipo I. Para as árvores T s n,k,p com s 3 não achamos uma forma de provar, utilizando os conceitos de matriz bottleneck um resultado semelhante. Unicamente podemos garantir, pelo Teorema 2.12, que se ρ(l 1 k+1 ) = ρ(a 1) = 1 a(p 2k+1 ), a árvore T s n,k,p k 2 e s k é de Tipo I. Entretanto, para um subconjunto dessas árvores em que p = 1, as árvores T s n,k,1 com k 2, 3 s k, foi possível mostrar condições para que sejam árvores de Tipo I. Esse subconjunto de árvores é formalmente definido a seguir. Definição 4.5. Dado k 2 e s k, a árvore T s n,k,1 é definida a partir do caminho P 2k+1 e o caminho P s+1, identificando o vértice central de P 2k+1, chamado v k+1, com uma extremidade do caminho P s+1. Observamos que a árvore T s n,k,1, k 2 e s k verifica T s n,k,1 v k+1 = 2P k P s e o número de vértices em Tn,k,1 s é n = 2k s 3k + 1. Proposição 4.6. Seja T s n,k,1, k 2 e s k a árvore da Definição 4.5. Então T s n,k,1 é uma árvore de Tipo I com vértice característico v k+1. 45

47 Prova: Numeramos os vértices da árvore T s n,k,1 da seguinte maneira. Os vértices do caminho P 2k+1 são numerados na ordem do caminho. Os vértices restantes são numerados de 2k + 2 até 2k s, na ordem que seguem na árvore desde o vértice v 2k+1. A matriz bottleneck da árvore Tn,k,1 s com k 2 e s k é dada por: L 1 v k+1 (Tn,k,1) s = A A A 4 onde A 1, A 2 são as matrizes definidas na Proposição 4.1, e A 4 é menor principal de A 2 de dimensão s s. Pelo teorema de (KIRKLAND et al., 1996), como temos ρ(a 1 ) = ρ(a 2 ) = e ρ(a 4 ) ρ(a 2 ) (vale pelo Lema 1.3 pois A 4 é submatriz principal de A 2 ), podemos concluir que existem 2 ramos de Perron em v k+1 se s < k e existem 3 ramos de Perron em v k+1 se s = k. Então a árvore Tn,k,1 s, k 2 e s k é de Tipo I. 4.2 COMPORTAMENTO DA CONECTIVIDADE T 2 n,k,p, k 2 E p 3 E T s n,k,1, k 2 E s k ALGÉBRICA NAS ÁRVORES A conectividade algébrica de T 2 n,k,p é determinada no Teorema 4.7 a seguir. Teorema 4.7. Se os valores de k 2 e p 1 verificam 1 valor da conectividade algébrica de T 2 n,k,p é a(t 2 n,k,p ) = a(p 2k+1) Prova: π 2(1 cos( 2k+1 )) p + 2, então o A partir da numeração anterior para os vértices da árvore T 2 n,k,p, a matriz L 1 v k+1 (Tn,k,p 2 ) é da seguinte forma: L 1 v k+1 (Tn,k,p) 2 = A A A 3 46

48 onde A 1, A 2 são as matrizes definidas na Proposição 4.1, e A 3 = Portanto a(t 2 n,k,p) = 1/ρ(L 1 v k+1 (T 2 n,k,p)) = 1/ max{ρ(a 1 ), ρ(a 2 ), ρ(a 3 )} = 1 max{ρ(a 1 ), ρ(a 3 )}. 1 Se k 2 e p 1 verificam ρ(a 1 ) = = 1 e pela hipótese 1 π a(p 2k+1 ) 2(1 cos( 2k+1 )) π 2(1 cos( 2k+1 )) p + 2, podemos concluir, usando o Teorema 4 (Teorema de (HORN & JOHNSON, )), que ρ(a 1 ) = = 1 a(p 2k+1 ) 2(1 cos( obtemos a(tn,k,p 2 ) = 1 ρ(a 1 ) A conectividade algébrica de Tn,k,1 s p + 2 ρ(a π 3). Usando o Teorema k+1 )) = 2(1 cos( π 2k+1 )) = a(p 2k+1). é determinada no Teorema 4.8. O valor da conectividade algébrica de Tn,k,1 s, k 2 e s k, pode ser fácilmente calculado. Observar que no caso s = k temos A 4 = A 2. Teorema 4.8. Se k 2 e s k, então a(t s n,k,1 ) = a(p 2k+1). Prova: Como a árvore Tn,k,1 s k 2 e s k é de Tipo I, pelo Teorema 2 de (KIRKLAND et al., 1996) temos que a(t k n,k,1 ) = 1 max{ρ(a 1 ),ρ(a 2 ),ρ(a 4 )} = 1 ρ(a 1 ) = a(p 2k+1). 4.3 ACRESCENTANDO VÉRTICES PENDENTES EM T 2 n,k,1 CONECTIVIDADE ALGÉBRICA SEM ALTERAR A Pelos cálculos da conectividade algébrica determinados na seção anterior, a(t 2 n,k,p ) = a(p 2k+1 ) se k 2 e p 1 verificam 1 pode ser obtido de T 2 n,k,1 π p + 2. Como T 2 2(1 cos( 2k+1 )) n,k,p, com p > 1, pela adição de p 1 vértices pendentes, temos um exemplo de adição de vértices numa árvore de Tipo I sem alterar o valor da conectividade algébrica. Portanto, dado n, k 2 é possível inserir p 1 vértices onde 1 p < 1 em Tn,k,1 2 sem alterar o valor da conectividade algébrica. 2 π 2(1 cos( 2k+1 )) 47

49 4.4 ACRESCENTANDO VÉRTICES EM T n,k,1 s k 2 E s k Nesta seção investigaremos em quais condições é possível inserir vértices pendentes na T s n,k,1 k 2 e s k, sem alterar o valor da conectividade algébrica. Lembramos que a matriz bottleneck da árvore Tn,k,1 s com k 2 e s k é dada por: L 1 v k+1 (Tn,k,1) s = A A A 4 onde A 1, A 2 são as matrizes definidas na Proposição 4.1, e A 4 é menor principal de A 2 de dimensão s s. Provamos inicialmente um lema que permitirá facilitar o cálculo do maior autovalor de matrizes bottleneck. Lema 4.9. : Seja A 4 matriz de dimensão s s definida para L 1 v k+1 (T s n,k,1 ). E sejam as matrizes C, D e E, de dimensão (s + 1) (s + 1) dadas a seguir: C = , D = , e E = s 1 s s 1 s 1 s s 1 s s 1 s s s 1 s 1 s Então ρ(a 4 ) = ρ(c) = ρ(d) = ρ(e) j..... s s 1 s j j... j j + 1 Prova: i) Primeiro provaremos que ρ(c) = ρ(a 4 ). Observar que C = 48 A , onde

50 1 é o vetor com todos os componentes iguais a 1. A matriz C = A T 1 é semelhante com a matriz C, pois C pode ser obtida de C a partir de operações elementares (subtraindo da última linha de C a primeira linha). unitária tal que P 1 CP = C. Então, temos que Logo existe matriz P det(λi C ) = det(λi P 1 CP ) = det(λp 1 P P 1 CP ) = det(λi C). Além disso, det(λi C ) = det λi A T λ 1 = (λ 1) det(λi A 4 ). Portanto, todos os autovalores de A 3 são autovalores de C. Como 1 é autovalor de C e o maior autovalor de C é maior ou igual que 1 (pois ρ(c ) min 1 i k+1 1 j k+1 c i,j = 1), podemos concluir que ρ(c) = ρ(a 4 ). ii) Para provar que ρ(d) = ρ(a 4 ), observamos que D = 1 1. A 4 s 1. A matriz D A 4. = é semelhante s 1 s s 1s 1 s com a matriz D (a prova é similar ao caso C e C, subtraindo a linha s 1 da linha s + 1 de D). Logo existe matriz P unitária tal que P 1 DP = D. Então, temos que det(λi D ) = det(λi P DP 1 ) = det(λp P 1 P DP 1 ) = det(λi D). Além disso, se v = (1, 2,..., s 1, s 1) T é um vetor em R s, det(λi D ) = det λi A 4 v = (λ 1) det(λi A 4 ). 0 T λ 1 Portanto, todos os autovalores de A 4 são autovalores de D. Como 1 é autovalor de D e o maior autovalor de D é maior ou igual que 1 (pois ρ(d ) min 1 i k+1 1 j k+1 D i,j = 1), podemos concluir que ρ(d) = ρ(a 4 ). 49

51 iii) Finalmente, provamos que ρ(e) = ρ(a 4 ). Observar que E = 1 1 A 4. A 4. j. A matriz E j = é semelhante com a ma-.. j j 1... j j... j j triz E (a prova é similar ao caso C e C, sustraindo a linha j da linha s + 1 de E). Logo existe matriz P unitária tal que P 1 EP = E. Então, temos que det(λi E ) = det(λi P EP 1 ) = det(λp P 1 P EP 1 ) = det(λi E). Além disso, se v = (1, 2,..., j,..., j) T é um vetor de dimensão s, det(λi D ) = det λi A 4 v = (λ 1) det(λi A 4 ). 0 T λ 1 Portanto, todos os autovalores de A 4 são autovalores de E. Como 1 é autovalor de E e o maior autovalor de E é maior ou igual que 1 (pois ρ(e ) min 1 i k+1 E i,j = s + 1), podemos concluir que ρ(e) = ρ(a 4 ). Teorema Seja k 2, s < k, n = 2k s e T s n,k,1 na prova da Proposição 4.6. Se acrescentamos v j 2k+1+s+1 j + 1, 1 j s 1, do vértice característico v k+1 de T s n,k,1. Então Prova: a(t s n,k,1) = a(t s n,k,1 + v j 2k+1+s+1 ). a árvore numerada como um vértice pendente a distância Caso 1.1: Inserir um vértice pendente adjacente ao vértice v 2k+2, segundo a numeração anterior (vértice pendente a distância 2 do vértice característico v k+1 ). Este novo vértice será numerado v 2 2k+1+s+1. Assim, a matriz bottleneck L 1 v k+1 (T s n,k,1 + v2 2k+1+s+1 ) para o grafo T s n,k,1 + v2 2k+1+s+1, k 2 e s < k é dada por: L 1 v k+1 (Tn,k,1 s + v2k+1+s+1) 2 = onde a matriz C de dimensão (s + 1) (s + 1) é: 50 A A C

52 C = s 1 s s 1 s Pelo Lema 4.9 temos que ρ(c) = ρ(a 4 ), e então utilizando o mesmo raciocínio anterior podemos concluir o resultado para j = 2. Caso 1.2: Inserir um vértice pendente adjacente ao vértice v 2k+1+s 1, segundo a numeração anterior (vértice pendente a distância s 1 do vértice característico de T s n,k,1, v k+1 ). Este novo vértice será numerado v s 1 2k+1+s. Assim, a matriz bottleneck L 1 v k+1 (T s n,k,1 + vs 1 2k+1+s ) para o grafo T s n,k,1 + vs 1 2k+1+s, k 2 e s < k é dada por: L 1 v k+1 (Tn,k,1 s + v s 1 2k+1+s ) = onde a matriz D de dimensão (s + 1) (s + 1) é: A A D D = s 1 s 1 s s 1 s s s 1 s 1 s Pelo Lema 4.9 temos que ρ(d) = ρ(a 4 ), e então podemos concluir o resultado para j = s 1. Caso 1.3: Inserir um vértice pendente adjacente ao vértice v 2k+1+j, segundo a numeração anterior (vértice pendente a distância j + 1, 1 < j < s 1 do vértice característico de T s n,k,1, v k+1). Este novo vértice será numerado v j 2k+1+s+1. 51

53 Assim, a matriz bottleneck L 1 v k+1 (T s n,k,1 + vj 2k+1+s+1 ) para o grafo T s n,k,1 + vj 2k+1+s+1, k 2, s < k e 2 < j < s é dada por: L 1 v k+1 (Tn,k,1 s + v j 2k+1+s+1 ) = onde a matriz E de dimensão (s + 1) (s + 1) é: A A E E = j..... s s 1 s j j... j j + 1 Pelo Lema 4.9 temos que ρ(e) = ρ(a 4 ), e então podemos concluir o resultado para 2 < j < s 1. O Teorema 4.10 mostra que a conectividade algébrica da árvore Tn,k,1 s é mantida quando inserimos um único vértice pendente em condições especiais para o caso k 2, s < k, n = 2k s. Agora analisaremos via um exemplo o que acontece quando inserimos um vértice pendente numa situação parecida à anterior, considerando todos os parâmetros iguais exceto s = k. As Figuras 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 ilustram as árvores P 2K+1 e T2k+1+s,k,1 s para k = 5 e todos os valores de s, 2 s 5. Além disso, a árvore T2k+1+s,k,1 2 + vs 2k+1+s para todas as inserções de um vértice pendente. 52

54 FIG. 4.1: k = 5 e s = 2 - P 11, T 2 13,5,1 e T 2 13,5,1 + v 2 14 FIG. 4.2: k = 5 e s = 3 - P 11, T 3 14,5,1, T 3 14,5,1 + v 2 15 e T 3 14,5,1 + v 3 15 Quando temos s = k, não é possível acrescentar vértices pendentes em T2k+1+s,k,1 k sem alterar o valor da conectividade algébrica. A Figura 4.4 apresenta as árvores P 2k+1 e T k 2k+1 s,k,1 para k = 5, s = k, n = 16 e todas as possíveis inserções de um vértice pendente. A Tabela 4.1 contém um resumo dos valores das conectividades algébricas de todas as árvores T2k+1+s,k,1 s onde k = 5, 2 s 5 e é acrescentado um único vértice pendente a uma distância j do vértice característico v k+1 para 2 j s 1 53

55 k = 5 s = 2 s = 3 s = 4 s = 5 G a(g) G a(g) G a(g) G a(g) P 11 0,08101 P 11 0,08101 P 11 0,08101 P 11 0,08101 T13,5,1 2 0,08101 T14,5,1 3 0,08101 T15,5,1 4 0,08101 T16,5,1 5 0,08101 T13,5,1 2 + v14 2 0,08101 T14,5,1 3 + v15 2 0,08101 T15,5,1 4 + v16 2 0,08101 T16,5,1 5 + v17 2 0,07934 T14,5,1 3 + v15 3 0,08101 T15,5,1 4 + v16 3 0,08101 T16,5,1 5 + v17 3 0,07530 T15,5,1 4 + v16 4 0,08101 T16,5,1 5 + v17 4 0,07079 T16,5,1 5 + v17 5 0,06706 TAB. 4.1: Resultados para acréscimo de vértice pendente em árvores Tn,k,1 s 2 s 5 onde k = 5, 54

56 FIG. 4.3: k = 5 e s = 4 - P 11, T 4 15,5,1, T 4 15,5,1 + v 2 16, T 4 15,5,1 + v 3 16 e T 4 15,5,1 + v

57 FIG. 4.4: s = k = 5 - P 11, T 5 16,5,1, T 5 16,5,1 + v 2 17, T 5 16,5,1 + v 3 17, T 5 16,5,1 + v 4 17 e T 5 16,5,1 + v

58 5 EXPERIMENTOS E RESULTADOS TEÓRICOS COM ÁRVORES DE TIPO II SIMÉTRICAS No apêndice do livro de (CVETKOVIC et al., 1980) são exibidas 200 árvores com número de vértices 2 n 10. Dessas 200 árvores não isomorfas com número de vértices 2 n 10 existem 44 que são de Tipo I. Das 44 árvores de Tipo I, existem uma única árvore com n = 3, uma única árvore com n = 4, duas árvores com n = 5, duas árvores com n = 6, seis árvores com n = 7, cinco árvores com n = 8, 12 árvores com n = 9 e quinze árvores com n = 10. As restantes 156 árvores com 2 n 10 são de Tipo II. Neste capítulo apresentamos um estudo experimental baseado nas árvores de Tipo II do livro (CVETKOVIC et al., 1980). 5.1 MOTIVAÇÃO A partir da tabela do livro de (CVETKOVIC et al., 1980), observamos que algumas árvores de Tipo II apresentam simetria com respeito ao par de vértices característicos. Essa simetria foi detectada a partir dos componentes do vetor de Fiedler. Contando com essa observação, procuramos identificar de maneira algébrica essa simetria. Inicialmente consideramos resultados do artigo (KIRKLAND et al., 1996). No Teorema 1 de (KIRK- LAND et al., 1996), Kirkland, Newman & Shader mostram como calcular a conectividade algébrica de uma árvore T de Tipo II utilizando os maiores autovalores de matrizes associadas aos ramos determinados pelos vértices característicos. Na prova desse Teorema (cujo enunciado foi apresentado em 2.3.1), é mostrado que qualquer autovetor y da matriz Laplaciana L(T ) correspondente a a(t ) pode ser permutado de forma tal que y = ( v 1, v 2 ), onde v 1 é o autovetor positivo para (M 1 γ( 1 θ )J) associado com ρ(m 1 γ( 1 θ )J) (vetor de Perron) e v 2 é autovetor positivo para (M 2 (1 γ)( 1)J) associado com ρ(m θ 2 (1 γ)( 1 )J), e sendo θ o peso da aresta θ unindo os vértices característicos. Considerando a matriz L(T ) com as linhas e colunas permutadas de acordo com v = ( v 1, v 2 ), temos: 57

59 L(T ) = M 1 1 θe 1,k θe k,1 M 1 2 onde E k,1 é matriz de dimensão k n k com um único 1 na linha k coluna 1 e todos os outros elementos iguais a zero e E 1,k = E T k,1. Se α é igual à primeira entrada do vetor v 2 e β é igual a última entrada do vetor v 1, os autores do teorema mostram que γ, na fórmula que define a conectividade algébrica da árvore de Tipo II T, é igual a α e 0 < γ < 1. α+β Um caso particular de árvores de Tipo II podem ser identificadas a partir do valor γ no enunciado do Teorema 1 de (KIRKLAND et al., 1996). Por observação no conjunto das 156 árvores de Tipo II selecionadas, concluímos que todas as árvores de Tipo II que apresentam simetria com respeito aos vértices característicos possuim valor γ = 1 γ = 0, 5. Os dois exemplos a seguir ilustram representantes de árvore de Tipo II com α = 1 α = 0, 5 e árvore de Tipo II com α 1 α. Denotaremos por T 2.38 a árvore 2.38 com n = 8 da Tabela 2 do Apêndice de (CVETKOVIC et al., 1980). A Figura 5.1 mostra a árvore T FIG. 5.1: T 2.38 Árvore de Tipo II A matriz laplaciana da árvore T 2.38 é: L(T 2.38 ) = ; 58

60 a conectividade algébrica é a(t 2.38 ) = 0, e o vetor de Fiedler é w = (0, 42674; 0, 42674; 0, 34720; 0, 12340; 0, 12340, 0, 34720; 0, 42674; 0, 42674). Portanto, os vértices característicos de T 2.38 são os vértices i = 4 e j = 5. As matrizes bottleneck correspondentes para cada um dos dois ramos são: M 1 =, e M 2 = O vetor de Fiedler y cujos os componentes são ordenados segundo os a numeração [ v 1 dada na Figura 5.1, pode ser descrito como v 2 ], onde 0, , , , v 1 = e v 2 =. Logo, segundo o Teorema 1, (KIRKLAND 0, , , , et al., 1996), podemos definir α = 0, a primeira entrada do vetor v 2, β = 0, a última entrada do vetor v 1 e γ = α α+β = 0, 5. E assim: ρ(m 1 γee T ) = ρ(m 2 (1 γ)ee T ) ρ(m 1 0, 5ee T ) = ρ(m 2 (1 0, 5)ee T ) 5, = 5, Como temos que 1 a(t ) = ρ(m 1 γee T ), então a(t ) = 0, Observamos que o comportamento de v 1 e v 2 é semelhante para todas as árvores de Tipo II com simetria ao respeito dos vértices característicos, obtendo γ = 0, 5. Denotaremos por T 2.43 a árvore com n = 8 da Tabela 2 do Apêndice de (CVETKOVIC et al., 1980). A Figura 5.2 mostra a árvore T A matriz laplaciana da árvore T 2.43 é: FIG. 5.2: T 2.43 Árvore de Tipo II 59

61 L(T 2.43 ) =, a conectividade algébrica é a(t 2.43 ) = 0, e o vetor de Fiedler w = ( 0, 40530; 0, 40530; 0, 33773; 0, 14628; 0, 06955; 0, 27379; 0, 43238; 0, 51889). Portanto, os vértices característicos de T 2.43 são os vértices i = 4 e j = 5. As matrizes bottleneck correspondentes para cada um dos dois ramos são: M 1 = e M = O vetor de Fiedler y cujos os componentes são ordenados segundo os a numeração [ v 1 dada na Figura 5.2, pode ser descrito como v 2 ], onde 0, , , , v 1 = e v 2 =. 0, , , , Logo, segundo o Teorema 1 de (KIRKLAND et al., 1996), podemos definir α = 0, a primeira entrada do vetor v 2, β = 0, a última entrada do vetor v 1 e γ = α α+β = 0, E assim: ρ(m 1 γee T ) = ρ(m 2 (1 γ)ee T ) ρ(m 1 0, 32224ee T ) = ρ(m 2 (1 0, 32224)ee T ) 5, = 5, Como temos que 1 a(t ) = ρ(m γeet ), então a(t ) = 0, Observamos neste caso de árvore de Tipo II T 2.43, que não apresenta simetria com respeito aos vértices característicos, os valores de γ e 1 γ são diferentes, as matrizes M 1 60

62 e M 2 não são semelhantes, enquanto os valores de ρ(m 1 γee T ) e ρ(m 2 (1 γ)ee T ) são iguais. 5.2 RESULTADOS TEÓRICOS PARA ÁRVORES DE TIPO II Com base nos experimentos da seção anterior, podemos destacar um subconjunto de árvores que possuim simetria ao respeito da aresta formada pelos vértices característicos. A definição a seguir introduz o conceito de árvore de Tipo II simétrica. Definição 5.1. Seja T uma árvore de Tipo II e p, q os vértices característicos em T. Sejam B 1 o ramo de T em p que contém q e B 2 o ramo de T em q que contém p. Se B 1 e B 2 são grafos isomorfos, então T é uma árvore de Tipo II simétrica. A árvore 2.38 da Tabela 2 do Apêndice do livro de (CVETKOVIC et al., 1980) verifica a definição de árvore de Tipo II simétrica. A Figura 5.1 mostra essa árvore, denotada por T 2.38, cujos vértices característicos são p = 4 e q = 5. Outros exemplos de árvores de Tipo II simétricas são: Os caminhos P n com n par. As árvores de diâmetro 3, T (k, k, 3), n = 2k + 2 definidas em (GRONE & MERRIS, 1990) e (FALLAT & KIRKLAND, 1998). Os caterpillars de diâmetro d impar C(p), p Z d 1, p j = p d j 1, j = 1, 2,..., d 1 2 definidos em (ROJO et al., 2010). Apresentamos as seguintes proposições. Proposição 5.2. Se T = (V (T ), E(T )) uma árvore de Tipo II simétrica, então V (T ) é par. A prova da Proposição 5.2 é direta da definição de árvore de Tipo II simétrica (ver Seção 5.1). Proposição 5.3. Se T uma árvore de Tipo II simétrica com pelo menos 4 vértices e p, q os vértices característicos, então Centro(T ) = {p, q}. 61

63 Prova: Por indução no número de vértices da árvore T. A proposição é válida se n = V (T ) = 2 ou 3. Supor que a proposição vale para árvores com número de vértices menor ou igual que n, e n > 3. Seja T uma árvore de Tipo II simétrica com n+1 vértices. Seja F olhas(t ) o conjunto de todas as folhas em T. Sabemos que F olhas(t ) 2. Sejam p,q os vértices característicos de T e sejam B 1, B 2 os ramos de T em p contendo q, e de T em q contendo p, respectivamente. Como T é uma árvore de Tipo II simétrica temos que B 1 e B 2 são isomorfos. Ao eliminar todas as folhas de T em cada um dos ramos, teremos B 1 e B 2. A árvore T F olhas(t ) possui n = n F olhas(t ) n 1 vértices. Além disso, T F olhas(t ) é uma árvore de Tipo II simétrica com vértices característicos p e q, pois B 1 e B 2 são os ramos de T F olhas(t ) em p contendo q, e de T F olhas(t ) em q contendo p, respectivamente. Logo vale a hipótese indutiva, ou seja Centro(T F olhas(t )) = {p, q}. Como Centro(T F olhas(t )) = Centro(T ), podemos concluir que a Proposição 5.3 é válida. Em relação ao vetor de Fiedler, para o caso das árvores de Tipo II Simétricas apresentamos a proposição a seguir. Proposição 5.4. Seja T uma árvore de Tipo II simétrica para a qual y é um vetor de Fiedler, p e q são os vértices característicos da árvore, M 1 e M 2 são a matriz bottleneck do ramo de T em p contendo q e a matriz bottleneck do ramo de T em q contendo p, respectivamente. Seja y = [ ] v 1 v 2 após uma reordenação dos vértices da árvore segundo os ramos B 1 e B 2. Se α igual à primeira entrada do vetor v 2 e β é igual a última entrada do vetor v 1. Então γ = α = 1. α+β 2 A prova da Proposição 5.4 é imediata da definição de árvore de Tipo II simétrica. A árvore T 2.38 apresentada anteriormente é um exemplo de árvore de Tipo II simétrica que verifica a Proposição 5.4. Ainda sobre as propriedades do vetor de Fiedler para árvore de Tipo II Simétricas, propomos. Proposição 5.5. Seja T uma árvore de Tipo II simétrica para a qual y é um vetor de Fiedler, p e q são os vértices característicos da árvore, B 1 é o ramo de T em p que contém q e B 2 o ramo de T em q que contém p. Então i V (B 1 ) w i = i V (B 2 ) y i. A prova da Proposição 5.5 é imediata da definição de árvore de Tipo II simétrica. Ilustramos o resultado da Proposição 5.5 com a árvore T Como y = (0, 42674; 0, 42674; 0, 34720; 0, 12340; 0, 12340, 0, 34720; 0, 42674; 0, 42674), 62

64 temos i V (B 1 ) y i = 0, , , = i V (B 2 ) y i = 0, , , A partir das definições e propriedades anteriores propomos a seguinte pergunta: PERGUNTA 2: A recíproca da Proposição 5.5 é verdadeira? É verdade que toda árvore de Tipo II com vetor de Fiedler y tal que i V (B 1 ) y i = i V (B 2 ) y i é uma árvore de Tipo II simétrica? A árvore de Tipo II mostrada na Figura 5.3 com n = 20 vértices possui vértices característicos p e q. Os ramos B 1 e B 2 não são isomorfos (os componentes do vetor de Fiedler y coloridos em azul e vermelho mostram os vértices em cada ramo). Os valores i V (B 1 ) y i = 2, e B 2 y i = 2, coincidem até a quarta casa decimal. FIG. 5.3: T Árvore de Tipo II não simétrica A árvore da Figura 5.3 nos induz a pensar que pode existir uma árvore de Tipo II não simétrica para a qual i V (B 1 ) y i = B 2 y i. Propomos então a seguinte definição, para enunciar uma conjectura. Definição 5.6. Seja T uma árvore de Tipo II, y um vetor de Fiedler e p e q os vértices característicos em T. Sejam B 1 o ramo de T em p que contém q e B 2 o ramo de T em q que contém p. Se i V (B 1 ) y i = i V (B 2 ) y i, então T é uma árvore de Tipo II algebricamente simétrica. O termo escolhido para esse caso de árvore de Tipo II é motivado pelo trabalho de (MITCHELL, 2003). Conjectura 5.7. As definições 5.1 e 5.6 não são equivalentes. 5.3 INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES No capítulo correspondente as árvores de Tipo I foram mostrados experimentos que exhibem árvores de Tipo I para as quais acrescentar vértices pendentes não altera o valor 63

65 da conectividade algébrica. O que será que acontece com a conectividade algébrica de árvores de Tipo II quando acrescentamos um vértice pendente? Inicialmente consideramos árvores de Tipo II simétricas. A Tabela 5.1 apresenta todas as árvores de Tipo II simétricas com número de vértices entre 4 e 10 do livro de (CVETKOVIC et al., 1980). TAB. 5.1: Árvores de Tipo II simétricas com 4 n 10 T n a(t ) Tipo , , , , , , , , , , , , , , , , Para cada uma das árvores da Tabela 5.1, introduzimos um vértice pendente, produzindo árvores não isomorfas com um vértice adicional e calculamos o valor da conectividade algébrica antes e depois da adição do vértice pendente. Nas Tabelas 8.27 e 8.28, do Anexo 8.5, são exibidas todas as árvores da Tabela 5.1 com as diferentes possibilidades de inserção de um único vértice pendente, adjacente a qualquer vértice da árvore, a menos de isomorfismo. Nessas tabelas incluímos o nome da árvore T, a conectividade algébrica a(t ), vetor de Fiedler y e o Tipo de cada árvore considerada. O software NewGraph (STEVANOVIC et al., 2003) foi utilizado para calcular a(t ) e y. Por exemplo, para a árvore 2.4 formada por 4 vértices é possível inserir um único vértice de grau um em duas posições exatamente (árvores 2.4 I e 2.4 II na Tabela 8.27). As figuras que ilustram todas as árvores das Tabelas 8.27 e 8.28 podem ser visualizadas no Anexo 8.4. A partir dos experimentos realizados, observamos os seguintes fatos: 64

66 em todas as árvores consideradas, a insersão de um vértice pendente altera o valor da conectividade algébrica; quando inserimos um vértice pendente numa árvore de Tipo II simétrica adjacente a vértices que possuim o mesmo valor absoluto do componente correspondente no vetor de Fiedler (vértices i e j tais que v j = v i ), o valor da conectividade algébrica na árvore após a inserção, coincide; quando maior o valor absoluto do componente do vetor de Fiedler correspondente ao vértice que recebeu a nova folha, maior será a alteração no valor absoluto da conectividade algébrica; a inserção de um vértice pendente em qualquer um dos dois vértices característicos de uma árvore de Tipo II simétrica produz o menor aumento; em todas as árvores analisadas que correspondem a um caminho com número par de vértices, ao inserir um vértice pendente um de maneira que a árvore resultante seja um caminho com número impar de vértices, o tipo de árvore muda (para tipo I) e também muda o valor da conectividade algébrica. Em todos os casos analisados, o valor da conectividade algébrica após a inserção de um vértice de grau um, muda. A partir dos experimentos realizados com árvores entre 4 e 10 vértices, propomos a seguinte conjectura: Conjectura 5.8. Seja T = (V (T ), E(T )) uma árvore de Tipo II simétrica. Seja v V (T ) um vértice de grau um em T + v = (V (T ) {v}, E(T + v)). Se T + v é uma árvore de Tipo II, então a(t + v) a(t ). 5.4 RELAÇÃO ENTRE ÁRVORES DE TIPO II SIMÉTRICAS E CATERPILLARS Esta Seção apresenta uma abordagem que relaciona as árvores de Tipo II Simétricas e os grafos catterpillars. A definição de grafo catterpillar foi apresentada na Seção 1.2. A Figura 5.4 mostra como exemplo a árvore 2.38 usada nos experimentos que verifica a definição de caterpillar. Nos experimentos consideramos árvores com número limitado de vértices (4 n 10) e observamos que uma parte das árvores de Tipo II simétricas consideradas são caterpillars, popomos a seguinte pergunta: 65

67 FIG. 5.4: Árvore 2.38 simétrica de Tipo II que é um caterpillar PERGUNTA 3: existem árvores de Tipo II simétricas que não são caterpillars? E em caso afirmativo, qual o menor número de vértices que deve ter uma árvore de Tipo II simétrica que não verifica a definição de caterpillar? Para que uma árvore T de Tipo II, com vértices característicos i e j, seja simétrica com respeito a aresta (i, j), deve possuir dois ramos isomorfos r 1 e r 2, onde r 1 é o ramo obtido a partir da remoção do vértice j de T que contém o vértice i, e r 2 é o ramo obtido a partir da remoção do vértice i de T que contém o vértice j. Logo, cada ramo r i deve ter um determinado conjunto de vértices com certo grau d > 2, pois se todos os vértices em cada um dos ramos tiver grau d 2, ao remover as folhas de T teriamos um caminho e a árvore T verificaria a definição de caterpillar. Partindo de uma árvore com dois vértices característicos adjacentes (P 2 ), devemos definir o menor número vértices que devem ser acrescentados e os seus graus, para que a árvore obtida não seja caterpillar. Considere como exemplo a árvore da Figura 8.16 que não é caterpillar. Para que ao eliminar todas as folhas da árvore obtenha-se uma árvore que não é caminho, os vértices característicos i, j (neste caso i = v 5 e j = v 6 ) devem ter grau maior estritamente que 2 (no exemplo, para os vértices 5 e 6 temos grau(v 5 ) = 3 e grau(v 6 ) = 3). E os vértices adjacentes aos vértices característicos devem possuir pelo menos um vizinho (como no exemplo, grau(v 1 ) = grau(v 3 ) = 1 e grau(v 8 ) = grau(v 1 0) = 1 ). Portanto, precissamos de 2 vértices de grau 3 (os dois vértices característicos), 4 vértices de grau 2 (2 vértices não folha adjacentes a cada um dos vértices característicos) e 4 vértices de grau 1. Logo, podemos concluir que no mínimo são necessários n = = 10 vértices para obter uma árvore de Tipo II simétrica não caterpillar. 66

68 FIG. 5.5: Menor árvore de Tipo II simétrica que não é caterpillar caterpillar 67

69 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 6.1 CONCLUSÕES Este trabalho apresenta os resultados de um estudo sobre o comportamento do invariante conectividade algébrica em determinadas classes de árvores. Como motivação inicial para o trabalho fizemos uma busca, de forma experimental, por família de árvores que, mesmo com alterações específicas na estrutura, mantêm a conectividade algébrica. A análise dos dados obtidos com os experimentos permitiu formular regras para alguns subgrupos de árvores, a respeito da sua conectividade algébrica após a inserção de vértices pendentes. As árvores foram classificadas por (FIEDLER, 1975) em dois tipos, I e II em função dos componentes de qualquer autovetor correspondente à conectividade algébrica da árvore. Essa classificação foi utilizada para definir subconjuntos de árvores dentro destas classes para ser analisados no contexto desta dissertação. Inicialmente foram realizados experimentos fazendo modificações em árvores de Tipo I específicas, nas quais eram adicionados vértices pendentes, monitorando o valor da conectividade algébrica antes e depois da modificação. Isso permitiu identificar uma estrutura básica de árvores de Tipo I para as quais inserir vértices pendentes não altera o valor da conectividade algébrica. Um trabalho clássico em Teoria Espectral de Grafos desenvolvido pelos autores Grone e Merris foi motivação para iniciar os experimentos. Para sistematizar os experimentos, foi implementado um algoritmo que determina o número máximo de vértices pendentes em condições particulares, que ao ser inseridos não aumentam o valor da conectividade algébrica. A partir da análise dos resultados obtidos nos experimentos realizados, foi possível formular propriedades teóricas sobre três famílias de árvores de Tipo I, os caminhos de diâmetro par, P 2k+1, k 2; as árvores Tn,k,p 2 (k 2, p 1) e as árvores T n,k,1 s (k 2, s < k) (as duas últimas famílias são definidas no Capítulo 3). Para os caminhos de diâmetro par foi provado que são de Tipo I (ver Teorema 4.1) e determinado o valor da conectividade algébrica (Teorema 4.2). Para as árvores Tn,k,p 2 (k 2, p 1), também foi provado que são 1 de Tipo I e um limite para o número máximo de vértices pendentes p (p π 2, 2(1 cos( )) 2k+1 ver Teorema 4.7). Para a terceira família de árvores, Tn,k,1 s (k 2, s < k), o Teorema

70 diz que é possível a inserção de ao menos um vértice no ramo passivo de comprimento s, mantendo o valor da conectividade algébrica a(tn,k,1 s ) = a(p 2k+1). As provas dos teoremas e proposições foram baseadas nos conceitos de matriz bottleneck, ramos ativos e passivos, ramo de Perron, definidos por (KIRKLAND et al., 1996). A técnica das provas difere de outros estudos realizados sobre árvores recentemente (LEE, 2012). Posteriormente, foram realizados experimentos com famílias de árvores de Tipo II, em relação a particularidades de sua estrutura e também ao seu comportamento quando da inserção de vértices pendentes. A partir desses experimentos definimos um subtipo de árvore, chamada árvore de Tipo II simétrica. Provamos que numa árvore de Tipo II simétrica o centro da árvore coincide com os vértices característicos. Achamos evidências experimentais, considerando árvores com número de vértices entre 4 e 10, sobre o que acontece quando inserimos vértices pendentes em árvores desse subtipo. A seguir, foram determinadas condições para obter uma árvore de Tipo II simétrica que não seja caterpillar. Como conclusão final podemos destacar que os resultados obtidos para árvores de Tipo I mostram a variedade de árvores que possuem o mesmo valor de conectividade algébrica. Mas também evidencia que a estrutura destas árvores segue um comportamento bem específico, e a limitação para manter a conectividade algébrica está relacionada com o número de vértices nos ramos ativos. Já para as árvores de Tipo II, podemos destacar que são poucos os estudos neste subconjunto de árvores. Porém, o número de árvores de Tipo II com número fixo de vértices é bem superior ao número de ároves de Tipo I com o mesmo número de vértices. Portanto, o estudo das árvores de Tipo II pode ser uma linha de pesquisa interessante a ser considerada. 6.2 TRABALHOS FUTUROS Como trabalhos futuros propomos as seguintes linhas de pesquisa: Para as árvores de Tipo I Tn,k,p s (k 2, s < k), determinar o número máximo de vértices pendentes que não altera o valor da conectividade algébrica. Continuar os testes com árvores de Tipo II com número de vértices maior que 10, para observar características do vetor de Fiedler das árvores de Tipo II não simétricas, na linha da Conjectura 1; Verificar a validade da Conjectura 2, sobre inserção de vértices pendentes em árvores 69

71 de Tipo II simétricas e valor da conectividade algébrica; Identificar e caracterizar famílias de árvores de Tipo II simétricas diferentes de caterpillars; Estudar a relação do centro de uma árvore de Tipo II não simétrica com o conjunto de vértices característicos. 70

72 7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ABREU, N. Old and new results on algebraic connectivity of graphs. Linear Algebra and its Applications, 423:53 73, ALBUQUERQUE, M. B. D. Perturbações em grafos e seus efeitos sobre a conectividade algébrica. Dissertação de Mestrado, CEFET/RJ, Programa de Pós- Graduação em Tecnologia, CVETKOVIC, D. M., DOOB, M. e SACHS, H. Spectra of Graphs: Theory and Application. Pure and Applied Mathematics: A Series of Monographs and Textbooks. Academic Press, New York, DE OLIVEIRA, C. C. G. F. Inserção de Uma Aresta Num Grafo e o Efeito Produzido na Conectividade Algébrica. Dissertação de Mestrado, Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, Abril EATON, J. W. GNU Octave, URL Version. FALLAT, S. e KIRKLAND, S. Extremizing algebraic connectivity subject to graph theoretic constraints. Electronic Journal of Linear Algebra, 3:48 74, FIEDLER, M. Algebraic connectivity of graphs. Czechoslovak Mathematical Journal, 23(2): , FIEDLER, M. A property of eigenvectors of nonnegative symmetric matrices and its application to graph theory. Czechoslovak Mathematical Journal, 25(4): , GRONE, R. e MERRIS, R. Algebraic Connectivity of Trees. Czechslovak Mathematical Journal, 37(112): , GRONE, R. e MERRIS, R. Ordering trees by algebraic connectivity. Graphs and Combinatorics, 6: , HORN, R. A. e JOHNSON, C. R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN KIRKLAND, S., NEUMANN, M. e SHADER, B. L. Characteristic Vertices of Wheighted Trees via Perron Values. Linear and Multilinear Algebra, 40: , LEE, L. Novos resultados sobre conectividade de Árvores. Tese de Doutorado, COPPE-UFRJ Programa de Engenharia de Produção,

73 MERRIS, R. Characteristic Vertices of Trees. Linear ans Multilinear Algebra, Vol. 22: , MITCHELL, L. H. A Characterization of Tree Type. Undergraduate Math Journal, 4(2):1 9, MOLITIERNO, J. J. Applications of Combinatorial Matrix Theory to Laplacian Matrices of Graphs. Discrete Mathematics and Its Applications. CRC Press, Boca Raton, MOSK-AOYAMA, D. Maximum algebraic connectivity augmentation is NPhard. Operations Research Letters, 36: , ROJO, O., MEDINA, L., ABREU, N. e JUSTEL, C. Extremal algebraic connectivities of certain caterpillar classes and symmetric caterpillars. Electronic Journal of Linear Algebra, 20: , STEVANOVIC, D., BRANKOV, V., CVETKOVIC, D. e SIMIC, S. NewGraph, URL SZWARCFITER, J. Grafos e algoritmos computacionais. Campus, Rio de Janeiro, 2 ed. edition,

74 8 APÊNDICES 73

75 8.1 APÊNDICE 1: INFORMAÇÕES DE ÁRVORES DE TIPO I DA FAMÍLIA T s n,k,p APÓS INSERÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES Os resultados apresentados nas tabelas a seguir são do primeiro grupo de árvores de Tipo I testados nos experimentos. Os testes utilizaram a inserção manual de vértices pendentes com a ferramenta NewGraph (Figura 8.26). FIG. 8.1: Captura de imagem da ferramenta de construção de grafos e cálculo de invariantes, NewGraph. 74

76 k s p* a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p s ) 1 p p , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,02728 TAB. 8.1: Relação entre k, p e s tal que a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p s ) p p n = 2k s + p. 75

77 TAB. 8.2: Continuação da Tabela 8.1 k s p* a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p s ) 1 p p , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

78 TAB. 8.3: Continuação da Tabela 8.2 k s p* a(p 2k+1 ) = a(tn,k,p s ) 1 p p , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

79 8.2 APÊNDICE 2: RESULTADOS PARA ALGORITMO DE ADIÇÃO DE VÉRTICES PENDENTES NAS ÁRVORES T s n,k,p (CAPÍTULO 3) As tabelas dessa seção exibem os resultados dos testes realizados com o algoritmo descrito no Capítulo 3. O algoritmo busca o número máximo de vértices inseridos no ramo que não é de Perron da árvore Tn,k,p s. Temos o número de vértices pendentes inseridos no último vértice do ramo representado por p, e os inseridos no vértice adjacente ao característico representados por p, com 5 k 36, k = 40 e k = 50. variação de 2 s k, para todos os valores de k testados. Além disso 78

80 TAB. 8.4: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. k s p p

81 TAB. 8.5: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

82 TAB. 8.6: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

83 TAB. 8.7: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

84 TAB. 8.8: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

85 TAB. 8.9: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

86 TAB. 8.10: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

87 TAB. 8.11: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

88 TAB. 8.12: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

89 TAB. 8.13: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

90 TAB. 8.14: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

91 TAB. 8.15: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

92 TAB. 8.16: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

93 TAB. 8.17: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

94 TAB. 8.18: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

95 TAB. 8.19: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

96 TAB. 8.20: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

97 TAB. 8.21: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

98 TAB. 8.22: Resultados para os limites de vértices pendentes inseridos no ultimo vértice do ramo, e inseridos no primeiro vértice ligado ao vértice característico. (Continuação da Tabela) k s p p

99 8.3 APÊNDICE 3: INFORMAÇÕES DAS ÁRVORES DE TIPO I E II EM [CVETKOVIC ET AL., 1980] (CAPÍTULO 5) As tabelas desta seção apresentam dados para todas as árvores de Tipo I e Tipo II com número de vértices 2 < n < 10 [CVETKOVIC et al., 1980]. A tabela descreve o número de vértices n, a conectividade algébrica a(t ), os componentes do vetor de Fiedler w(t ) e o tipo da árvore (Tipo I ou Tipo II). 98

100 TAB. 8.23: Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] Árvore n a(t ) y(t ) Tipo ,70711,, ,70711, -,00000, -, ,10685, -,00000,,75445, -, ,58579,65328,,27060, -,27060, -, ,00000, -,29136,,86601, -,29136, -, ,51881,20177,,41932, -,33800,,41932, -, ,38197,60150,,37175, -,00000, -,37175, -, ,00000,,22361,,22361,,22361,,22361, -, , ,31505, -,16198,,37594,,73120, -,31505, -, , ,46471, -,26096,,26096,,46471, -,46471,, ,32487,41932,,28310, -,08132, -,41932, -,62109,, ,38197,60150,,37175,,00000, -,37175, -,60150,, , ,55768, -,40825, -,14943,,14943,,40825,, ,00000, -,70711,,00000,,00000,,00000,,70711,, ,46593,13560, -,40078, -,75042,,25390,,25390,,25390,, , ,35604, -,21422,,29656,,49289,,49289, -,35604, -, ,29553,32782,,23094, -,12795, -,44903, -,63740,,32782,, ,38297,60150,,37175, -,00000, -,37175, -,60150, -,00000, -, ,26795,32506, -,00000, -,32506, -,44404, -,44404,,44404,, ,32172,29941, -,08095,,44142,,44142, -,11934, -,39687, -, ,22538,32045,,06176, -,21085, -,43594, -,56278,,41368,, ,26032,49433,,36565,,14177, -,16890, -,43561, -,58891,, ,38197,44894,,27746,,00000, -,42238, -,68343,,14492,, ,19806,52112,,41791,,23192, -,00000, -,23192, -,41791, -, ,00000,,15430,,15430,,15430,,15430,,15430,,15430, -, ,45249,11672,,21319, -,41842,,21319,,21319,,21319,,21319, -, ,3738,18218,,29093, -,32092,,29093,,29093,,29093, -,51248, -, ,35425,24702, -,24702,,38253,,38253,,38253, -,38253, -,38253, -, ,27741,19566, -,15908, -,46969, -,65001,,27078,,27078,,27078,, , ,60150, -,37175, -,00000,,37175,,60150, -,00000, -,00000, -, ,23844,35252,,26847, -,04772, -,35252, -,46290, -,46290,,35252,, ,2888 -,35243, -,25065,,12709,,17869,,41651, -,35243, -,35243,, , ,31444,,07990,,11727,,11727, -,46150, -,46150,,37403,, ,20226,33326,,26586,,33326,,33326,,00987, -,24811, -,45591, -, , ,37133, -,29383,,00000,,29383,,37133,,37133,,37133, -,37133, -,37133,, , ,43882, -,32745, -,13298,,18569,,45724,,61275, -,17821, -, ,38197,56772,,35087,,00000, -,38959, -,63038,,00000,,03872,, ,18639,34720,,12340, -,12340, -,34720,,42674,,42674, -,42674, -, , ,34705, -,08427,,19652,,38191,,48570,,24992, -,44137, -, ,22429,30804,,06082, -,21763,,07841,,39711,,39711, -,44727, -,

101 TAB. 8.24: Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) Árvore n a(t ) y(t ) Tipo ,30647,33871, -,06445, -,25616, -,25616, -,36936, -,36936,,48839,, , ,52285, -,39167, -,16224,,16224,,39167,,52285, -,21657,, , ,33773, -,14628,,06955,,27379,,43238,,51889, -,40530, -, , ,52112, -,41791, -,23192,,00000,,23192,,41791,,52112,, , ,44343, -,36078, -,21088,,02664,,25919,,44343,,54502, -, ,2434,10994, -,20254, -,46572, -,61554,,25280,,25280,,33413,, ,15224,49039,,41573,,27779,,09755, -,09755, -,27779, -,41573, -, ,00000,,00340,,00340,,07372,,07372,,62000, -,77763,,00340,, ,4428 -,10251, -,18397,,43165, -,18397, -,18397, -,18397, -,18397, -,18397,, , ,24682, -,15867,,33878,,52700,,52700, -,24682, -,24682, -,24682, -, ,26503,23129,,16999, -,18156, -,48499, -,65988,,23129,,23129,,23129,, , ,60150, -,37175, -,00000,,37175,,60150, -,00000, -,00000, -,00000, -, , ,15792,,26822,,07252, -,30316, -,30316, -,30316, -,30316,,51490,, ,22013,22957, -,08016, -,37225, -,47732, -,47732,,29437,,29437,,29437,, ,26795,21585, -,15801, -,43169, -,58970, -,21585,,29485,,29485,,29485,, , ,35148, -,07830,,32801,,47937,,47937, -,51368, -,11443, -,11443, -, , ,37133, -,29383,,00000,,29383,,37133, -,37133, -,37133,,37133,, ,1876 -,22786,,02536,,27383,,47092,,57967, -,28048, -,28048, -,28048, -, ,28247,37378,,26820, -,12430, -,38382, -,53492,,37378,,37378, -,17324, -, , ,63090, -,47428, -,19992,,12407,,29434,,39155,,16504,,16504,, ,38197,54955,,33964,,00000, -,39715, -,64261,,00000,,00000,,05751,, ,23773,36106,,27523, -,04771, -,34443, -,45184, -,45184, -,06259,,36106,, , ,32506,,00000,,32506,,44404,,44404, -,44404, -,44404,,00000,, , ,43919, -,36676, -,16140,,07057,,29090,,34836, -,43919,,34836,, , ,48882, -,39674, -,22994, -,28330,,03355,,29071,,35818,,35818,, , ,36746, -,10375,,18114,,33604,,42230, -,46178, -,46178,,22764,, , ,00985, -,26431, -,33131,,24909, -,01235, -,33131, -,33131,,45766,, , ,10368,,28325,,38693, -,28325, -,28325,,38693,,38693, -,38693, -, ,22324,29582,,05975, -,22401,,38084,,38084, -,45776, -,58931,,07692,, ,2427,46411,,35147,,15352, -,18008, -,41227, -,54440, -,23780,,20273,, ,30469,09050,,06293, -,34748, -,49974, -,49974,,24475,,24475,,35201,, ,14874,33447,,28472,,09312, -,11233, -,30108, -,44504, -,52280,,33447,, ,18304,36273,,13379, -,11964, -,32436, -,14644, -,39704, -,39704,,44400,, , ,44404, -,32506,,00000, -,00000, -,00000,,32506,,44404,,44404, -, ,19806,52112,,41791,,23192,,00000, -,23192, -,41791, -,52112,,00000,, ,21179,50137,,39519,,20531, -,08322, -,33176, -,42090, -,42090,,26048, -, , ,56169, -,46204, -,28040, -,04902,,19106,,31482,,38273,,23227,, ,23976,13673,,10395, -,21318, -,47920, -,63032,,23366,,23366,,30735,, ,38197,02157,,01333, -,00000, -,14914, -,24131,,41773,,67590, -,28192, -, , ,35409, -,19029, -,00000,,19029,,35409,,41135,,41135, -,41135, -, , ,50048, -,41752, -,26535, -,06921, -,08296,,15216,,34831,,41752,, , ,43839, -,37096, -,24647, -,29127, -,03927,,36045,,42597,,42597,, ,16269,53728,,44987,,28927,,08160, -,13933, -,16641, -,31053, -,37087, -, , ,34762, -,27974, -,15722, -,27974, -,34762,,11851,,37110,,46116,, ,38336,46351,,38336,,23693, -,00000, -,23693, -,38336, -,46351,,28646, -, , ,60254, -,46898, -,23148,,05734,,11617,,14925,,27461,,35281,, , ,53836, -,43810, -,25626, -,02668, -,03279,,21396,,26293,,36580,, ,23107,54143,,41633,,19502,,25362, -,12995, -,27743, -,27743, -,36080, -, , ,48442, -,42199, -,30518, -,14903,,02632,,19827,,34468,,39567,, ,15057,46403,,39416,,26494,,09583,,11282, -,10470, -,28946, -,43064, -, ,14042,41428,,35611,,24793,,28843,,06444, -,12810, -,30266, -,43471, -, , ,52112, -,41791, -,23192,,52112,,41791,,23192, -,00000, -,00000, -, , ,16940,,06445,,28730,,46106,,55606, -,27186, -,27186, -,32788, -, , ,46424, -,40825, -,30301, -,16123,,00000,,16123,,30301,,40825,, ,00000,,90765, -,09235, -,09235, -,09235, -,09235, -,09235, -,35355, -,09235,, , ,09140, -,16191, -,16191, -,16191, -,16191, -,16191, -,16191, -,16191,,44194,, ,34509,53822,,35249,,53822, -,14062, -,21472, -,21472, -,21472, -,21472, -,21472, -, , ,66778, -,49681, -,19864,,15039,,20214,,20214,,20214,,20214,,20214,, , ,60150, -,37175,,60150,,37175, -,00000, -,00000,,00000,,00000, -,00000, -, , ,41587, -,28748,,18645,,26972,,26972,,26972,,26972,,26972, -,41587, -,

102 TAB. 8.25: Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) Árvore n a(t ) y(t ) Tipo ,29844,33362,,23406, -,23406, -,33362, -,33362,,33362,,33362,,33362, -,33362, -, , ,38721, -,10395,,20089,,25351,,25351,,25351,,25351,,25351, -,48865, -, ,25351,59433,,44366,,18051,,24182, -,18970, -,25412, -,25412, -,25412, -,25412, -, ,31302,34008, -,07628, -,32973, -,47998,,49503,,49503, -,11104, -,11104, -,11104, -, , ,58672, -,48261, -,29286, -,05114,,19966,,24273,,24273,,24273,,24273,, ,24357,35174,,26606,,11559, -,21192, -,48781, -,64488,,15280,,15280,,15280,, , ,68247, -,42179,,00000,,00000, -,00000,,00000,,27994,,45295,,14185,, ,19021,38587,,31247,,03284, -,25304, -,31247, -,31247, -,31247, -,31247,,38587,, , ,53161, -,39380, -,15392,,23359,,31532,,31532,,31532,,31532, -,20778, -, , ,48747, -,35260, -,12019, -,16616, -,16616, -,16616,,28339,,39178,,39178,, ,21832,35944,,08018, -,23897, -,30572, -,30572, -,30572, -,30572,,10258,,45983,, ,26795 [-,44404, -,32506,,00000,,32506,,44404,,00000,,00000,,00000,,44404, -, , ,44969, -,38169, -,18796,,03419,,25117,,29592,,29592,,29592,,29592, -, , ,37133, -,29383, -,00000,,29383,,37133,,37133, -,37133, -,37133,,37133, -, , ,49412, -,40897, -,25334, -,30608, -,00130,,25096,,30321,,30321,,30321,, ,19699,37118,,29818,,16652, -,12020, -,38329, -,47713, -,47713,,20729,,20729,, , ,44061, -,33617, -,04762,,28180,,36935,,36935,,36935, -,44061, -,06242, -, ,18745,57424,,46659,,27149,,02549,,03137, -,23117, -,28450, -,28450, -,28450, -, , ,40070, -,30287, -,13109, -,30287, -,40070,,24447,,32344,,32344,,32344,, , ,60096, -,46741, -,22998,,05856,,07530,,07530,,07530,,28389,,36500,, , ,56062, -,42846, -,19530, -,25554,,14414,,18860,,18860,,31622,,41376,, ,303,33537,,23375,,06130,,23375,,33537,,08796,,08796, -,35546, -,51000, -, ,14423,36169,,30952,,10838, -,10838, -,30952, -,36169, -,36169, -,36169,,36169,, ,17749,42264,,34763,,21091,,25643,,25643, -,05426, -,30980, -,37666, -,37666, -, ,13705,52787,,45552,,32075,,14203, -,05617, -,24666, -,28583, -,28583, -,28583, -, , ,57583, -,45939, -,25006,,00983,,01232,,01232,,26275,,32935,,32935,, , ,52112, -,41791, -,23192,,00000,,23192,,41791,,52112,,00000,,00000,, ,17044,57388,,47607,,29712,,06753, -,17357, -,20923, -,20923, -,20923, -,27810, -, ,26417,36224,,26654,,10044,,26654,,36224,,13650, -,29436, -,40004, -,40004, -, , ,48299, -,37044, -,17156,,17156,,37044,,48299, -,22368, -,22368,,22368,, ,23657,28354,,21646,,09818,,21646,,28354, -,22246, -,49047, -,64245,,12860,, , ,17129, -,10586,,00000,,25861,,41844, -,38186, -,61786,,22911,,37071,, , ,40325, -,33871, -,15542,,08236,,30696,,36545, -,40325, -,18503,,36545,, , ,37534, -,16658,,06949,,28054,,33556,,33556,,33556,,08312, -,44895, -, , ,37625, -,14337,,11532,,30263,,14063,,14063,,36905,,36905, -,45883, -, ,23572,31820,,04692, -,29143, -,38132, -,38132, -,38132,,10292,,13466,,41634,, ,1881 -,49495, -,40185, -,23316, -,28717,,03341,,28595,,35220,,35220,,35220,, ,20154,35006,,10279, -,19115, -,35006, -,43842, -,23939, -,23939,,12873,,43842,, ,20996,51564,,40737,,21357,,27033, -,08183, -,31656, -,40069, -,40069, -,10358, -, , ,44404, -,32506, -,44404,,00000,,32506,,44404,,44404,,00000,,00000,, , ,36761, -,21911, -,04363,,13722,,30118,,34347,,34347,,34347, -,41923, -, ,14658,49474,,42223,,28782,,11122,,13033, -,10078, -,29800, -,34919, -,34919, -, ,13525,44134,,38165,,27034,,31262, -,12083, -,30549, -,35327, -,35327, -,35327,, , ,48197, -,40253, -,25675, -,06866, -,08221, -,08221,,15785,,35835,,42906,, ,16954,36052,,29940,,18752,,29940,,36052, -,06803, -,31206, -,37576, -,37576, -, ,14423,37731,,32289,,22190,,25930,,25930,,01411, -,19571, -,37731, -,44090, -, ,26795,50951,,37299,,50951, -,00000, -,15013, -,20509, -,20509, -,22285, -,30442, -, ,14728,53505,,45625,,31025,,11856, -,09059, -,10623, -,27075, -,31751, -,31751, -, ,17918,33961,,13049, -,13049, -,33961,,15898, -,15898, -,41374, -,41374,,41374,, ,16261,47761,,39994,,25725,,02277,,30720, -,21542, -,33491, -,39994, -,25725, -, ,20223,57368,,45766,,24909, -,00985, -,01235, -,26431, -,33131, -,33131, -, , ,55220, -,46431, -,30253, -,09259,,13209,,15709,,15709,,28573,,33982,, ,18978,31468,,25496,,14686,,18126,,25496,,31468, -,13162, -,38512, -,47533, -, , ,45552, -,37076, -,21702, -,26663,,02672,,03283,,03283,,25327,,43269,, ,1769 -,39206, -,32270, -,23844, -,23844, -,19626,,04926,,05985,,27548,,45297,, ,22074,61262,,47739,,23678, -,07198, -,11309, -,14513, -,05609, -,26370, -,33839, -, , ,38139, -,29727, -,38139, -,29727, -,14759,,18433,,37127,,47633,,23649,, , ,33165, -,25659, -,15959, -,33165, -,25659, -,12347,,20683,,42983,,55555,, , ,26603, -,18698, -,26603, -,18698, -,26603, -,18698, -,05237,,36702,,52219,, , ,35409, -,19029,,00000,,19029,,35409,,41135,,41135, -,41135, -,41135,,

103 TAB. 8.26: Informações de Árvores de Tipo I e Tipo II com 2 < n < 10 vértices extraídas dos anexos de [CVETKOVIC et al., 1980] (Continuação) Árvore n a(t ) y(t ) Tipo ,1148,48520,,42950,,32450,,18224,,01906, -,14630, -,29487, -,33311, -,33311, -, ,1338,37084,,37084,,32122,,17900,,20665, -,01482, -,20665, -,37084, -,42812, -, ,1772,33844,,33844,,27847,,10918,,17974,,21845, -,15002, -,38263, -,46503, -, , ,42994, -,36393, -,28595, -,24204, -,03909, -,04618,,17695,,36583,,43218,, ,14867,38786,,38786,,33020,,16579,,19474, -,05222, -,26247, -,30831, -,38786, -, , ,62806, -,49280, -,25142,,04411,,23848,,18712,,23848,,18712,,23848,, ,14899,52181,,44406,,30016,,11154, -,09371, -,11011, -,11011, -,25218, -,37307, -, , ,51713, -,43366, -,28020, -,09720, -,08151,,14602,,32188,,38384,,38384,, , ,35710, -,31006, -,22217, -,25588, -,25588, -,03759,,15194,,32145,,44861,, ,20759,36928,,36928,,29262,,07855,,14809,,18689, -,22137, -,27936, -,41734, -, ,19196,36339,,29364,,36339,,29364,,16751, -,11688, -,14465, -,35108, -,43448, -, , ,46351, -,38336, -,23693,,00000,,23693,,38336,,46351,,00000, -,28646,, ,19806,52112,,41791,,23192, -,00000, -,23192, -,41791, -,52112, -,00000, -,00000, -, , ,29455, -,24581, -,29455, -,24581, -,18740, -,15639,,07934,,30193,,47457,, , ,24193, -,18585, -,24193, -,18585, -,24193, -,18585, -,08669,,23086,,49491,, ,10878,39736,,39736,,35414,,22916,,07926, -,07926, -,22916, -,35414, -,39736, -, ,12877,48916,,42617,,30830,,15073, -,03013, -,02625, -,34046, -,39078, -,39078, -, ,12573,44745,,39119,,28575,,16514,,14437, -,03591, -,21168, -,36084, -,41273, -, , ,40988, -,36182, -,30738, -,27134, -,11301,,05857,,22329,,36182,,40988,, , ,46399, -,38789, -,24816, -,12665, -,10588, -,06774,,16193,,36505,,43667,, , ,49966, -,43792, -,32206, -,16640,,00982,,21089,,18483,,31094,,35478,, , ,47358, -,40831, -,28678, -,14581, -,12572,,07276,,26121,,37191,,43136,, ,13919,33624,,28944,,33624,,28944,,20235, -,00000, -,20235, -,37653, -,43742, -, , ,42740, -,37281, -,31023, -,27060, -,09421,,09421,,27060,,31023,,37281,, ,19806,52112,,41791,,23192, -,00000, -,23192, -,41791, -,52112, -,00000, -,00000, -, , ,48036, -,40895, -,27674, -,10339, -,12144,,10339,,12144,,27674,,40895,, ,15665,55499,,46806,,30780,,09933, -,18963, -,22485, -,12470, -,26427, -,31336, -, ,13975,40015,,34423,,24020,,06358,,27922,,07391, -,13225, -,30960, -,44369, -, , ,34842, -,29403, -,34842, -,29403, -,19375,,03705,,26207,,31054,,39771,, , ,33813, -,28065, -,33813, -,28065, -,17547,,06472,,07797,,28065,,44888,, , ,52360, -,42627, -,24970, -,05602, -,04560, -,02671,,22013,,27039,,37579,, , ,38200, -,30227, -,38200, -,30227, -,15945,,15945,,30227,,38200,,30227,, ,10288,45641,,40945,,32037,,19833,,05589, -,09231, -,23100, -,34594, -,38561, -, , ,42503, -,37520, -,28138, -,17509, -,15456,,01090,,17509,,31875,,42503,, , ,46424, -,40825, -,30301, -,16123, -,00000,,16123,,30301,,40825,,46424, -, ,10999,39425,,35089,,30217,,26893,,12416, -,03427, -,18892, -,32280, -,42118, -, ,19806,51357,,41185,,22856,,00000, -,23514, -,42371, -,52835,,00658,,01185,, , ,52843, -,45028, -,30553, -,11560,,41788,,35608,,24162,,09142,,13473,, ,12772,32333,,28204,,32333,,28204,,20472,,02393, -,15991, -,32333, -,44545, -, , ,44171, -,39847, -,31623, -,20303, -,06996,,06996,,20303,,31623,,39847,,

104 8.4 APÊNDICE 4: ÁRVORES DE TIPO II SIMÉTRICAS COM INSERÇÃO DE VÉRTICE PENDENTE (CAPÍTULO 5) FIG. 8.2: Árvore 2.4 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG. 8.3: Árvore 2.10 com todas as inserçẽs de vértices pendentes possíveis 103

105 FIG. 8.4: Árvore 2.13 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG. 8.5: Árvore 2.28 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 104

106 FIG. 8.6: Árvore 2.38 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 105

107 FIG. 8.7: Árvore 2.42 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG. 8.8: Árvore 2.47 com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 106

108 FIG. 8.9: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 107

109 FIG. 8.10: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG. 8.11: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 108

110 FIG. 8.12: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG. 8.13: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 109

111 FIG. 8.14: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis FIG. 8.15: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 110

112 FIG. 8.16: Árvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 111

113 FIG. 8.17: Arvore com todas as inserções de vértices pendentes possíveis 112