EXAME NAINAL D ENSIN SEUNDÁRI Decreto-Lei.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática A 12.º ao de Escolaridade Prova 635/Época Especial 11 Págias Dração da Prova: 150 mitos. Tolerâcia: 30 mitos 2008 Prova 635 Págia 1/ 11
Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, desehos o otras represetações, qe podem ser primeiramete elaboradas a lápis, sedo, a segir, passadas a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica sempre qe ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva de forma legível a meração dos grpos e/o dos ites, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 635 Págia 2/ 11
Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas, o úmero do item; a letra idetificativa da alterativa correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. Nos ites de resposta aberta com cotação igal o sperior a 15 potos e qe impliqem a prodção de m teto, o domíio da comicação escrita em líga portgesa represeta cerca de 10% da cotação. As cotações dos ites ecotram-se a págia 11. A prova icli m Formlário a págia 4. Prova 635 Págia 3/ 11
Formlário omprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r 2 (r raio) Volmes Pirâmide: oe: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = ompleos (ρcis θ) = ρ cis (θ) 1 3 Diagoal maior Diagoal meor 2 Base maior + Base meor 2 1 3 α r 2 2 tg a + tg b 1 tg a. tg b θ+2kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim + 1 1 e 1 lim = 1 0 e p 2 2 1 1 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 6827 P( µ 2σ < X < µ + 2 σ) 0, 9545 P( µ 3σ < X < µ + 3 σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = 2 v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = 2 cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 635 Págia 4/ 11
GRUP I s oito ites deste grpo são de escolha múltipla. Em cada m deles, são idicadas qatro alterativas de resposta, das qais só ma está correcta. Se apresetar mais do qe ma alterativa, a resposta será classificada com zero potos, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. 1. Qatos úmeros ímpares, de qatro algarismos diferetes, se pode formar com os algarismos 1, 3, 5 e 8? (A) 4 (B) 6 () 18 (D) 24 2. 14.º elemeto de ma liha do Triâglo de Pascal é igal ao 15.º elemeto dessa mesma liha. Qatos elemetos tem essa liha? (A) 14 (B) 15 () 28 (D) 30 3. Em cada semaa, a chave do Totoloto é formada por seis úmeros iteiros distitos, escolhidos aleatoriamete etre 1 e 49. Qal é a probabilidade de, a próima semaa, a chave do totoloto iclir os úmeros 1, 2 e 3? 46 46 46 (A) 3 (B) 3 () 6 (D) 46 49 49 6 6 6 49 3 49 6 4. Para todo o R, qal das segites epressões é eqivalete a.l e e? (A) e (B) e () e e (D) + e ( ) Prova 635 Págia 5/ 11
5. Na figra 1, está represetada parte do gráfico de ma fção f e a recta r de eqação y =. y f r Fig. 1 Qal das figras segites pode ser parte do gráfico da fção f 1, fção iversa de f? (A) (B) y y () (D) y y Prova 635 Págia 6/ 11
π π 6. Seja a fção f, de domíio,, defiida por f ( ) = cos ( ). 2 3 Qal é o cotradomíio de f? 1 (A) [ 1, 0] (B) [0, 1] () 0, (D) 2 0, 3 2 7. Qal das segites codições, a variável complea z, defie, o plao compleo, ma circferêcia? (A) z + 4 = 5 (B) z = z + 2i () 0 arg(z ) π (D) Re(z ) + Im(z )= 2 8. Na figra 2 está represetado, o plao compleo, o polígoo [EFGHI ], iscrito ma circferêcia de cetro a origem do referecial e raio igal a 2. s vértices desse polígoo são as images geométricas das raízes de ídice 5 de m certo úmero compleo; m dos vértices pertece ao eio real. Im(z) F E G Re(z) I H Fig. 2 3π Qal é o vértice do polígoo [EFGHI ] qe é a imagem geométrica de 2 cis? 5 (A) E (B) F () H (D) I Prova 635 Págia 7/ 11
GRUP II Na resposta a ites deste grpo, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto. 1. Em, cojto dos úmeros compleos, sejam os úmeros z i cis π 1 = 1 1+ e 2 z π cis( ) (i desiga a idade imagiária). 2 =8 4 z1 1.1. Determie, sem recorrer à calcladora, o úmero compleo w =. z2 Apresete o resltado a forma trigoométrica. ( ) ( ) 1.2. osidere o úmero compleo z = z 2. No plao compleo, sejam A e B as images geométricas de z e de z 2, respectivamete. Determie a área do triâglo [AB], em qe é a origem do referecial. 2. Três rapazes, o João, o Ri e o Palo, e três raparigas, a Aa, a Maria e a Fracisca, decidem passar a tarde jtos. 2.1. De qatas maeiras se podem setar os seis amigos, s ao lado dos otros, m baco corrido com seis lgares, ficado m rapaz em cada ma das etremidades? 2.2. Depois de ovirem algmas músicas, os seis joves resolveram daçar aos pares. Admita qe, ma daça: cada rapaz daça com ma rapariga; todos os joves daçam; todos os pares são escolhidos ao acaso. 2 A probabilidade de, essa daça, a Aa daçar com o João é igal a. 3! Epliqe, ma peqea composição, o raciocíio qe codzi a esta epressão. Nota: Deve orgaizar a sa composição de acordo com os segites tópicos: referêcia à Regra de Laplace; eplicação do úmero de casos possíveis; eplicação do úmero de casos favoráveis. Prova 635 Págia 8/ 11
3. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória e sejam A e B dois acotecimetos possíveis (A Ωe B Ω). Mostre qe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P A B + P A B P B = P A + P B (P desiga probabilidade, A represeta o acotecimeto cotrário de A e P (A B) é a probabilidade de A dado B.) e 4. osidere a fção f, de domíio R \{} 0, defiida por f () =. 4.1. Determie, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, a eqação redzida da recta tagete ao gráfico da fção f o poto de abcissa 2. 4.2. No itervalo ]0, 5], a recta de eqação y = 6 itersecta o gráfico da fção f os potos A e B. Determie a distâcia de A a B, com aproimação às décimas, recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora. Apresete o gráfico, o os gráficos, em qe se baseo para dar a sa resposta, assialado os potos A e B e idicado as sas coordeadas com aproimação às décimas. 5. osidere a fção f, de domíio R, defiida por f ( )= l ( 2 +1) (l desiga logaritmo de base e ). Estde, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, a fção f qato à mootoia e à eistêcia de etremos relativos, idicado os itervalos de mootoia e os valores dos etremos relativos, caso eistam. 6. Seja a fção f, de domíio [0, π ], defiida por f ( ) = 2 se() cos() + 2. gráfico da fção f itersecta a recta y = 1 m só poto. Determie, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, as coordeadas desse poto. Prova 635 Págia 9/ 11
7. Aqece-se ága m recipiete, drate m determiado tempo, m local ode a temperatra ambiete é costate e igal a 25º elsis. Iterrompe-se o processo de aqecimeto, e esse istate, a ága começo a arrefecer. arrefecimeto da ága sege a Lei do arrefecimeto de Newto, de acordo com o modelo matemático: 0, 05 t Tt () =25+48e, em qe T (t) represeta a temperatra da ága em gras elsis, t mitos após o iício do arrefecimeto. Resolva, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, os dois ites segites. 7.1. Determie T(0) e lim T( t). t + Iterprete os valores obtidos, o coteto do problema. 7.2. Determie ao fim de qato tempo, após o iício do arrefecimeto, a temperatra da ága atige os 36º elsis. Apresete o resltado em mitos e segdos, com estes arredodados às idades. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos méricos; sempre qe proceder a arredodametos, se qatro casas decimais. FIM Prova 635 Págia 10/ 11
TAÇÕES GRUP I... (8 5 potos)... 40 potos GRUP II... 160 potos 1.... 30 potos 1.1.... 15 potos 1.2.... 15 potos 2.... 30 potos 2.1.... 15 potos 2.2.... 15 potos 3.... 15 potos 4.... 30 potos 4.1.... 15 potos 4.2.... 15 potos 5.... 15 potos 6.... 15 potos 7.... 25 potos 7.1.... 10 potos 7.2.... 15 potos TTAL... 200 potos Prova 635 Págia 11/ 11