Métodos Estatísticos 7 Inferência Estatística stica Estimação de Parâmetros Proporções Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 9 Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.
Estimação de Parâmetros universo do estudo (população) dados observados O raciocínio indutivo da estimação de parâmetros
Estimação de Parâmetros POPULAÇÃO π =? AMOSTRA Observações: X 1 X 2 X 3... π = p ± erro amostral p
Estimação de Parâmetros População µ σ 2 π Amostra X S 2 p
Objetivo A partir de uma amostra estimar os parâmetros populacionais.
Estimação de Parâmetros Amostra X S 2 p População µ=? σ 2 =? π =?
Estimação de uma proporção π proporção amostral: p Relação entre o parâmetro π e a estatística p
Relação entre π e p População 30% contrários 70% favoráveis Amostra aleatória com n = 400 indivíduos Calcula-se p
Simulou-se 100 amostras desta forma f reqüência 20 15 10 5 Nenhuma amostra com o valor de p fora do Intervalo 0,65 0,76 Como conhecemos π = 0,70, podemos dizer que a magnitude do erro amostral é 0,76 0,7 = 0,06 0 0,70 0,64 0,66 0,68 0,7 0,72 0,74 0,76 v alor calculado de P Em geral, erro amostral < 0,05 Em geral, o intervalo p ± 0,05 contém π
Relação entre π e p Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmente grande (n > 30), tem-se: Os possíveis valores de p seguem uma distribuição (aproximada) normal com média e desvio padrão dados por: µ π = P σ P = π.(1 π) n
Distribuição de p 95% π π±1,96σ p
No exemplo distribuição de p 95% π = 0,70 σ p = 0,023 0,655 0,70 0,70 ± 0,045 0,745 σ P = π.(1 π) n π±1,96σ p
Estimação de uma proporção π Na prática, estima-se o erro padrão da proporção por S P = p.(1 p) n
Estimação de uma proporção π Intervalo de 95% de confiança para π: p ± 1,96S p onde: S P = p.(1 p) n Ex. n = 400 acusando 268 favoráveis ==> p = 0,67 0,67.(1 0,67) S P = = 400 I. C.: 0,67 ± 0,046 0,0235 ou: 67,0% ± 4,6%
Estimação de π (exemplo) Com 95% de confiança a verdadeira proporção de favoráveis está no intervalo 67,0% ± 4,6% (ou de 62,4% a 71,6%) População 70% favoráveis 30% contrários 0,67 95% 0,70 0,70 ± 0,048 π±1,96σ π Pela teoria: possíveis valores de p
Outros Níveis de confiança área interna = = nível de confiança desejado Intervalo de confiança p ± z. S P - Z 0 Z PARTE DE UMA TABELA NORMAL PADRÃO Área 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998 z 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 Repetir exemplo anterior, usando 99% de confiança Pela tabela, área = 99% Z = 2,576 Z.Sp = 2,576 x 0,0235 = 0,06 (ou 6%) Int. conf. = 67% ± 6%
Estimação de uma proporção π Tamanho N da população conhecido Faz-se a seguinte correção no cálculo do erro padrão: p.(1 p) N n S P = n N 1 OBS. Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior
Exercícios 1. Calcule o intervalo de confiança para a proporção (conhecida) π. Discuta sobre a precisão das estimativas, ao variar n e π. a) Nível de confiança de 90%, n = 400 com 60% de favoráveis; b) Nível de confiança de 90%, n = 1000 com 600 favoráveis; c) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 80 favoráveis; d) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 320 favoráveis; e) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 200 favoráveis; IC = p ± z. S P S P = p.(1 p) n
Exercícios a) Nível de confiança de 90%, n = 400 com 60% de favoráveis; P = 60%; Z = 1,645; S p = 0,0245 ; IC = 60% ± 1,645x0,0245 = 60% ± 4,0% b) Nível de confiança de 90%, n = 1000 com 600 favoráveis; P = 600/1000 = 0,60 60%; Z = 1,645; S p = 0,0155 ; IC = 60% ± 1,645x0,0155 = 60% ± 2,5% c) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 80 favoráveis; P = 80/400 = 0,20 20%; Z = 1,96; S p = 0,02 ; IC = 20% ± 1,96 x 0,02 = 20% ± 3,9% d) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 320 favoráveis; P = 320/400 = 0,80 80%; Z = 1,96; S p = 0,02 ; IC = 80% ± 1,96 x 0,02 = 80% ± 3,9% e) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 200 favoráveis; P = 200/400 = 0,50 50%; Z = 1,96; S p = 0,02 ; IC = 80% ± 1,96 x 0,02 = 80% ± 3,9%
Exercícios 2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991 tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança. a) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre todas as redações. Na amostra, 120 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de vestibulandos favoráveis a mudança, na amostra observada? E na população de vestibulandos considerando 95% de confiança? b) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre os que prestaram o exame na região de Curitibanos. Nesta amostra, 250 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de favoráveis a mudança, na população de vestibulandos?
Exercícios 2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991 tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança. a) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre todas as redações. Na amostra, 120 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de vestibulandos favoráveis a mudança, na amostra observada? E na população de vestibulandos considerando 95% de confiança? n = 400; p = 120/400 = 0,30 30% da amostra; p = 0,30; S p = 0,023; z 95% = 1,96 Na população, o intervalo 30% ± 4,5%, contém a proporção de favoráveis
Exercícios 2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991 tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança. b) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre os que prestaram o exame na região de Curitibanos. Nesta amostra, 250 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de favoráveis a mudança, na população de vestibulandos? E na população da região Em relação a população nada, uma vez que a amostragem não foi aleatória. Em relação a região, a proporção nesta amostra é de: 250/400 = 62.5% de favoráveis a mudança da capital.
Estimação de uma proporção π Tamanho N da população conhecido Faz-se a seguinte correção no cálculo do erro padrão: p.(1 p) N n S P = n N 1 OBS. Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior
Exercício 3. Numa AAS, de tamanho 120 famílias, realizada em certo bairro da cidade, observou-se que 33,3% possuíam instalações sanitárias adequadas. Considerando que no bairro existem 460 domicílios, encontre um IC de 95% para a proporção de domicílios com instalações sanitárias adequadas. p = 0,033; Z 95% = 1,96 1,96 x S p = 1,96 x 0,037 = 0,073 0,333.(1 0,333) 460 120 SP = = 120 460 1 = (0,0430)(0,8607) = 0,037 Intervalo de 95% de confiança para π 33,3% ± 7,3%