Denomina-se gravidade a interação ente dois ou mais corpos devido sua massa. A força da gravidade é uma força de ação à distância, que se torna mais evidente entre objetos com grandes massas, ocasionada por um campo gravitacional mais intenso.
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL Descreve a intensidade da força gravitacional entre dois corpos: F = G Mm r 2 Onde M e m são as massas dos corpos e r a distância entre os mesmos. A quantidade G é denominada constante gravitacional, tendo como valor: G = 6,67 x 10-11 Nm²/kg²
A força gravitacional é caracterizada por sempre ser atrativa, ou seja, não existe repulsão gravitacional. Devido a 3ª Lei de Newton, a intensidade da força gravitacional sobre ambos os corpos é a mesma. Teorema das Cascas Esféricas: uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casca como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro.
EXEMPLO 1 Força gravitacional resultante: três partículas no mesmo plano A figura mostra um arranjo de três partículas: a partícula 1, de massa m 1 = 6,0 kg, e as partículas 2 e 3, de massa m 2 = m 3 = 4,0 kg; a = 2,0 cm. Qual é a força gravitacional resultante que as outras partículas exercem sobre a partícula 1?
GRAVITAÇÃO PRÓXIMO À SUPERFÍCIE DA TERRA F = G Mm r 2 r = R = Raio da Terra = 6,37. 10 6 m M = Massa da Terra = 5,98. 10 24 kg G = constante gravitacional = 6,67. 10-11 N.m²/kg² GM R 2 = g = aceleração da gravidade Ao nível do mar, próximo ao equador: g 9,8 m/s² F = mg
Essa simplificação não considera: - que a massa da Terra não é uniforme; - que a Terra não é esférica; - que a Terra está girando (o que produz aceleração centrípeta a r =ω²r).
GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA Teorema das Cascas Esféricas: uma casca de matéria não exerce força gravitacional sobre uma partícula localizada em seu interior
EXEMPLO 2 constante. massa específica = massa / volume
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL U = mgy g = GM R 2 U = m GM R 2 y U = GMm R
VELOCIDADE DE ESCAPE Situação: objeto é lançado de um corpo celeste em direção ao infinito Conservação de Energia Mecânica: K 0 + U 0 = K + U Quando o objeto chega no infinito ele para, não havendo portanto energia cinética. Além disso, com a distância R =, também não há energia potencial gravitacional. Desse modo: K 0 + U 0 = 0 1 2 mv² + GMm R = 0
Resolvendo para a velocidade: v = 2GM R Sendo denominada velocidade de escape v, onde M e R são, respectivamente, a massa e o raio do corpo celeste.
LEIS DE KEPLER 1. Lei das Órbitas: todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o sol em um dos Focos.
2. Lei das Áreas: a reta que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. da dt = constante A 1 = A 2 Como consequência, a velocidade no periélio (perto do Sol) é maior que no afélio (afastado do Sol).
A lei das áreas também pode ser demonstrada como uma consequência da lei de conservação do momento angular. Considerando uma órbita aproximadamente circular e tomando a área como aproximadamente triangular: A = 1 2 sr Da definição de ângulo, s = rθ: A = 1 2 r²θ
Derivando a expressão em relação ao tempo: da dt = 1 2 r² dθ dt da dt = 1 2 r²ω Onde ω é a velocidade angular. Lembrando que para o momento angular é possível definir que L = mr² ω, logo: da dt = L 2m = constante Portanto, como a taxa de variação da área depende de duas constantes, assume-se que ela também será constante.
3. Lei dos Períodos: o quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da órbita.
Esse resultado pode ser mostrado como uma consequência da Segunda Lei de Newton: F R = ma Onde a é a aceleração radial (ou aceleração centrípeta). Para um planeta em órbita, a força resultante pode ser reduzida apenas à força gravitacional exercida pela estrela que ele orbita: G Mm r² = mω²r G M r² = ω²r Para a velocidade angular, se tem que ω = θ/t, onde T é o período de revolução. Para uma volta completa, θ = 2π rad, logo ω = 2π /T. Desse modo: G M r² = 4π² T² r T² = 4π² GM r³
EXEMPLO 3 O Cometa Halley gira em órbita em torno do Sol com um período de 76 anos; em 1986, chegou a sua menor distância do Sol, a distância do periélio R p, que é 8,9 x 10 10 m (entre as órbitas de Mercúrio e Vênus). Qual é a maior distância do cometa ao Sol, que é chamada de distância do afélio R a? Dado: Massa do Sol = 1,99 x 10 30 kg
EINSTEIN E A GRAVITAÇÃO Newton: a gravitação é o produto da interação entre as massas; Einstein: a gravitação se deve à curvatura do espaço-tempo causada pelas massas.
Referências Halliday, Resnick e Walker. Fundamentos de Física, volume 2, gravitação, ondas e termodinâmica. 9ª edição, editora LTC, Rio de Janeiro, 2010. As imagens e exemplos foram extraídas da fonte acima ou do banco de dados do google.