MAT. 6 GRUPO 1 TIPO A MATEMÁTICA Questões de 01 a 04 01. Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e y : 2 4x + α y = 18 6x + 6y = β Estabeleça condições sobreα e β para que o sistema: A) tenha solução única. B) não tenha solução.
GRUPO 1 TIPO A MAT. 7 02. Na figura abaixo, h representa a altura relativa ao lado AC do triângulo ABC ; a e b são as medidas dos lados BC e AC, respectivamente, e α é a medida do ângulo AC ˆ B. B a h c C α H A b ab A) Mostre que a área do triângulo ABC é igual a senα. 2 0 B) Se o perímetro do triângulo é 40 cm, α = 30 e c = 10cm, quais devem ser as medidas de a e b de modo que a área do triângulo ABC seja a maior possível? Qual é essa área?
MAT. 8 GRUPO 1 TIPO A 03. Numa pirâmide quadrangular, todas as arestas são iguais. Assumindo o fato de que tal pirâmide é regular, responda ao que se segue: A) Qual o ângulo formado entre duas arestas laterais não adjacentes? B) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide? C) Se cada aresta mede 10 cm, qual é o volume da pirâmide?
GRUPO 1 TIPO A MAT. 9 x 4 4x 3 04. Considere as matrizes A = e B = e responda às questões abaixo: 3 x + 7 2 3 A) Para que valores reais de x tem-se det A > 0 e det B > 1? B) Dentre os valores de x encontrados no item anterior, quais satisfazem a desigualdade det A 1 log det B?
GRUPO 5 TIPO A MAT. 1 MATEMÁTICA Questões de 01 a 12 01. Para realizar a meta de produção diária de uma fábrica, são necessárias duas máquinas funcionando 3 horas por dia. Em um determinado dia, uma delas quebrou e a outra, sozinha, realizou a produção prevista na meta em 4 horas. Em quanto tempo a máquina quebrada realizaria a meta diária de produção? 02. Um lado de um retângulo mede 5 2. Determine a medida da diagonal e a medida do outro lado desse retângulo, sabendo que essas medidas são números inteiros.
MAT. 2 GRUPO 5 TIPO A 03. Na igualdade seguinte, a representa um algarismo nos números que estão escritos na base dez: a37 4a8 = 1aa + 1a 13. Determine o valor de a. (Lembremos que se abcd representa um número na base dez, então abcd = 1000 a + 100b + 10c + d ) 04. Participam de um festival de música 100 profissionais, entre instrumentistas e compositores. Há 85 instrumentistas e 66 compositores. Quantos são os instrumentistas que não são compositores?
GRUPO 5 TIPO A MAT. 3 x 4 4x 3 05. Considere as matrizes A = e B = e responda aos itens abaixo: 3 x + 7 2 3 A) Para que valores reais de x tem-se det A > 0 e det B > 1? B) Dentre os valores de x encontrados no item anterior, quais satisfazem a desigualdade det A 1 log det B?
MAT. 4 GRUPO 5 TIPO A 06. Todo assalariado brasileiro, que ganha mensalmente acima de um certo valor estipulado pela Receita Federal, é obrigado a pagar imposto de renda, que incide sobre seu salário mensal, após descontado o INSS. O cálculo desse imposto é feito do seguinte modo (no que se segue, considere que os salários mencionados já estão com o desconto do INSS): - o assalariado que recebe até R$1.300,00 é isento de pagamento de imposto; - aquele que receber acima de R$1.300,00 e até R$2.700,00 paga 15% de imposto sobre o valor que exceder a R$1.300,00; - se o assalariado receber acima de R$2.700,00, descontam-se 15% de R$1.400,00 (que é a diferença entre R$1.300,00 e R$2.700,00) mais 27,5 % sobre o valor que exceder a R$2.700,00. A) Qual o desconto de imposto de renda de pessoas que recebem por mês, respectivamente, R$1.000,00, R$2.000,00 e R$3.000,00? B) Faça um esboço do gráfico que representa o imposto pago em função do salário mensal recebido, considerando apenas os salários na faixa de R$300,00 a R$6.000,00.
GRUPO 5 TIPO A MAT. 5 07. A figura abaixo representa um paralelogramo no plano cartesiano: y B C A M O D N x As coordenadas dos pontos C e D são, respectivamente, (4,2) e (1,-1), o segmento BC é paralelo ao eixo x e O é o ponto médio do segmento MN. Encontre as coordenadas do ponto A.
MAT. 6 GRUPO 5 TIPO A 08. As pirâmides ABCDE e AMNOP da figura abaixo são regulares e de bases quadradas. A M E P N O D B C A pirâmide ABCDE tem volume V 1 e altura h 1. A pirâmide AMNOP tem volume V 2 e altura h 2. A) Mostre que V V 1 2 h = h 1 2 3. B) Se h1 mede o triplo de h 2 e o volume do tronco de pirâmide acima é 13cm 3, determine o volume da pirâmide ABCDE.
GRUPO 5 TIPO A MAT. 7 09. Duzentas e trinta bolas de bilhar de mesmo tamanho, entre brancas e pretas, serão dispostas em forma triangular, do seguinte modo: coloca-se uma bola branca; depois duas pretas; depois três brancas; depois quatro pretas; e assim por diante, até o momento em que o número de bolas restantes não será suficiente para montar uma nova fileira (veja figura a seguir). A) Quantas bolas serão utilizadas? B) Quantas bolas pretas serão utilizadas?
MAT. 8 GRUPO 5 TIPO A 10. Sobre cada um dos lados de um hexágono regular, de lado a, constrói-se um quadrado, externamente ao hexágono, conforme indica a figura. Mostre que os vértices desses quadrados que não pertencem ao hexágono são os vértices de um dodecágono regular de lado a.
GRUPO 5 TIPO A MAT. 9 11. Considere a decomposição em fatores primos do número 10800, isto é: 4 3 2 10800 = 2.3.5. a b c A) Explique por que os divisores de 10800 são da forma 2.3.5, números inteiros tais que 0 a 4, 0 b 3 e 0 c 2. onde a, b e c são B) Quantos divisores o número 10800 possui? 6 5 7 C) Quantos são os divisores de 2.3.5 que são múltiplos de 15?
MAT. 10 GRUPO 5 TIPO A 12. Os dados da tabela abaixo expressam, entre outras informações, a porcentagem de domicílios brasileiros com acesso a bens e serviços nos anos de 1970 e de 2006. 1970 2006 Eletricidade 47,5 % 97,7 % TV 24 % 93 % Telefone 4,7 % 74,5 % Computador - 22,1 % Pão (Kg) Cr$ 1,80 R$ 5,03 Feijão (Kg) Cr$ 1,27 R$ 2,56 Arroz (Kg) Cr$ 1,19 R$ 1,50 Banana (dúzia) Cr$ 0,45 R$ 2,15 Leite (litro) Cr$ 0,60 R$ 1,45 Salário Mínimo Cr$ 187,20 R$ 350,00 Um dólar Cr$ 4,95 R$ 2,15 Moradores por casa 5,1 3,4 Católicos 91,8 % 73,6 % Fonte: Almanaque Abril 2008 IBGE (Censo de 1970, Pnad 2006, Censo de 2000); DIEESE (preços de dezembro de 1970 a dezembro de 2006, em São Paulo, pesquisa da cesta básica) Com base nesses dados, resolva o que se pede nos seguintes itens: A) Tomando o dólar como parâmetro, calcule o reajuste percentual sofrido pelo salário mínimo no período 1970-2006 (em relação ao seu valor em 1970).
GRUPO 5 TIPO A MAT. 11 B) O poder de compra do salário mínimo de 2006, para os alimentos que constam da tabela, aumentou ou diminuiu em relação ao ano de 1970? Justifique sua resposta.
MAT. 8 GRUPO 6 TIPO A MATEMÁTICA Questões de 01 a 06 01. Dado um segmento de reta MN, define-se sua mediatriz como sendo a reta perpendicular a MN que contém seu ponto médio. Usando essa informação, faça o que se pede nos seguintes itens: A) Mostre que qualquer ponto P da mediatriz de MN é eqüidistante de M e de N, isto é, medida de PM = medida de PN. B) Use o item anterior para mostrar que as mediatrizes dos lados de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado circuncentro do triângulo. Explique por que o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
GRUPO 6 TIPO A MAT. 9 C) Use as informações contidas nos itens (A) e (B) para resolver o seguinte problema: Considere o triângulo ABC no plano cartesiano, em que A = ( 2,0), B = (2,0) e C = (0,4). Encontre a equação da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
MAT. 10 GRUPO 6 TIPO A 02. Considere o seguinte sistema nas incógnitas x e y : 2 4x + α y = 18. 6x + 6y = β Estabeleça condições sobreα e β para que o sistema: A) tenha solução única. B) não tenha solução.
GRUPO 6 TIPO A MAT. 11 03. Uma turma de estudantes resolveu bancar sua festa de formatura coletando uma mesma quantia de cada um deles, totalizando R$2.304,00. Alguns dias antes da festa, quatro formandos desistiram de contribuir para a coleta, o que elevou em R$8,00 a contribuição de cada um dos que permaneceram. Quantos são os formandos dessa turma? 04. Numa pirâmide quadrangular, todas as arestas são iguais. Assumindo o fato de que tal pirâmide é regular, responda ao que se segue: A) Qual o ângulo formado entre duas arestas laterais não adjacentes? B) Se cada aresta mede 12cm, qual é o volume da pirâmide?
MAT. 12 GRUPO 6 TIPO A 05. Os dados da tabela abaixo expressam, entre outras informações, a porcentagem de domicílios brasileiros com acesso a bens e serviços nos anos de 1970 e de 2006. 1970 2006 Eletricidade 47,5 % 97,7 % TV 24 % 93 % Telefone 4,7 % 74,5 % Computador - 22,1 % Pão (Kg) Cr$ 1,80 R$ 5,03 Feijão (Kg) Cr$ 1,27 R$ 2,56 Arroz (Kg) Cr$ 1,19 R$ 1,50 Banana (dúzia) Cr$ 0,45 R$ 2,15 Leite (litro) Cr$ 0,60 R$ 1,45 Salário Mínimo Cr$ 187,20 R$ 350,00 Um dólar Cr$ 4,95 R$ 2,15 Moradores por casa 5,1 3,4 Católicos 91,8 % 73,6 % Fonte: Almanaque Abril 2008 IBGE (Censo de 1970, Pnad 2006, Censo de 2000); DIEESE (preços de dezembro de 1970 a dezembro de 2006, em São Paulo, pesquisa da cesta básica) Com base nesses dados, faça o que se pede nos seguintes itens: A) Tomando o dólar como parâmetro, calcule o reajuste percentual sofrido pelo salário mínimo no período 1970-2006 (em relação ao seu valor em 1970).
GRUPO 6 TIPO A MAT. 13 B) O poder de compra do salário mínimo de 2006, para os alimentos que constam da tabela, aumentou ou diminuiu em relação ao ano de 1970? Justifique sua resposta.
MAT. 14 GRUPO 6 TIPO A 06. Considere o triângulo ABC da figura abaixo e suponha que os ângulos Bˆ e Ĉ sejam agudos, de modo que a altura AH em relação ao lado BC seja um segmento de reta interno ao triângulo ABC. A c h b B α H a C A) Mostre que b c senbˆ = sencˆ.
GRUPO 6 TIPO A MAT. 15 B) Use a igualdade do item anterior para resolver o seguinte problema: Um topógrafo encontra-se ao pé de uma torre A na margem de um rio largo e deseja encontrar a distância dessa torre a uma torre B na margem oposta, sem atravessar o rio. Para isso, ele escolhe uma árvore C na margem em que se encontra e, com sua trena, mede a distância de A a C, obtendo 100m. Com seu 0 0 teodolito, mede os ângulos BÂC = 75 e A CB ˆ = 60 (veja figura). Tendo em vista esses dados, calcule a distância entre as torres. 100m C 60 A 75 B